2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1講不等式和絕對(duì)值不等式本講達(dá)標(biāo)測(cè)試新人教A版選修4-5

PAGEPAGE1第一講不等式和肯定值不等式(本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘)一、選擇題(每小題5分，共60分)1.下面四個(gè)條件中，使a＞b成立的充分而不必要的條件是A.a＞b＋1 B.a＞b－1C.a2＞b2 D.a3＞b3解析A項(xiàng)：若a＞b＋1，則必有a＞b，反之，當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，滿足a＞b，但不能推出a＞b＋1，故a＞b＋1是a＞b成立的充分而不必要條件；B項(xiàng)：當(dāng)a＝b＝1時(shí)，滿足a＞b－1，反之，由a＞b－1不能推出a＞b；C項(xiàng)：當(dāng)a＝－2，b＝1時(shí)，滿足a2＞b2，但a＞b不成立；D項(xiàng)：a＞b是a3＞b3的充要條件，綜上所述答案選A.答案A2.若a>b，x>y，則下列不等式不正確的是A.a＋x>b＋y B.y－a<x－bC.|a|x>|a|y D.(a－b)x>(a－b)y答案C3.不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是A.[－5，7] B.[－4，6]C.(－∞，－5]∪[7，＋∞) D.(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析解法一當(dāng)x≤－3時(shí)，不等式化為5－x－x－3≥10，即x≤－4；當(dāng)－3＜x＜5時(shí)，不等式化為5－x＋x＋3≥10，即8≥10，故x∈?；當(dāng)x≥5時(shí)，不等式化為x－5＋x＋3≥10，即x≥6.綜上，原不等式的解集為(－∞，－4]∪[6，＋∞)，故選D.解法二利用肯定值的幾何意義，即在數(shù)軸上的點(diǎn)x到5和－3的距離之和不小于10，所以x≤－4或x≥6，故選D.答案D4.若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)＞0的解集為A.(0，＋∞) B.(－1，0)∪(2，＋∞)C.(2，＋∞) D.(－1，0)解析f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＝eq\f(2（x2－x－2）,x)，則f′(x)＞0，也就是eq\f(2（x2－x－2）,x)＞0，得－1＜x＜0或x＞2，又f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，∴f′(x)＞0的解集為{x|x＞2}，故選C.答案C5.若實(shí)數(shù)x，y滿足eq\f(1,x2)＋eq\f(1,y2)＝1，則x2＋2y2有A.最大值3＋2eq\r(2) B.最小值3＋2eq\r(2)C.最大值6 D.最小值6解析由題意知，x2＋2y2＝(x2＋2y2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋\f(1,y2)))＝3＋eq\f(2y2,x2)＋eq\f(x2,y2)≥3＋2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x2,y2)＝eq\f(2y2,x2)時(shí)，等號(hào)成立，故選B.答案B6.函數(shù)y＝3x＋eq\f(12,x2)(x>0)的最小值是A.6 B.6eq\r(6) C.9 D.12解析y＝3x＋eq\f(12,x2)＝eq\f(3x,2)＋eq\f(3x,2)＋eq\f(12,x2)≥3eq\r(3,\f(3x,2)·\f(3x,2)·\f(12,x2))＝9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)\f(3x,2)＝\f(12,x2)，即x＝2時(shí)，等號(hào)成立)).答案C7.設(shè)x>0，則y＝3－3x－eq\f(1,x)的最大值是A.3 B.3－3eq\r(2)C.3－2eq\r(3) D.－1解析y＝3－3x－eq\f(1,x)＝3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))≤3－2eq\r(3x·\f(1,x))＝3－2eq\r(3).當(dāng)且僅當(dāng)3x＝eq\f(1,x)，即x＝eq\f(\r(3),3)時(shí)，等號(hào)成立.答案C8.若a、b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是A.a2＋b2＞2ab B.a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＞eq\f(2,\r(ab)) D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2解析對(duì)A：當(dāng)a＝b＝1時(shí)滿足ab＞0，但a2＋b2＝2ab，所以A錯(cuò)；對(duì)B、C：當(dāng)a＝b＝－1時(shí)滿足ab＞0，但a＋b＜0，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＜0，而2eq\r(ab)＞0，eq\f(2,\r(ab))＞0，明顯B、C不對(duì)；對(duì)D：當(dāng)ab＞0時(shí)，由均值定理eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，故選D.答案D9.某人要買房，隨著樓層的上升，上、下樓耗費(fèi)的體力增多，因此不滿足度上升，設(shè)住第n層樓，上下樓造成的不滿足度為n；但高處空氣清爽，嘈雜音較小，環(huán)境較為寧?kù)o，因此隨樓層上升，環(huán)境不滿足度降低，設(shè)住第n層樓時(shí)，環(huán)境不滿足程度為eq\f(9,n)，則此人應(yīng)選A.1樓 B.2樓 C.3樓 D.4樓解析設(shè)第n層總的不滿足度為f(n)，則f(n)＝n＋eq\f(9,n)≥2eq\r(9)＝6，當(dāng)且僅當(dāng)n＝eq\f(9,n)，即n＝3時(shí)等號(hào)成立.答案C10.已知f(x)是奇函數(shù)，且在(－∞，0)上是增函數(shù)，f(2)＝0，則不等式xf(x)<0的解集是A.{x|－2<x<0，或x>2}B.{x|x<－2，或0<x<2}C.{x|x<－2，或x>2}D.{x|－2<x<0，或0<x<2}解析畫(huà)出草圖，(圖略)則當(dāng)0＜x＜2或x＜－2時(shí)，f(x)＜0；當(dāng)x＞2或－2＜x＜0時(shí)，f(x)＞0.所以x·f(x)＜0?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＜0,x＞0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＞0,x＜0))，即為0＜x＜2或－2＜x＜0.答案D11.若0＜x＜eq\f(1,2)，則x2(1－2x)有A.最小值eq\f(1,27) B.最大值eq\f(1,27)C.最小值eq\f(1,3) D.最大值eq\f(1,3)答案B12.設(shè)0<x<1，a，b都為大于零的常數(shù)，若eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)≥m恒成立，則m的最大值是A.(a－b)2 B.(a＋b)2C.a2b2 D.a2解析eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x)＋\f(b2,1－x)))[x＋(1－x)]＝a2＋b2＋eq\f(a2（1－x）,x)＋eq\f(b2x,1－x)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,1－x)＝eq\f(a,b)時(shí)取等號(hào).由eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)≥m恒成立，可知m≤(a＋b)2.故m的最大值是(a＋b)2.答案B二、填空題(每小題5分，共20分)13.不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________.解析由題意得|x＋1|≥|x－3|，∴(x＋1)2≥(x－3)2，即8x≥8，∴x≥1.答案[1，＋∞)14.已知不等式|2x－t|＋t－1＜0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，則t的值為_(kāi)_______.解析|2x－t|＜1－t，t－1＜2x－t＜1－t，2t－1＜2x＜1，t－eq\f(1,2)＜x＜eq\f(1,2).∴t＝0.答案015.設(shè)x，y為實(shí)數(shù).若4x2＋y2＋xy＝1，則2x＋y的最大值是________.解析依題意有(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋eq\f(3,2)×2x×y≤1＋eq\f(3,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋y,2)))eq\s\up12(2)，得eq\f(5,8)(2x＋y)2≤1，即|2x＋y|≤eq\f(2\r(10),5).當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)＝eq\f(\r(10),5)時(shí)，2x＋y達(dá)到最大值eq\f(2\r(10),5).答案eq\f(2\r(10),5)16.下面四個(gè)命題：①若a>b，c>1，則algc>blgc；②若a>b，c>0，則algc>blgc；③若a>b，則2ca>2cb；④若a<b<0，c>0，則eq\f(c,a)>eq\f(c,b).其中正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.解析①正確，∵c>1，lgc>0，∴algc>blgc；②不正確，由于當(dāng)0<c<1時(shí)，lgc<0，algc<blgc；③正確，∵2c>0，∴2ca>2cb；④正確，∵a<b<0，∴0>eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，又c>0，∴eq\f(c,a)>eq\f(c,b).答案3三、解答題(共70分)17.(10分)設(shè)不等式|x－2|<a(a∈N*)的解集為A，且eq\f(3,2)∈A，eq\f(1,2)?A.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值.解析(1)因?yàn)閑q\f(3,2)∈A，且eq\f(1,2)?A，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－2))<a，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2))≥a，解得eq\f(1,2)<a≤eq\f(3,2).又a∈N*，所以a＝1.(2)因?yàn)閨x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，當(dāng)且僅當(dāng)(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2時(shí)取到等號(hào)，所以f(x)的最小值為3.18.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值.解析(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)≥3x＋2可化為|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x＋2的解集為{x|x≥3或x≤－1}.(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式化為不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥a，,x－a＋3x≤0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤a，,a－x＋3x≤0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥a，,x≤\f(a,4)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤a，,x≤－\f(a,2).))因?yàn)閍>0，所以不等式組的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2))))).由題設(shè)可得－eq\f(a,2)＝－1，則a＝2.故a的值為2.19.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.記f(x)≤1的解集為M，g(x)≤4的解集為N.(1)求M；(2)當(dāng)x∈M∩N時(shí)，證明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤eq\f(1,4).解析f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－3，x∈[1，＋∞），,1－x，x∈（－∞，1），))當(dāng)x≥1時(shí)，由f(x)＝3x－3≤1得x≤eq\f(4,3)，故1≤x≤eq\f(4,3)；當(dāng)x<1時(shí)，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集為M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(4,3))))).(2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，得16eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))eq\s\up12(2)≤4，解得－eq\f(1,4)≤x≤eq\f(3,4).因此N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)≤x≤\f(3,4))))).故M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(3,4))))).當(dāng)x∈M∩N時(shí)，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝x(1－x)＝eq\f(1,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(1,4).20.(12分)(2024·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋4，x≤－1，,2，－1<x≤2，,－2x＋6，x>2.))可得f(x)≥0的解集為{x|－2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等價(jià)于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且當(dāng)x＝2時(shí)等號(hào)成立.故f(x)≤1等價(jià)于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范圍是(－∞，－6]∪[2，＋∞).21.(12分)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d，求證：(1)若ab>cd，則eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)；(2)eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|<|c－d|的充要條件.證明(1)因?yàn)?eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(c)＋eq\r(d))2＝c＋d＋2eq\r(cd)，由題設(shè)a＋b＝c＋d，ab>cd得(eq\r(a)＋eq\r(b))2>(eq\r(c)＋eq\r(d))2.因此eq\r(a)＋eq