2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：圓的有關(guān)位置關(guān)系（16題）解析版

專題19圓的有關(guān)位置關(guān)系（16題）

一、單選題

1.（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）如圖，分別延長圓內(nèi)接四邊形ABC。的兩組對邊，延長線相交于點(diǎn)￡,F.若

/￡=54。41',//=43。19',則—A的度數(shù)為（）

A.42°B.41°20,C.41°D.40°20'

【答案】C

【分析】根據(jù)“圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)”可得ZABC+ZADC=18O。，ZA+/BCD=180。.根據(jù)三角形外角

定理可得/ABC=/E+/ECB,NAL>C=/B+"CF,由此可得/ECB=41。，又由NECB+/3CD=180。，

可得ZA=N￡CB,即可得解.

本題主要考查了“圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)”和三角形外角定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】???四邊形ABC。是：。的內(nèi)接四邊形我

ZABC+ZADC=180°,ZA+/BCD=180°,

ZABC=/E+/ECB,ZADC=/F+NDCF,

/E+/ECB+ZF+ZDCF=180。，

/ECB=/DCF,NE=54041',N方=43。19',

/.54。41'+43。19'+2ZECB=180°,

解得NECfi=41。，

NECB+/BCD=180°,

,\ZA=ZECB=41°.

故選：C

2.（2024?四川達(dá)州?中考真題）如圖，ABC是等腰直角三角形，ZABC=90°,A6=4,點(diǎn)。，E分別在

AC,3C邊上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AE,BD交于點(diǎn)F,且始終滿足=則下列結(jié)論：①變=虎；②

2BD

ZDFE=135°;③面積的最大值是4拒-4;④"'的最小值是2幅-20.其中正確的是（）

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A.①③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】過點(diǎn)B作3MLAC于點(diǎn)M,證明一ABESaBMD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷①；得出

ZBAE=ZMBD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可判斷②;在A3的左側(cè)，以為斜邊作等腰直角三角形A03,

以Q4為半徑作。，根據(jù)定弦定角得出尸在。的AB上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)。尸，AB時(shí)，△鉆尸面積的

最大,根據(jù)三角形的面積公式求解，即可判斷③，當(dāng)尸在0C上時(shí)，F(xiàn)C最小，過點(diǎn)。作OH13c交CB的

延長線于點(diǎn)H,勾股定理，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)8作于點(diǎn)”，

A

0K——-^C

E

,/ABC是等腰直角三角形，ZABC=90°,AB=4,

?*-AB=BC,AC=>]AB2+BC2=-JlBC>

,/AD=—CE,

2

DM=-AC-AD=-xy/2BC-與CEq(BC一CE)當(dāng)BE

.DMAD_42

又Z.DMB=NEBA=90°

/..ABES-BMD,

,.喘=煞=舊故①正確；

?：-ABESJBMD,

：.ZBAE=ZMBD,

:.ZBAE+ZABD=ZMBD+ZABD

SP18O°-(ZBAE+ZABD)=18O°-(ZA^BD+ZABD)

在尸中，ZAFB=180°-(ZBAE-hZABD)

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即ZAFB=180°-(ZMBD+ZABD)

,/ABC是等腰直角三角形，BMLAC

：.平分/ABC

/./ABM=ZCBM=-ZABC=45°

2

ZAFB=180°-(ZMBD+ZABD)=180°-ZABM=135°

...ZAFBUISOO—I/BAE+ZABD,MISS。，

ZDFE=135°,故②正確，

如圖所示，

在48的左側(cè)，以48為斜邊作等腰直角三角形A08,以Q4為半徑作(。，且AB=4

AZAOB=90°,OA=OB,AB=7tM2+OB2=y[2OA=4

ZAFB=135°

：.NDFE+-ZAOB=180°

2

F在C。的A8上運(yùn)動(dòng)，

/.OF=AO=—AB=—x4=2y[2,

22

連接。尸交AB于點(diǎn)G,則AG=GB=2,

.,.當(dāng)O尸，AB時(shí)，結(jié)合垂徑定理，0G最小，

OF是半徑不變

此時(shí)C/最大

則△ABB面積的最大，

S筋尸=2sAGF=2(SAOF-SA0G)

=2|-xOFxAG--OG2|

(22)

=2A/2X2-22

=472-4，故③正確；

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如圖所示，當(dāng)F在0C上時(shí)，F(xiàn)C最小，過點(diǎn)。作交CB的延長線于點(diǎn)

OHB是等腰直角三角形，

：.OH=HB=—OB=—OA=1,

22

在RtO8C中，HC=HB+BC=6,

；?OC=M+?=2而,

二CP的最小值是2師-2夜.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，求圓外一點(diǎn)到圓上的距離最值問

題，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

3.（2024?青海?中考真題）如圖，四邊形ABCD是。的內(nèi)接四邊形.若NA=50。，則/BCD的度數(shù)是

【分析】直接根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解.

【詳解】解：：四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，

.,.ZBCD+ZA=180°,又/A=50°,

.".ZBCD=180°-50°=130°.

故答案為：130。.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于

它的內(nèi)對角.

4.（2024山東濱州?中考真題）如圖，四邊形428內(nèi)接于。0,若四邊形4。。是菱形,/2的度數(shù)是.

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D

【答案】60。/60度

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到/2+/。=180。，根據(jù)菱形的性質(zhì)，圓周角定理列式計(jì)算即可.

【詳解】解：：四邊形ABC。內(nèi)接于0。，

.,.ZB+ZD=180o,

:四邊形OACD是菱形，

ZAOC=ZD,

由圓周角定理得，ZB=^-ZAOC,

2

.?./8+2/8=180°,

解得，ZB=60°,

故答案為：60°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

5.(2024.四川自貢.中考真題)在Rt/VIBC中，ZC=90°,。是,ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為E,F.

(1)圖1中三組相等的線段分別是CE=CF,,BD=;若AC=3,BC=4,貝I]O

半徑長為;

(2)如圖2,延長AC到點(diǎn)使=過點(diǎn)M作肱V/AB于點(diǎn)N.

求證：MN是。的切線.

【答案】(DAD;BE-,1

(2)見解析

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【分析】(1)根據(jù)切線長定理得到BD=M=3,AE=AF=10,CD=CE,代入求解即可得到答案；

(2)證明△C4S絲推出SACAB=SAMW,AN=AC,MN=BC,求得5ABe=g(AC+2C+A2)-r,

S.AM^^AN+AM)T+^MN-OG,?S^CAB=S^NAM,列式求得。G=r，根據(jù)切線的判定定理，即可

得到MN是。的切線.

【詳解】(1)解：連接OE,OF,設(shè)O半徑為廠，

B

：是.ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為。，E,F,

：.CE=CF,AF^AD,BD=BE；

在四邊形OFCE中，NOFC=NC=NOEC=90°,

，四邊形ODCE為矩形，

又因?yàn)?。?。后，

，四邊形OFCE為正方形.

貝|CF=CE=r,貝IAF=AD=3—r,BD=BE=4-r,

在Rt^ACB中，由勾股定理得AB=,3?+4?=5,

AD+BD=AB=5,即3-r+4-r=5,

解得廠=1,

故答案為：AD；BE；1；

(2)證明：連接ODOE,OF,OA,OM,ON,OB,作OG_LMN于點(diǎn)G,

設(shè):O半徑為r,

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9：MN1AB,

：.ZACB=ZANM=9Q。,

VZCAB=ZNAMfAM=AB,

：.ACAB沿ANAM,

?,^ACAB=S&NAM，=AC，MN=BC,

???。是-ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為O,E,F,

OD=OE=OF=r,

：.sABC=^AC+BC+AB)-r,

同理S.~=；(河+4/)/+：皿-06,

^AC+BC+AB)-r=^(AN+AMyr+^MN-OG,

OG=r,

'：0GLMN,

:.MN是《。的切線.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，切線長定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓及勾股定理，正

確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵.

6.(2024?甘肅蘭州?中考真題)如圖，ABC內(nèi)接于。O,A8為：。的直徑，點(diǎn)。為一。上一點(diǎn)，BC=BD,

延長54至E,使得NADE=NCBA.

(1)求證：ED是t。的切線；

(2)若8O=4,tan/CBA=g,求ED的長.

【答案】(1)見解析

⑵3

3

【分析】(1)連接0￡>,易彳導(dǎo)NODB=NOBD,圓周角定理得到NAD3=NACB=90。，進(jìn)而得到

ZODB+ZADO=90°,證明RLAZ)3glRt一ACB,推出NADE=/a)8,進(jìn)而得到NODE=90。，即可得

證；

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Ani

（2）等角的三角函數(shù)相等，得至（JtanNABD=tanNC84=——=—,證明△詼，得到

BD2

EDAEAD_1

進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解：連接。。，貝！J：OD=OB,

D

VAB^Jo的直徑，

：.ZADB=ZACB=90°,

：.ZODB+ZADO=90°,

?；AB=AB,BD=BC,

ARtADB空RtACB,

：.ZABC=ZABD=ZODB,

ZADE=NCBA,

；?ZADE=/ODB,

：.ZADE+ZADO=90°,即：NODE=90。,

：.OD1DE,

TO□是。的半徑，

：?ED是。的切線；

（2）,：OB=4f

：.AB=2OB=8f

由（1）知：ZABD=ZABCf

AT）1

tanNABD=tanNCBA==—,

BD2

由（1）知：ZEDA=ZABD,

又：ZDEA=ZDEB,

7\EDAs八EBD,

.EDAEADI

"BE~DE~BD~2'

:.DE=2AE,DE2=AEBE>

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.*.（2AE）2=AE-（AE+AB）,即：4AE2AE2+SAE,

Q

解得：AE=O（舍去）或AE1=],

DE=2AE=—

3

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知

識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵.

7.（2024?四川資陽?中考真題）如圖，已知43是。的直徑，AC是的弦，點(diǎn)。在。外，延長。C,

AB相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)。作。尸，AB于點(diǎn)尸，交AC于點(diǎn)G,DG=DC.

D

（2）若。的半徑為6,點(diǎn)尸為線段。4的中點(diǎn)，CE=8,求D/的長.

【答案】（1）見解析

【分析】（1）連接。C,根據(jù)等邊對等角和對頂角相等可推出NOAC=NOC4,ZDGC=ZDCG=ZAGF,

結(jié)合止_LAB和三角形內(nèi)角和，從而推出NOCD=NQ4C+NAG尸=90。，得證；

（2）由（1）可知NOCE=9。。，可證△DFES△ocE,推出/=三，再由勾股定理可得OE=10,利用

DFFE

點(diǎn)尸為線段。4的中點(diǎn)，可得。尸=3,從而得到砂=13,從而得到二=三,即可得到答案.

DF13

【詳解】（1）證明：連接OC,如圖，

OA=OC,DG=DC,

：.ZOAC=ZOCA.ZDGC=ZDCG,

ZAGF=ZDGC,

/.ZAGF=/DCG,

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又?DF1AB,

../AFG=90。，

ZOAC+ZAGF=180°-ZAFG=180°-90°=90°,

ZOCD=ZOCA+ZDCG=ZOAC+ZAGF=90°,

:.DE是。的切線；

(2)解：如(1)圖，ZOCE=90°,

又1ZDFE=90°,ZOEC=ZDEF,

DFEsOCE,

.PCCE

…而一近’

。的半徑為6,CE=8,

,\OC=OB=OA=6,

:.OE2=OC2+CE\即?！?后+82=10,

又?點(diǎn)/為線段Q4的中點(diǎn)，

.\OF=-OA=-x6=3

22f

.?.所=O/+0^=3+10=13,

.6_8

,DF-13?

39

:.DF=—.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角

形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

8.(2024?黑龍江大慶?中考真題)如圖，ABC為1。的內(nèi)接三角形，AB為I。的直徑，將，ABC沿直線

翻折到ABD,點(diǎn)。在，。上.連接CD,交A3于點(diǎn)E,延長8。，CA,兩線相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)A作。O

的切線交于點(diǎn)G.

GD

⑴求證：AG//CD；

⑵求證：PA?=PG-PB；

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(3)若sin/APD=；,PG=6.求tan/AGB的值.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

⑶0

【分析】(1)根據(jù)折疊可得M_LCD，根據(jù)切線的定義可得AG,AB,即可得證；

(2)根據(jù)題意證明NR4G=NABD,進(jìn)而證明APS3R4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得證；

An15

(3)根據(jù)sinNA尸￡>==1=彳，設(shè)AD=〃，則AP=3a,得出tan/AP￡)=——，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出

AP34

AC=AD=a,則?C=Z^+AC=3a+a=4〃，進(jìn)而求得30=缶，ZAGB=90°-ZGAD=ZDAB,

進(jìn)而根據(jù)正切的定義，即可求解.

【詳解】(1)證明：???將3ABe沿直線翻折到

/.AB1CD,

TAB為。的直徑，AG是切線，

???AG.LAB,

：.AG//CD；

(2)解：:AG是切線，

???AG.LAB,

TAB為。的直徑，

；.ZADB=90。,

???ZABD=900-ZDAB=ZGAD.

???由折疊可得NABD=NABC,

:.NCBD=2ZABD,

???四邊形ADBC是。的內(nèi)接四邊形，

???ZPAD=180°-ZCAD=NDBC=2ZABD,

JZPAG=ZPAD-ZGAD=2ZABD-ZABD=ZABD,

又「ZAPG=ZBPAf

；?AP("BPA,

.APPG

??麗="，nn即PA?2=PGP8;

4ni

(3)解：VsinZAP￡)=——=一，設(shè)AD=。，貝|"=3a,

AP3

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?*-PD=y/AP2-AD2=2形a，

ATJa5/2

tanZAPD=——

PD2僅一4

:由折疊可得AC=AD=a,

PC=PA+AC=3a+Q=4a,

「在RtPCB中,tanZCPB=—=—,

PC4

BD=CB=—PC

4

VAD±BD,GA1AB,

：.ZAGB=900-ZGAD=ZDAB,

tanZAGB=tanZDAB=—=叵=忘.

ADa

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，熟練掌握以上知

識(shí)是解題的關(guān)鍵.

9.(2024.四川雅安?中考真題)如圖，A3是一。的直徑，點(diǎn)C是；。上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸是54延長線上的一

點(diǎn)，連接AC,NPCA=NB.

⑴求證：27是(。的切線；

(2)若sin/B=g,求證：AC=AP；

(3)若CD_LAB于。，PA=4,BD=6,求的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)AD=2

【分析】(1)首先由直徑得到ZACB=90°,然后利用等邊對等角得到ZB=NBCO,等量代換得到OCLPC,

進(jìn)而證明即可；

(2)利用sin4=g得到4=30。，求出NPC4=N3=30。，然后利用直角三角形兩銳角互余得到

ZP=ZCAB-ZPCA=30°,進(jìn)而求解即可；

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（3）設(shè)AD=x,證明出4csPCB,得至!1器=*，然后表示出尸=必.依=4（10+力，然后利用

勾股定理求解即可.

【詳解】（1）如圖所示，連接0C,

〈AS是。的直徑，

???NACB=90。，

：.ZBCO+ZOCA=90°,

?：OB=OC,

：.ZB=ZBCO,

?「ZPCA=ZB,

：./PCA=/BCO,

：.ZPCA=ZOCA=90°,

：.OCLPC,

???PC是。的切線；

(2)證明：VsinZB=-,

2

ZB=30°f

ZPCA=ZB=30°f

由(1)知ZACB=90。，

???ZCAB=60°f

：.NP=ZCAB-ZPCA=30°,

：.ZPCA=ZPf

：.AC=AP；

(3)設(shè)AD=x,

在RtzXACB中，CD±ABf

：.ZB+/BCD=ZACD+ZBCD=90。

：.ZB=AACD

'：ZBDC=ZADC=90°

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ABDC^AOM

.BD_CD

"'~CD~~AD

/?CD2=ADxBD=6x,

?：ZP=NP,ZPCA=ZB,

，PACfPCB,

.PA_PC

"TC~~PB'

：.PC2=PA-PB=4(6+4+x)=4(10+x),

在RtAPCD中，由勾股定理得PD?+CD2=PC2,

即(4+xf+6x=4(10+x),整理得遞￥10x-24=0,

解得為=2,x2=-12(舍去)，

故AD=2.

【點(diǎn)睛】此題考查了直徑的性質(zhì)，切線的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握

以上知識(shí)點(diǎn).

10.(2024.四川巴中?中考真題)如圖，MC內(nèi)接于二。，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，連接的(、BD,BE平分NABC

交AD于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作D尸〃3c交AC的延長線于點(diǎn)

⑴求證：DF是：O的切線.

⑵求證：BD=ED.

(3)若。E=5,CF=4,求AB的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

25

(3)AB=—

【分析】(1)如圖，連接。。，證明ODLBC,結(jié)合O尸〃BC,可得加J.OD,從而可得結(jié)論；

(2)證明NCBZ)=NSAD,ZABE=ZCBE,結(jié)合ZDEB=NBAD+ZABE,ZDBE=NCBD+NCBE,再

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進(jìn)一步可得結(jié)論；

(3)如圖，連接8,證明CD=BD=5,再證明..FDCs,DAB,可得生=里，結(jié)合CV=4,從而可

DBAB

得答案；

【詳解】(1)證明：如圖，連接0。，

:點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，

OD±BC,

'：DF//BC,

J.DFVOD,且。。是。的半徑,

；.DF是。的切線；

(2)證明：???點(diǎn)。為8C的中點(diǎn),

：?BD=CD，

：.Z.CBD=Z.BAD,

,?BE平分NA5C,

ZABE=NCBE,

"：ZDEB=ZBAD+ZABE,ZDBE=ZCBD+ZCBE,

ZDBE=ZDEB,

：.DB=DE；

(3)解：如圖，連接CO,

:DE=5,BD=DE,

：.BD=5,

BD=CD，

：.CD=BD=5,

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?,BC//DF,

ZACB=NF,而？AC81ADB,

*.ZADB=ZF,

.,四邊形ABAC為。的內(nèi)接四邊形，

ZABD+ZACD=180°=ZACD+ZDCF,

\NDCF=ZABD,

FDCS..DAB,

.FCCD

而Cb=4,

?DBiAB

?

,'5~AB'

25

AB=—,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意;

4

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性

質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

11.(2024?吉林?中考真題)圖①、圖②均是4x4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).點(diǎn)A,2,

C,D,E,。均在格點(diǎn)上.圖①中已畫出四邊形ABCD,圖②中已畫出以O(shè)E為半徑的一。，只用無刻度

的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖.

圖①圖②

(1)在圖①中，面出四邊形A3CD的一條對稱軸.

(2)在圖②中，畫出經(jīng)過點(diǎn)E的。的切線.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，切線的判定，畫對稱軸等等:

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（1）如圖所示，取格點(diǎn)及F,作直線EF,則直線EF即為所求；

（2）如圖所示，取格點(diǎn)G、H,作直線GH,則直線GH即為所求.

【詳解】（1）解：如圖所示，取格點(diǎn)E、F,作直線所，則直線所即為所求;

易證明四邊形ABCD是矩形，且E、尸分別為AB,CD的中點(diǎn)；

（2）解：如圖所示，取格點(diǎn)G、H,作直線G",則直線G"即為所求；

易證明四邊形OG7W是正方形，點(diǎn)E為正方形OG777的中心，則OELG”.

圖②

12.（2024.四川達(dá)州.中考真題）如圖，BD是:。的直徑.四邊形A3CD內(nèi)接于O.連接AC,且AB=AC,

以為邊作ND4F=/ACD交8。的延長線于點(diǎn)尸.

⑴求證："是。的切線；

⑵過點(diǎn)A作交8。于點(diǎn)E.若CD=3DE,求cosZABC的值.

【答案】（1）證明見解析

⑵1

第17頁共29頁

【分析】(1)如圖所示，連接Q4,由直徑所對的圓周角是直角得到NBAD=90。，導(dǎo)角可證明ZDAF=ZOAB,

進(jìn)而得到田=90。，據(jù)此即可證明”是一。的切線；

(2)延長CD交AF于延長49交于G,連接OC,由直徑所對的圓周角是直角得到/3CD=90。,

證明AG〃CH,得至lJ/4HC=90。，接著證明ABE^,ACTf(AAS),得至(=BE=CH,進(jìn)一步證

明Rt.ADE絲RtADH(HL),得到DH=DE,沒DH=DE=a,則CD=3a,BE=CH=4a,進(jìn)而得到

3Z)=BE+r)E=5a,則OA=OD=2.5a,由勾股定理得到AE=S笛-O它=2a，AD=>JAE2+DE2=y/5a>

則cos/ADE==，進(jìn)一步可得cosNABC=cosADE=—^.

AD55

【詳解】(1)證明：如圖所示，連接。4,

是。的直徑，

ZBAD=90°,

：.ZOAB+ZOAD^90°,

'：OA=OB,

：./OAB=/OBA,

,/ZDAF=ZACD,ZOBA=ZACD,

：.ZDAF=NOAB,

ZDAF+ZOAD=ZOAB+ZOAD=90°,

：.ZOAF=90°,

OA±AF,

又是.O的半徑，

是。的切線；

(2)解：如圖所示，延長8交AF于延長40交BC于G,連接OC,

第18頁共29頁

AH

F

?:BD是O的直徑,

：.ZBCD=90°fBPCHlfiC,

VAB=AC,OB=OC,

???Q4垂直平分3C,

AG±BC,

:.AG//CH,

ZOAF=90°,

AELBD,

ZAEB=ZAHC=90°f

又???/AB石:NACH,

AACH(AAS),

AAE=AH,BE=CH,

9：AD=AD,

：.RtADE^RtAZ)H(HL),

???DH=DE,

設(shè)DH=DE=a,則CD=3a,

BE=CH=DH+CD=4a,

:.BD=BE+DE=5a,

OA=OD=2.5a,

OE=OD—DE—1.5a,

AE=VOA2-OE2=2a，

AD=yjAE2+DE2=喝，

./AC口一DE一小

?,cos^.A.L)E—-,

AD5

?：AB=AC,

：,/ABC=ZACB,

第19頁共29頁

?：ZADE=ZACB,

：.ZABC=ZADEf

cosNABC=cosAADE=—.

5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，求角的余弦值，直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等，

勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵.

13.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，點(diǎn)C在以為直徑的。上，點(diǎn)。在54的延長線上，ZDCA=ZCBA.

⑴求證：DC是，。的切線；

4

（2）點(diǎn)G是半徑上的點(diǎn)，過點(diǎn)G作的垂線與8c交于點(diǎn)尸，與OC的延長線交于點(diǎn)E,若sin￡>=g,

DA=FG=2,求CE的長.

【答案】（1）見解析

⑵14

【分析】（1）連接OC,由圓周角定理求得/ACB=90。，再利用等角的余角相等求得NOCD=90。，據(jù)此即

可證明DC是。的切線；

（2）利用三角函數(shù)的定義求得OC=Q4=8,在Rt^OCD中，利用勾股定理求得CE>=6,再證明

△DOCsADEG,利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解.

【詳解】（1）證明：連接OC,

OB=OC

:.NOBC=NOCB,

第20頁共29頁

/DCA=/OBC,

:./DCA=/OCB,

而AS是O的直徑，

:.ZACB=90°f

NOC4+ZOCA=AOCA+AOCB=90°,

.?.NOCD=90。，

??.O。是。的切線；

（2）解：設(shè)OC=OA=r,

.八OC4

sinD=----=—,

OD5

r_4

??=，

r+25

r=8,

/.OC=OA=89

在RgOCD中，CD=^OEr-OC-=7（8+2）2-82=6-

NDCA+ZECF=ZBFG+NCB4=90°,

ZECF=ZBFG,

又ZBFG=ZEFC,

ZECF=ZEFC,

:.EC=EF,

設(shè)EC=EF=x,

ZD=ZD,NDCO=NDGE,

???ADOCsLDEG,

DOOC108

——=—,貝nlj-------=--------,

DEEG尤+6x+2

解得：x=14

經(jīng)檢驗(yàn)x=14是所列方程的解，

CE=14.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理.正確證明

ADOCsADEG是解決本題的關(guān)鍵.

14.（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）如圖，ASC內(nèi)接于（O,。是3C上一點(diǎn)，AD=AC.E是Q外一點(diǎn),

ZBAE=ACAD,ZADE=ZACB,連接BE.

第21頁共29頁

A

D

(1)若AB=8,求AE的長;

（2）求證：EB是tO的切線.

【答案】（1）AE=8

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)=0可得NA4E=NC4B,然后證明ZME今。LB（ASA）,根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)可得答案；

（2）連接。4,08,首先證明/ABE=NA￡S=/ADC=NACD,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和圓周角定理求

出AOBA=90°-1zAOB,然后計(jì)算出ZOBE=Z.OBA+ZABE=90。即可.

【詳解】（1）,：ZBAE^ZCAD,

：.ZDAE=ZCAB,

XVAD=AC,ZADE^ZACB,

.?.一DAE^C4B（ASA）,

AE=AB=8；

：.ZABE=ZAEB,ZADC=ZACD,

,：ZBAE=ZCAD,

：.ZABE=ZAEB=ZADC=ZACB,

"?OA=OB,

第22頁共29頁

NOBA=ZOAB=1(180°-ZAOB)=90°-1ZAOB,

又：ZACB=-ZAOB,

2

：.ZOBA=90°-ZACB,

：.ZOBE=AOBA+ZABE=90°-ZACB+ZACB=90°,

「OB是半徑，

；.EB是，。的切線.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理，切

線的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

15.(2024?四川宜賓?中考真題)如圖，ABC內(nèi)接于O,AB=AC=W,過點(diǎn)A作AE〃臺(tái)C,交O的

直徑3D的延長線于點(diǎn)E,連接CD.

⑴求證：4石是(。的切線；

(2)若tanZABE=；,求CD和的長.

【答案】(1)見解析

(2)CD=3^5,DE=^.

3

【分析】(1)延長49交2C于點(diǎn)尸，連接。C,根據(jù)等邊對等角可得=ZOAC=ZACO,

ZOBC=ZOCB,/ABC=ZACB,繼而可得,是NB4c的角平分線，根據(jù)等邊三角形“三線合一”的性

質(zhì)可得A/IBC,由平行線的性質(zhì)可得繼而根據(jù)切線判定定理即可求證結(jié)論；

(2)連接4),先求得4)=5,利用圓周角定理結(jié)合勾股定理求得直徑的長，利用垂徑定理結(jié)合勾股定理

得到8尸=032-0尸2=4笈一4/，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求得BC=4VL利用勾股定理可求得C3的長，證明

AED^BEA,利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可求得OE=述.

3

【詳解】(1)證明：延長AO交3C于點(diǎn)F,連接OC,

第23頁共29頁

AE

事

?：OA=OB=OC,

：.ZOAB=ZABO,ZOAC=ZACO,/OBC=/OCB,

*：AB=AC,

：.ZABC=ZACBf

：.ZABC-ZOBC=ZACB-ZOCB,^ZABO=ZACO,

：.ZOAB=ZOACf即AF是/BAC的角平分線，

*：AB=AC,

：.AFIBC,且AT平分線段BC,

*：AE//BC,

：.AF±AE,

??,0A是半徑，

???AE是。的切線；

(2)解：連接AD,

?「BO是。的直徑，

；?/BAD=ZBCD=90°,

VtanZABE=-,AB=AC=W,

2

：.AD=5,

?'-BD7AB2+AD?=56，

5J5

：.OA=OB=OD=—,

2

由(1)得A/IBC,BC=2BF,

^OF=x,

第24頁共29頁

...BF2=OB2-OF2^AB2-AF2,

解得x=芷，即。尸=述，

22

；?BF=J102-f^+—=2A/5,

V122J

/.BC=2BF=4A/5,

?*-CD=y/BD2-BC2=34，

設(shè)。石=y,則。石=里+丁，

2

丁AE是。的切線，

AZOAE=90%ZEAD=900-ZDAO=ZBAO=ZABEf

*.*ZAED=ZBEA,

：._AE4_BEA，

.AEDEAD_1

**BE-AE-AB~2f

：.AE=-BE,AE=2DE,

2

：.^BE=2DE,即g（56+y）=2y,

解得y=述，

-3

?門口_5小

??DE------?

3

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，勾

股定理，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵.

16.（2024?甘肅蘭州?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：點(diǎn)P是圖形卬外一點(diǎn)，點(diǎn)。

PO1

在PO的延長線上，使得.=不，如果點(diǎn)Q在圖形W上，則稱點(diǎn)尸是圖形w的“延長2分點(diǎn)”，例如：如

<3、PO1

圖1,A（2,4）,B（2,2）,P-1,-5是線段外一點(diǎn)，。（2,3）在尸。的延長線上，且萬方=不，因?yàn)辄c(diǎn)。在線

段4B上，所以點(diǎn)P是線段的“延長2分點(diǎn)”.

第25頁共29頁

圖I圖2