通信原理課件第7章 數(shù)字信號(hào)的基帶傳輸

7.1引言7.2數(shù)字基帶系統(tǒng)的構(gòu)成7.3數(shù)字基帶信號(hào)的碼型和波形7.4數(shù)字基帶信號(hào)的功率譜分析7.5無碼間干擾的傳輸波形7.6無碼間干擾時(shí)噪聲對(duì)傳輸性能的影響7.7眼圖7.8均衡7.9部分響應(yīng)系統(tǒng)本章小結(jié)習(xí)題

第7章數(shù)字信號(hào)的基帶傳輸7.1引言所謂基帶信號(hào)，就是頻譜集中在零頻(直流)或某個(gè)低頻附近的信號(hào)。由物理信號(hào)(如大氣壓強(qiáng)、環(huán)境溫度、人的聲音等)直接轉(zhuǎn)換過來的電信號(hào)絕大多數(shù)是基帶信號(hào)。基帶信號(hào)可以是模擬信號(hào)，也可以是數(shù)字信號(hào)。如果基帶信號(hào)是模擬信號(hào)，稱為模擬基帶信號(hào)，如聲音通過麥克風(fēng)轉(zhuǎn)換后的語音信號(hào)；如果基帶信號(hào)是數(shù)字信號(hào)，稱為數(shù)字基帶信號(hào)，如計(jì)算機(jī)輸出的二進(jìn)制序列，或由語音信號(hào)數(shù)字化轉(zhuǎn)換而來的數(shù)字語音信號(hào)。實(shí)際中，傳輸信號(hào)的信道通常有兩種：低通型信道和帶通型信道。通常有線信道是低通型信道，而無線信道則是帶通型信道。數(shù)字基帶信號(hào)通過低通型信道的傳輸稱為數(shù)字信號(hào)的基帶傳輸，這樣的傳輸系統(tǒng)稱為數(shù)字基帶系統(tǒng)。7.2數(shù)字基帶系統(tǒng)的構(gòu)成圖是典型的數(shù)字基帶系統(tǒng)組成方框圖。系統(tǒng)主要由信道信號(hào)形成器、信道、接收濾波器、位定時(shí)提取電路和取樣判決器五個(gè)功能部件組成，系統(tǒng)的輸入信號(hào)是數(shù)字基帶信號(hào)。下面對(duì)各個(gè)組成部件的功能作簡(jiǎn)要介紹。圖7.2.1數(shù)字基帶系統(tǒng)組成方框圖1.信道信號(hào)形成器由于輸入的數(shù)字基帶信號(hào)通常不適合直接在信道上傳輸，如大多數(shù)數(shù)字基帶信號(hào)含有豐富的低頻分量、直流分量，而信道通常有隔直流電容等元部件，因而不能傳輸直流和低頻成分，這就需要在信號(hào)傳輸前對(duì)其進(jìn)行變換，使其適合信道的傳輸。又如接收端的定時(shí)(同步)提取電路要從接收到的基帶信號(hào)中提取用于取樣判決的定時(shí)信號(hào)，所以要求發(fā)端發(fā)送的信號(hào)中含有定時(shí)成分，如果基帶信號(hào)中沒有這樣的分量，也需要對(duì)這樣的數(shù)字基帶信號(hào)進(jìn)行變換，使接收端便于提取定時(shí)信號(hào)。所有這些，都需要有一個(gè)部件，將輸入的數(shù)字基帶信號(hào)變換成適合于信道傳輸?shù)幕鶐盘?hào)，信道信號(hào)形成器就是這樣的一個(gè)功能部件。它采用的方法是對(duì)輸入的數(shù)字基帶信號(hào)進(jìn)行碼型變換和波形變換。碼型變換的作用是將輸入的數(shù)字基帶信號(hào)變換成適合于信道傳輸?shù)拇a型，不同碼型的數(shù)字基帶信號(hào)具有不同的特點(diǎn)。波形變換的作用是形成適合于信道傳輸?shù)牟ㄐ?，使其具有較高的頻帶利用率及較強(qiáng)的抗碼間干擾能力。這種波形變換也稱為波形成形。

2.信道基帶傳輸?shù)男诺劳ǔ橛芯€信道，其傳遞函數(shù)為C(f)，它是低通型的傳輸特性，可看做一個(gè)低通濾波器，由于它通常是不理想的，所以信號(hào)通過它會(huì)產(chǎn)生失真。另外，信道中還會(huì)引入噪聲n(t)。一般認(rèn)為噪聲n(t)是零均值的高斯白噪聲?；鶐到y(tǒng)中的其它部件也會(huì)產(chǎn)生噪聲，但它們和信道中的噪聲n(t)相比小得多，所以在通信系統(tǒng)的分析中一般只考慮信道中的噪聲。

3.接收濾波器發(fā)端發(fā)送的信號(hào)經(jīng)過信道后，由于信道的不理想及信道中的噪聲，使信號(hào)產(chǎn)生了失真，同時(shí)還混入了大量的噪聲，如果對(duì)這樣的信號(hào)不加處理直接進(jìn)行判決，會(huì)產(chǎn)生大量的錯(cuò)誤，因此在取樣判決前必須經(jīng)過一個(gè)接收濾波器。接收濾波器的作用有兩個(gè)：一個(gè)是濾除信號(hào)頻帶以外的噪聲，另一個(gè)是對(duì)失真的信號(hào)進(jìn)行校正，以便得到有利于取樣判決器判決的波形。

4.取樣判決和碼元再生取樣判決器的功能是在規(guī)定的時(shí)刻(由位定時(shí)脈沖控制)對(duì)接收濾波器輸出的信號(hào)進(jìn)行取樣，然后根據(jù)預(yù)選確定的判決規(guī)則對(duì)取樣值進(jìn)行判決，確定發(fā)端發(fā)的是“1”碼還是“0”碼。由于信號(hào)的失真及噪聲的影響，判決器會(huì)發(fā)生錯(cuò)判，如發(fā)端發(fā)送的是“1”碼，而判決器判決出“0”碼，這種現(xiàn)象稱為誤碼。碼元再生器的功能是將判決器判決出的“1”碼及“0”碼變換成所需的數(shù)字基帶信號(hào)形式。

5.位定時(shí)提取電路其功能是從接收濾波器輸出的信號(hào)中提取用于控制取樣判決時(shí)刻的定時(shí)信號(hào)，要求提取的定時(shí)信號(hào)和發(fā)送的二進(jìn)制數(shù)字序列同頻同相。所謂同頻，就是發(fā)送端發(fā)送一個(gè)碼元，接收端應(yīng)判決出一個(gè)碼元，即定時(shí)信號(hào)的周期應(yīng)等于碼元周期(碼元寬度)，這樣收發(fā)兩端的碼元一一對(duì)應(yīng)不會(huì)搞錯(cuò)。所謂同相，就是定時(shí)信號(hào)的脈沖應(yīng)對(duì)準(zhǔn)接收信號(hào)的最佳取樣判決時(shí)刻，使取樣器取到的樣值最有利于正確的判決。為進(jìn)一步理解數(shù)字基帶系統(tǒng)各部分的功能，圖給出了數(shù)字基帶系統(tǒng)方框圖中各點(diǎn)的波形。圖7.2.2(a)是輸入的數(shù)字基帶信號(hào)，其波形為矩形，碼型為單極性全占空，碼元間隔為Ts。經(jīng)碼型變換器后為雙極性半占空信號(hào)，如圖7.2.2(b)所示。波形變換后的信號(hào)如圖7.2.2(c)所示，矩形波形變換成了升余弦波形，這個(gè)波形是真正加到信道輸入端的信號(hào)。接收濾波器輸出端的信號(hào)如圖7.2.2(d)所示，它是濾除了大量帶外噪聲并且得到校正后的信號(hào)，此信號(hào)用于取樣判決。圖7.2.2(e)是位定時(shí)提取電路提取的定時(shí)信號(hào)，控制取樣判決時(shí)刻。圖7.2.2(f)是接收端恢復(fù)的信號(hào)，其中有一個(gè)誤碼，這是因?yàn)樾诺赖牟焕硐爰霸肼暩蓴_引起的。實(shí)際傳輸系統(tǒng)總會(huì)有誤碼。圖7.2.2數(shù)字基帶系統(tǒng)各點(diǎn)波形7.3數(shù)字基帶信號(hào)的碼型和波形7.3.1數(shù)字基帶信號(hào)的碼型不同碼型的數(shù)字基帶信號(hào)具有不同的頻譜特性，因此，要合理地設(shè)計(jì)碼型使之適合于給定信道的傳輸特性。那么基帶傳輸系統(tǒng)的信道對(duì)數(shù)字基帶信號(hào)的碼型有什么要求呢？歸納起來主要有以下幾點(diǎn)：(1)由于大多數(shù)基帶信道低頻端的傳輸特性都不好，不利于含有直流和豐富低頻分量的信號(hào)傳輸，所以要求選用合適的碼型，使數(shù)字基帶信號(hào)中沒有直流分量及低頻分量。(2)由于接收端的位定時(shí)提取電路從接收信號(hào)中提取定時(shí)信號(hào)，所以通常要求數(shù)字基帶信號(hào)中含有定時(shí)分量。(3)要求數(shù)字基帶信號(hào)含有較小的高頻分量，以節(jié)省傳輸帶寬。(4)要求編譯碼設(shè)備盡量簡(jiǎn)單。數(shù)字基帶信號(hào)的碼型種類很多，每一種碼型有它自己的特點(diǎn)，實(shí)際中應(yīng)根據(jù)具體的傳輸信道選擇合適的碼型。下面以矩形脈沖為例介紹一些常用的碼型及它們的特點(diǎn)。

1.單極性不歸零碼(單極性全占空碼)在單極性不歸零碼中，用一個(gè)寬度等于碼元間隔Ts的正脈沖表示信息“1”，沒有脈沖表示信息“0”。反之亦然。設(shè)數(shù)字序列為1010110，則其單極性不歸零碼如圖所示。用這種碼型表示的數(shù)字基帶信號(hào)，其直流分量不為零。圖7.3.1單極性不歸零碼

2.雙極性不歸零碼(雙極性全占空碼)它是用寬度等于碼元間隔Ts的兩個(gè)幅度相同但極性相反的矩形脈沖來表示信息，如正脈沖表示“1”，負(fù)脈沖表示“0”；也可以用正脈沖表示“0”，負(fù)脈沖表示“1”。用這種碼型表示的信號(hào)，當(dāng)“1”、“0”等概時(shí)直流分量等于0。設(shè)數(shù)字序列為1010110，則其雙極性不歸零碼如圖所示。圖7.3.2雙極性不歸零碼3.單極性歸零碼信息為1010110的單極性歸零碼如圖所示，它與單極性不歸零碼類似，也是用脈沖的有無來表示信息，所不同的只是脈沖的寬度不等于碼元間隔而是小于碼元間隔。因此，每個(gè)脈沖都在相應(yīng)的碼元間隔內(nèi)回到零電位，所以稱為單極性歸零碼。當(dāng)脈沖的寬度等于碼元間隔的一半時(shí)，稱它為單極性半占空碼。碼元間隔相同時(shí)，歸零碼的脈沖寬度比不歸零碼窄，因而它的帶寬比不歸零碼的帶寬要寬，這種碼型的信號(hào)其直流分量也不等于零。圖7.3.3單極性歸零碼

4.雙極性歸零碼雙極性歸零碼如圖所示，它與雙極性不歸零碼相似，所不同的也只是脈沖的寬度小于碼元間隔。因此，在碼元間隔相同的情況下，用雙極性歸零碼表示的信號(hào)其帶寬也要大于雙極性不歸零碼信號(hào)的帶寬。圖7.3.4雙極性歸零碼

5.差分碼差分碼是用相鄰碼元的變化與否來表示原數(shù)字信息。通常采用這樣的編碼規(guī)則：差分碼相鄰碼元發(fā)生變化表示信息“1”，差分碼相鄰碼元不發(fā)生變化表示“0”。根據(jù)這個(gè)編碼規(guī)則，得到的差分碼bn與原數(shù)字信息an之間有這樣的關(guān)系

(7-3-1)其中，為異或運(yùn)算或模2運(yùn)算。所以，當(dāng)給定信息序列an時(shí)，可根據(jù)式(7-3-1)求相應(yīng)的差分碼。

例7.3.1求數(shù)字信息序列1010110的差分碼。

解根據(jù)給定的數(shù)字序列，我們知道a1=1,a2=0,a3=1,a4=0,a5=1,a6=1,a7=0根據(jù)式(7-3-1)，得到

所以，數(shù)字信息１０１０１１０的差分碼為０１１００１００。在編碼時(shí)，差分碼中的第一位即b0自己設(shè)定，可設(shè)為“0”也可設(shè)為“1”。本例中我們?cè)O(shè)b0為“0”。設(shè)b0為“1”時(shí)的差分碼請(qǐng)讀者自己求解，并注意比較兩者的結(jié)果，找出它們之間的關(guān)系。對(duì)差分碼的表示可以采用單極性碼，也可采用雙極性碼；可以采用不歸零碼，也可以采用歸零碼。圖7.3.5采用單極性不歸零碼畫出了原數(shù)字信息與它的差分碼的示意圖。觀察圖7.3.5中差分碼相鄰碼元的變化情況及它與信息碼之間的關(guān)系，顯然差分碼相鄰碼元有變化表示信息“1”，相鄰兩碼元不發(fā)生變化表示信息“0”。由于信息攜帶于差分碼的相對(duì)變化上，所以差分碼也稱為相對(duì)碼，與此對(duì)應(yīng)，原數(shù)字信息就稱為絕對(duì)碼。接收端收到相對(duì)碼bn后，可由bn恢復(fù)絕對(duì)碼an。根據(jù)式(7-3-1)可得

(7-3-2)圖7.3.5絕對(duì)碼與差分碼圖7.3.6AMI碼但為了接收端譯碼器能方便地找到插入的特殊序列，第一個(gè)“V”的極性與其前的“1”碼極性相同。總之，HDB3碼應(yīng)確保：(1)數(shù)字序列中沒有長(zhǎng)連“0”出現(xiàn)；(2)插入的特殊序列應(yīng)能被容易識(shí)別；(3)數(shù)字基帶信號(hào)無直流分量。

例設(shè)輸入二進(jìn)制數(shù)據(jù)序列為，求其HDB3。

解HDB3的編碼過程分三個(gè)步驟。第一步：找出四連0組，為清楚起見，用方框框出，如圖7.3.7(a)所示。第二步：用特殊序列代替連0序列，第一個(gè)特殊序列可任意選擇，100V或000V均可，本例中第一個(gè)特殊序列選擇100V。如圖7.3.7(b)所示。

圖7.3.7編碼過程(一)上述HDB3的波形圖如圖所示。圖7.3.8HDB3的波形

例設(shè)輸入二進(jìn)制序列為，求其HDB3。

解編碼過程及得到的結(jié)果如圖所示。在這里，第一個(gè)特殊序列選用000V，第一個(gè)“1”的極性選為“＋1”。圖7.3.9編碼過程(二)編碼輸出序列的波形圖如圖所示。圖7.3.10編碼輸出序列的波形在接收端，將接收到的HDB3序列恢復(fù)為原輸入二進(jìn)制數(shù)據(jù)序列的過程稱為譯碼。對(duì)HDB3而言，譯碼的過程就是找到編碼時(shí)插入的特殊序列并將它恢復(fù)為0000。根據(jù)編碼原則，HDB3的譯碼過程可分為三個(gè)步驟：(1)根據(jù)“V”的極性特點(diǎn)，找出特殊序列。由于編碼時(shí)，每個(gè)“V”的極性與其前第一個(gè)“1”的極性相同，所以，在接收序列中一旦出現(xiàn)連續(xù)兩個(gè)同極性碼時(shí)，兩個(gè)同極性碼的后一個(gè)即為“V”，此“V”與其前的三位碼就是一個(gè)特殊序列。(2)確定特殊序列是000V還是100V，進(jìn)而將特殊序000V或100V中的“1”和“V”都恢復(fù)為0。如果特殊序列的第一個(gè)碼元位置有脈沖，不管是正脈沖還是負(fù)脈沖，都說明此特殊序列是100V，將“1”和“V”都改為0；如果特殊序列的第一個(gè)碼元位置沒有脈沖，說明此特殊序列是000V，只要將“V”改為0就行了。(3)將正、負(fù)脈沖都恢復(fù)為“1”，零電平恢復(fù)為“0”。

例接收HDB3的波形如圖7.3.11(a)所示。求原信息序列。

解(1)根據(jù)譯碼方法首先確定“V”的位置，如圖7.3.11(b)所示。(2)將000V和100V中的“1”和“V”改為0，如圖7.3.11(c)所示。(3)恢復(fù)原信息序列，如圖7.3.11(d)所示。圖7.3.11求原信息序列的步驟7.4數(shù)字基帶信號(hào)的功率譜分析7.4.1二元數(shù)字基帶信號(hào)的功率譜分析二元數(shù)字基帶信號(hào)中只有二個(gè)不同的符號(hào)，常稱為“1”碼和“0”碼。設(shè)“1”碼的基本波形為g1(t)，出現(xiàn)的概率為p，“0”碼的基本波形為g2(t)，概率為1-p，碼元寬度(碼元間隔)為Ts，fs=1/Ts，前后碼元統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。經(jīng)數(shù)學(xué)分析得二元數(shù)字基帶信號(hào)的雙邊功率譜表達(dá)式為

這里，G1(f)、G2(f)分別是g1(t)與g2(t)的頻譜函數(shù)。(7-4-1)單邊譜表達(dá)式為從雙邊功率譜公式可看出二元數(shù)字基帶信號(hào)的功率譜包括兩大部分：(1)連續(xù)譜fsp(1-p)|G1(f)-G2(f)|2

根據(jù)連續(xù)譜可以確定二元數(shù)字基帶信號(hào)的帶寬。在實(shí)際通信時(shí)，選取的“1”碼及“0”碼波形不可能相同，即g1(t)≠g2(t)，因此G1(f)≠G2(f)，故連續(xù)譜總是存在的。(2)離散譜離散譜由很多的離散分量構(gòu)成。所以根據(jù)離散譜可以確定二元數(shù)字基帶信號(hào)是否包含直流成分(n=0)及定時(shí)信號(hào)(n=±1)。其中，直流成分為，定時(shí)分量為。直流成分及定時(shí)信號(hào)是否存在要，看這兩項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果。

例已知某單極性不歸零隨機(jī)脈沖序列，其碼元速率為Rs=1000B，“１”碼波形是寬度為碼元間隔、幅度為A的矩形脈沖，“0”碼為0，且“1”碼概率為0.4。求該數(shù)字基帶信號(hào)的功率譜帶寬、直流成分及定時(shí)分量的大小。

解(1)根據(jù)單邊功率譜公式，此數(shù)字基帶信號(hào)的單邊功率譜為

根據(jù)題意有

p=0.4，Ts=1/Rs=1/1000=0.001s，fs=1000Hz， G1(f)=F［g1(t)］=ATsSa(πfTs),G0(f)=0將上述已知條件代入功率譜公式，得單邊功率譜為當(dāng)f=nfs時(shí)，G1(nfs)有以下幾種取值情況：①當(dāng)n=0時(shí)，G1(nfs)=ATsSa(0)=ATs≠0，因此離散譜中有直流分量。②當(dāng)n是不為零的整數(shù)時(shí)，G1(nfs)=ATsSa(nπ)=0，離散譜除直流外都為零，所以沒有定時(shí)分量。(2)信號(hào)的帶寬由連續(xù)譜2fsp(1-p)|G1(f)-G2(f)|2=0.48A2TsSa2(πfTs)確定，其中0.48A2Ts確定連續(xù)譜的幅度與帶寬沒關(guān)系，真正確定帶寬的是Sa2(πfTs)，該譜的第一個(gè)零點(diǎn)為f=1/Ts=1000Hz，如果用第一個(gè)零點(diǎn)來定義信號(hào)的帶寬(通常這樣定義)，則此信號(hào)的帶寬為B=1000Hz。(3)直流成分是功率譜公式中n=0的項(xiàng)，即0.16A2δ(f)，此項(xiàng)為直流功率譜，直流功率應(yīng)為此項(xiàng)的積分，等于0.16A2W，相應(yīng)的直流成分幅度為0.4AV。(4)由于此數(shù)字基帶信號(hào)中不含有定時(shí)分量，所以定時(shí)分量大小為0。單極性不歸零矩形信號(hào)不含有定時(shí)分量，而歸零碼表示的信號(hào)中則含有定時(shí)分量。

例分析0、1等概的單極性歸零碼的功率譜。已知“１”碼的波形是幅度為A的半占空矩形脈沖。

解設(shè)“１”碼的波形為g1(t)，“0”碼的波形為g2(t)，則g1(t)、g2(t)波形如圖所示。圖7.4.1波形圖對(duì)兩種波形作傅氏變換得

將上述條件代入功率譜公式，可得單邊功率譜表達(dá)式為從此功率譜表達(dá)式可看到：(1)存在直流成分，直流譜為，直流幅度為。(2)n為奇數(shù)時(shí)，Sa(nπ/2)≠0，此時(shí)有離散譜。其中n=1時(shí)，Sa(π/2)≠0，所以離散譜中有位定時(shí)分量。(3)n為偶數(shù)時(shí)，Sa(nπ/2)=0，此時(shí)無離散譜。(4)連續(xù)譜中決定此隨機(jī)信號(hào)帶寬的頻譜成分為Sa2(πfTs/2)，此譜的第一個(gè)零點(diǎn)在f=2/Ts=2fs處，所以信號(hào)的帶寬為2fs，此帶寬是不歸零碼信號(hào)帶寬的2倍。由此可見，歸零碼信號(hào)在傳輸時(shí)需占據(jù)信道更寬的帶寬。圖7.4.2所示為半極性半占空碼的功率譜示意圖。圖7.4.2單極性半占空碼的功率譜示意圖7.4.2多元數(shù)字基帶信號(hào)的功率譜分析以AMI碼表示的數(shù)字基帶信號(hào)有三個(gè)電平，分別是+a、-a及0，此數(shù)字序列可表示為(7-4-2)其中，Ak是離散隨機(jī)變量，取值為+a、-a、0，Ts為碼元寬度，v(t)是基本波形，可以為矩形脈沖，也可以為升余弦等其它脈沖。經(jīng)推導(dǎo)得式(7-4-2)表示的數(shù)字基帶信號(hào)的功率譜為(7-4-3)其中，V(f)是基本波形v(t)的傅氏變換，RA(n)為Ak序列的自相關(guān)函數(shù)，RA(n)定義為RA(n)=E［A

kAk-1］根據(jù)式(7-4-3)，只要求出AMI碼序列的自相關(guān)函數(shù)RA(n)就可以得到AMI碼數(shù)字基帶信號(hào)的功率譜。為方便，設(shè)原信息序列中“１”、“０”碼等概，則AMI碼中+a、-a、0這三個(gè)電平出現(xiàn)的概率為(Ak=a)=1/4，p(Ak=-a)=1/4，p(Ak=0)=1/2因此，當(dāng)n=0時(shí)當(dāng)n=±1時(shí)，由于原信息序列中相鄰兩位碼只有四種情況：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)，且這種情況是等概的，出現(xiàn)概率各為1/4，因此，在AMI碼中乘積AkAk-1為0、0、0和-a2，所以有

當(dāng)n>1時(shí)，用同樣的方法容易求得至此，求得AMI碼序列的自相關(guān)函數(shù)為

將此自相關(guān)函數(shù)代入式(7-4-3)，同時(shí)設(shè)AMI碼的基本波形為幅度為1的全占空矩形脈沖，則AMI碼表示的數(shù)字基帶信號(hào)的功率譜表達(dá)式為此功率譜函數(shù)的歸一化曲線如圖所示。為便于比較，同時(shí)也畫出了單、雙極性不歸零信號(hào)的功率譜曲線。從曲線可以看出，AMI信號(hào)的功率主要分布于0~1/Ts之間，這一點(diǎn)與單極性、雙極性全占空碼的分布特性是一樣的，但單、雙極性全占空碼主要功率分布于零頻率附近，而AMI碼的主要功率卻分布于0.5/Ts附近，所以AMI碼更適合在低頻特性不好的信道上傳輸。圖7.4.3不同碼型基帶信號(hào)的功率譜這種求數(shù)字基帶信號(hào)功率譜的方法同樣適用于二元碼數(shù)字基帶信號(hào)。如雙極性二元碼序列，設(shè)“1”、“0”等概，“1”碼用幅度為a的全占空矩形脈沖表示，“0”碼用幅度為-a的全占空矩形脈沖表示，則其序列的自相關(guān)函數(shù)為因?yàn)榛静ㄐ螢槿伎站匦蚊}沖，所以其傅氏變換為V(f)=TsSa(πfTs)將上述條件代入式(7-3-3)得雙極性全占空數(shù)字基帶信號(hào)的功率譜為PX(f)=a2TsSa2(πfTs)這個(gè)結(jié)果與用二元碼功率譜公式求出的功率譜完全一樣，請(qǐng)讀者自己驗(yàn)證。用求自相關(guān)函數(shù)的方法求數(shù)字基帶信號(hào)的功率譜，困難在于求隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)。所以，這種方法存在一定的局限性。一種行之有效的分析信號(hào)功率譜的方法，是數(shù)字信號(hào)處理課程中介紹的快速傅氏變換。在這里由于篇幅原因不作介紹，有興趣的讀者可參考快速傅里葉變換算法自行編制求功率譜的程序。有了功率譜密度的表達(dá)式和曲線，就可以回答信號(hào)中有無直流成分；有沒有可供位定時(shí)電路提取的離散譜分量；信號(hào)頻譜分布規(guī)律(功率主要集中在什么頻率范圍)如何；信號(hào)帶寬多大等問題。對(duì)于上述分析，簡(jiǎn)單歸納如下：(1)功率譜的形狀取決于基本波形的頻譜函數(shù)及碼型。例如矩形波的頻譜函數(shù)為Sa(x)，功率譜形狀為Sa2(x)，同時(shí)碼型會(huì)起到加權(quán)作用，使功率譜形狀發(fā)生變化，如上面的AMI碼功率譜，加權(quán)函數(shù)為sin2(πfTs)，使AMI碼的功率譜在零頻附近分量很小。(2)時(shí)域波形的占空比愈小，頻帶愈寬。通常我們用功率譜的第一個(gè)零點(diǎn)作為信號(hào)的近似帶寬，所以半占空波形的零點(diǎn)帶寬是全占空波形零點(diǎn)帶寬的2倍。(3)凡是“0”、“1”等概的雙極性碼均無離散譜。這就意味著這種碼型無直流分量和定時(shí)分量。(4)單極性歸零碼的離散譜中有位定時(shí)分量，因此可直接提取，對(duì)于那些不含有位定時(shí)分量的碼型，設(shè)法將其變?yōu)閱螛O性歸零碼，便可獲得位定時(shí)分量。7.5無碼間干擾的傳輸波形7.5.1碼間干擾產(chǎn)生的原因及其對(duì)系統(tǒng)性能的影響設(shè)發(fā)端發(fā)送的數(shù)字基帶信號(hào)如圖7.5.1(a)所示。這是一個(gè)雙極性矩形脈沖序列，它是由不同時(shí)延的一系列正負(fù)矩形脈沖相加而成的，換句話說，它可以分解成一系列不同時(shí)延的正負(fù)脈沖，所以圖7.5.1(a)所示的數(shù)字基帶信號(hào)通過基帶系統(tǒng)后的波形是由不同時(shí)延的單個(gè)矩形脈沖通過系統(tǒng)后的波形相加而成。當(dāng)系統(tǒng)具有理想的傳輸特性且?guī)挒闊o窮大時(shí)，單個(gè)矩形脈沖通過它時(shí)，沒有受到任何的失真，所以當(dāng)輸入如圖7.5.1(a)所示的數(shù)字基帶信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)輸出端得到的波形和圖7.5.1(a)所示的輸入波形形狀相同，前后碼元之間不存在互相干擾。但實(shí)際基帶傳輸系統(tǒng)的帶寬是有限的，持續(xù)時(shí)間有限的單個(gè)矩形脈沖通過這樣的系統(tǒng)傳輸后其波形在時(shí)域上必定是無限延伸的，如圖7.5.1(b)所示。所以圖7.5.1(a)所示的數(shù)字基帶信號(hào)通過實(shí)際系統(tǒng)后的輸出波形如圖7.5.1(c)所示(為清楚起見，只畫出三個(gè)碼元的輸出波形)，從圖7.5.1(c)可清楚地看出，由于每個(gè)碼元的脈沖通過系統(tǒng)后在時(shí)域上的擴(kuò)展，使得前后碼元在時(shí)間上有重疊，這種重疊稱為碼間干擾。碼間干擾大到一定程度時(shí)將會(huì)引起接收端的錯(cuò)誤判決。我們以圖7.5.1(c)對(duì)第2個(gè)碼元的判決為例來說明這一點(diǎn)。設(shè)第2個(gè)碼元的取樣判決時(shí)刻為Ts+t1，a1、a2、a3分別是第1、2、3個(gè)碼元在第2個(gè)碼元取樣時(shí)刻Ts+t1的取樣值，則用于第2個(gè)碼元判決的取樣值為a3+a1+a2，顯然，第1、3個(gè)碼元在第2個(gè)碼元取樣時(shí)刻的取樣值總和a1+a3對(duì)第2個(gè)碼元的判決來說是一種干擾，當(dāng)a1+a3的絕對(duì)值超過a2的絕對(duì)值且兩者極性相反時(shí)，第2個(gè)碼元的判決就會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。圖7.5.1碼間干擾示意圖7.5.2無碼間干擾傳輸波形從上面的分析看到，由于系統(tǒng)的帶限性，每個(gè)碼元的輸出波形在時(shí)間上是無限擴(kuò)展的，所以在每一個(gè)碼元的取樣判決處，除了本碼元的取樣值外，前后許多碼元在這一時(shí)刻的取樣值不為零，從而形成了碼間干擾。碼間干擾會(huì)使判決產(chǎn)生錯(cuò)誤，所以我們希望通過合理設(shè)計(jì)系統(tǒng)，使每一個(gè)碼元的輸出波形在其它碼元取樣判決時(shí)刻的值為零，從而消除前后碼元之間的碼間干擾，這樣的碼元輸出波形稱為無碼間干擾傳輸波形。那么無碼間干擾傳輸波形是什么樣的呢？下面我們首先對(duì)碼間干擾作簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)分析，然后再介紹無碼間干擾的傳輸波形。圖7.5.2是數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)的主要部分，其輸出y(t)用于取樣判決。其中HT(f)、HC(f)、HR(f)分別表示發(fā)送濾波器、信道及接收濾波器的傳輸特性，H(f)表示從發(fā)送濾波器輸入端至接收濾波器輸出端的總的傳輸特性，由圖7.5.2可知，H(f)可表示為H(f)=HT(f)HC(f)HR(f)設(shè)圖7.5.2中的輸入d(t)是經(jīng)過了碼型變換的單位沖激序列，碼元間隔為Ts，可表示為根據(jù)頻譜分析的知識(shí)我們知道，當(dāng)一個(gè)單位沖激脈沖輸入到傳輸特殊為H(f)的系統(tǒng)時(shí)，輸出則為這個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，h(t)與H(f)是一對(duì)傅氏變換，即圖7.5.2數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型若輸入沖激脈沖序列，則輸出相應(yīng)地為由h(t)所組成的脈沖序列，所以當(dāng)d(t)輸入到圖7.5.2所示的系統(tǒng)時(shí)，輸出y(t)為(7-5-1)式中,bk為第k個(gè)輸入脈沖的相對(duì)幅度，它由輸入的信息決定，與碼型有關(guān)，是隨機(jī)的，如果碼型為雙極性，則bk有＋１、－１兩種取值；如果碼型為AMI碼，則bk有+1、-1、0三種取值。y(t)被送到取樣判決器。設(shè)第m個(gè)碼元的取樣判決時(shí)刻為(mTs+t0)，其中，mTs表示第m個(gè)發(fā)送碼元的起始時(shí)刻，t0為時(shí)偏。由于每個(gè)碼元的最佳判決時(shí)刻不一定在接收碼元的起始時(shí)刻，因此往往有一定的時(shí)延。另外，信道和收發(fā)濾波器也有一定的時(shí)延，t0則為這兩部分時(shí)延之和，根據(jù)式(7-5-1)，得到在第m個(gè)碼元取樣判決時(shí)刻接收濾波器輸出為(7-5-2)我們把k=m的一項(xiàng)單獨(dú)列出，故有(7-5-3)

式(7-5-3)表示在第m個(gè)碼元取樣時(shí)刻的取樣值。此取樣值包括兩部分，第一項(xiàng)bmh(t0)是第m個(gè)碼元輸出波形的取樣值，它攜帶著第m個(gè)發(fā)送碼元的信息，是我們所需要的值；第二項(xiàng)是除第m個(gè)碼元外，其它所有碼元的輸出波形在第m個(gè)碼元取樣判決時(shí)刻的取樣值總和，這個(gè)值對(duì)第m個(gè)碼元的判決起干擾作用，我們稱這個(gè)值為碼間干擾。從上面的分析看到，要想消除碼間干擾對(duì)數(shù)字基帶系統(tǒng)性能的影響，必須設(shè)法使式(7-5-3)中的碼間干擾項(xiàng)為零，即在第m個(gè)碼元的取樣判決處，其它所有碼元的輸出波形在這一時(shí)刻的取樣值總和等于零。由于此碼間干擾項(xiàng)的大小與輸入的隨機(jī)序列bk及系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)有關(guān)，又因?yàn)閎k是隨機(jī)序列，且h(t)在時(shí)域上是無限擴(kuò)展的，所以要想使此碼間干擾項(xiàng)為零，必須合理設(shè)計(jì)系統(tǒng)，得到無碼間干擾的沖激響應(yīng)h(t)。

1.理想低通濾波器的沖激響應(yīng)設(shè)理想低通濾波器的傳輸特性H(f)為

其中，B為理想低通濾波器的帶寬。如圖7.5.3(a)所示。圖7.5.3理想低通傳輸特性及沖激響應(yīng)根據(jù)頻譜分析知識(shí)可得理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為

h(t)的波形圖如圖7.5.3(b)所示。由圖7.5.3(b)可知，理想低通濾波器的沖激響應(yīng)h(t)在(n≠0的整數(shù))時(shí)有周期性零點(diǎn)。如果發(fā)送碼元波形的時(shí)間間隔為(碼元速率為Rs=2B(Baud))，接收端在

時(shí)刻對(duì)第n個(gè)碼元取樣，前后碼元的輸出波形在這點(diǎn)剛好都是零點(diǎn)，因而是無碼間干擾的。圖7.5.4畫出了這種情況下無碼間干擾的示意圖。圖7.5.4無碼間干擾的示意圖此h(t)是一個(gè)無碼間干擾的傳輸波形，相應(yīng)的系統(tǒng)H(f)稱為無碼間干擾傳輸系統(tǒng)。但需要注意的是，即使是無碼間干擾傳輸系統(tǒng)，也只能按某些特定速率傳輸碼元，才能達(dá)到無碼間干擾的目的，那些特定的速率稱為無碼間干擾傳輸速率。那么，對(duì)于上述帶寬為B的理想低通系統(tǒng)，無碼間干擾速率有哪些呢？由圖7.5.4可知，當(dāng)發(fā)送碼元的間隔小于時(shí)，任一碼元的取樣時(shí)刻都不在其它碼元輸出波形的零點(diǎn)上，此時(shí)系統(tǒng)有碼間干擾。因此，是確保無碼間干擾的最小碼元間隔，此時(shí)的碼元速率2B(Baud)稱為最大無碼間干擾速率。從圖7.5.4也可以看出，當(dāng)碼元的發(fā)送間隔為的正整數(shù)倍時(shí)，即碼元間隔(n為正整數(shù))時(shí)，在任一碼元的取樣點(diǎn)上，其它碼元的輸出波形也都剛好是零點(diǎn)，碼間干擾也為零。因此，帶寬為B的理想低通系統(tǒng)其無碼間干擾速率為(7-5-4)

n=1對(duì)應(yīng)最大無碼間干擾速率2B(Baud)波特，此速率稱為奈奎斯特速率，對(duì)應(yīng)的碼元間隔稱為奈奎斯特間隔，此時(shí)頻帶利用率η=傳輸速率/系統(tǒng)帶寬=Rs/B=2B/B=2Baud/Hz稱為奈奎斯特頻帶利用率，這是數(shù)字基帶系統(tǒng)的極限頻帶利用率，目前，任何一種實(shí)用系統(tǒng)的頻帶利用率都小于2Baud/Hz。由以上分析可知，理想低通特性是一種無碼間干擾傳輸特性，且可達(dá)到最大頻帶利用率。但是這種傳輸條件實(shí)際上不可能達(dá)到，因?yàn)槔硐氲屯ǖ膫鬏斕匦砸馕吨袩o限陡峭的過渡帶，這在工程上是無法實(shí)現(xiàn)的。即使獲得了這種傳輸特性，其沖激響應(yīng)波形的尾部衰減特性很差，即波形的拖尾振蕩大，衰減慢，這樣就要求接收端的取樣定時(shí)脈沖必須準(zhǔn)確無誤，若稍有偏差，就會(huì)引起較大的碼間干擾。

2.升余弦傳輸特性的沖激響應(yīng)設(shè)升余弦傳輸特性為

(7-5-5)

其中，B是升余弦傳輸特性的截止頻率，也就是系統(tǒng)的帶寬。升余弦傳輸特性如圖7.5.5(a)所示。圖7.5.5升余弦傳輸特性及其沖激響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位沖激脈沖時(shí)，接收波形的頻譜函數(shù)就等于系統(tǒng)的傳輸特性H(f)，由式(7-5-5)可求出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)即接收波形為

h(t)波形示意圖如圖7.5.5(b)所示。由圖7.5.5(b)可知，升余弦傳輸特性的沖擊響應(yīng)h(t)在t=±n/B(n≠0)時(shí)有周期性零點(diǎn)。如果發(fā)送碼元波形的時(shí)間間隔為n/B(n=1,2,3,…)，則在每個(gè)碼元的取樣時(shí)刻(h(t)最大值處)是無碼間干擾的。因此，對(duì)具有升余弦傳輸特性的系統(tǒng)，其無碼間干擾傳輸速率(發(fā)送碼元時(shí)間間隔的倒數(shù))為(7-5-6)由上式可知，最大無碼間干擾速率為Rsmax=B(Baud)。相應(yīng)地，最大頻帶利用率為與具有理想低通傳輸特性的系統(tǒng)相比，升余弦傳輸特性系統(tǒng)的頻帶利用率降低了，但它的沖激響應(yīng)的拖尾振蕩小，衰減快，因此接收端對(duì)定時(shí)準(zhǔn)確性的要求相對(duì)較低。理想低通傳輸特性和升余弦傳輸特性的共同特點(diǎn)是它們的沖激響應(yīng)具有周期性的零點(diǎn)，很顯然，這是無碼間干擾接收波形的條件。除了上述介紹的兩種無碼間干擾傳輸特性外，還有很多傳輸特性也具有這種特點(diǎn)，它們也都是無碼間干擾的傳輸特性。7.5.3無碼間干擾傳輸特性從前邊的討論我們知道，如果得到了系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，我們就能判斷此系統(tǒng)是否是無碼間干擾系統(tǒng)(看是否有周期性的零點(diǎn))；無碼間干擾的傳輸速率有哪些。但在通信系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)中，經(jīng)常用系統(tǒng)的傳輸特性H(f)來描述系統(tǒng)。因此，現(xiàn)在要解決的問題是：當(dāng)給定系統(tǒng)的傳輸特性H(f)時(shí)，我們?nèi)绾蝸砼袛嘞到y(tǒng)有碼間干擾還是無碼間干擾呢？如果是無碼間干擾系統(tǒng)，那么，無碼間干擾速率有哪些呢？最基本的方法是根據(jù)系統(tǒng)的傳輸特性H(f)求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，根據(jù)h(t)判斷系統(tǒng)有無碼間干擾及無碼間干擾的速率等。但由H(f)求h(t)的過程往往十分繁鎖，如果我們找到無碼間干擾傳輸特性的特點(diǎn)，我們就能直接根據(jù)H(f)來判斷系統(tǒng)有無碼間干擾。由于傳輸特性H(f)與沖激響應(yīng)h(t)是一對(duì)傅氏變換，因此，要想使得h(t)具有周期性的零點(diǎn)，H(f)必須具備某個(gè)特點(diǎn)。經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明：具有奇對(duì)稱滾降特性的H(f)，它的沖激響應(yīng)有周期性的零點(diǎn)，是一種無碼間干擾傳輸特性。什么是奇對(duì)稱滾降特性呢？我們以圖所示的余弦滾降傳輸特性來說明這個(gè)問題。傳輸特性H(f)從b點(diǎn)開始滾降，到c點(diǎn)截止。所謂奇對(duì)性，是指曲線ac繞中心點(diǎn)a順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)能和曲線ab重合。所以余弦滾降特性是一種無碼間干擾傳輸特性，α為滾降系數(shù)，取值在0與1之間，代表著滾降的速度。圖7.5.6余弦滾降傳輸特性通過數(shù)學(xué)分析同樣可以證明，具有奇對(duì)稱滾降特性H(f)的系統(tǒng)，它的無碼間干擾傳輸速率為(7-5-7)其中，W是滾降曲線中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率。此系統(tǒng)的帶寬為B=(1+α)W，由式(7-5-7)可得它的最大無碼間干擾速率為Rsmax=2W，所以此余弦滾降系統(tǒng)的最大頻帶利用率為

當(dāng)α=0時(shí)，頻帶利用率為2Baud/Hz，對(duì)應(yīng)于理想低通傳輸特性；當(dāng)α=1時(shí)，頻帶利用率為1Baud/Hz，對(duì)應(yīng)于升余弦傳輸特性。

例有系統(tǒng)的傳輸特性H(f)如圖所示。求此系統(tǒng)的所有無碼間干擾速率及最大頻帶利用率。圖7.5.7直線滾降(梯形)傳輸特性

解滾降曲線以a點(diǎn)呈現(xiàn)奇對(duì)稱，所以它為無碼間干擾傳輸特性。求無碼間干擾速率的思路是：找出滾降特性呈現(xiàn)奇對(duì)稱的中心點(diǎn)a所對(duì)應(yīng)的頻率值W，然后用式(7-5-7)求出所有的無碼間干擾速率。所以，關(guān)鍵是求中心點(diǎn)a所對(duì)應(yīng)的頻率值W，W的簡(jiǎn)單求法是：找出傳輸特性滾降開始點(diǎn)的頻率值及滾降結(jié)束點(diǎn)的頻率值，本例題中分別為1000Hz和3000Hz，然后再求這兩個(gè)值的中間值，得到的這個(gè)中間值就是我們所要求的W，所以W=(1000+3000)/2=2000Hz用式(7-5-7)得到此梯形傳輸特性系統(tǒng)的所有無碼間干擾速率為

n=1代入上述公式，得到此系統(tǒng)的最大無碼間干擾速率Rsmax=4000Baud。最大頻帶利用率為

例7.5.2設(shè)基帶傳輸系統(tǒng)的發(fā)送濾波器、信道及接收濾波器組成的系統(tǒng)總傳輸特性為H(f)，若要求以2/Ts波特的速率進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸，試檢驗(yàn)圖7.5.8中各種H(f)是否滿足消除取樣點(diǎn)上碼間干擾的條件？圖7.5.8幾種基帶傳輸系統(tǒng)的傳輸特性

解本題已知基帶傳輸系統(tǒng)的傳輸特性，問2/Ts碼元速率是不是這些系統(tǒng)的無碼間干擾速率。解題思路：由H(f)求出各系統(tǒng)的所有無碼間干擾速率，看看2/Ts是不是其中的一個(gè)無碼間干擾速率，如果是，說明以2/Ts碼元速率進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸，在取樣點(diǎn)上是無碼間干擾的。(1)由圖7.5.8(a)可知，理想低特性的帶寬B=1/(2Ts)，根據(jù)式(7-5-4)得所有無碼間干擾速率為

此系統(tǒng)的最大無碼間干擾速率為Rsmax=1/Ts<2/Ts。所以，當(dāng)傳輸速率為2/Ts時(shí)，在取樣點(diǎn)上是有碼間干擾的。(2)由圖7.5.8(b)可知，理想低特性的帶寬B=3/(2Ts)，根據(jù)式(7-5-4)得所有無碼間干擾速率為

此系統(tǒng)的無碼間干擾速率有3/Ts，3/(2Ts),1/Ts，…。顯然，2/Ts不是此系統(tǒng)的一個(gè)無碼間干擾速率。所以，當(dāng)傳輸速率為2/Ts時(shí)，在取樣點(diǎn)上也是有碼間干擾的，盡管系統(tǒng)的最大無碼間干擾速率大于2/Ts。(3)由圖7.5.8(c)可知，滾降開始處的頻率值為0，滾降結(jié)束處的頻率值為2/Ts，所以滾降曲線中心點(diǎn)的頻率為W=[0+(2/Ts)]/2=1/Ts，根據(jù)式(7-5-7)得此系統(tǒng)的所有無碼間干擾速率為

它的無碼間干擾速率有2/Ts，1/Ts,2/(3Ts)，…。2/Ts是它的一個(gè)無碼間干擾速率，所以，當(dāng)傳輸速率為2/Ts時(shí)，在取樣點(diǎn)上是無碼間干擾的。(4)由圖7.5.8(d)可知，這是一個(gè)升余弦傳輸特性，滾降開始處的頻率值為0，滾降結(jié)束處的頻率值為1/Ts，所以滾降曲線中心點(diǎn)的頻率為W=[0+(1/Ts)]/2=1/(2Ts)，根據(jù)式(7-5-7)得此系統(tǒng)的所有無碼間干擾速率為

它的無碼間干擾速率有1/Ts，1/(2Ts),1/(3Ts)，…。顯然，2/Ts不是它的一個(gè)無碼間干擾速率，它的最大無碼間干擾速率小于2/Ts。所以，當(dāng)傳輸速率為2/Ts時(shí)，在取樣點(diǎn)上是有碼間干擾的。7.6無碼間干擾時(shí)噪聲對(duì)傳輸性能的影響1.信號(hào)的傳輸及判決數(shù)字基帶系統(tǒng)模型如圖所示。它主要由發(fā)送濾波器、信道、接收濾波器和取樣判決器四部分組成。數(shù)字信息an經(jīng)發(fā)送濾波器后得到基帶信號(hào)g(t)，經(jīng)傳輸后得到接收波形s(t)。信道中引入噪聲n(t)，接收濾波器輸出端的噪聲為ni(t)。如果只考慮噪聲的影響，接收濾波器輸出的是信號(hào)疊加噪聲后的混合波形，即x(t)=s(t)+ni(t)式中，ni(t)為低通型高斯噪聲。取樣判決器將對(duì)x(t)進(jìn)行取樣判決。圖7.6.1數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)設(shè)發(fā)送信號(hào)為單極性二元碼，其幅度為0或A，分別對(duì)應(yīng)于碼“0”或“1”，并假設(shè)信號(hào)在傳輸過程中沒有衰耗。這樣，s(t)在取樣時(shí)刻的幅度值為0或A，而用于判決的取樣值(混有噪聲)為發(fā)“1”碼時(shí)發(fā)“0”碼時(shí)(7-6-1)判決器設(shè)定一判決門限d，判決規(guī)則為：如果x>d，判定信號(hào)幅度為A，即發(fā)送的是“1”碼；如果x<d，判定信號(hào)幅度為0，即發(fā)送的是“0”碼。只要噪聲的值不導(dǎo)致判決的錯(cuò)誤，那么經(jīng)判決器判決后可去掉噪聲，得到正確無誤的數(shù)字信號(hào)。當(dāng)然，實(shí)際的傳輸必須考慮噪聲值過大時(shí)引起錯(cuò)誤判決的情況。要想得到誤碼率與噪聲值的關(guān)系式，必須要了解噪聲瞬時(shí)值的分布規(guī)律。2.發(fā)“0”碼時(shí)取樣判決器輸入端噪聲分布由式(7-6-1)可知，發(fā)“0”碼時(shí)，取樣判決器的輸入僅僅是噪聲ni(t)，它來自信道的零均值高斯白噪聲，經(jīng)接收濾波器后變?yōu)榈屯ㄐ透咚乖肼?，它仍然是零均值的高斯噪聲。因此，送到判決器的接收信號(hào)取樣值x的概率密度函數(shù)為

式中，是噪聲的方差，其值為

若接收濾波器為理想低通濾波器，即|GR(f)|=1，帶寬為B，則

式中,n0為信道噪聲的單邊功率譜密度。f0(x)的曲線如圖7.6.2所示，它表示發(fā)“0”碼時(shí)取樣判決器輸入電壓的概率分布。3.發(fā)“1”碼時(shí)取樣判決器輸入端信號(hào)加噪聲的概率密度函數(shù)由式(7-6-1)可知，發(fā)“1”碼時(shí)，取樣判決器輸入為x=A+ni(t)，取樣值的概率密度函數(shù)為

f1(x)是均值為A的高斯分布，其分布曲線如圖7.6.2所示。圖7.6.2取樣值概率密度函數(shù)示意圖

4.誤碼率公式求誤碼率公式時(shí)，首先要確定判決準(zhǔn)則和判決電平，對(duì)于單極性信號(hào)且“1”、“0”等概時(shí)，判決電平應(yīng)為A/2，判決準(zhǔn)則為

噪聲的影響會(huì)產(chǎn)生誤碼，誤碼有兩種情況：(1)發(fā)“0”碼，錯(cuò)判成“1”碼；(2)發(fā)“1”碼，錯(cuò)判成“0”碼。因此，誤碼率可用下式計(jì)算Pe=P(0)P(1/0)+P(1)P(0/1)其中，P(1/0)與P(0/1)如圖7.6.2中所示。顯然，兩部分的面積是相等的。

所以，誤碼率公式為同理，當(dāng)為雙極性信號(hào)時(shí)，送到判決器的取樣值為(7-6-3)

因此，發(fā)“1”碼時(shí)，x是均值為A、方差為的高斯隨機(jī)變量，與上述單極性發(fā)“1”碼時(shí)的情況完全相同；發(fā)“0”碼時(shí)，x則是均值為-A、方差為的高斯隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為雙極性信號(hào)時(shí)送給判決器的取樣值的概率密度函數(shù)曲線如圖7.6.3所示。此時(shí)，判決電平為0，判決準(zhǔn)則為

可求出

(7-6-4)圖7.6.3雙極性時(shí)取樣值概率密度函數(shù)示意圖需要指出的是，兩個(gè)誤碼率公式都是在“1”、“0”等概的情況下導(dǎo)出的，此時(shí)，雙極性信號(hào)的最佳判決電平為0，是個(gè)穩(wěn)定的值。單極性信號(hào)的最佳判決電平為A/2，當(dāng)信道衰減發(fā)生變化時(shí)，A是變化的，故最佳判決電平也隨之變化，因此它不易保持在最佳狀態(tài)，從而會(huì)導(dǎo)致誤判概率增大。而且，當(dāng)幅度均為A時(shí)，式(7-6-2)的值比式(7-6-4)的值大，因此實(shí)際的基帶系統(tǒng)極少采用單極性信號(hào)進(jìn)行傳輸。7.7眼圖在實(shí)際工程中，由于部件調(diào)試不理想或信道特性發(fā)生變化等原因，不可能完全滿足無碼間干擾的要求。當(dāng)碼間干擾和噪聲同時(shí)存在時(shí)，系統(tǒng)性能就很難定量分析。目前，人們通常是通過“眼圖”來估計(jì)碼間干擾的大小及噪聲的影響，并借助眼圖對(duì)電路進(jìn)行調(diào)整。將接收濾波器輸出的波形加到示波器的輸入端，調(diào)整示波器的掃描周期，使它與信號(hào)碼元的周期同步，這樣，接收濾波器輸出的各碼元的波形就會(huì)在示波器的顯示屏上重疊起來，顯示出一個(gè)像眼睛一樣的圖形，這個(gè)圖形稱為眼圖。觀察圖可以了解雙極性二元碼的眼圖形成情況。圖(a)為沒有失真時(shí)的波形，示波器將此波形每隔Ts重復(fù)掃描一次，利用示波器的余輝效應(yīng)，掃描所得的波形重疊在一起，結(jié)果形成圖(b)所示的“開啟”的眼圖。圖(c)是有失真時(shí)的接收濾波器的輸出波形，波形的重疊性變差，眼圖的張開程度變小，如圖(d)所示。接收波形的失真通常是由噪聲和碼間干擾造成的，所以眼圖的形狀能定性地反映系統(tǒng)的性能。另外也可以根據(jù)此眼圖對(duì)收發(fā)濾波器的特性加以調(diào)整，以減小碼間干擾和改善系統(tǒng)的傳輸性能。圖7.7.1眼圖形成示意圖眼圖對(duì)數(shù)字基帶信號(hào)傳輸系統(tǒng)的性能給出了很多有用的信息，為了說明眼圖和系統(tǒng)性能之間的關(guān)系，可把眼圖抽象為一個(gè)模型，稱為眼圖模型，如圖所示。圖7.7.2眼圖模型由眼圖可以獲得的信息是：(1)最佳取樣時(shí)刻應(yīng)選在眼圖張開最大的時(shí)刻，此時(shí)的信噪比最大，判決引起的錯(cuò)誤最小。(2)眼圖斜邊的斜率反映出系統(tǒng)對(duì)定時(shí)誤差的靈敏度，斜邊越陡，對(duì)定時(shí)誤差越靈敏，對(duì)定時(shí)穩(wěn)定度要求越高。(3)在取樣時(shí)刻，上、下兩個(gè)陰影區(qū)的高度稱為信號(hào)的最大失真量，它是噪聲和碼間干擾疊加的結(jié)果。(4)在取樣時(shí)刻，距門限最近的跡線至門限的距離稱為噪聲容限，噪聲瞬時(shí)值超過它就可能發(fā)生判決錯(cuò)誤。(5)對(duì)于從信號(hào)過零點(diǎn)來得到位定時(shí)信息的接收系統(tǒng)，眼圖斜線與橫軸相交的區(qū)域的大小，表示零點(diǎn)位置的變動(dòng)范圍。這個(gè)變動(dòng)范圍的大小對(duì)提取定時(shí)信息有重要的影響，過零點(diǎn)失真越大，對(duì)位定時(shí)提取越不利。當(dāng)碼間干擾十分嚴(yán)重時(shí)，“眼睛”會(huì)完全閉合起來，系統(tǒng)的性能將急劇惡化，此時(shí)須對(duì)碼間干擾進(jìn)行校正。這就是7.8節(jié)要討論的內(nèi)容。7.8均衡7.8.1時(shí)域均衡原理時(shí)域均衡的方法，是在基帶系統(tǒng)接收濾波器與取樣判決器之間插入一個(gè)具有2N+1個(gè)抽頭的橫向?yàn)V波器。它是由帶抽頭的延遲線，加權(quán)系數(shù)為{cn}的相乘器和相加器組成的，如圖7.8.1(a)所示。送到均衡器輸入端的信號(hào)x(t)是接收濾波器的輸出，如圖7.8.1(b)所示。由于系統(tǒng)特性的不理想，x(t)這個(gè)波形在其它碼元取樣時(shí)刻的值x1、x2、x-1、x-2等不為零，所以會(huì)對(duì)其它碼元的判決產(chǎn)生干擾。增加均衡器的目的就是要對(duì)x(t)這個(gè)波形進(jìn)行校正，使校正后的波形y(t)(即均衡器的輸出)在其它碼元取樣點(diǎn)上的值為0，從而減小或消除碼間干擾，如圖7.8.1(c)。圖7.8.1均衡器原理圖及輸入輸出波形示意圖根據(jù)線性系統(tǒng)的原理，很容易得出均衡器的輸出為

我們并不關(guān)心每一時(shí)刻的輸出值，事實(shí)上我們只關(guān)心每個(gè)碼元取樣時(shí)刻的輸出值，所以，當(dāng)t=kTs時(shí)上式簡(jiǎn)寫為(7-8-1)

上式表明，均衡器輸出波形在第k個(gè)取樣時(shí)刻得到的樣值yk將由2N+1個(gè)值來確定，其中各個(gè)值是x(t)經(jīng)延遲后與相應(yīng)的加權(quán)系數(shù)相乘的結(jié)果。對(duì)于有碼間干擾的輸入波形x(t)，可以用選擇適當(dāng)?shù)募訖?quán)系數(shù)的方法，使輸出y(t)的碼間干擾在一定程度上得到減小。

例設(shè)有一個(gè)三抽頭的均衡器，c-1=-1/4，c0=1，c+1=-1/2。均衡器輸入x(t)在各取樣點(diǎn)上的取值分別為：

x-1=1/4，x0=1，x+1=1/2，其余都為0。試求均衡器輸出y(t)在各取樣點(diǎn)上的值。

解根據(jù)式(7-8-1)得

從例7.8.1可以看到，均衡器輸出波形在其它碼元取樣點(diǎn)的值不為0，所以均衡后仍有失真。為了衡量失真的大小，通常用峰值失真或均方失真作為度量標(biāo)準(zhǔn)。峰值失真的定義為

它是除k=0以外的各個(gè)樣值絕對(duì)值之和，反映了碼間干擾的最大值。y0是有用信號(hào)的樣值，所以峰值失真就是峰值碼間干擾與有用信號(hào)樣值之比，其值愈小愈好。均方失真定義為

其物理意義與峰值失真類似。例7.8.1中的峰值失真及均方失真請(qǐng)讀者自行計(jì)算。7.8.2均衡器抽頭系數(shù)的確定由以上分析可知，用時(shí)域均衡來消除一定范圍內(nèi)的碼間干擾，關(guān)鍵是如何選擇各抽頭的加權(quán)系數(shù){cn}。理論分析已證明，如果均衡前的峰值失真小于1(即眼圖不完全閉合)，要想得到最小的峰值失真，輸出y(t)應(yīng)滿足下式要求從這個(gè)要求出發(fā)，利用式(7-8-1)，列出2N+1個(gè)聯(lián)立方程，可解出2N+1個(gè)抽頭系數(shù)。將聯(lián)立方程用矩陣形式表示為(7-8-2)如果x-2N,…,x0,…，x2N已知，則求解上式線性方程組可以得到c-2N,…,c

0,…，c2N共2N+1個(gè)抽頭系數(shù)值。使yk在k=0兩邊各有N個(gè)零值的調(diào)整叫做迫零調(diào)整，按這種方法設(shè)計(jì)的均衡器稱為迫零均衡器，此時(shí)峰值失真D最小，調(diào)整達(dá)到了最佳效果。當(dāng)均衡器的輸入波形x(t)的形狀隨時(shí)間變化時(shí)，則必須相應(yīng)地調(diào)整均衡器的抽頭系數(shù)以適應(yīng)x(t)的變化，否則達(dá)不到均衡的目的。如果抽頭系數(shù)的調(diào)整由均衡器自動(dòng)完成，這樣的均衡器稱為自適應(yīng)均衡器。

例7.8.2已知輸入信號(hào)的樣值序列為x-2=0，x-1=0.2，x0=1，x1=-0.3，x2=0.1。試設(shè)計(jì)三抽頭的迫零均衡器。求三個(gè)抽頭的系數(shù)，并計(jì)算均衡前后的峰值失真。

解因?yàn)?N+1=3，根據(jù)式(7-8-2)，列出矩陣方程為將樣值代入上式，得

由矩陣方程可列出方程組解聯(lián)立方程可得c-1=-0.1779,c0=0.8897,c+1=0.2847再利用式(7-8-1)計(jì)算均衡器的輸出響應(yīng)，有y-3=0,y-2=-0.0356,y-1=0,y0=1y1=0,y2=0.0153,y3=0.0285,y4=0輸入峰值失真為Dx=0.6，輸出峰值失真為Dy=0.0794。由此可見，均衡后使峰值失真減小7.5倍。迫零法設(shè)計(jì)的均衡器只確保峰值兩側(cè)各有N個(gè)零點(diǎn)。上述例子證實(shí)了這一點(diǎn)，在峰值兩側(cè)得到了所期望的零點(diǎn)(y-1=0，y1=0)，但遠(yuǎn)離峰值的一些取樣點(diǎn)上仍會(huì)有碼間干擾(y-2=-0.0356，y2=0.0153，y3=0.0285)，這是因?yàn)檫@個(gè)例子中的均衡器僅有3個(gè)抽頭，只能保證取樣點(diǎn)兩側(cè)各一個(gè)零點(diǎn)。一般來說抽頭有限時(shí)，總不能完全消除碼間干擾，但當(dāng)抽頭數(shù)較多時(shí)可以將碼間干擾減小到相當(dāng)小的程度，要想完全消除碼間干擾，均衡器的抽頭數(shù)應(yīng)為無限多。7.9.1第一類部分響應(yīng)系統(tǒng)第一類部分響應(yīng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)是兩個(gè)相隔一個(gè)碼元間隔Ts的Sa(πt/Ts)的合成波形。如圖7.9.1(a)所示。h(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(7-9-1)

由式(7-9-1)可知，h(t)的幅度約與t2成反比，而Sa(πt/Ts)波形幅度則與t成反比，因此h(t)波形拖尾的衰減速度加快了。從圖7.9.1(a)也可看到，相距一個(gè)碼元間隔的兩個(gè)Sa(πt/Ts)波形的拖尾正負(fù)相反而相互抵消，使得合成波形的拖尾迅速衰減，因此，由定時(shí)抖動(dòng)產(chǎn)生的碼間干擾就會(huì)大大減小。7.9部分響應(yīng)系統(tǒng)圖7.9.1第一類部分響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)式(7-9-1)進(jìn)行傅氏變換，可求出系統(tǒng)的傳輸特性為

(7-9-2)

上式所示的幅頻特性如圖7.9.1(b)所示。由圖可見，傳輸特性限制在±1/(2Ts)這個(gè)區(qū)間之內(nèi)，而且呈余弦形。這種緩變的滾降過渡特性與陡峭衰減的理想低通特性有明顯的不同。這時(shí)系統(tǒng)的帶寬為當(dāng)碼元速率為Rs=1/Ts時(shí)，即碼元間隔為Ts時(shí)，系統(tǒng)的頻帶利用率為

達(dá)到了基帶傳輸系統(tǒng)的極限頻帶利用率。具有式(7-9-2)傳輸特性的系統(tǒng)框圖如圖7.9.2所示。系統(tǒng)由相關(guān)編碼器和理想低通濾波器兩部分組成。理想低通濾波器的傳輸特性為圖7.9.2第一類部分響應(yīng)系統(tǒng)方框圖下面討論接收端的取樣判決過程，進(jìn)而理解部分響應(yīng)系統(tǒng)的工作原理。根據(jù)式(7-9-1)和圖7.9.1(b)可得到

即當(dāng)t=nTs時(shí)，除n=0、1以外的其它各點(diǎn)h(t)均為零。所以，當(dāng)發(fā)送碼元間隔為Ts時(shí)，t=0時(shí)的h(t)值為信號(hào)的樣值，t=Ts時(shí)的h(t)值為本碼元對(duì)后一碼元的干擾，且此干擾值與信號(hào)值一樣大。除此之外在其它nTs處的h(t)值都為零，因此無碼間干擾。由此可見，當(dāng)用h(t)作為傳輸波形時(shí)，在取樣時(shí)刻上僅將發(fā)生發(fā)送碼元與其前后碼元間的相互干擾，而與其它碼元不發(fā)生干擾。如圖7.9.3所示。圖7.9.3碼元發(fā)生碼間干擾示意圖由于存在前一碼元留下的有規(guī)律的干擾，取樣值與輸入碼元之間有如下關(guān)系ck=ak+ak-1(7-9-3)式中，ck為第k個(gè)碼元取樣時(shí)刻的取樣值；ak為第k個(gè)碼元的信號(hào)樣值；ak-1為前一碼元在第k個(gè)碼元取樣時(shí)刻上的取樣值，是前一碼元對(duì)后一碼元的干擾值。當(dāng)采用二進(jìn)制雙極性碼時(shí)，ak及ak-1的取值有+1或-1兩種。根據(jù)式(7-9-3)得到的ck的可能取值為+2，0，-2三種電平。由{ak}到{ck}的形成過程如下所示：二進(jìn)制信碼10110001011ak+1-1+1+1-1-1-1+1-1+1+1ak-1+1-1+1+1-1-1-1+1-1+1ck 00+20-2-2000+2根據(jù)式(7-9-3)，由第k個(gè)碼元的取樣值ck恢復(fù)原發(fā)送信息ak的方法為ak=ck-ak-1(7-9-4)如果ak-1碼元已經(jīng)判定，將取樣值ck減去ak-1，便可得到ak的值。這個(gè)計(jì)算不斷遞推下去，就可判決出所有的發(fā)送碼元。上述判決方法雖然在原理上是可行的，但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)還存在二個(gè)問題：(1)錯(cuò)誤傳播。由式(7-9-4)可知，ak不僅與ck有關(guān)，而且還與已經(jīng)判決出來的ak-1有關(guān)。所以，如果在傳輸過程中，{ck}序列中某個(gè)取樣值因干擾而發(fā)生差錯(cuò)，則不但會(huì)造成當(dāng)前恢復(fù)的碼元錯(cuò)誤，而且會(huì)影響到以后恢復(fù)的所有碼元。仍以前面的信碼為例，來說明差錯(cuò)傳播現(xiàn)象。輸入信碼10110001011發(fā)送的ak+1-1+1+1-1-1-1+1-1+1+1沒有錯(cuò)誤的ck00+20-2-2000+實(shí)際抽樣值00+20-20×000+2恢復(fù)的

+1-1+1+1-1-1+1×-1×+1×-1×+3×由上述過程可知，自取樣值出現(xiàn)錯(cuò)誤后，接收端恢復(fù)出來的全部是錯(cuò)誤的。(2)在接收端恢復(fù)時(shí)還必須有正確的起始值+1，否則也不可能恢復(fù)出正確的序列。為了解決這兩個(gè)問題，可在圖7.9.2所示的部分響應(yīng)系統(tǒng)前增加一個(gè)差分編碼器，也稱為預(yù)編碼器。通過預(yù)編碼器，將要發(fā)送的ak變?yōu)閎k，其規(guī)則是

(7-9-5)這里，表示模2加。將bk送到圖7.9.2所示的部分響應(yīng)系統(tǒng)，由于現(xiàn)在的輸入為bk，所以此時(shí)式(7-9-3)改寫為ck=bk+bk-1(7-9-6)式(7-9-6)說明了取樣值ck與bk及bk-1之間的關(guān)系，而式(7-9-5)又說明了bk、bk-1與原始信息ak之間的關(guān)系，顯然ck與ak必然有關(guān)系，那么這兩者之間到底存在什么樣的關(guān)系呢？由ck如何來判定ak呢？下面我們分兩種情況來討論。(1)當(dāng)采用二進(jìn)制雙極性碼時(shí)我們用例子來說明接收端恢復(fù)的過程：發(fā)送信息ak10110001011

bk011011110010雙極性表示bk-1+1+1-1+1+1+1+1-1-1+1-1

ck0+200+2+2+20-200設(shè)取樣得到的0+2000×+2+20-200恢復(fù)的10111×001011顯然，由取樣值恢復(fù)原發(fā)送信息的判決原則應(yīng)該是

即當(dāng)取樣值為±2時(shí)，判決發(fā)送信碼為“0”；當(dāng)取樣值為0時(shí)，判決發(fā)送信碼為“1”。(2)當(dāng)采用二進(jìn)制單極性碼時(shí)再次引用上面的例子來說明單極性時(shí)的判決原則。發(fā)送信息ak10110001011

bk011011110010單極性表示bk0+1+10+1+1+1+100+10

ck+1+2+1+1+2+2+2+10+1+1設(shè)取樣得到的+1+2+1+1+1×+2+2+10+1+1恢復(fù)的10111×001011由此可見，采用單極性碼時(shí)，由恢復(fù)的判決原則應(yīng)為

取樣值有三個(gè)電平0、1和2，對(duì)取樣值作模2運(yùn)算即可得到發(fā)送碼元。從上面的兩個(gè)例子看到，產(chǎn)生錯(cuò)誤只影響本碼元錯(cuò)判，差錯(cuò)不會(huì)向后蔓延。另外，接收端在判決時(shí)也不需要正確的起始位。這都是預(yù)編碼器的作用。根據(jù)部分響應(yīng)系統(tǒng)原理框圖7.9.2及上面的討論，給出實(shí)際部分響應(yīng)系統(tǒng)的組成如圖7.9.4所示。圖7.9.4實(shí)用的第一類部分響應(yīng)系統(tǒng)方框圖在實(shí)際部分響應(yīng)系統(tǒng)中，原理圖中的理想低通濾波器是由發(fā)送濾波器、信道及接收濾波器三部分組成的，系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，將這三部分總的傳輸特性設(shè)計(jì)成接近于理想低通濾波器的特性。7.9.2部分響應(yīng)系統(tǒng)的一般形式部分響應(yīng)系統(tǒng)的傳輸波形一般可表示成N個(gè)相隔Ts的Sa(πt/Ts)波形之和，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(7-9-7)

其中，加權(quán)系數(shù)R1，R2，…，RN為整數(shù)。不同的加權(quán)系數(shù)對(duì)應(yīng)不同種類的部分響應(yīng)傳輸波形，例如，當(dāng)R1=R2=1，其它加權(quán)系數(shù)為零時(shí)，就是前面介紹的第一類部分響應(yīng)傳輸波形。根據(jù)式(7-9-7)，可以得到部分響應(yīng)系統(tǒng)的一般形式，如圖7.9.5所示。它由N-1個(gè)時(shí)延為