數(shù)學(xué)備課資料：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精備課資料一、和角與差角公式應(yīng)用的規(guī)律兩角和與差的正、余弦公式主要用于求值、化簡(jiǎn)、證明等三角變換,常見的規(guī)律如下：①配角的方法：通過(guò)對(duì)角的“合成”與“分解”,尋找欲求角與已知角的內(nèi)在聯(lián)系，靈活應(yīng)用公式，如α=(α+β）-β，α=（α+β)+(α—β）等.②公式的逆用與變形公式的活用:既要會(huì)從左到右展開,又要會(huì)從右到左合并，還要掌握公式的變形.③“1”的妙用：在三角函數(shù)式中,有許多關(guān)于“1”的“變形”,如1=sin2α+cos2α，也有1=sin90°=tan45°等.二、備用習(xí)題1.在△ABC中，sinAsinB〈cosAcosB,則△ABC是(）A。直角三角形B。鈍角三角形C。銳角三角形D。等腰三角形2.cos—sin的值是()A.0B.-C。2D.23.在△ABC中，有關(guān)系式tanA=成立，則△ABC為（）A.等腰三角形B。A=60°的三角形C。等腰三角形或A=60°的三角形D.不能確定4。若cos(α—β)=，cosβ=，α—β∈（0,),β∈(0,)，則有（）A。α∈(0，)B.α∈(,π）C.α∈（-,0)D.α=5。求值：=_________6.若sinα·sinβ=1，則cosα·cosβ=____________7.已知cos（α+β）=,cos（α—β）=，則tanα·tanβ=___________8。求函數(shù)y=2sin(x+10°）+cos(x+55°）的最大值和最小值.9。求tan70°＋tan50°—tan50°tan70°的值。10。已知sinβ＝ｍ·sin（2α＋β）.求證：tan（α＋β）＝tanα。11.化簡(jiǎn)—2cos（A+B）.12。已知5sinβ=sin(2α+β).求證：2tan（α+β)=3tanα.13。(2007年高考湖南卷，16）已知函數(shù)f（x)=1-2sin2（x+）+2sin(x+）cos(x+）.求:（1）函數(shù)f（x)的最小正周期;（2）函數(shù)f（x)的單調(diào)增區(qū)間。參考答案：1。B2.C3.C4。B5.6。07.8.∵y=2sin(x+10°)+cos［（x+10°)+45°]=2sin（x+10°)+cos(x+10°)-sin(x+10°）=sin（x+10°)+cos(x+10°）=cos［(x+10°）+45°]=cos（x+55°)，又∵—1≤sin（x+55°)≤1,∴當(dāng)x+55°=k·360°—90°,即x=k·360°-145°（k∈Z)時(shí)，ymin=—;當(dāng)x+55°=k·360°+90°，即x=k·360°+35°(k∈Z)時(shí)，ymax=.9.原式＝tan（70°＋50°）（1—tan70°tan50°)-tan50°tan70°＝-（1-tan70°tan50°）-tan50°tan70°＝-＋3tan70°tan50°—tan50°tan70°＝-。∴原式的值為-.10。證明：由sinβ＝ｍsin(2α＋β）sin［（α＋β)-α］＝ｍsin［（α＋β)＋α］sin(α＋β）cosα-cos（α＋β）sinα=m［sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα］（1—ｍ）·sin(α＋β)cosα=（1＋ｍ)·cos（α＋β）sinαtan（α＋β）＝tanα。點(diǎn)評(píng)：仔細(xì)觀察已知式與所證式中的角，不要盲目展開,要有的放矢,看到已知式中的2α＋β可化為結(jié)論式中的α＋β與α的和，不妨將α＋β作為一個(gè)整體來(lái)處理。此方法是綜合法，利用綜合法證明恒等式時(shí),必須有分析的基礎(chǔ)，才能順利完成證明.11。原式==點(diǎn)評(píng):本題中三角函數(shù)均為弦函數(shù)，所以變換的問(wèn)題只涉及角.一般來(lái)說(shuō)，三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)問(wèn)題首先考慮角，其次是函數(shù)名，再次是代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).12.∵β=（α+β)—α,2α+β=(α+β）+α，∴5sin［（α+β)-α］=sin［(α+β)+α］，即5sin(α+β)cosα-5cos(α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα。∴2sin(α+β）cosα=3cos(α+β)sinα.∴2tan（α+β)=3tanα.點(diǎn)評(píng):注意到條件式的角是β和2α+β，求證式中的角是α+β和α,顯然“不要”的角β和2α+β應(yīng)由要保留下來(lái)的角α+β與α來(lái)替代.三角條件等式的證明，一般是將條件中的角（不要的）用結(jié)論式中的角(要的)替代，然后選擇恰當(dāng)?shù)墓阶冃巍Ｈ亲儞Q中經(jīng)常要化復(fù)角為單角,化未知角為已知角。因此，看準(zhǔn)角與角的關(guān)系十分重要.哪些角消失了,哪些角變化了，結(jié)論中是哪些角，條件中有沒(méi)有這些角，在審題中必須對(duì)此認(rèn)真觀察和分析。常見的變角方式有：α=(α+β)-β，2α=(α+β）+（α—β),2α-β=(α—β）+α當(dāng)然變換形式不唯一，應(yīng)因題而異，要具體問(wèn)題具體分析.13。f（x)=cos（2x+）+sin(2x+）=sin(2x++）=s