2024-2025學(xué)年廣東省高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年廣東省高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知M=則MCN=（）

/TC、/TC、/TC77"、TTTT、

A.{-%,。}B.{-不0}C.{-%,。,§}D.{-用一%,0}

2.某公司購(gòu)入了400根鋼管擬切割打磨為其他產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)鋼管口徑后得以下頻數(shù)分布表：

鋼管口徑（cm）11.012.514.016.518.520.521.022.0

頻數(shù)26741004046523824

則這批鋼管口徑的中位數(shù)為（）

A.14.00cmB.15.25cmC.16.25cmD.16.50cm

3.已知直線k-m2x+y-l=0,直線以（2m-3）x+y-3=0,則租=-3是11〃，2的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.已知向量。=（2,1）%=（zn-2師）,若五〃刃,則而+刷=（）

A.5B.3C.A/5D."

5.在平面直角坐標(biāo)系中，將圓C：久2+y=1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的

則得到的新曲線的曲線方程為（）

A.77+4y2=1B.9/+吟=1C.4%2+4=1D.苧+9y2=1

6.在△&BC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2b（s譏24—sinBcosC）=csin2B,若點(diǎn)。在BC邊

上，且力。平分ABAC,貝U4D=（）

A.審B.缶C,吃D.已

7bcb+cb+cb2+c2

7.在電子游戲中，若甲，乙，丙通關(guān)的概率分別是且三人通關(guān)與否相互獨(dú)立，則在甲，乙，丙中恰

有兩人通關(guān)的條件下，甲通關(guān)的概率為（）

A.B./C.D.看

8.當(dāng)時(shí)，方程+%+仇%在［1,+8）上根的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

第1頁(yè)，共8頁(yè)

9.若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為4,z+2z=3+4，，貝|()

A.z的實(shí)部為1B.z的虛部為-8

C.|z|=4D,直線。4的傾斜角為警

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F(1,O)是拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交C于M,N兩點(diǎn),P為

C上的動(dòng)點(diǎn)(與M,N均不重合)，且點(diǎn)P位于第一象限，過點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足記為點(diǎn)Q,點(diǎn)4(2,5),貝U

()

A.C：y2=4xB,乙OPQ+乙FON<180°

C.\PA\+|PQ|的最小值為佟D.△OMN面積的最小值為2

11.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,貝ij()

A.若f(2)則f。)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)

B.若/(/)=—/(—/),則/(x)是奇函數(shù)

C.若f(l一久)=/(1+%),且f(2-久)=/(2+%),則/。+2)=/(%)

D.若|/(比)|=1/(—嗎|,則外乃是奇函數(shù)或/(x)是偶函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若2m+5n=p貝!]1og2(4機(jī)x32")=.

13.函數(shù)f(x)=cos((i)x+0)(3>0^<(p<^),若/(%)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為I-軸,且/(0)=-1?則

/(I)=.

14.已知圓臺(tái)的上、下底半徑分別為r和R,若圓臺(tái)外接球的球心在圓臺(tái)外，則圓臺(tái)的高的取值范圍是

若R=2r=2,圓臺(tái)的高為伍且14無《戲，則圓臺(tái)外接球表面積的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在△4BC中，已知內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a,b,c依次為等比數(shù)列｛an｝的前3項(xiàng)，設(shè)其

公比為q,且a>l,q>l.

(1)若a=2,qe｛|,2],求｛an｝的前n項(xiàng)和又；

(2)證明：當(dāng)§="時(shí)，長(zhǎng)度為Ega,Igb,國(guó)c的三條線段可以構(gòu)成三角形.

16.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(久)=^x3+^x2+2x+bsinx^a.bGR).

第2頁(yè)，共8頁(yè)

(1)當(dāng)b=0時(shí)，若/(%)存在極大值，且存在極小值，求a的取值范圍;

(2)證明：當(dāng)a=2b=2時(shí)，V久eR,f'(x)>0.

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P—ABC。中，PA1平面48CD,AB//CD,CD=2AB=2也，PA=BC=AD=1.

(1)求證：平面PBC1平面PAD；

(2)若前=3而，求平面PAE與平面PBC的夾角.

18.(本小題17分)

已知雙曲線「g-g=l(a>O,b>0)的離心率為乎，焦距為2?

(1)求「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過點(diǎn)(0,-b)作直線/分別交廠的左、右兩支于4B兩點(diǎn)，交廠的漸近線于C,D兩點(diǎn)，求器的取值范

圍.

19.(本小題17分)

將4個(gè)面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4的一個(gè)正四面體在桌面上連續(xù)獨(dú)立地拋幾次("為正整數(shù))，設(shè)X為與桌

面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的次數(shù)，P為拋正四面體一次與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的概率.

(1)當(dāng)n=5時(shí)，若正四面體的質(zhì)地是均勻的，求X的數(shù)學(xué)期望和方差；

(2)若正四面體有瑕疵，即p吟

①設(shè)Pn是拋擲正四面體幾次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次的概率，求證：Pn=P+(1-2p)Pn-L

(n>2)；

②求拋擲正四面體幾次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)次的概率.

第3頁(yè)，共8頁(yè)

參考答案

1.A

2.B

3.4

4.C

5.D

6.C

7.0

8.B

9.AB

10.ABD

n.Bc

12.1

13.-岑

14.(0j/?2-r2)207r

15.解：(1)因?yàn)閝>l,所以0VQ《b<c,

由題意可知，Q+b>c,

所以a+aq>aq2,

所以q2_q_i<0,Q>1,

解得，〈匕亞，

因?yàn)椤眥|,2},

所以q=|,

所以％=牛券=2a[(|r-l],

n

當(dāng)a=2時(shí)，Sn=4x[(|)-l]:

(2)因?yàn)閍>1,q>l,

所以0<lga<lgb&lgc,

因?yàn)閉="，

第4頁(yè)，共8頁(yè)

所以(Zga+lgb)-lgc=lg?=lg翳=1嗇=lg">0,

所以仞a+Igb>Ige,

所以長(zhǎng)度為Zga,仞b,[gc的三條線段可以構(gòu)成三角形.

16.解：⑴當(dāng)b=0時(shí)，/(%)=1x3+fx2+2%,定義域?yàn)镽,

所以/'(%)=x2+ax+2,

因?yàn)?(%)存在極大值，且存在極小值，

所以/'(%)必須有兩個(gè)不同的零點(diǎn),

所以4=a2-4x2>0,

所以a>2業(yè)或a<-2”，

即a的取值范圍是(一8,-2")U(2也,+co).

(2)證明：當(dāng)a=2b=2時(shí)，/(%)=^x3+x2+2%+sinx,定義域?yàn)镽,

所以/'(%)=x2+2%+2+cosx=(%+I)2+(1+cos%),

當(dāng)久ER時(shí)，(％+l)2>0,1+cosx>0,

所以f'Q)>0,

當(dāng)且僅當(dāng)｛：；/2+兀(462)時(shí),取等號(hào),

因?yàn)椋?=2/OT+TT(/C￡Z)無解，

所以(。)>0.

17.解：(1)證明：如圖，取CD的中點(diǎn)為G,連結(jié)4G,

因?yàn)镃D=248=2也，所以AB=CG,因?yàn)?/p>

所以四邊形4BCG為平行四邊形，

所以4G〃BC,

在三角形4G。中，因?yàn)?G=BC=1,AD=1,GD=芋=”,

第5頁(yè)，共8頁(yè)

所以心+4。2=DG2,所以AG1AD,

所以8c1AD,因?yàn)镻21平面2BCD,BCu平面48CD,

所以PA1BC,因?yàn)镻AC4D=A,PAu平面R4D,ADu平面PAD,

所以BC1平面PAD,因?yàn)锽Cu平面PBC,

所以平面PBC_L平面PAD.

(2)由AG1AD,PA1平面ABC。，得力G,AD,4P兩兩垂直，

分別以4G,AD,AP所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則G(1,O,O),￡)(0,1,0),P(0,0,l),

C(2,-1,0),B(l,-l,0),

因?yàn)檎?3方,CD=2或，所以DE=#，又DG=避，所以E為DG的中點(diǎn),

因?yàn)榱Α?4G,所以GO1AE,又241平面ABC。，GDu平面力BCD,

所以PA1GD,因?yàn)镻4CiAE=A,PA,AEu平面P4E,

所以GD_L平面PAE,

所以平面P4E的法向量為而=(-1,1,0),

又而=(2,-l,-l),PB=(1-1-1),

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

所以b?方=久-y-z=0，取"=(0，LT)，

所以平面PAE與平面PBC夾角的余弦值為：

]1

|cos<n,

A/2x722f

所以平面/ME與平面PBC的夾角為宗

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18.解:⑴因?yàn)锳,=l(a>0/>0)的離心率為承焦距為2避,

所以G一三‘后

12c=2信

解得Q=也，C—避，所以b=y/c2—a2=1,

所以r的標(biāo)準(zhǔn)方程為$y2=1.

比

(2)由題意可設(shè)直線/的斜率存在，設(shè)直線I的方程為y=依-1,雙曲線「的漸近線方程為y=±也，

不妨設(shè)C,D分別在左、右位置，

f_X

聯(lián)立,y=滔,得幾二人，

{y=kx—1,?〃一1

聯(lián)立〔(尸y=-3^-f得吁看F5，

所以|CD|=yjl+k2\Xc-XD\=Ji+MXI屋廣式力=2厘#,

(蟲-2=1

聯(lián)立27V'得(1一2卜2)久2+4依-4=0,

\y=kx—1,

設(shè)4(x〔yD，B(X2，V2)，

則久i+x2=-昌/冷=

fl-2fc2W0,

由,4=16k2-4x(l-2fc2)X(-4)=16(l-fc2)>0,

Xi%2=--L<0,

1z1-2/c2

m2<1.

22

所以|28|=+k\X1-x2\=yjl+kxy(%i+%2)2-4%62

,

_7X|1_2/C2|-|l-2/C2|

2

所以”=產(chǎn)1-科=J2(l-/c),

”"CD\xc-xD\N')'

又0/2.力2(1—e(1,72],

所以普的取值范圍為(1,避].

19.解：(1)因?yàn)檎拿骟w的質(zhì)地是均勻的，p為拋擲正四面體一次與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的概率,

所以P=^=p