安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣民族中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

PAGE16-定遠(yuǎn)縣民族中學(xué)2024-2025學(xué)年上學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試題一、選擇題(共12小題,每小題5分,共60分)1.設(shè)全集U＝R，A＝{x|<2}，B＝{x|>－log2(x2＋2)}，則圖中陰影部分表示的集合為（）A.{x|1≤x<2} B.{x|x≥1} C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤1}【答案】A【解析】【分析】先求得集合A與集合B,再依據(jù)韋恩圖表示的集合的意義,即可運(yùn)算求得陰影部分表示的集合.【詳解】因?yàn)?解不等式可得集合,解不等式可得陰影部分表示的集合為所以所以陰影部分表示的集合為故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式的解法,韋恩圖表示集合的形式,集合的交集與補(bǔ)集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2.已知函數(shù)和均為奇函數(shù)，在區(qū)間上有最大值5，那么在上的最小值為A.－5 B.－3 C.－1 D.5【答案】C【解析】令，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，時(shí)，，，又時(shí)，，，，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，由于函數(shù)和g(x)均為奇函數(shù)，則也為奇函數(shù)，構(gòu)造函數(shù),則為奇函數(shù)，借助在上的最大值得出的最大值，由于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間上的最大值與最小值之和為零，得出在上的最小值，進(jìn)而得出在上的最小值.3.函數(shù)y＝f(x)對(duì)于隨意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1，且f(3)＝4，則（）A.f(x)在R上是減函數(shù)，且f(1)＝3B.f(x)在R上是增函數(shù)，且f(1)＝3C.f(x)在R上是減函數(shù)，且f(1)＝2D.f(x)在R上是增函數(shù)，且f(1)＝2【答案】D【解析】【分析】依據(jù)定義推斷函數(shù)的單調(diào)性,依據(jù),利用賦值法即可求得的值.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增,證明過(guò)程如下:任取,且則因?yàn)?所以又因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以,即則,可得所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增令,由可得令可得因?yàn)樗跃C上可知,D為正確選項(xiàng)故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性,賦值法求函數(shù)值的應(yīng)用,屬于中檔題.4.設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：設(shè)是函數(shù)的圖像上隨意一點(diǎn)，它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)為（），由已知（）在函數(shù)的圖像上，∴，解得，即，∴，解得，故選C．考點(diǎn)：函數(shù)求解析式及求值5.f(x)是定義在R上的增函數(shù)，則下列結(jié)論肯定正確的是（）A.f(x)＋f(－x)是偶函數(shù)且是增函數(shù)B.f(x)＋f(－x)是偶函數(shù)且是減函數(shù)C.f(x)－f(－x)是奇函數(shù)且是增函數(shù)D.f(x)－f(－x)是奇函數(shù)且是減函數(shù)【答案】C【解析】【分析】舉出反例,可以說(shuō)明錯(cuò)誤的選項(xiàng);依據(jù)奇偶性和單調(diào)性的定義證明正確選項(xiàng)即可.【詳解】令,則對(duì)于A選項(xiàng),,偶函數(shù)但不是增函數(shù),所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),,是偶函數(shù)但不是減函數(shù),所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng),因?yàn)槭嵌x在R上的增函數(shù),則是定義在R上的減函數(shù),所以是定義在R上的增函數(shù),所以是定義在R上的增函數(shù).令,則所以為奇函數(shù),所以C正確;對(duì)于D選項(xiàng),,是奇函數(shù)但不是減函數(shù),所以D錯(cuò)誤;綜上可知,C為正確選項(xiàng)故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的綜合應(yīng)用,舉反例法說(shuō)明錯(cuò)誤選項(xiàng),正確選項(xiàng)須要證明,屬于基礎(chǔ)題.6.已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿(mǎn)意，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】故選：C.7.若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：設(shè)=t,則,從而的值域就是函數(shù)的值域，由“勾函數(shù)”的圖象可知，，故選B．考點(diǎn)：函數(shù)的值域．8.如圖，正方形的頂點(diǎn)，，頂點(diǎn)位于第一象限，直線將正方形分成兩部分，記位于直線左側(cè)陰影部分的面積為，則函數(shù)的圖象大致是A. B. C. D.【答案】C【解析】可知正方形邊長(zhǎng)為。當(dāng)時(shí)，陰影部分為邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，陰影部分為正方形減去一個(gè)邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，此時(shí)。綜上可得，函數(shù)的圖象大致為C9.已知，，若對(duì)隨意的，存在，使，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為來(lái)列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】要使對(duì)隨意的，存在，使，則需.當(dāng)時(shí)，取得最解得小值為.當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故，解得，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題，考查函數(shù)最大值最小值的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10.設(shè)0<a<1，則函數(shù)f(x)＝loga||（）A.在(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－1,1)上單調(diào)遞增B.(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1,1)上單調(diào)遞減C.在(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1,1)上單調(diào)遞增D.在(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－1,1)上單調(diào)遞減【答案】A【解析】【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域要求,分段探討,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的推斷方法即可得解.【詳解】因?yàn)?所以定義域?yàn)?令當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增.因?yàn)?由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞減當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減.因?yàn)?由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增.因?yàn)?由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞減綜上可知,在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了分類(lèi)探討思想的應(yīng)用,復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的推斷,屬于中檔題.11.已知x＋x－1＝3，則＋的值為（）A.±4 B.2 C.4 D.－4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)完全平方公式與立方和公式,結(jié)合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算,化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】因?yàn)?所以則,即所以故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式及立方和公式的用法,分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12.已知集合，且使中元素和中的元素對(duì)應(yīng)，則的值分別為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：分析題意可知：對(duì)應(yīng)法則為，則應(yīng)有（1）或（2），由于，所以（1）式無(wú)解，解（2）式得：。故選D?？键c(diǎn)：映射。二、填空題(共4小題,每小題5分,共20分)13.已知x∈R，集合A＝{－3，x2，x＋1}，B＝{x－3,2x－1，x2＋1}，假如A∩B＝{－3}，則A∪B＝________.【答案】{0,1,2，－3，－4}【解析】【分析】依據(jù)的運(yùn)算結(jié)果可知,集合B中必含有元素,分別令三個(gè)元素等于,即可求得集合B,利用互異性推斷是否符合要求,進(jìn)而得.【詳解】因?yàn)樗约螧中必含有元素若,解得,此時(shí),則,不滿(mǎn)意題意若,解得,此時(shí),則,若,則方程無(wú)解,不成立綜上可知,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集與并集的運(yùn)算,集合互異性原則的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且若函數(shù)，則=．【答案】.【解析】試題分析：設(shè)，則為偶函數(shù)，由于，另一方面，所以，故.考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性15.已知函數(shù)滿(mǎn)意對(duì)隨意的都有成立，則＝。【答案】7【解析】【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以?故答案為：7.16.已知a＝，若logam>loga5，則m的取值范圍是________．【答案】(0,5)【解析】分析】依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?即所以函數(shù)單調(diào)遞減所以若,則由對(duì)數(shù)定義域可知綜上可知,的取值范圍為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及簡(jiǎn)潔應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題(共6小題,共70分)17.設(shè)函數(shù)f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，求f(x)的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)兩個(gè)式子，代入得關(guān)于a、b的方程組，解方程即可求得a、b的值。(2)利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式，依據(jù)x的取值范圍即可求得對(duì)數(shù)的最大值?！驹斀狻?1)由得∴即∴a＝4，b＝2.(2)由(1)知f(x)＝log2(4x－2x)，設(shè)t＝2x，∵x∈[1,3]，∴t∈[2,8]．令u＝4x－2x＝t2－t＝－，∴當(dāng)t＝8，即x＝3時(shí)，umax＝56.故f(x)的最大值為log256.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的求值，換元法的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。18.已知函數(shù)f(x)＝|－1|.(1)作出函數(shù)y＝f(x)的圖象；(2)若a<c，且f(a)>f(c)，求證：2a＋2c<4.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】【詳解】(1)f(x)＝其圖象如圖所示．(2)證明：由圖知，f(x)在(－∞，1]上是減函數(shù)，在[1，＋∞)上是增函數(shù)，故結(jié)合條件知必有a<1.若c≤1，則2a<2，2c≤2，所以2a＋2c<4；若c>1，則由f(a)>f(c)，得1－>－1，即＋<2，所以2a＋2c<4.綜上知，總有2a＋2c<4.19.已知a＝，b＝9.求：(1)÷；(2).【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】(1)由根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化,結(jié)合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算,化簡(jiǎn)即可得解.(2)將負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)化為分母形式,去分母,代入的值即可求解.【詳解】(1)因?yàn)樗?2)去負(fù)指數(shù)后化簡(jiǎn),可得因?yàn)?所以【點(diǎn)睛】本題考查了根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)運(yùn)算,立方和公式的用法,屬于基礎(chǔ)題.20.已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－x2＋2x＋2.(1)求f(x)的解析式；(2)畫(huà)出f(x)的圖像，并指出f(x)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)增區(qū)間為[－1,0)及(0,1]，減區(qū)間為(－∞，－1]及[1，＋∞)【解析】【分析】（1）只需先求出x≤0時(shí)的表達(dá)式．由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（﹣0）=﹣f（0），可求得f（0）；當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，利用已知表達(dá)式可求得f（﹣x），依據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得f（x）=﹣f（﹣x），由此可求得f（x）；（2）依據(jù)二次函數(shù)的圖像的性質(zhì)可分段求出單調(diào)區(qū)間；【詳解】(1)設(shè)x<0，則－x>0.∴f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2.又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝x2＋2x－2.又f(0)＝0，∴f(x)＝(2)先畫(huà)出y＝f(x)(x>0)的圖像，利用奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得到相應(yīng)y＝f(x)(x<0)的圖像，其圖像如圖所示．由圖可知，其增區(qū)間為[－1,0)及(0,1]，減區(qū)間為(－∞，－1]及[1，＋∞)【點(diǎn)睛】本題考查利用奇偶性求分段函數(shù)的解析式，考查二次函數(shù)的單調(diào)性，考查分類(lèi)探討思想．求解析式時(shí)，一般是求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)，再通過(guò)奇偶性將設(shè)的自變量的范圍轉(zhuǎn)化到已知表達(dá)式的一段上的自變量的范圍，干脆代入解析式，最終通過(guò)奇偶性得到結(jié)果即可.21.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是R，對(duì)于隨意的x，y，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0.(1)求f(0)的值；(2)推斷函數(shù)的奇偶性；(3)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)為增函數(shù)．【答案】(1)f(0)＝0；(2)奇函數(shù)；(3)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)利用賦值法即可求得的值.(2)令代入式子,然后依據(jù)(1)中的結(jié)論,結(jié)合奇偶性定義即可推斷函數(shù)奇偶性.(3)任取,利用作差法即可推斷函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】(1)令,代入中可得(2)函數(shù)為奇函數(shù),理由如下:已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,令代入,得由(1)可知,則即為奇函數(shù)(3)任取且則因當(dāng)時(shí),且所以,則則函數(shù)為R上的增函數(shù)【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)中函數(shù)值的求法,抽象函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的證明,賦值法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.22.已知f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a2(a∈R)，若f(x)能表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)和一個(gè)偶函數(shù)h(x)的和．(1)求g(x)和h(x)的解析式；(2)若f(x)和g(x)在區(qū)間(－∞，(a＋1)2]上都是減函數(shù)，求f(1)的取值范圍．【答案】（1）g(x)＝(a＋1)x，h(x)＝x2＋a2；（2）.【解析】【分析】(1)先設(shè)所以，解方程組即得g(x)、h(x).(2)由題得－≥(a＋1)2且a＋1<0，從而－≤a<－1，再利用二次函數(shù)求f(1)的取