2025屆山東省棗莊市市中區(qū)棗莊三中高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題含解析

2025屆山東省棗莊市市中區(qū)棗莊三中高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線與雙曲線相交，則的取值范圍是A. B.C. D.2．設(shè)是雙曲線的兩個焦點，為坐標原點，點在上且，則的面積為（）A. B.3C. D.23．在空間直角坐標系中，，，若∥，則x的值為（）A.3 B.6C.5 D.44．若雙曲線的一條漸近線方程為.則（）A. B.C.2 D.45．為了了解1200名學生對學校某項教改實驗的意見，打算從中抽取一個容量為40的樣本，采用系統(tǒng)抽樣方法，則分段的間隔為（）A.40 B.30C.20 D.126．已知直線，若圓C的圓心在軸上，且圓C與直線都相切，求圓C的半徑（）A. B.C.或 D.7．已知直線過點且與直線平行，則直線方程為（）A. B.C. D.8．已知等差數(shù)列前項和為，若，則的公差為（）A.4 B.3C.2 D.19．焦點坐標為，（0，4），且長半軸的橢圓方程為（）A. B.C. D.10．等比數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.11．方程表示的曲線是（）A.一個橢圓和一個點 B.一個雙曲線的右支和一條直線C.一個橢圓一部分和一條直線 D.一個橢圓12．以下四個命題中，正確的是（）A.若，則三點共線B.C.為直角三角形的充要條件是D.若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一個基底二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的頂點為O，焦點為F，動點B在C上，若點B，O，F(xiàn)構(gòu)成一個斜三角形，則______14．設(shè)，分別是橢圓C：左、右焦點，點M為橢圓C上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標為___________15．設(shè)橢圓標準方程為，則該橢圓的離心率為______16．已知數(shù)列滿足，，若為等差數(shù)列，則___________，若，則數(shù)列的前項和為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）要設(shè)計一種圓柱形、容積為500mL的一體化易拉罐金屬包裝，如何設(shè)計才能使得總成本最低？18．（12分）已知的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大??；（2）若，，，求的長.19．（12分）已知函數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值.20．（12分）已知點，，線段是圓的直徑.（1）求圓的方程；（2）過點的直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程.21．（12分）同時拋擲兩顆骰子，觀察向上點數(shù).（1）試表示“出現(xiàn)兩個1點”這個事件相應(yīng)的樣本空間的子集；（2）求出現(xiàn)兩個1點”的概率；（3）求“點數(shù)之和為7”的概率.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面于點M連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得到，即得的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得當，即時，直線和雙曲線的漸近線重合，所以直線與雙曲線沒有公共點.當，即時，，解之得.故選：C.【點睛】本題主要考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.2、B【解析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計算即可.【詳解】由已知，不妨設(shè)，則，因為，所以點在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【點晴】本題考查雙曲線中焦點三角形面積的計算問題，涉及到雙曲線的定義，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道中檔題.3、D【解析】依題意可得，即可得到方程組，解得即可；【詳解】解：依題意，即，所以，解得故選：D4、C【解析】求出漸近線方程為，列出方程求出.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，因為，所以，所以.故選：C5、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的概念，以及抽樣距的求法，可得結(jié)果.【詳解】由總數(shù)為1200，樣本容量為40，所以抽樣距為：故選：B【點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的概念，屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】設(shè)出圓心坐標，利用圓心到直線的距離相等列方程，求得圓心坐標并求得圓的半徑.【詳解】設(shè)圓心坐標為，則或，所以圓的半徑為或.故選：C7、C【解析】由題意，直線的斜率為，利用點斜式即可得答案.【詳解】解：因為直線與直線平行，所以直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為，即，故選：C.8、A【解析】由已知，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式、通項公式列方程組求公差即可.詳解】由題設(shè)，，解得.故選：A9、B【解析】根據(jù)題意可知，即可由求出，再根據(jù)焦點位置得出橢圓方程【詳解】因為，所以，而焦點在軸上，所以橢圓方程為故選：B10、D【解析】設(shè)公比為，依題意得到方程，即可求出，再根據(jù)等比數(shù)列通項公式計算可得；【詳解】解：設(shè)公比為，因為，，所以，即，解得，所以；故選：D11、C【解析】由可得，或，再由方程判斷所表示的曲線.【詳解】由可得，或，即或，則該方程表示一個橢圓的一部分和一條直線.故選：C12、D【解析】利用向量共線的推論可判斷A，利用數(shù)量積的定義可判斷B，利用充要條件的概念可判斷C，利用基底的概念可判斷D.【詳解】對于A，若，，所以三點不共線，故A錯誤；對于B，因為，故B錯誤；對于C，由可推出為直角三角形，由為直角三角形，推不出，所以為直角三角形的充分不必要條件是，故C錯誤；對于D，若為空間的一個基底，則不共面，若不能構(gòu)成空間的一個基底，設(shè)，整理可得，即共面，與不共面矛盾，所以能構(gòu)成空間的另一個基底，故D正確.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】畫出簡單示意圖，令，根據(jù)拋物線定義可得，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合及B在C上，求目標式的值.【詳解】如下圖，令，直線為拋物線準線，軸，由拋物線定義知：，又且，所以，故，又，故.故答案為：2.【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用拋物線的定義將轉(zhuǎn)化為，再由三角函數(shù)的定義及點在拋物線上求值.14、【解析】先計算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因為M在橢圓上,.因為M在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標為.因為M為橢圓C：上一點且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標為.故答案為：15、##【解析】求出、的值，即可求得橢圓的離心率.【詳解】在橢圓中，，，則，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.16、①.##②.【解析】利用遞推關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列通項公式可求得公差，進而得到；利用遞推關(guān)系式可知數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，采用裂項相消的方法可求得前項和.【詳解】由得：，解得：；為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，解得：，；由知：數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列；，又，，數(shù)列的前項和，.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系求解數(shù)列中的項、裂項相消法求和的問題；解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)遞推關(guān)系式得到數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，由此可通過裂項相消的方法求得所求數(shù)列的和.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、當圓柱底面半徑為，高為時，總成本最底.【解析】設(shè)圓柱底面半徑為cm，高為cm，圓柱表面積為Scm2，進而根據(jù)體積得到，然后求出表面積，進而運用導數(shù)的方法求得表面積的最小值，此時成本最小.【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為cm，高為cm,圓柱表面積為Scm2,每平方厘米金屬包裝造價為元，由題意得：，則，表面積造價，，令，得，令，得，的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，當圓柱底面半徑為，高為時，總成本最底.18、（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理化邊為角后，結(jié)合兩角和的正弦公式、誘導公式可求得；（2）用表示出，然后平方由數(shù)量積的運算求得向量的模（線段長度）【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得，即，因為，所以，，∵，故；（2）由，得，所以，所以.19、最大值為，最小值為【解析】利用導數(shù)可求得的單調(diào)性，進而可得極值，比較極值和端點值的大小即可求解.【詳解】由可得：，則當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又因為，，所以，綜上所述：函數(shù)在上的最大值為，最小值為.20、（1）；（2）或.【解析】(1)AB兩點的中點為圓心，AB兩點距離的一半為半徑；(2)分斜率存在和不存在，根據(jù)垂徑定理即可求解.【小問1詳解】已知點，，線段是圓M的直徑，則圓心坐標為，∴半徑，∴圓的方程為；【小問2詳解】由(1)可知圓的圓心，半徑為.設(shè)為中點，則，，則.當?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程為，此時，符合題意；當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的方程為，即kx－y＋2＝0，則，解得，故直線的方程為，即.綜上，直線的方程為或.21、（1）（2）（3）【解析】（1）由題意直接寫出基本事件即可得出答案.（2）樣本空間一共有個基本事件,由（1）可得答案.（3）列出“點數(shù)之和為7”的基本事件，從而可得答案.【小問1詳解】“同時拋擲兩顆骰子”的樣本空間是{1，2，…，6；1，2，…，6}，其中i、j分別是拋擲第一顆與第二顆骰子所得的點數(shù).將“出現(xiàn)兩個1點”這個事件用A表示，則事件A就是子集.【小問2詳解】樣本空間一共有個基本事件，它們是等可能的，從而“出現(xiàn)兩個1點”的概率為.小問3詳解】將“點數(shù)之和為7”這個事件用B表示，則{，，，，，}，事件B共有6個基本事件，從而“點數(shù)之和為7”的概率為.22、（1）證明見詳解（2）【解析】（1）連接，交于點，則為中點，再由等腰三角形三線合一可知為中點，