人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓周角定理【十大題型】解析版

專題24.4圓周角定理【十大題型】

【人教版】

【題型1圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角的一半的運(yùn)用】...................................2

【題型2同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等的運(yùn)用】..................................................4

【題型3直徑所對(duì)的圓周角是90。的運(yùn)用】......................................................8

【題型4翻折中的圓周角的運(yùn)用】.............................................................12

【題型5利用圓周角求最值】..................................................................17

【題型6圓周角中的證明】...................................................................21

【題型7圓周角中的多結(jié)論問題】.............................................................28

【題型8構(gòu)造圓利用圓周角解決三角形或四邊形中的問題】.......................................32

【題型9圓周角與量角器的綜合運(yùn)用】..........................................................36

【題型10利用圓周角求取值范圍】.............................................................39

【知識(shí)點(diǎn)1圓周角定理及其推論】

/4。3是@所對(duì)的圓心角，

定理：圓周角的度數(shù)等于它所NC是痛所對(duì)的圓周角，

對(duì)的弧的圓心角度數(shù)

)ZC=-ZAOB

的一半2

NC和都是G所對(duì)的圓周

圓角

周

角推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓ZC=ZD

定周角相等

理

A3是O。的直徑

CNC是翕湖對(duì)的圓周角

B?A

推論2：直徑所對(duì)的圓周角是ZC=90°

直角，90。的圓周角NC是卷所對(duì)的圓周角

所對(duì)的弦是直徑ZC=90°

A5是的直徑

【題型1圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角的一半的運(yùn)用】

【例1】（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，CD是。。的直徑，。。上的兩點(diǎn)A,8分別在直徑CO的兩側(cè),

且NABC=78°,則/AO。的度數(shù)為（）

A.12°B.22°C.24°D.44°

【分析】利用圓周角定理求出NAOC=156。，可得結(jié)論.

【解答】解：VZAOC=2ZABC,/ABC=78°,

ZAOC=156°,

：.ZAOD=180°-ZAOC=24°,

故選：C.

【變式1-1］（2022?溫州）如圖，AB,AC是。。的兩條弦，于點(diǎn)。，OELAC于點(diǎn)E,連結(jié)。2,

OC.若/。。e=130°,則NBOC的度數(shù)為（）

A.95°B.100°C.105°D.130°

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于3600計(jì)算可得NA4C=50°,再根據(jù)圓周角定理得到/BOC=2N

BAC,進(jìn)而可以得到答案.

【解答】解：'：OD±AB,OELAC,

：.ZADO=90°,ZAEO=90°,

ZDOE=130°,

ZBAC=360°-90°-90°-130°=50°,

AZBOC=2ZBAC=100°,

故選：B.

【變式1-2］（2022?藍(lán)山縣一模）如圖，點(diǎn)A,B,C在。。上，Nl=40°,4c=25°,則（）

1

0

~/C

A.100°B.70°C.55°D.65°

【分析】根據(jù)圓周角定理得出NBOC=2N1=80°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出N1+N5+NAD3

180°,ZC+ZBOC+ZODC=180°,求出N1+N5=N5OC+NC即可.

【解答】解：設(shè)05交AC于。，

VZ1=4O°,

???N3OC=2Nl=80°,

VZl+ZB+ZAZ）B=180°,ZC+ZBOC+ZODC=180°,/ADB=NODC,

：.Z1+N3=NBOC+NC,

VZC=25°,

.*.40°+ZB=80°+25°,

???N3=65°,

故選：D.

【變式1-3］（2022春?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB,CD為。。的兩條弦，若NA+NC=120°,AB=2,

CD=4,則。。的半徑為（）

A.2岳B.2V7C.*D.*

【分析】連接OB,OA,OC,OD,證明NAO5+NCOO=90°,在。。上點(diǎn)D的右側(cè)取一點(diǎn)E,使得

DE=AB,過點(diǎn)E作ET，CO交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,則通=力&,利用勾股定理求解即可.

【解答】解：如圖，連接03,04,OC,OD,

?:/BOC=2/CAB,ZAOD=2ZACDfZCAB+ZACD=120°,

AZBOC+ZAOD=24Q°,

AZAOB+ZCOD=120°,

在。0上點(diǎn)。的右側(cè)取一點(diǎn)E,使得DE=AB,過點(diǎn)石作ET,CD交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,則通=歷,

???ZAOB=ZDOE,

：.ZCOE=120°,

：.ZCDE=120°,

AZEDT=60°,

VZ)E=AB=2,

：.DT=1,ET=V3,

，CT=CD+DT=4+1=5,

:,CE=7m+ET?=J52+(V3)2=2V7,

作Ob_LCE,則NCO/=60°,CF=V7,

：.OC=OE=^=—f

V33

2

故選：D.

【題型2同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等的運(yùn)用】

【例2】(2022?保亭縣二模)如圖，為。。的直徑，點(diǎn)C、D在圓上，CELA3于點(diǎn)E,若/。=48°,

則/1=()

A.42°B.45°C.48°D.52°

【分析】連接AC,根據(jù)圓周角定理得出NA=NO=48°,ZACB=90°,求出NA5C,根據(jù)垂直求出

NCEB,再求出N1即可.

【解答】解：連接AC,

由圓周角定理得：ZA=ZD,

?.?/。=48°,

AZA=48°,

TAB是。。的直徑，

/.ZACB=90°,

AZABC=90°-ZA=42°,

VCE±AB,

AZBEC=90°,

AZ1=90°-ZABC=48°,

故選：C.

【變式2-1]（2022?南充）如圖，A5為。。的直徑，弦CO_LA8于點(diǎn)E,OfLLBC于點(diǎn)凡ZBOF=65

則NAOZ）為（）

c

A.70°B.65°C.50°D.45°

【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得/B=25°,由垂徑定理得：AC=AD,最后由圓周角定理可得

結(jié)論.

【解答】解:'：OFLBC,

:.NBFO=90°,

'：ZBOF^65°,

ZB=90°-65°=25°,

?.,弦CD_LAB,AB為。。的直徑，

：.AC=AD,

：.ZAOD=2ZB=50°.

故選：C.

【變式2-2］（2022?十堰二模）如圖，在RtzXABC中，ZACB=90°,NA=54°,以BC為直徑的。。交

AB于點(diǎn)D.￡是。。上一點(diǎn)，且宿=前，連接OE.過點(diǎn)E作交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E則/

F的度數(shù)為（）

【分析】連接O。，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得出/OOC=NEOC,根據(jù)直角三角形的兩銳角互

余得出/B=90°-ZA=36°，根據(jù)圓周角定理求出NQOC=2NB=72°，求出/EOC=NOOC=72°,

再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°求出即可.

【解答】解：解法一、連接。。，

vcB=CE,

：?/DOC=/EOC,

VZACB=90°,ZA=54°,

：.ZB=90°-ZA=36°,

：.ZDOC=2ZB=72°,

:?/E0C=ND0C=T2°,

OE±EF,

：.ZOEF=90°,

VZACB=90°,

：.ZBCF=90°,

：.ZF=360°-ZOEF-ZBCF-ZEOC=360°-90°-90°-72°=108°；

解法二、VZACB=90°,ZA=54°,

???N3=90°-ZA=36°,

9：DC=CE,

：.ZCOE=2ZB=72°,

VOE±EF,

：.ZOEF=90°,

VZACB=90°,

：.ZBCF=90°,

.*.ZF=360°-NOEF-NBCF-/EOC=360°-90°-90°-72°=108°；

故選：B.

【變式2-3］（2022?本溪模擬）如圖，在。。中，AB=BC,直徑CD_LA3于點(diǎn)N,尸是死上一點(diǎn)，則N

BPD的度數(shù)是30°.

【分析】連接040B,如圖，先根據(jù)垂徑定理得到庭=而，所以而=元=就，利用圓心角、弧、

弦的關(guān)系得至!]/46^=/8。。=/4。8=120°,所以/8。。=60°,然后根據(jù)圓周角定理求解.

【解答】解：連接。4、OB,如圖，

:CDLAB,

：.AC=BC,

\'AB=BC,

：.AB=BC=AC,

1

/.ZAOC=ZBOC=ZAOB=-x360°=120°,

3

AZBOD=180°-120°=60°,

；?NBPD=L/BOD=30°.

2

故答案為：30°.

【題型3直徑所對(duì)的圓周角是90°的運(yùn)用】

【例3】（2022?中山市三模）如圖，A8是。。的直徑，若AC=2,ZD=60°,則BC長(zhǎng)等于（）

A.4B.5C.V3D.2V3

【分析】根據(jù)圓周角定理得出/ACB=90°,NCAB=/￡）=60°,求出NABC=90°-ZCAB=30°,

根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AB=2AC=4,再根據(jù)勾股定理求出BC即可.

【解答】解：?.?A5是。。的直徑，

AZACB=90°,

9：ZD=60°,

：.ZCAB=ZD=60°,

/.ZABC=90°-ZCAB=30°,

VAC=2,

：.AB=2AC=4f

：.BC=7AB2-AC2=V42-22=2V3,

故選：D.

【變式3-1］（2022?濰坊二模）如圖，已知以△ABC的邊AB為直徑的。O經(jīng)過點(diǎn)C,OD_LAC交。。于點(diǎn)

D,連接3D若N84C=36°,則N0Q8的度數(shù)為（）

A.32°B.27°C.24°D.18°

【分析】設(shè)AC與0。相交于點(diǎn)及根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得NAC5=90°,從而求出NA5C=

54°,再根據(jù)垂直定義可得NAEO=90°,從而可得ODIIBC,然后利用等腰三角形和平行線的性質(zhì)可

得平分NABC即可解答.

【解答】解：設(shè)AC與。。相交于點(diǎn)

TAB是。。的直徑，

AZACB=90°,

VZBAC=36°,

AZABC=90°-ZBAC=54°,

VO￡>±AC,

AZAEO=90°,

AZAEO=ZACB=90°,

J.OD//BC,

：?/ODB=/DBC,

;OD=OB,

：.ZODB=ZOBDf

：.ZOBD=ZDBC=-ZABC=27°,

2

AZODB=ZOBD=27°,

故選：B.

A

【變式3-2］（2022?江夏區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，。。的直徑A3為8,。為而上的一點(diǎn)，QE_L4C于點(diǎn)E,若

CE=3AE,ZBAC=30°,則。E的長(zhǎng)是（）

O_________O

A.￡B.V13-2C.V3D.I

【分析】在30°的直角三角形ABC中求出AC=4百，根據(jù)CE=3AE得到AE=V3,再分別求出DF、

ME、MP的長(zhǎng)度即可得解.

【解答】解：如圖，連接連接BC、OD,作交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)EDF、交于點(diǎn)M

YAB為直徑，

/.ZACB=90°,

又；NR4c=30°,

：.BC=4,AC=4V3,

\'CE=3AE,

：.AE=V3,

'：DE±AC,NBAC=30°,

：.EM=1,AM=2,

：.OM=OA-AM=4-2=2,

在Rt/XOMF中，

VZOFM=90°,ZOMF=ZAME=90Q-30°=60°,OM=2,

：.MF=\,OF=V3,

VZF=90°,

:.DF=y/OD2-OF2=V42-3=V13,

DE=DF-ME-MF=V13-2.

【變式3-3](2022秋?如皋市校級(jí)期中)在。。中，A8為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦AC翻折交

AB于點(diǎn)。，連接CD

(1)如圖1,若點(diǎn)。與圓心。重合，AC=2,求。。的半徑r；

(2)如圖2,若點(diǎn)。與圓心。不重合，/54C=25°,求/OC4的度數(shù).

【分析】(1)過點(diǎn)。作OELAC于E,由垂徑定理可知AE=/C=(x2=l,根據(jù)翻折后點(diǎn)。與圓心。

重合，可知0E=%,在Rt^AOE中，根據(jù)勾股定理可得出r的值；

(2)連接BC,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出NAC8,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出NB,再根據(jù)

翻折的性質(zhì)得到M所對(duì)的圓周角，然后根據(jù)NACD等于病所對(duì)的圓周角減去前所對(duì)的圓周角，計(jì)算

即可得解.

【解答】解：(1)如圖1,過點(diǎn)。作OELAC于E

貝I]AE=-AC=-x2^1,

22

??,翻折后點(diǎn)D與圓心O重合，

/.OE=-r,

2

在RtZXAOE中，AO1=A^+OE1,

即/=y+（］）2,解得仁竽；

(2)連接BC,

是直徑，

AZACB=90°,

VZBAC=25°,

???N3=900-ZBAC=90°-25°=65°,

根據(jù)翻折的性質(zhì)，配所對(duì)的圓周角為N3,而所對(duì)的圓周角為NADC,

AZADC+ZB=180°,

：.ZB=ZCDB^65°,

：.ZDCA=ZCDB-ZA=65°-25°=40°.

【題型4翻折中的圓周角的運(yùn)用】

【例4】（2022春?福田區(qū)校級(jí)月考）如圖，A3是。。的直徑，是。。的弦，先將就沿8C翻折交A8

于點(diǎn)。，再將皿沿A5翻折交5C于點(diǎn)若密=證,則N5CD的度數(shù)是（）

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

【分析】證明/CA8=3a,利用三角形內(nèi)角和定理求出a,可得結(jié)論.

【解答】解：設(shè)NA2C=a,

則萬(wàn)&,CD,數(shù)的度數(shù)都為2a,

.?.皿的度數(shù)=4a,

???翻折,

.?.前的度數(shù)=4a,

，:京的度數(shù)=2a+4a=6a,

;朝的度數(shù)+前的度數(shù)=180°,

.\2a+6a=180°,

a=22.5°.

...麗的度數(shù)=90°

：.ZBCD=45°.

故選：C.

【變式4-1]（2022秋?蕭山區(qū)期中）如圖，在。。中，為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧AC沿弦AC

翻折交AB于點(diǎn)。，連結(jié)若NA4c=25°,則NBOC的度數(shù)為（）

A.45°B.55°C.65°D.70°

【分析】解法一、補(bǔ)齊翻折后的弧為圓。尸，根據(jù)圓周角定理得出比=比，求出根據(jù)

圓周角定理求出/ACB=90°,再求出NABC即可；解法二、過。作。E_LAC于E,延長(zhǎng)。E交。。于

F,連接ARCF、BC,根據(jù)圓周角定理得出/AC2=90°,根據(jù)翻折變換得出/用^=/氏4。=25°,

ZDCA=ZFCA,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出N54F+NBCF=18(T,求出NAC/=40°,求出/ACD

=ZACF=40Q,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可.

【解答】解：解法一、補(bǔ)齊翻折后的弧為圓。尸

「NBAC在。。和。P中分別對(duì)應(yīng)弧BC和弧DC,

：.BC^DC(在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等)，

:.BC=DC,

：.ZBDC=ZDBC,

：A3為。。直徑，

ZDBC=90°-/BAC=65°,

：.ZBDC=65°；

解法二、過。作￡)E_LAC于E,延長(zhǎng)￡)?交。。于R連接ARCF、BC,

；AB是。。的直徑，

??,將劣弧AC沿弦AC翻折交A8于點(diǎn)。，連結(jié)CO,ZBAC=25

：.ZFAC^ZBAC^25°,ZDCA^ZFCA,

?..點(diǎn)A、F、C、B四點(diǎn)共圓,

：.ZBAF+ZBCF=1SO°,

.*.25°+25°+90°+ZACF=180°,

解得：ZACF=40°,

即NACD=NACT=40°,

VZBAC=25°,

AZBDC=ZBAC+ZACD=25°+40°=65°,

故選：C.

【變式4-2](2022秋?研口區(qū)期末)如圖，A5為。。的一條弦，。為。。上一點(diǎn)，OC//AB.將劣弧A5

沿弦AB翻折，交翻折后的弧A3交AC于點(diǎn)D若。為翻折后弧AB的中點(diǎn)，貝1]乙鉆。=()

A.110°B.112.5°C.115°D.117.5°

【分析】如圖，連接04,OB,BD.設(shè)ND43=x.用工表示出NBOC,/BCD,/DBC,利用三角形內(nèi)

角和定理，構(gòu)建方程求解.

【解答】解：如圖，連接。4,OB,BD.設(shè)NZM3=x.

*：AD=BD,

:.DA=DB,

9：BD=BC,

：.BD=CD,

：./DAB=ZDBA=x,ZBDC=ZBCD=ZDAB-^-ZABD=2x,

?.?OC//AB,

：.ZOCA=ZDAB=x,

?：OA=OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC=3x,ZOAD=ZOCA=x,ZOAB=ZOBA=2xf

/OBD=x,

：.ZCBD=4x,

在△8OC中，ZBDC+ZDCB+ZDBC=180°,

.\2x+2x+4x=180°,

；.x=22.5°,

：.ZABC=5x=112.5°,

故選：B.

【變式4-3］（2022秋?丹江口市期中）己知。。的直徑A8長(zhǎng)為10,弦COLA8,將。。沿CD翻折，翻

折后點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)夕，若AB'=6,CB'的長(zhǎng)為（）

A.4V5B.2強(qiáng)或4岔C.2V5D.2展或4舊

【分析】分點(diǎn)⑶在線段上，點(diǎn)8在R4延長(zhǎng)線上兩種情況討論，根據(jù)勾股定理可求Mb的長(zhǎng)度.

【解答】解：①如圖1中：當(dāng)點(diǎn)⑶在線段A2上，連接OC.

：.AO=BO=5=OC,BB'=4,

?:B,B'關(guān)于CD對(duì)稱，

:.BE=B，E=2,

：.OE=OB'+EB'=3,

在RtZXOCE中，CE2=OC2-O呼=25-9=16,

在RtAB'CE中，B'C=VER2+EB?=<42+22=2時(shí).

：.B'B=16,AO=BO=OC=5,

'：B,B'關(guān)于C￡）對(duì)稱，

：.B'E=BE=8,

；.OE=BE-B0=3,

在RtACEO,CE2=CO2-OE2=25-9=16,

在Rt/XB'CE中，B'C=VFC2+EB'2=V16+82=4V5,

綜上所述9C=2遍或4V5,

故選：B.

【題型5利用圓周角求最值】

【例5】（2022?瑤海區(qū)三模）如圖，A2是。。的直徑，AB=8,點(diǎn)M在。。上，ZMAB=20°,N是弧

MB的中點(diǎn)，尸是直徑A8上的一動(dòng)點(diǎn)，若MN=2,則△PMN周長(zhǎng)的最小值為（）

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到：點(diǎn)N關(guān)于A2的對(duì)稱點(diǎn)N',連接MN'交AB于P,此時(shí)RW+PN最

小，即△PMN周長(zhǎng)的最小，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，作點(diǎn)N關(guān)于48的對(duì)稱點(diǎn)N',則點(diǎn)N'在。。上，連接MN'交48于P,此時(shí)PM+PN

最小，即PM+PN=W,

?.?點(diǎn)N是翁的中點(diǎn)，ZBAM=20°,

：.MN=觸=BN',

：.ZBAN'=10°,

:./MAN'=20°+10°=30°,

:"MON=60°,

:.△MON'是正三角形，

：.OM=ON'=MN'=-AB=4,

2

又,：MN=2,

.,.△PMN周長(zhǎng)的最小值為2+4=6,

故選：C.

【變式5-1】（2022?陳倉(cāng)區(qū)一模）如圖，ZXABC中，ZABC=45°,NACB=75°,AB=4,D是邊BC上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑畫。O,分別交A3、AC于點(diǎn)￡、F,連接EE則線段所長(zhǎng)度的最小值為

V6

【分析】如圖，由題意當(dāng)A。，8c時(shí)，0O的半徑最小，因?yàn)?E4P=60°,是定值，所以此時(shí)EF的值

最小.

【解答】解：如圖，VZABC=45°,ZACB=75°,

.*.BAC=180°-75°-45°=60°,

由題意當(dāng)AD_LBC時(shí)，。。的半徑最小，

?：ZEAF=6Q°,是定值,

，此時(shí)E尸的值最小,

過。。的中點(diǎn)K作MN_L4D交。。于M、N,連接。N、AN、AM,則△AMN是等邊三角形，

在RtZXABZ）中，ZABC=45°,AB=4,

:.AD=BD=2五,

：.OK^KD=―,0N=V2,

2

在RtLONK中，NK=KM=<0N2-OK2=—,

2

:.MN=V6,

AZEAF^ZMAN^60°,

：.EF=MN,

:.EF=MN=瓜,

二￡斤的最小值為聲,

故答案為：V6.

【變式5-2］（2022秋?大連期末）如圖，AB是。。的直徑，43=2,點(diǎn)C在。。上，ZC4B=30°,D為

曲的中點(diǎn)，E是直徑A8上一動(dòng)點(diǎn)，則CE+OE最小值為（）

D

OEB

A.1B.V2C.V3D.2

【分析】作點(diǎn)。關(guān)于A8的對(duì)稱點(diǎn)為。'，連接OC,OD,OD',CD',交AB于點(diǎn)E,貝ICE+DE的

最小值就是。'的長(zhǎng)度，根據(jù)已知易證NC。。'=90°,然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：作點(diǎn)D關(guān)于48的對(duì)稱點(diǎn)為￡>',連接。C,OD,OD',CD',交AB于點(diǎn)E,

：.CE+DE=CE+D'E=CD',

\'ZCAB=30°,

...NCO2=2NC4B=60°,

為我的中點(diǎn)，

：.CD=DB,

"：DB=BD',

：.CD=DB=DB',

：.ZCOD=ZDOB=ZBOD'=30°,

J.ZCOD'=90°,

VAB=2,

AOC=OD'=1,

CD'=70c2+OD'Z=Vl2+l2=V2,

.?.CE+OE最小值為：V2,

故選:B.

【變式5-3］（2022?杏花嶺區(qū)校級(jí)三模）如圖，矩形ABCD中，AB=|,BC=AB2,E為射線8A上一動(dòng)點(diǎn),

連接CE交以BE為直徑的圓于點(diǎn)”，則線段。“長(zhǎng)度的最小值為7.

---4---

【分析】取BC的中點(diǎn)G,連接①/,HG,DG.解直角三角形求出GH,DG,根據(jù)DHeOG-GH即可

判斷.

【解答】解：取BC的中點(diǎn)G,連接BH,HG,DG.

???四邊形A8CD是矩形，

OQ

：.AB=CD^~,BC=AB2=ZDCG=90°,

24

?；CG=BG=29,

8

：.DG=yJCD24-CG2=J(|)2+(^)2=￡，

?:BE是直徑，

；?NBHE=NBHC=9U°,

?;BG=GC,

1Q

：.HG=-BC=

28

■:DH及DG-HG,

：.DH>

884

J077的最小值為"

4

故答案為

4

【題型6圓周角中的證明】

【例6】(2022秋?定陶區(qū)期末)如圖1.在。。中A8=AC,/AC8=70°,點(diǎn)E在劣弧左上運(yùn)動(dòng)，連接

EC,BE,交AC于點(diǎn)?

(I)求NE的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到使BE,AC時(shí)，連接AO并延長(zhǎng)，交BE于點(diǎn)、D,交BC于點(diǎn)G,交。。于點(diǎn)依

據(jù)題意在備用圖中畫出圖形.并證明：G為。M的中點(diǎn).

A

備用圖

【分析】（1）求出/A=40°,利用圓周角定理解決問題即可;

（2）證明BGLDM,利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明即可.

【解答】（1）解：如圖1中，-：AB^AC,

：.ZABC=ZACB=yO°,

.\ZBAC=180°-2X70°=40°,

?弧叱=弧8。,

：.ZBEC=ZBAC=40°；

（2）證明：依據(jù)題意畫圖如下:

圖2

連接CM.

\'AB=AC,

：.AB=AC,

5L'：AM=AM,

：.BM=CM,

：.BM=CM,AMIBC,ZBAM=ZCAM=20°,

：.ZMBC^ZCAM^20°,

"：BE±AC,AMIBC,

：.ZBGD=ZAFD=90°,

；.NBDG=NADF=70°,

"：AB=AB,

：.ZBMA=ZACB^10°,

:./BMA=NBDG=10°,

:.GD=GM,即點(diǎn)G為。M的中點(diǎn).

【變式6-1](2022春?金山區(qū)校級(jí)月考)已知為。。的直徑，A、8為。O上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為劣弧A8中

點(diǎn)，連接ZM、BA,AC,且NB=30°.

(1)求證：ZZ>=30°；

(2)F、G分別為線段CD、AC上兩點(diǎn)，滿足。P=AG,連接AF、OG,取0G中點(diǎn)H,連接C”，請(qǐng)猜

測(cè)AP與C8之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)利用圓周角定理證明即可；

(2)結(jié)論：AF=2CH.延長(zhǎng)。C到T,使得CT=CO,證明△CGTgZX。朋(SAS'),推出AP=GT,再

利用三角形中位線定理證明.

【解答】(1)證明：?.?/ABC=30°,

又；ND=NABC,

；./。=30°；

(2)解：結(jié)論：AF=2CH.

理由：延長(zhǎng)DC到T,使得CT=CO.

VZAOC=2ZABC=60°,OA=OC,

...△AOC是等邊三角形，

AZACO=ZAOC^6Q°,AC=OA=OC,

ACT=OC=OA,ZAOF=ZGCT=120°,

9：OA=AC,DF=AG,

：.OF=CG,

在△CGT和△(?孫中，

CG=OF

乙GCT=乙4。h

CT=OA

：./\CGT^/\OFA(SAS),

：.AF=GT,

?：OH=HG,OC=CT,

：.GT=2CH,

：.AF=2CH.

【變式6-2］（2022?武漢）如圖，以AB為直徑的。。經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)C,AE,BE分別平分NA4C和N

ABC,AE的延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)。，連接8D

（1）判斷△8DE的形狀，并證明你的結(jié)論；

【分析】（1）由角平分線的定義可知，/BAE=NCAD=/CBD,NABE=NEBC,所以/BED=/DBE,

所以BD=ED,因?yàn)锳8為直徑，所以NAZ）3=90°,所以是等腰直角三角形.

(2)連接OC、CD、OD,。。交BC于點(diǎn)￡因?yàn)?D8C=/CAO=/8AD=/BCD.所以BD=OC.因

為OB=OC.所以0。垂直平分BC.由是等腰直角三角形，BE=2y/10,可得2。=2強(qiáng).因?yàn)?/p>

OB=OD=5.設(shè)。尸=3貝UDF=5-t.在RtABOF和RtZXBDF中，52-產(chǎn)=(26)2-(5-?)2,解

出t的值即可.

【解答】解：(1)△2DE為等腰直角三角形.理由如下：

'：AE平分/BAC,BE平分/ABC,

:./BAE=/CAD=/CBD,/ABE=/EBC.

,：ZBED=ZBAE+ZABE,ZDBE=ZDBC+ZCBE,

：./BED=/DBE.

：.BD=ED.

'：AB為直徑，

ZA￡>B=90o

???ABDE是等腰直角三角形.

另解：計(jì)算/AEB=135。也可以得證.

(2)解：連接OC、CD、OD,0D交BC于點(diǎn)F.

,：ZDBC=ZCAD=ZBAD=ZBCD.

：.BD=DC.

'：OB=OC.

...0。垂直平分8C.

?..△BDE是等腰直角三角形，B￡=2V10,

：.BD=2>j5.

"：AB=]O,

：.OB=OD=5.

設(shè)。尸=3則。尸=5-f.

在Rt/XBOF和Rt/XBD尸中，52-r=(2西)2-(5-?)2,

解得t=3,

：.BF=4.

：.BC=8.

另解：分別延長(zhǎng)AC,8D相交于點(diǎn)G.則△M8G為等腰三角形，先計(jì)算AG=10,BG=4乘,AD=4^,

再根據(jù)面積相等求得BC.

【變式6-3](2022?南召縣四模)閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：

阿基米德是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對(duì)于了

解古希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個(gè)科技史都是十分寶貴的.其中論述了阿基米德折弦定理：

從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦.一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的

弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn).

如圖1,和BC是。。的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BOAB.M是弧ABC的中點(diǎn)，則從M

向8C所作垂線之垂足。是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD.

小明認(rèn)為可以利用“截長(zhǎng)法”，如圖2：在線段CB上從C點(diǎn)截取一段線段CN=AB,連接MA,MB,

MC,MN.

小麗認(rèn)為可以利用“垂線法”，如圖3：過點(diǎn)M作于點(diǎn)H,連接AM,MB,MC.

任務(wù)：(1)請(qǐng)你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書寫出證明過程.

(2)就圖3證明：MC2-MB-=BC'AB.

【分析】(1)截長(zhǎng)法：首先證明△MBA絲△MNC(SAS),進(jìn)而得出再利用等腰三角形的性

質(zhì)得出8。=而，即可得出答案；

垂線法：證明四△COM(A4S),推出AH=CD,再證明RtZYBAW?四△HMD(HL),

推出可得結(jié)論；

(2)由(1)可知，AC=AM,BH=BD,AH=CD,整理等式即可證得結(jié)論.

【解答】(1)截長(zhǎng)法：

證明：如圖2,在C8上截取CN=A3,連接MA,MB,MC和MN.

?二M是麗的中點(diǎn)，

：.MA=MC,

在和△MGC中，

BA=NC

△A="，

.MA=MC

：.AMBA^AMGC(SAS),

：.MB=MG,

又??,MZ)_LBC

:?BD=GD,

：.CD=GC+GD=AB+BD；

垂線法：

證明：如圖3,過點(diǎn)〃作又〃，45于點(diǎn)〃，連接M4,MB,MC,

???M是雁的中點(diǎn)，

：.AM=CM,

?：MH1AH,MDLBC,

：.ZH=ZCDM=90°,

ZA=ZC,

在和△COM中，

2H="DM

Z.A=Z.C,

AM=CM

：.AAHM^ACDM(A4S),

:.MH=DM,AH=CD,

VZH=ZBDM=90°,BM=BM,

(HL),

:?BH=BD,

CD=AH=AB+BH=AB+BD；

（2）在Rt/XAHM中，AM2=AH2+MH2,

在中，BM2^BH2+MH2,

由（1）可知，AC=AM,BH=BD,AH=CD,

C.MC1-MB^AM2-MB1=AH2+HM2-BH

【題型7圓周角中的多結(jié)論問題】

【例7】（2022?蘭陵縣二模）如圖，在。。中，是。。的直徑，AB=10,AC^CD=DB,點(diǎn)￡是點(diǎn)。

關(guān)于A3的對(duì)稱點(diǎn)，M是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：

①N8OE=30°；②/DOB=2NCED；③。M_LCE；④CM+OM的最小值是10,上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)

【分析】①錯(cuò)誤，證明NEOB=/3OO=60°即可；

②正確.證明NCE￡）=30°,可得結(jié)論；

③錯(cuò)誤，"是動(dòng)點(diǎn)，。加不一定垂直CE；

④正確，連接EM,證明推出MC+MD=MC+MEeCE=10,可得結(jié)論.

【解答】M：'.'AC=CD=DB,

：.ZAOC=ZCOD=ZDOB=6Q°,

'：E,。關(guān)于AB對(duì)稱，

：.ZEOB=ZBOD=60°,故①錯(cuò)誤，

-1

a

VZCED=-2ZCOD=30,

：.ZDOB=2ZCED,故②正確，

是動(dòng)點(diǎn)，

二?！安灰欢ù怪盋E,故③錯(cuò)誤，

連接

則ME=MD,

CM+DM=MC+ME^CE=10,故④正確,

【變式7-1]（2022秋?淅川縣期末）如圖，已知：點(diǎn)A、B、C、。在0O上，AB=CD,下列結(jié)論：①/

AOC=/BOD；②/BOD=2NBAD；?AC^BD；④NCAB=NBDC；⑤NCAO+NCDO=180°.其中

正確的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理和圓心角、弧、弦之間的關(guān)系逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：：42=CD

：.CBD=BCA,

：.AC=BD,

：.ZAOC=ZBOD,故①正確；

?圓周角/BAD和圓心角ZBOD都對(duì)著皿，

/.ZBOD=2ZBAD,故②正確；

'：AC=BD,

C.AC^BD,故③正確;

?.,圓周角NC48和ZBDC都對(duì)著我,

：.ZCAB=ZBDC,故④正確;

延長(zhǎng)。。交。。于M,連接AM,

：。、C、A、M四點(diǎn)共圓，

：.ZCDO+ZCAM=180°（圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)），

'：ZCAM>ZCAO,

：.ZCAO+ZCDO<1SO°,故⑤錯(cuò)誤；

即正確的個(gè)數(shù)是4個(gè)，

故選：C.

【變式7-2]（2022秋?廈門期末）在△ABC中，AB=AC,以A8為直徑的。。交BC邊于點(diǎn)D要使得。。

與AC邊的交點(diǎn)E關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)在線段OA上（不與端點(diǎn)重合），需滿足的條件可以是3

④.（寫出所有正確答案的序號(hào)）

①/8AC>60°；②45°<ZABC<6Q°；③B。〉/&?^AB<DE<^-AB.

【分析】結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)及圓周角定理對(duì)所給條件逐個(gè)進(jìn)行分析判斷.

【解答】解：在△ABC中，AB=AC,

①當(dāng)/BAC>60°時(shí)，若NBAC=90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，不符合題意，故①不滿足；

②當(dāng)NABCW45。時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，不符合題意，

當(dāng)NABC260°時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)。不關(guān)于4D對(duì)稱，

當(dāng)45°<ZABC<60°時(shí)，點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在線段OA上，故②滿足條件；

③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E關(guān)于直線A。的對(duì)稱點(diǎn)在線段OA上，故③不滿足條件；

④|42<1）后〈當(dāng)48時(shí)，點(diǎn)“關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)在線段OA上，故④滿足條件；

故答案為：②④.

【變式7-3]（2022秋?東臺(tái)市月考）如圖，是。。的直徑，C,。是。。上的點(diǎn)，MOC//BD,AD與

BC,0c分別相交于點(diǎn)E,F,則下列結(jié)論：?AD±BD；?ZAOC=ZAEC；③CB平分NABD；?AF

=DF；⑤LCEFmNBED.其中一定成立的結(jié)論是①③④.（填序號(hào)）

【分析】①由直徑所對(duì)圓周角是直角，

②由于/AOC是。。的圓心角，/AEC是。。的圓內(nèi)部的角，

③由平行線得到/OCB=ZDBC,再由同圓的半徑相等得到結(jié)論判斷出/O8C=/DBC；

④用半徑垂直于不是直徑的弦，必平分弦；

⑤得不到△CEP和△8即中對(duì)應(yīng)相等的邊，所以不一定全等.

【解答】解：①是。。的直徑，

Z.ZADB=90°,

：.AD±BD,

故①正確；

(2)ZAEC=ZABC+ZA,ZAOC=ZABC+ZC,

根據(jù)圖形及已知不能推出/C=ZA,

/AOCWZ.AEC,

故②不正確；

③：OC//BD,

：.ZOCB=ZDBC,

\'OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC,

：.ZOBC=ZDBC,

平分/ABD

故③正確；

④是。。的直徑，

Z.ZADB=90°,

：.AD±BD,

'：OC//BD,

：.ZAFO=90°,

:點(diǎn)。為圓心，

：.AF=DF,

故④正確；

⑤「△CE尸和△BED中，沒有相等的邊，

，/\CEF與△BED不全等，

故⑤不正確；

綜上可知：其中一定成立的有①③④，

故答案為：①③④.

【題型8構(gòu)造圓利用圓周角解決三角形或四邊形中的問題】

【例8】(2022春?杏花嶺區(qū)校級(jí)月考)如圖，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,0),(3,0),點(diǎn)C在y

A.(0,7)B.(0,2V10)C.(0,6)D.(0,3付

【分析】在x軸的上方作等腰直角△ABF,FB=FA,ZBAF=90°,以尸為圓心，剛為半徑作。尸交y

軸于首先證明點(diǎn)C即為點(diǎn)根據(jù)尸C=誓，構(gòu)建方程即可解決問題.

【解答】解：在x軸的上方作等腰直角△42RFB=FA,ZBAF^90°,以P為圓心，物為半徑作。尸

點(diǎn)C即為點(diǎn)

VA(-2,0),B(3,0),△ABB是等腰直角三角形,

：.F(-,-),FA^FB=FC=―,設(shè)C(0,m),

222

則斗(|-加)]=(爭(zhēng)之,

解得m=6或-1（舍棄），

：.C（0,6）,

故選：C.

【變式8-1］（2022秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在四邊形4BC。中，若/A8C=112°,貝U/AOC

=124。.

【分析】根據(jù)AB=BD=BC得出A、。、C在以B為圓心，以AB為半徑的圓上，作圓周角/AEC,根據(jù)

圓周角定理得出NE=|zABC=56°,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出/Ar>C+NE=180°,再求出答案即

可.

【解答】解：：AB=B￡）=BC,

；.A、D、C在以B為圓心，以A3為半徑的圓上，

如圖，作圓周角/AEC,

VZABC=112°,

.\Z￡=-zABC=56°,

2

四邊形ADCE是。6的圓內(nèi)接四邊形,

AZADC+