數(shù)學(xué)4例題與探究：任意角的三角函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1已知sinα=t且|t|<1，求角α的余弦值和正切值。思路分析：利用三角函數(shù)基本關(guān)系式，分類討論求解，即要考慮到α所在象限，以及要求的三角函數(shù)值的正負(fù)情況.解：∵sinα=t且｜t｜〈1，∴角α可能為四個(gè)象限的角和x軸上的軸線角。（1）當(dāng)α為第一、四象限或x軸正半軸上的角時(shí)，有cosα=,tanα==。（2）當(dāng)α為第二、三象限或x軸負(fù)半軸上的角時(shí),有cosα=,tanα==—。綠色通道：若已知正弦、余弦、正切中的某一個(gè)三角函數(shù)值是用字母表示的，且角所在象限也沒有指定時(shí)，這個(gè)角α可能在四個(gè)象限(也可能是軸線角）,此時(shí)，不必按四個(gè)象限討論，只需將四個(gè)象限角（可能含軸線角)的三角函數(shù)值分成兩組討論。變式訓(xùn)練1（2006重慶高考卷,文13）已知sinα=，≤α≤π，則tanα等于______.思路解析：由sinα=,≤α≤πcosα=,所以tanα=—2.答案：—2變式訓(xùn)練2sin2α>0且cosα<0，試確定α所在的象限。思路分析:由sin2α>0得出α的范圍，再由cosα〈0得出α的范圍，兩者取交集即可。解：∵sin2α>0，∴2kπ〈2α〈2kπ+π（k∈Z)?！鄈π<α<kπ+（k∈Z）.當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí)，有2nπ〈α〈2nπ+(n∈Z),∴α為第一象限角。當(dāng)k=2n+1（n∈Z)時(shí)，有2nπ+π<α〈2nπ+(n∈Z)，∴α為第三象限角。∴α為第一或第三象限角。由cosα〈0，知α在第二或第三象限或α終邊在x軸的負(fù)半軸上.綜上所述，知α為第三象限角。例2y=的定義域是_____________。思路解析：利用函數(shù)y=sinx，y=cosx，y=tanx的定義域及分式函數(shù)的定義域即可求解.要使函數(shù)有意義必須使tanx有意義且tanx≠0,即（k∈Z）∴函數(shù)y=的定義域?yàn)椋鹸|x≠,k∈Z}。答案：｛x|x≠,k∈Z}黑色陷阱：解答本題，往往容易忽視tanx本身有意義這個(gè)條件，只考慮到tanx作為分母不能為0.變式訓(xùn)練若|cosα|=cos（π+α),則角α的集合為_____________.思路解析:由絕對(duì)值的意義確定角α所在象限,進(jìn)而寫出范圍.由已知,得|cosα｜=-cosα，∴α為第二、三象限角或終邊落在y軸上的角.∴2kπ+≤α≤2kπ+（k∈Z）。答案：｛α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z｝例3分別作出和-的正弦線、余弦線和正切線。思路分析:利用單位圓中三角函數(shù)線的作法作圖。解:（1）在直角坐標(biāo)系中作單位圓，如圖1-2—4,以O(shè)x軸為始邊作角，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,作PM⊥Ox軸,垂足為M，由單位圓與Ox軸正方向的交點(diǎn)A作Ox軸的垂線與OP的反向延長(zhǎng)線交于T點(diǎn),則的正弦線為有向線段MP,余弦線為有向線段OM，正切線為有向線段AT。圖1—2—4（2)同理可作出-的正弦線、余弦線和正切線,如圖1-2-5?！恼揖€為有向線段M1P1，余弦線為有向線段O1M1，正切線為有向線段A1T1.圖1-2-5黑色陷阱：容易忽視的正切線的數(shù)量為負(fù),即有向線段的方向與y軸負(fù)方向相同，所以應(yīng)反向延長(zhǎng).-的正切線同樣應(yīng)反向延長(zhǎng)。變式訓(xùn)練集合M=｛x｜sin|x｜=1｝,N=｛x|｜sinx｜=1｝,則M與N之間的關(guān)系是(）A。MNB。MNC。M=ND.M∩N=思路解析:采用淘汰法。sin｜x|=1｜x｜=2kπ+（k∈Z）x=±（2kπ+）(k∈Z），｜sinx|=1sinx=±1x=2kπ±（k∈Z),從而淘汰D。又｜sin｜=1,∴∈N,而sin｜|=sin=-1，∴M，從而淘汰B、C。答案:A例4已知tanα=2，求值:（1）=_____________；(2)=______________.思路解析：根據(jù)同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)所求代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形.(1)∵cosα≠0，分子分母同除cosα，得==-1。(2）∵cos2α≠0,分子分母同除cos2α，得.答案：（1)-1（2）綠色通道:這是一組在已知tanα=m的條件下,求關(guān)于sinα、cosα的齊次式值的問題.解這類問題需注意以下幾點(diǎn):（1)一定是關(guān)于sinα、cosα的齊次式(或能化為齊次式)的三角函數(shù)式;（2）因?yàn)閏osα≠0,所以可用cosnα(n∈N*)除之.這樣可以將所求式化為關(guān)于tanα的表達(dá)式,整體代入tanα=m的值求解.變式訓(xùn)練已知sin（α+β)=1,求證：tan(2α+β)+tanβ=0。思路分析：由已知得α+β的取值，注意將α+β變形得到α，代入被證式左邊，然后利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn),直到推得右邊.證明:∵sin(α+β）=1，∴α+β=2kπ+(k∈Z)，∴α=2kπ+-β(k∈Z)?！鄑an（2α+β）+tanβ=tan[2(2kπ+-β)+β]+tanβ=tan（4kπ+π—2β+β）+tanβ=tan(4kπ+π—β)+tanβ=tan(π—β)+tanβ=—tanβ+tanβ=0.∴tan（2α+β)+tanβ=0得證.例5已知sinα是方程6x=1—根，那么的值等于（)A。±B?！繡。D.思路解析：先求出方程6x=1—的根,即為sinα的值,然后對(duì)所求式子用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，最后把sinα的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可.由6x=1-,解得x=,即sinα=,=-tanα,∵sinα=,∴α應(yīng)為第一或第二象限的角?！鄑anα=±，-tanα=±。答案：A黑色陷阱:解答此題容易出錯(cuò)的地方有兩處，一是在解方程6x=1—時(shí),忽視了x的定義域，錯(cuò)誤地把得到的負(fù)值也保留;二是對(duì)各誘導(dǎo)公式掌握不熟練，在化簡(jiǎn)所求關(guān)系式的過程中出錯(cuò)。變式訓(xùn)練1已知sin(π-α）-cos（π+α）=（〈α<π),則sinα—cosα等于___________。思路解析:將已知平方，得sinαcosα，然后利用（sinα±cosα)2=1±2sinαcosα求解。易知sin（π-α)—cos（π+α）=sinα+cosα=.兩邊平方,得1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=.∵<α<π，∴sinα>0>cosα.故有sinα-cosα==.答案:變式訓(xùn)練2如圖1—2-6，已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2,0)，C(2,1），D（0,1)。一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P0出發(fā)，沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3、P4（入射角等于反射角）。設(shè)P4的坐標(biāo)（x4，0）,若1〈x4〈2,則tanθ的范圍是(）圖1—2-6A.(,1)B.（,）C.(,）D。（，）思路解析:可以把tanθ表示為x4的函數(shù),即得到tanθ=f(x4)，再根據(jù)1〈x4〈2求解；或得到x4=f(tanθ)，然后根據(jù)1〈f(tanθ)〈2解tanθ;也可用淘汰法.設(shè)P1(2,y1），P2(x2,1）,P3(0，y3），其中P0（1，0)，根據(jù)反射角與入射角相等的關(guān)系，得到關(guān)系式tanθ=?！鄖1=tanθ，x2=2—,y3=1-x2tanθ=2-3tanθ,x4=—3?！擀取?0,)，x4∈(1,2)，∴1<—3<2.解得<tanθ<。答案：C例6已知cos（-α)=，求cos(+α)-sin2（α-）的值.思路分析：注意到—α++α=π,可以把+α化成π-(-α），α-=—(-α)，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.解:cos(+α）=cos［π—（—α）]=—cos(-α）=，sin2(α-）=sin2［-(-α）］=1-cos2(—α）=1-()2=,∴cos（+α)—sin2（α-)=—=.綠色通道:此類題目要靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式，在做題時(shí)要注意觀察角與角之間的關(guān)系，例如+α=π—(-α），利用誘導(dǎo)公式把未知三角函數(shù)值用已知三角函數(shù)表示出來.變式訓(xùn)練求函數(shù)y=lgsin(630°-2x)的最大值。思路分析：將sin（630°-2x)化簡(jiǎn)為-cos2x,然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及余弦函數(shù)的有界性,求得y=lgsin（630°—2x）的最大值。解：sin（630°—2x）=sin(360°+180°+90°-2x）=sin(180°+90°-2x)=—sin（90°-2x）=—cos2x,∴y=lgsin(630°-2x)=lg（-cos2x).其中—cos2x〉0，∴cos2x〈0。又cos2x≥-1，∴當(dāng)且僅當(dāng)cos2x=-1時(shí)，ymax=lg1=0。例7若f(sinx）=cos17x,求f（）的值。思路分析:此類題目是誘導(dǎo)公式與函數(shù)之間的一種混合運(yùn)算，在運(yùn)算的過程中，要理解函數(shù)表達(dá)式的意義,靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式.解:f（）=f(sin)=cos=cos（2π+)=cos=cos(π—）=—cos=.綠色通道:此類題目在運(yùn)算過程中要注意選取恰當(dāng)?shù)慕?，在運(yùn)用誘導(dǎo)公式時(shí)，要注意角的合理拆分.解答三角函數(shù)問題的時(shí)候，除了掌握特殊角的三角函數(shù)值，還要能夠把某些數(shù)值恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化成某個(gè)特殊角的三角函數(shù)的形式，以達(dá)到簡(jiǎn)化問題的目的。變式訓(xùn)練設(shè)f（x)=asin（πx+α)+bcos(πx+β），其中a、b、α、β都是非零實(shí)數(shù)，若f(2002）=-1,則f(2003）等于____________.思路解析:用誘導(dǎo)公式尋求f（2002)和f(2003)的關(guān)系。f(2003)=asin（2003π+α)+bcos（2003π+β）=asin[π+(2002π+α)］+bcos[π+（2002π+β）］=-asin(2002π+α）-bcos（2002π+β）=—f(2002）=1.答案:1問題探究問題1你能找到三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)記憶規(guī)律嗎?導(dǎo)思：三角函數(shù)的符號(hào)是根據(jù)三角函數(shù)的定義和各象限內(nèi)的坐標(biāo)符號(hào)導(dǎo)出的,從原點(diǎn)到角的終邊上任意一點(diǎn)的距離r總是正值,根據(jù)三角函數(shù)的定義可知正弦的符號(hào)取決于縱坐標(biāo)y的符號(hào),余弦的符號(hào)取決于橫坐標(biāo)x的符號(hào),正切當(dāng)x、y同號(hào)時(shí)為正，異號(hào)時(shí)為負(fù).探究：方法一：利用口訣“一全正，二正弦,三正切，四余弦”，也可簡(jiǎn)寫為“全，S，T,C”來記憶.上述口訣表示：第一象限全是正值，第二象限正弦（S)是正值，第三象限正切(T）是正值，第四象限余弦(C)是正值。至于正割、余割和余切函數(shù)值在各象限的符號(hào),只需記住它們與余弦、正弦、正切在各象限內(nèi)的符號(hào)相同就可以了.方法二：利用圖1-2-7記憶,口訣在圖下方:圖1—2-7問題2誘導(dǎo)公式六:sin(+α）=cosα，cos（+α）=—sinα課本中已經(jīng)給出了推導(dǎo)方法，你還能有其他的方法推導(dǎo)出這兩個(gè)公式嗎？導(dǎo)思:思路一：借助誘導(dǎo)公式五實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化,再借助公式三判斷出函數(shù)值的符號(hào)；思路二:借助單位圓,根據(jù)三角函數(shù)值去找角的終邊，從而得出公式的