2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圓錐曲線的基本問題-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-圓錐曲線的基本問題-專項(xiàng)訓(xùn)練

一、基本技能練

1.雙曲線>2—2/=1的離心率是（）

A.日B乎

C，V3D.小

2.設(shè)經(jīng)過點(diǎn)網(wǎng)1,0）的直線與拋物線y2=4x相交于A,3兩點(diǎn).若線段A3中點(diǎn)的橫

坐標(biāo)為2,則|A3|=（）

A.4B.5

C.6D.7

3.已知點(diǎn)R為拋物線y2=2px（/?>0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且橫坐標(biāo)為8,。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，若△。儀的面積為2W，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）

A.x=—；B.x=—1

C.x——2D.x=~4

22

4.“1<左<5”是方程表示橢圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知雙曲線C：/—彘=l（a>0,。>0）的一條漸近線與x軸正半軸所成夾角為全

則C的離心率為（）

A羊B.2

C.小D.3

6.直線尸質(zhì)（Q0）與雙曲線C：點(diǎn)一營(yíng)=l（a>0">0）在第一、第三象限分別交于P,

Q兩點(diǎn)，F(xiàn)2是C的右焦點(diǎn)，有舊冏：|。巴=1：小,且PF2±QF2,則C的離心

率是（）

A.4B.加

C.V3+1D.V6+1

V2

7.已知橢圓V：7+丁2=1伍＞1）的中心為。，過焦點(diǎn)R的直線/與〃交于A,3兩

點(diǎn)，線段AR的中點(diǎn)為P,若[0尸|=|尸網(wǎng)=苧，則M的方程為（）

A.y+y2=1B.y+j2=1

22

C.^;+y2=lD.y+y2=1

22

8.已知B,仍分別為雙曲線x”一v方=1（。＞0,。＞0）的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過八的直線

/與雙曲線的右支交于A,3兩點(diǎn)，△ABR2的內(nèi)切圓半徑為n,△3后八的內(nèi)切

圓半徑為『2,若廠1=2廠2,則直線/的斜率為（）

A.lB.y[2

C.2D.2V2

9.（多選）已知橢圓C：j+^=1的左、右焦點(diǎn)分別為為C上一點(diǎn)，則（）

A.C的離心率為￥B.ZXPRiB的周長(zhǎng)為5

C.ZFIPF2＜90°D.1W|PB|W3

10.（多選）設(shè)拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F準(zhǔn)線為/,點(diǎn)"為C上一動(dòng)點(diǎn)，EG，

1）為定點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）

A.準(zhǔn)線/的方程是y=一2

B.以線段MR為直徑的圓與y軸相切

C.|ME|+|Mb|的最小值為5

D.|ME|一|沏的最大值為2

11.已知拋物線V=2px的準(zhǔn)線方程為x=—1,則p=.

12.已知雙曲線C：最=1（。＞0,。＞0）的離心率為小，且其虛軸長(zhǎng)大于1,則雙

曲線C的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程可以為.

二、創(chuàng)新拓展練

13.（多選）已知雙曲線C：最一^=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為A,F2,左、

右頂點(diǎn)分別為Ai,A2,點(diǎn)P是雙曲線C上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，貝1]（）

—|BM=2a

B.若焦點(diǎn)仍關(guān)于雙曲線C的漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在C上，則C的離心率為小

C.若雙曲線C為等軸雙曲線，則直線以1的斜率與直線以2的斜率之積為1

7?

D.若雙曲線。為等軸雙曲線，且/4必2=3/心加，則/心也=而

14.（多選）已知橢圓C：5+5=15>。>0）左、右焦點(diǎn)分別為八，仍，點(diǎn)P為C上

任意一點(diǎn)，△PAE的內(nèi)切圓的圓心為/,圓/與PA的切點(diǎn)為M,P/與x軸的交

點(diǎn)為N,則以下結(jié)論正確的有（）

A.而1.隋有最大值a2

B.內(nèi)切圓/面積有最大值一^箸「

十c）-

C.若『加|=3八理，則橢圓C的離心率為g

D.若/人尸尸2二手，則兩|+]^^=兩

15.設(shè)點(diǎn)A,B分別為橢圓C：9+y2=i的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)p是橢圓。上任意一

點(diǎn)，若使得赤I?而2=機(jī)成立的點(diǎn)恰好是4個(gè)，則實(shí)數(shù)m的一個(gè)取值可以為

16.已知g是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且NBPR2

=1，設(shè)橢圓、雙曲線的離心率分別為ei,n,則e，+e珀勺最小值為.

參考答案與解析

一'基本技能練

L答案B

27

解析雙曲線方程化為亍一亍=1,

2

則次=1,^2=1,

從而e=q1+*=坐’故選B.

2.答案C

解析因?yàn)閽佄锞€為尸=4羽所以2=2,

設(shè)A,3兩點(diǎn)橫坐標(biāo)為xi,以，

因?yàn)榫€段A3中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,

則X1”X2=2即XI+X2=4,

故|AB|=xi+x2+p=4+2=6,故選C.

3.答案B

解析由拋物線的方程可得堀，0),

不妨設(shè)尸在x軸上方，則y2=22X8,可得孫=46，

則SAOFP=5|OF|M=]Xgx4g=2也，解得p=2,

所以準(zhǔn)線方程為x=—?=—1,故選B.

4.答案B

72

解析因?yàn)樽?3時(shí)，六+產(chǎn)7=1表示圓，故充分性不成立.

k—15~k

72

若—+=J=1表示橢圓，

fk-1＞0,

則＜5-左＞0,

【左一1W5—k,

l<k<5且左W3,...必要性成立.

22

故"1<左<5”是“方程六十占■=：!表示橢圓”的必要不充分條件.故選B.

K—15~k

5.答案A

解析雙曲線C的漸近線方程為尸±自，

所以，=^=霏=\11+管=半，故選A.

6.答案C

解析由對(duì)稱性可知四邊形PR1QR2為平行四邊形,

又由PF2±QF2得四邊形PFiQFo為矩形，

：.\PQ\=\FIF2\=2C,

xm:\QF2\=I：小,

：.\QF2\-\PF2\=(y[3-l)c=2a,

?,子=#+1,故選C,

7.答案B

解析不妨設(shè)R為橢圓〃的右焦點(diǎn)，則其左焦點(diǎn)為連接AB,

:0為FFi中點(diǎn)，尸為AR中點(diǎn).

：.0P為的中位線.

：.\AFi\=2\OP\=y[3,\AF]=2\PF\=y[3.

：.\AFy\+\AF]=2y[3=2a,：,a=y[3.

橢圓〃的方程為曰+V=i,故選B.

8.答案D

解析記△ABB的內(nèi)切圓圓心為C,

ABF1F2的內(nèi)切圓圓心為。，

邊AFi,AF2,R1R2上的切點(diǎn)分別為M,N,E,

易知C,E橫坐標(biāo)相等，HMTANI，\FiM\=\FiE\,|尸訓(xùn)=|尸2月,

I

由|ARi|一|A尸2|=2a,

即\AM\+\MF\\-(HN+INBI)=2a,得|一|NRi|=2a,

即|尸田一|尸2E|=2a,記C的橫坐標(biāo)為xo,則E(xo,0),

于是xo+c—(c—xo)=2a,得xo=a,

同樣圓心。的橫坐標(biāo)也為a,則有軸，

設(shè)直線/的傾斜角為仇則N。正2。=亨，NCF2O=90。一?

在△CEF2中，tanNCF2O=tanf90°—^)=.21,,

V乙J|七小2|

由m=2及，可得2tan?=tan(90°-=

解得tan|=乎,

2tan^

則直線I的斜率為tane=-----1='=2/，故選D.

1—tan2^1—

9.答案CD

解析對(duì)于A,由橢圓方程知：a=2,0=44—3=1,

「1

離心率e=,=1,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由橢圓定義知：\PFi\+\PF2\=2a=4,\FIF2\=2C=2,

...△PBB的周長(zhǎng)為4+2=6,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)尸為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，

/F1PF2cV3

tan2b~3，

/F1PF2

2tan2

tanZFiPF2=---------Z/F口iP口Fi=

1—tan-----------

??.ZF1PF2=6O°,SP(ZFlPF2)max=6O0,

：,ZF1PF2<9O°,C正確;

對(duì)于D,?|PFl|min=a—C=1,

|max=。+C=3,

，1W|P尸i|W3,D正確.

故選CD.

10.答案BC

解析拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)為"2,0),

準(zhǔn)線為Z：x=—2,故A錯(cuò)誤；

設(shè)n),MR的中點(diǎn)為N,可得|沏=機(jī)+2=2?一一，

即N到y(tǒng)軸的距離是|MF|的一半，

則以線段為直徑的圓與y軸相切，故B正確；

設(shè)〃在準(zhǔn)線上的射影為H,i\ME\+\MF]=\ME\+\MH\,

當(dāng)E,M,H三點(diǎn)共線時(shí)，|ME|十|MH|取得最小值，為3+2=5,故C正確;

由|ME|-|MF|W|EF|,當(dāng)/為ER的延長(zhǎng)線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，

取得最大值|班，為7(3—2)2+(1—0)2=&,故D錯(cuò)誤.

故選BC.

11.答案2

解析產(chǎn)=2內(nèi)準(zhǔn)線方程為戶一多

則一2=一1':?p=2.

12.答案％2一］=1（答案不唯一）

解析依題意，不妨取6=2,

;小，

由題意可得＜b=2,

解得〃=1,b=2,c=yj~5.

所以滿足題設(shè)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程為X2—9=1.

二、創(chuàng)新拓展練

13.答案BCD

解析對(duì)于A：在△心92中，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,

故||必1|一|必2||＜發(fā)加|=2①故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,焦點(diǎn)R2（C,0）,漸近線不妨取

b口已

y="x,即bx~ay=0,

設(shè)焦點(diǎn)b2關(guān)于雙曲線。的漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為⑺，〃），

m-rcn

bX--——aX-=09

m—

即仍關(guān)于雙曲線。的漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為B/,制，

（次一片）2（）2

由題意該對(duì)稱點(diǎn)在雙曲線上，故/_2黑ab=1,

將理=次+戶代入,化簡(jiǎn)整理得3砂2_而4=0,即/=4次,

所以e=N1+不=、5,

；=小,故B正確；

對(duì)于C：雙曲線C為等軸雙曲線，

即C：x2—y2=a2(a>0),

設(shè)P(xo,yo)(yoWO),則需一>8=/,

所以x^—a2=yi,

故左B4i內(nèi)出2=々故C正確；

xo~\-axo—ax6-a

對(duì)于D：雙曲線為等軸雙曲線，即C：%2—y2=a2(a>0),

且/492=3/必自2,

設(shè)/必1公2=aZA1PA2=30,

則N%”=4a

根據(jù)C項(xiàng)中的結(jié)論kFAi-kPA2=l,

即有tanStan40=1,

在三角形中，只有兩角互余時(shí)，它們的正切值才互為倒數(shù)，

故。+46=3，所以。=器，即NMA2=添故D正確.故選BCD.

14.答案BCD

解析對(duì)A：PFiPF2=PO2-c2^b2,故A不正確；

S/\PF\F)be

對(duì)B：由等面積法，內(nèi)切圓/的半徑廠=—七，

a-vca-vc

兀。2c2

所以內(nèi)切圓面積有最大值。故B正確；