湖南省長沙市六校2025屆高三九月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 含解析

湖南省長沙市六校2025屆高三九月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一?單選題1.設(shè)集合，，若，則集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將代入方程求出，再求集合即可.【詳解】由可知，當時，，解得：或，即.故選：B2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘除法運算直接計算即可.【詳解】因為，所以.故選：C.3等差數(shù)列中，，則（）A.40 B.30 C.20 D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，則，，則，解得，，．故選：B．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】切化弦，通分即可求解.【詳解】因為，因為，所以.故選：A.5.如圖所示，六氟化硫分子結(jié)構(gòu)是六個氟原子處于頂點位置，而硫原子處于中心位置的正八面體，也可將其六個頂點看作正方體各個面的中心點．若正八面體的表面積為，則正八面體外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合條件可得外接球的半徑，進而由球的體積公式即得體積．【詳解】如圖正八面體，連接和交于點，因為，，所以，，又和為平面內(nèi)相交直線，所以平面，所以為正八面體的中心，設(shè)正八面體的外接球的半徑為，因為正八面體的表面積為，所以正八面體的棱長為，所以EB=EC=BC=6則R=3故選：B．6.已知函數(shù)，且，則的大小關(guān)系（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，再比較大小.【詳解】，當時，，所以在單調(diào)遞增，因為，所以，即.故選：D7.當時，曲線與交點的個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】分別畫出與在上的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷即可.【詳解】與在上的函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知，兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)為6個.故選：D.8.已知的定義域為，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用賦值法，求得，得到的一個周期是，再根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性，求得的值，進而得到答案.【詳解】由題意知，函數(shù)的定義域為，且，令，得，所以；令，得，所以，所以是偶函數(shù)，令，得①，所以②，由①②知，所以，所以，所以的一個周期是，由②得，所以，同理，所以，又由周期性和偶函數(shù)可得：所以，所以.故選：B.二?多選題9.某校高三年級選考地理科的學(xué)生有100名，現(xiàn)將他們該科的一次考試分數(shù)轉(zhuǎn)換為等級分，已知等級分X的分數(shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為，若等級分，則（）參考數(shù)據(jù)：；；A.這次考試等級分的標準差為5B.這次考試等級分超過80分的約有45人C.這次考試等級分在內(nèi)的人數(shù)約為48人D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)的含義易判斷A,B兩項，對于C,D,先把范圍轉(zhuǎn)換成用表示，利用概率值求出相應(yīng)范圍的概率值，再進行估算即可.【詳解】對于A，因，則，故A正確；對于B，因，即這次考試等級分超過80分的學(xué)生約占一半，故B錯誤；對于C，因,故這次考試等級分在內(nèi)的人數(shù)約為人，故C正確；對于D，因,故D正確.故選：ACD.10.中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國結(jié)．中國結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn)．它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條．其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線．曲線是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線的圖象關(guān)于對稱B.曲線上任意一點到坐標原點距離都不超過3C.曲線經(jīng)過7個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）D.若直線與曲線只有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為【答案】BD【解析】【分析】對于A項，運用若點關(guān)于對稱的點滿足方程，則曲線的圖象關(guān)于對稱，檢驗即可；對于B項，根據(jù)已知條件可得即可；對于C項，計算邊界點來界定整數(shù)點個數(shù)；對于D項，聯(lián)立直線方程與雙紐線方程，將問題轉(zhuǎn)化為方程只有一解即可.【詳解】對于A項，把代入得，顯然點不滿足雙紐線方程，所以曲線的圖象不關(guān)于對稱，故A項錯誤；對于B項，由可得，所以曲線上任意一點到坐標原點的距離，即都不超過3，故B項正確：對于C項，令解得或，即曲線經(jīng)過，，，由題意可知，，令，得，令，得，因此曲線只能經(jīng)過3個整點，，，故C項錯誤；對于D項，直線與曲線一定有公共點，若直線與曲線只有一個交點，所以，整理得，只有一個解，即，解得，故D項正確．故選：BD.11.已知函數(shù)，則下列選項中正確的是（）A.函數(shù)的極小值點為B.C.若函數(shù)有4個零點，則D.若，則【答案】AC【解析】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和最值，可得的圖象，進而可以判斷A；對于B：根據(jù)的單調(diào)性分析判斷；對于C：根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)分析可知：原題意等價于當時，與有2個交點，結(jié)合的圖象分析求解；對于D：構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得，結(jié)合極值點偏移分析證明.【詳解】由題意可知：的定義域為，且，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，且當趨近于0或時，趨近于，可得函數(shù)的圖象，如圖所示：對于選項A：可知函數(shù)的極小值點為，故A正確；對于選項B：因為，且在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，故B錯誤；對于選項C：令，可得，可知函數(shù)有4個零點，即與有4個交點，且的定義域為，且，可知為偶函數(shù)，且當時，原題意等價于當時，與有2個交點，由題意可知：，故C正確；對于選項D：設(shè)，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，若，不妨設(shè)，則，且，且在內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以，故D錯誤；故選：AC.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．三?填空題12.已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量的坐標為，則______．【答案】【解析】【分析】由已知分別求出和，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律求解即可．【詳解】由得，，因為向量在向量方向上的投影向量的坐標為，所以，即，所以，所以，故答案為：．13.已知雙曲線的左?右焦點分別為，離心率為2，過點的直線交的左支于兩點.（為坐標原點），記點到直線的距離為，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可得，再利用雙曲線定義及勾股定理求解即得.【詳解】令雙曲線的半焦距為，由離心率為2，得，取的中點，連接，由，得，則，連接，由為的中點，得，，，因此，即，整理得，而，所以.故答案為：14.十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開．會議期間，會議籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的5名工作人員分配到3個會議廳負責進場引導(dǎo)工作，每個會議廳至少1人．每人只負責一個會議廳，則甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有______種．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】將5名工作人員分配到3個會議廳，人數(shù)組合可以是和，先求出5名工作人員分配到3個會議廳的情況數(shù)，甲乙兩人分配到同一個會議廳的情況數(shù)，相減得到答案.【詳解】將5名工作人員分配到3個會議廳，人數(shù)組合可以是和，人數(shù)組合是時，共有種情況，其中甲?乙兩人分配到同一個會議廳的情況為種，從而甲?乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有種；人數(shù)組合是時，共有種情況，其中甲?乙兩人分配到同一個會議廳的情況為種，從而甲?乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有種，所以甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有種.故答案為：.四?解答題15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求角；（2）若外接圓的半徑為2，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合余弦定理進行求解即可；（2）根據(jù)正弦定理，結(jié)合外接圓的半徑可以求出，根據(jù)三角形面積公式、利用重要不等式進行求解即可.【小問1詳解】由已知及正弦定理可得，整理得，，．【小問2詳解】外接圓的半徑為2，，得，又，當且僅當時，等號成立，，即面積的最大值為．16.如圖，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，平面，為上一點，且，連接、、.（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、平行線的性質(zhì)進行證明即可；（2）作，垂足為，根據(jù)平行四邊形和矩形的判定定理，結(jié)合（1）的結(jié)論，利用勾股定理，因此可以以，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】因為平面，又平面，所以.又，且，所以平面.因，所以平面.【小問2詳解】作，垂足為.則.又，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是矩形，又四邊形為等腰梯形，且，，所以.由（1）知平面，所以.又，所以.在中，.在中，.由上可知，能以，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標系.則，，，，，所以，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，得可取.設(shè)平面的法向量為，由，得，可取.因此，，.依題意可知，平面與平面的夾角的余弦值為.17.如圖在平面直角坐標系中，已知橢圓，橢圓，直線與橢圓只有一個公共點，且與橢圓交于兩點.（1）當直線傾斜角為時，求直線的方程；（2）求證：面積為定值.【答案】（1）或（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)直線傾斜角得到直線的斜率，進而設(shè)直線方程，根據(jù)直線與曲線有一個交點聯(lián)立方程組解得答案；（2）設(shè)直線為，直線與橢圓只有一個公共點聯(lián)立方程組消元得，直線與橢圓交于兩點，連立方程組結(jié)合韋達定理得，結(jié)合三角形面積公式得答案；【小問1詳解】因為直線傾斜角為，直線為，因為橢圓，直線與橢圓只有一個公共點，聯(lián)立方程，得，，所以直線為或【小問2詳解】因為直線與橢圓只有一個公共點，設(shè)直線為由，得,又因為直線與橢圓交于兩點，得所以，因為直線與軸交于點，所以所以.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求的零點個數(shù).（3）在區(qū)間上有兩個零點，求的范圍?【答案】（1）的單調(diào)減區(qū)間為：；單調(diào)增區(qū)間為：，（2）1個（3）【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)正負與原函數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）結(jié)合(1)問的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，結(jié)合零點存在定理即可求解.（3）將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題，求出在區(qū)間上的值域即可求解.【小問1詳解】由題可得：，令，解得：或，令f′x<0令，解得：或；所以的單調(diào)減區(qū)間為：；單調(diào)增區(qū)間為：，【小問2詳解】因為的單調(diào)減區(qū)間為：；單調(diào)增區(qū)間為：，，由于，則在上無零點；由于，則在上無零點；由于，則在上存在唯一零點；綜上，函數(shù)在上存在唯一零點.【小問3詳解】若在區(qū)間上有兩個零點，則函數(shù)與在區(qū)間上有兩個交點；由(1)知，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；，，，所以函數(shù)與在區(qū)間上有兩個交點，則，即在區(qū)間上有兩個零點，則的范圍為19.對于，若數(shù)列滿足，則稱這個數(shù)列為“K數(shù)列”．（1）已知數(shù)列1，2m，是“K數(shù)列”，求實數(shù)m的取值范圍．（2）是否存在首項為-2的等差數(shù)列為“K數(shù)列”，且其前n項和使得恒成立?若存在，求出數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由．（3）已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”，數(shù)列不是“K數(shù)列”，若，試判斷數(shù)列bn是否為“K數(shù)列”，并說明理由．【答案】（1）（2）不存在，理由見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，且，，再解不等式組即可；（2）首先假設(shè)存在等差數(shù)列an符合要求，從而得到成立，再分類討論和的情況，即可得到答案.（3）首先設(shè)數(shù)列an的公比為q，則，根據(jù)題意得到，從而得到為最小項，同理得到為最小項，再利用“數(shù)列”的定義得到，或，，再分類討論即可得到答案.【小問1詳解】由題意得，且，解得，所以實數(shù)m取值范圍是．【小問2詳解】不存在．理由：假設(shè)存在等差數(shù)列an符合要求，設(shè)公差為d，則，由得．由題意，得對均成立，即．當時，；當時，恒成立，因為，所以，與矛盾，所以這樣的等差數(shù)列an【小問3詳解