2023-2024學年北京通州區(qū)高一（上）期中數(shù)學試題及答案

2023北京通州高一（上）期中數(shù)學本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.（）A=4,5,7,BA=6，則1.已知集合4,5,6,74,5A.C.B.D.4x53x7xx?x+10的否定是（）22.命題:x0,x2?x+10?x+10xx2?x+10?x+10A.C.B.D.xx2xx2()上單調(diào)遞增的是（）3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間1=?xA.B.y2y=x21xC.y=x+D.的對應關(guān)系如下表所示，函數(shù)y=x3y=()fxy=g(x)f(g3)的圖象如圖所示,則的值為（4.已知函數(shù)）x03306()6fxA.9B.6C.3D.0都為有限集合則()，若cardM=,BABA是5.有限集合M中元素的個數(shù)記作,“()()的（）cardAcardB“A.充分不必要條件C.充分必要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件y=x2+2ax在區(qū)間(2,+)a上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）6.設(shè)函數(shù)a∣a2A.C.B.D.∣a∣a7.下列命題中正確的是（）aba,cda?cb?d，則A.若ac2bc2，則B.若D.若abc11bC.若ab，則abcd0，則ad8.向體積相同且高為H的花瓶中，注水注滿為止.如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系式如圖所示，那么花瓶的形狀是（）A.B.C.D.y=()fx的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)，有9.我們知道函數(shù)y=fx()的圖像關(guān)于點()成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)Ha,b同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數(shù)1x+1()=+fxyfxa=(+)?bx為奇函數(shù)，則函數(shù)的對稱中心是（）A.(??)B.D.()(0,0)(?)C.10.公園內(nèi)常設(shè)有如圖所示的護欄，柱與柱之間是一條均勻懸鏈.數(shù)學中把這種兩端固定的一條(粗細與質(zhì)量分布)均勻、柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為懸鏈線.在恰當?shù)淖鴺讼抵?，這類函數(shù)的表達式可以為()=x+be?x(其中e=2.718為非零常數(shù),為無理數(shù),，則以下結(jié)論正確的是fxaea,be（）b，則y=f(x)為奇函數(shù)A.若a=y=f(x)的最小值為2B.若ab1，則函數(shù)=()=沒有實數(shù)根fxC.若ab0，則方程0，則函數(shù)y=f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)D.若ab0第二部分（非選擇題共分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.()=函數(shù)fx?x2的定義域是_______.x?112.不等式13.能說明“0的解集為_____________.xxR,ax?ax?10為假命題的一個實數(shù)a的值為_______.2x?xa2()=fx，若當a=5時，存在實數(shù)，使得()=，則fm的值為_______.m0+14.設(shè)函數(shù)a22m1,xax若()存在最大值，則實數(shù)的最小值為_______.fxa()定義為當自變量取有理數(shù)時，函數(shù)值為當自變量取無理數(shù)時，函數(shù)值為以下關(guān)Dx15.狄利克雷函數(shù):10.于狄利克雷函數(shù)()的性質(zhì):Dx①()的值域為Dx；0,1x,yR，則有(+)()+()成立；DxyDxDy②若③函數(shù)()的圖象關(guān)于軸對稱；Dxy(())(()(()，使得Ax,fx,Bx,fx,Cx,fx3④不存在為等腰直角三角形.11223其中表述正確的是_______.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知全集U=R，集合A={3x?1B={2x.B和(（1）求A;（2）設(shè)集合C={a?1xa+，若Ca，求實數(shù)的取值范圍.17.已知指數(shù)函數(shù)(?9).y=()fx的圖象過點（1）求函數(shù)()的解析式fxf?0.3,f0.3,1（2）試比較()()這三個數(shù)的大小，并說明理由;()f?m2+m+11m，求實數(shù)的取值范圍.（3）若2x+2()=18.已知函數(shù)fx.2x?1（1）證明:()為偶函數(shù);fx（2）用定義證明:()在區(qū)間(+)上單調(diào)遞減fx.19.剛剛結(jié)束的2023年杭州亞運會給人們留下了深刻印象，也帶火了很多杭州特色產(chǎn)品.某小組通過對一款杭州特產(chǎn)龍井茶的某官網(wǎng)銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn):該商品在過去天內(nèi)，銷售單價()(單位:百元)與時間Pxxk()=+()(單位:件)與時間的部分數(shù)據(jù)如下表(單位:天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足Px所示:1(k為常數(shù)),日銷售量Qxxxx51015202540030()180310390420330Qx已知第5天的日銷售收入為216.（1）求k的值；（2）給出以下三種函數(shù)模型(1)Q(x)=ax+bQxax2bx()=+()=Qxab.x；(2)；(3)請根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，選擇你認為最合適的一種函數(shù)來描述()與的變化關(guān)系，并求出函數(shù)()的解QxQxx析式;（3）記該商品在這30天內(nèi)的日銷售收入為()(單位:百元)，求()的最大值HxHx.()=fxx2+2+m，函數(shù)()=+，用()表示()()中的較大者，gx2x2.xRMxfx,gx20.設(shè)函數(shù)記為M(x)=f(x),g(x，再從條件（12）這兩個條件中選擇一個作為已知.條件（1）:f(3)=f)xR,f(x)f(?)恒成立.條件（2）:()()fxgx（1）求不等式的解集;（2）當()(()?)恒成立，求實數(shù)的取值范圍注如果選擇多Mxmgxx1,4x時，關(guān)于的不等式2m;:個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.=a,a,a,aS，定義ijS21.已知正整數(shù)集合,對任意12111()()()da,ajda,a=?ka,aSaa.若存在正整數(shù)，使得對任意，都有,則稱集合Sijijijiiak2j)最大值.da,ai,aSjFdS具有性質(zhì).記()是集合中的(kijA=2,3和集合B=4,6F（1）判斷集合是否具有性質(zhì)，直接寫出結(jié)論；3n?1()dSF（2）若集合S具有性質(zhì)，求證：；416Fn（3）若集合S具有性質(zhì)，求的最大值.k參考答案第一部分（選擇題共分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】B【分析】根據(jù)交集的含義即可.，5A【詳解】根據(jù)交集的含義知故選：B2.【答案】D【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.?x+10為存在量詞命題，xx2【詳解】命題：其否定為：xx?x+10.2故選：D3.【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及對勾函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可得到答案.12的定義域為)，不關(guān)于原點對稱，則其不是奇函數(shù)，故A錯誤；【詳解】對A，函數(shù)=yx1x2=2?x=對B，y，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知其不是奇函數(shù)，故B錯誤；11，2211251f=+=11f1x()=+()=+=f1y=x+對C，設(shè)fxx2，而12，則在區(qū)間x12()不是單調(diào)遞增，故錯誤；C對D，根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)知y=x3是奇函數(shù)且其在區(qū)間()上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.4.【答案】B【分析】直接根據(jù)函數(shù)圖像和表格計算得到答案.(())()fg3=f6=6.【詳解】故選：B.5.【答案】A【分析】根據(jù)集合新定義以及集合交集、子集的含義即可判斷.AB=AAB,B都為有限集合，【詳解】因為，所以，又因為cardAcardB()()，則正向可以推出，所以cardAcardB()()，舉例()A1,2=B=4,5，A，但若，則反向無法推出，AB=A是“cardAcardB()的充分不必要條件.則“故選：A.6.【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到不等式，解出即可.2a21y=x2+2ax的對稱軸為x=?=?a，且開口向上，【詳解】(2,+)?a2a2，則要使其在區(qū)間上是增函數(shù)，需，解得則其取值范圍為∣a，故選：C.7.【答案】D【詳解】舉例說明判斷ABC，利用不等式性質(zhì)推理判斷D.=?1，顯然|a=01|b|，A錯誤；a=b【分析】對于A，由ac2bc2，得ab，取a,cdabc===?d=?4，顯然a?c=35=b?d，B錯誤；對于B，由，取11對于C，由ab，取a=b=?1，顯然=1?1=，C錯誤；ab1111對于D，由cd0，得0，則??0，而ab0，dcdcadbcadb??D因此，所以，正確.c故選：D8.【答案】B【分析】確定花瓶形狀為下寬上窄的形狀，對比選項得到答案.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖像知：開始階段相同的高度下體積增加得快，結(jié)束階段增加得慢，故花瓶形狀為下寬上窄的形狀，對比知B滿足.故選：B9.【答案】A1()=gx+?=++?()=?(?)gxgx，根據(jù)得到f(xa)bxaba=?1【分析】，根據(jù)定義域得到x+a+1b1，得到對稱中心.11x+1()=gxf(xa)?b=x+a++?【詳解】f(x)=x+，b為奇函數(shù)，x+a+1x2?b+)x+11定義域為xx?a?1()=?+?=關(guān)于原點對稱，故a=?1，gxx1b，xx?b+)x+1(?x)2+b+)x+1?xx2()=?(?)，即，gxgx=?xx2?b+)x+1x2+b+)x+1?(+)=+b1b1，=即，故xx(??).1，即對稱中心為1故b故選：A.10.【答案】C【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的相關(guān)概念逐項分析判斷即可得解.【詳解】顯然函數(shù)()=x+be?x的定義域為R，fxae對于A，當a=b時，()()，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，A錯誤；ab0ab=1，函數(shù)fxaexbe?x0，錯誤；?=ae?x+x=x+be?x=fxfxbeae+對于B，當，()=Bab0或ab0ab0f(x)=ae+be?x0，x對于C，由ab0，得，當時，ab0()=+fxaexbe?x0，因此方程()=沒有實數(shù)根，正確；fx0當時，Cab0ab0y=ae是減函數(shù)，y=be?x也為減函數(shù)，x對于D，當時，有，而函數(shù)fxae+be?因此函數(shù)()=xx是減函數(shù)，D錯誤.故選：C第二部分（非選擇題共分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.+)【答案】【分析】函數(shù)【詳解】函數(shù)()=fx?x?20x2的定義域滿足的定義域滿足，解得答案.()=fxx?2x?20x2+).，解得，故函數(shù)定義域為故答案為：+)12.【答案】x0x1【分析】根據(jù)分式的運算性質(zhì)分類討論求出不等式的解集.?x?10x?10x0x10x1，第二個不等式組的解集0【詳解】或，解第一個不等式組，得x0x為空集.故答案為：x0x1【點睛】本題考查了分式不等式的解集，考查了數(shù)學運算能力，屬于基礎(chǔ)題.13.【答案】0（答案不唯一）【分析】取a=0得到ax【詳解】取a=0，則ax故答案為：022??ax?1=??10恒成立，得到答案1，1，.ax?1=??10恒成立，故“xR,ax2?ax?10為假命題.14.【答案】①.18.0【分析】根據(jù)給定條件，求得2f(x)有最大值的a的范圍即得.m=3，再利用指數(shù)運算計算即得；分段討論函數(shù)f(x)的取值情況，求出x?x52【詳解】當a=5時，f(x)=，由()=，得fm，解得02m?3=02m=3，5,x5x+=()2m2==232218；22m1所以xaf(x)=2?a(x(,af(x)f(a)2?,a]上單調(diào)遞增，=a?3，當時，x在af(x)=(a,0)，(0,+)x(a,0)f(x)1時，，當0時，在上單調(diào)遞增，當xx+)，f(x)0恒成立，又f(a)=2a?32，則()不存在最大值，即fx當0不符合題意，當a=0時，當x(a,+)時，恒有f(x)=0，而f(a)=2?3=2a，則函數(shù)f(x)有最大值0，符合題意，a當a0時，f(x)=在(a,+)上單調(diào)遞減，x(a,+)，0f(x)1，x當()231fa=a?，即a2時，函數(shù)f(x)有最大值2a?3，a因此函數(shù)f(x)有最大值時，a所以實數(shù)的最小值為0.故答案為：18；015.【答案】①③④【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)一一分析即可.【詳解】對于①，函數(shù)的值域為，故①正確；x+yD(x+y)=1，D(x)=1，D(y)=1，為有理數(shù)，x,y對于②，若均為有理數(shù)，則則D(x+y)D(x)+D(y)，故②錯誤；?xf(x)=1=f(x)?對于③，若x是有理數(shù)，則是有理數(shù)，則，?xf(x)=0=f(x)?若x是無理數(shù)，則是無理數(shù)，則，故對任意xR,f(?x)=f(x)，故函數(shù)()是偶函數(shù)，③正確；fx對于④，若為等腰直角三角形，不妨設(shè)角B為直角，則()()()的值R可能性只能為()=()=()=或fx,fx,fxf1f2f30123()=()=()=，fxfxfx1123x?x=1f(x)=f(x)()()矛盾，fxfx12由等腰直角三角形的性質(zhì)得，所以，這與2112(())(()(()Ax,fx,Bx,fx,Cx,fx故不存在，使得為等腰直角三角形.112233故答案為：①③④.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.AB={x|2x，(=；A{x|x16.1）（2）a1或a6.）化簡集合A，利用交集、補集、并集的定義求解即得.（2）利用交集運算的結(jié)果列出不等式求解即可.【小問1依題意，A={x|xB={x|2x，則AB={x|2x，x，所以(x.【小問2集合C={a?1xa+，而C因此a+12或a?15，解得a1或a6，，a所以實數(shù)的取值范圍是a1或a6.x13()=17.1）fxf?0.31f0.3（2）()()，理由見解析1?51+5,（3）22fx=a）設(shè)函數(shù)為()x，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性計算得到答案.（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到m?2+m10，解得答案.+【小問1x11設(shè)函數(shù)為f(x)=axf，則(2)=a?2=9，解得a=()=，即fx3；3【小問2x13()=1=()f0，函數(shù)fx在R上單調(diào)遞減，且故(()，即(?)()；f0.3f0f0.3)()f0.31f0.3【小問3x13()(+m+1f(0))()=f?m2+m+11f?m2函數(shù)fx在R上單調(diào)遞減，，即，1?51+51?51+5m，即,.故m?2+m+10，解得m222218.1）證明見解析（2）證明見解析）利用奇偶函數(shù)的判定方法即可；（2）利用定義法進行取值作差變形判定即可.【小問12|x|2f(x)=D={∣x.的定義域為因為，所以f(x)x2?12|?x|22|x|2xD,?xDf(x)?===f(x)對于任意，因為，(?x)2+12x?1所以f(x)為偶函數(shù).【小問22x+22x+)f(x)==當時，.x2?1x?1任取1,2+)，且xx，2122?2(2?x)1(?)(?)1x1x112()?()=?=f1fx那么，2?x1x12因為11x，所以x2?111x(?)(?)1f(x)?f(x)00，從而，1222fxfx即()().所以f(x)是+)上的減函數(shù).1219.1）k=1xx30()（2）Q(x)（3）441=?x2+x，()()=P5Q5216）由代入計算可得；Qx=ax+bx，再代入數(shù)據(jù)計算可得；（2）首先判斷()2（3）由()Hx=PxQx()()求出()的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.Hx【小問1k5()()=P5Q5+=1180216k=1，解得．由題意得【小問2由表中的數(shù)據(jù)知，當時間變化時，該商品的日銷售量有增有減，并不單調(diào)，Qx=ax+bx．而①，③中的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故只能選②，即()2()=()=Q5180Q10310，，由表中數(shù)據(jù)可得25a+b=180100a+b=310a=1b=41即，解得，故Q(x)=?x2+x，()．xx30【小問31()=+()xx30由（1）可得Px1，x1x依題意H(x)=PxQx=1+()()?x2+x)=?x=?x22?x+x+41+40x+41=?(?)441，(xx30)，x20+2所以當x時()取得最大值，即HxHx()=()=H20441，即()的最大值為Hx441.20.1）(?,?,)(（2）a2m）選擇條件①代入計算即可求得值，再列出不等式解出即可；選擇條件②根據(jù)二次函數(shù)的最m值即可得到的值；（2）求出分段函數(shù)()，再分離參數(shù)，利用基本不等式即可得到答案.Mx【小問1f(=f若選擇條件①因為，所以9?5m=1+m，故m=1.f(x)=x2+2x+g(x)=2x+2，所以因為f(x)g(x)，故x22x12x2，+++解得x?1或x1，(?,?,)(所以不等式解集為若選擇條件②xR,f(x)f(.f(?恒成立，故f(x)最小值為，所以對稱軸方程為x=?1，所以x=?m=?1，故m=1.以下同條件條件①.【小問2不論是條件①或是條件②均可以得到m=1，xR,Mx=f(x),g(x，()因為根據(jù)（1）中條件①的同種方法即可得到當?1x1時，f(x)g(x)，2+2xx?1+xM(x)=2x+?1x1所以，2x+2x+x1又因為當x4]，不等式M(x)a(g(x)?2)恒成立，+2x+12ax恒成立，故當x4]，不等式x212ax++2x4].即恒成立，x11因為x++22x+2=4，xx當且僅當x=1時等號成立，故2a4，即a2.具有性質(zhì)；集合B=6不具有性質(zhì)A=2,3