廣東省茂名市高州市2024年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

廣東省茂名市高州市2024年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

1.已知集合力={x\x2+2x—8<0},B-{x\\x\<2},則力nB=（）

A.（—4,—2）B.（—2,2）C.[—2,2）D.[—2,2]

2.已知2=?。╥為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)Zi-Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

l+l

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

1n

3.已知xHO,neN*,則"=8”是"（2久3+》的二項展開式中存在常數(shù)項”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.Gompertz曲線用于預(yù)測生長曲線的回歸預(yù)測，常見的應(yīng)用有：代謝預(yù)測，腫瘤生長預(yù)測，有限區(qū)

域內(nèi)生物種群數(shù)量預(yù)測，工業(yè)產(chǎn)品的市場預(yù)測等等，其公式為：〃吟=上心一（其中k>0,b>0,a

為參數(shù)）.某研究員打算利用該函數(shù)模型預(yù)測公司新產(chǎn)品未來的銷售量增長情況，發(fā)現(xiàn)a=e.若％=

1表示該新產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量，估計明年（％=2）的產(chǎn)量將是今年的e倍，那么b的值為（e為自然數(shù)對

數(shù)的底數(shù)）（)

A.底TB.^1+1C.V5-1D.V5+1

2

5.已知cos(a+71)=-2sina,則空H竺竺邊竺=()

cos2a+l

A.-1B.-jC.JD.Z

55o

6.已知7n為正項數(shù)列{%}的前n項的乘積，且的=2,加=端+1，則。5=（）

A.16B.32C.64D.128

7.已知橢圓斗+與=l（a>b>0）的左、右焦點分別為BA直線，：y=質(zhì)（八0）與橢圓交于4B

ab

兩點，直線AB與橢圓交于另一點。，若直線4。與BO的斜率之積為-木則橢圓的離心率為（）

A.1B.在C.|D.西

2242

8.曲線y=仇%與曲線y=/+2。%有公切線，則實數(shù)。的取值范圍是（）

1111

A.（—8,—]]B.[―矛+8）C.（—00^—]D.[―,+oo）

9.已知圓C:/+y2-2%-2y—3=0,貝!J（）

A.圓。的圓心坐標為（一1,一1）

B.圓。的周長為2遍兀

C.圓M:(X+3)2+(y+1)25與圓C外切

D.圓C截y軸所得的弦長為3

10.中秋節(jié)起源于上古時代，普及于漢代，定型于唐代，如今逐漸演化為賞月、頌月等活動，以月

之圓兆人之團圓，為寄托思念故鄉(xiāng)，思念親人之情，祈盼豐收、幸福，成為豐富多彩、彌足珍貴的

文化遺產(chǎn).某校舉行與中秋節(jié)相關(guān)的“中國傳統(tǒng)文化”知識競賽，隨機抽查了100人的成績整理后得

到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（）

B.樣本的71%分位數(shù)為75

C.樣本的平均值為68.5

D.該校學(xué)生中得分低于60分的約占20%

11.已知函數(shù)/（%）定義域為R,且/（久+2）+/（久）=0,/（2久+1）為偶函數(shù)，則下面一定成立的是

（）

A./（久）是奇函數(shù)B./（2024）=1

C./（%）的圖象關(guān)于x=1對稱D.2%：f（k）=2024

12.如圖，已知圓錐頂點為P,其軸截面APAB是邊長為2的為等邊二角形，球。內(nèi)切于圓錐（與圓

錐底面和側(cè)面均相切），Q是球。與圓錐母線PB的交點，M是底面圓弧上的動點，則（）

A.球。的體積為罌兀

B.三棱錐4-QBM體積的最大值為年

C.MA+MQ的最大值為3

D.若M為48中點，則平面PMQ截球。的截面面積為?

13.有一座六層高的商場，若每層所開燈的數(shù)量都是下面一層的兩倍，一共開了1890盞，則底層所

開燈的數(shù)量為________盞.

14.如圖，AZBC在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，則荏.前=.

15.已知雙曲線c：/—專=i，直線，:y=-+1分別與C的左、右支交于此N兩點，。為坐標原

點，若AOMN的面積為①，則直線/的方程為.

16.已知函數(shù)/(%)的圖象過點(0,1),其導(dǎo)函數(shù)/=4cos(2久+0)(4>0,0<(p<￡)的圖象如圖所

示,若函數(shù)/(及)=l(t>0)在［0,兀］上有且僅有兩個零點，則實數(shù)t的取值范圍為.

17.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且加譏(B+C)=as譏華.

(1)求B的大小;

(2)若。是4C邊的中點，且BD=2,求△ABC面積的最大值.

18.已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，且S5=S4+S3,2a3n-3a2n=1,nGN*.

(1)求數(shù)列｛a"的通項公式；

(2)求數(shù)列｛昆+1｝的前ri項和7n.

19.近幾年，隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革孕育興起，新能源汽車產(chǎn)業(yè)進入了加速發(fā)展的階段,

我國的新能源汽車產(chǎn)業(yè)，經(jīng)過多年的持續(xù)努力，技術(shù)水平顯著提升、產(chǎn)業(yè)體系日趨完善、企業(yè)競爭

力大幅增強，呈現(xiàn)市場規(guī)模、發(fā)展質(zhì)量“雙提升”的良好局面.某汽車廠為把好質(zhì)量關(guān)，對送來的某

個汽車零部件進行檢測.

(1)若每個汽車零部件的合格率為0.9,從中任取3個零部件進行檢測，求至少有1個零部件是

合格的概率；

(2)若該批零部件共有20個，其中有4個零部件不合格，現(xiàn)從中任取2個零部件，求不合格零

部件的產(chǎn)品數(shù)X的分布列及其期望值.

20.如圖，在三棱柱4BC-&B1Q中，AB1BC,AB=BC=V2,BB、=顯,1平面ABC,N

為&Bi的中點，M為線段4C上的動點.

(1)當M為中點時，求證：||平面BCQBj

(2)當CM=機寸，求直線MN與平面BQM所成角的正弦值.

21.已知拋物線C:y2=2p%(p>0),F為拋物線的焦點，P,Q其為準線上的兩個動點，且PF1

QF.當|PF|=2|QF|時，\PQ\=5.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)若線段分別交拋物線C于點4B,記APQF的面積為Si，AABF的面積為S2,當S1=

9s2時,求|PQ|的長.

22.設(shè)函數(shù)/■(久)=e*+asin%,xG［0,+oo).

(1)當a=-l時，/(x)Nb久+1在［0,+8)上恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；

(2)若a>0JO)在［0,+8)上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍.

答案解析部分

L【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】B,C

10.【答案】A,C

11.【答案】A,C

12.【答案】A,C,D

13.【答案】30

14.【答案】9

15.【答案】y=+V2x+1

16.【答案】6，1）

-77__RB

17.【答案】（1）解：???4+B+C=兀，???sinA=sin^B+C）,???bsinA=asinCLCOS2,

???由正弦定理可得sinBsi兀4=sinAco

,.BB.BB....B

???sinBn=2nsui2cos2，-*?LSITI-^COS-^sinA=sinAcos-^--

sinAH0,cos,W0,:.sin號=艮吟=看，即B=茶

（2）解：依題意,S^ABC—^acsinB=^-ac-

因為|瓦5+前|=2|前I，所以|瓦？+前|=4，（瓦？+近）2=16，

1二

所以。2+a2+ac=16>3ac,ac<丁，

ABC面積的最大值為,x竽x孚=孥.

18.【答案】（1）解：?.?數(shù)列是等差數(shù)列，記其公差為小

5%+竽（/=4（11+竽&+3。1+等必=

2a1=d,今/Q]=1

由題意知—+d=l(d=2

、2［。1+（3九一1）由一3［。1+（2幾-1）磯=1,

所以tin=1+(n-1)'2=2n—1；

(2)解.??On+1-Sn+「Sn_1____1__J------+------+----------------1_=J__

用牛.?Q9l

'乙，c-cc-ccncc'dcdc''cdcc

3幾3rl+i3713rl+i3九+i,223)九n+l

]

S/i+i

_（l+2n-l）n_7^=1——

,%-2-n2；"0+1產(chǎn)

19.【答案】（1）解：記“檢測出至少有1個零部件是合格品”為事件4

則P(4)=1-P(3)=1-(1-0.9)3=0.999；

（2）解：由題意可知，隨機變量X的可能取值為0,1,2,

11

C16c4323

=-----==

2952)

2O95

所以隨機變量X的分布列為

X012

1232_3_

199595

廠?、c12,32,r338

E(X)=°X西+14X無+2X免=謳=

20.【答案】（1）證明：如圖，在平面ABC內(nèi)作CZ的垂線CD,「BiCl平面4BC,4C,BrC,DC兩

依題意，以C為坐標原點，分別以方，而，國為久,y,z軸正方向建立空間直角坐標系.

AB1BC,AB=BC=立,：.AC=>JBA2+BC2=2.

2

???BCu平面ABC,BiCJ?平面ABC,??.BiCIBC,BXC=\BB\-BC=2.易知4(2,0,0),B(l,1,0)，

.?.當M為4c中點時，點M的坐標為(1,0,0)，Bi(0,0,2),QC-1,-1,2).

AA^=西,.?.點Ai的坐標為(0。2)-(1,1,0)+(2,0,0)=(1,—1,2).

二Ng,-2(2)-AB—(—1,1,0)，MN-(—2)?

???ABu平面ABC,/Cl平面ZBC,BXCVAB.

又力B1BC,BCCB]C=C,BC,BRu平面BCC/i,：.ABL^^BCC1B1.

■.■AB-'MN=0,MN||平面BCC/i；

(2)解:M(|,0,0),則而=(—[_.,2),MB=(1,l,0),~MC1=

設(shè)平面BCiM的法向量為記=（a,b,c）.

-^a+b=0,(a=3,

5令a=3,貝I」b=—l,,.??訪=(3,-L2).

一可。-b+2c=0,、c=2.

設(shè)直線MN與平面3clM所成的角為a.

由題意可得s出a=|c°s優(yōu)而）|=/耦24=12VT1

V154X/14—77

21?【答案】（1）解：設(shè)支軸與準線的交點為M.

???PF1QF,.?.當|PF|=2|QF|時，tan乙PQF=2=tan^AFM,

：.\PM\=2\MF\,\MF\=2\MQ\.

：.\PQ\=\PM\+\MQ\=|\MF\=5\MF\=2=p，

???拋物線C的標準方程為y2=4x；

(2)解：依題意，直線AB的斜率不為0,

二設(shè)直線48的解析式為久=ky+b,4(久1，%)，B(x2,y2)-

聯(lián)立j匕7華〃消去久，得y2_4ky_4b=0.+刈=曲，為當=一如

Lx—Ky十ut

由同-FB=0可得(%1-1,%)，(比2-1，丫2)=。，二(久1一1)(%2-1)+為為=。，整理得反一6b+

1=4/c2.①

易知直線ZF的解析式為y=1),???力二言.同理，為=音.

?.-S1=9S2,.-.\PF\-\QF\=9\AF\-\BF\,即需=9X掰，.??募=等

...符=9,.走層1_夕fa-IK%-D=%即—含=9,?,?=：

y

丫1，2,,yry2~(%1T乂％2刀'1729

=22

???\yr—y2l+丫2)2-4yly2=V16/c+166=V4Z?—8b+4=導(dǎo).

-2%-2y2%仍-2次為+2為-2y2

附「班一如一以二1一以二Ij（修―1）（%2—1）1

1

,（必為―2）（y「及），”,64

=1―=7石-----1=4|九一丫21=5

22.【答案】（1）解：當a=—1時，/（%）=e比一s譏%，，轉(zhuǎn)化為e"-bx—s譏％—1之0,在［0,+8）上

單調(diào)遞增.

令八(久)—ex—bx—sinx—1,■,■/i'(久)—ex—cosx—b.

若bWO,則％'(久)N0在［0,+8)上恒成立，/i(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，故/i(x)?八(0)=0,符合題

忌；

若b>0,令函數(shù)m(%)=ex-cosx-b,則TH'(%)=ex+sinx>0在［0,+8)上恒成立，

?,?根(%)在［0,+8)上單調(diào)遞增，m(0)=-b<0,且當％7+8時，g(%)—+8.

???3x0e(0,+8),g(%o)=o,故當久e(O,%o)時，h(x)=m(x)<0，/(%)單調(diào)遞減，

當%G(%o,+8)時，九'(%)=m(x)>0，hQ)單調(diào)遞增，貝!J/iQo)</i(0)=0,不符合題