2023年北京市高三二模數(shù)學試題匯編：拋物線

第1頁/共1頁2023北京高三二模數(shù)學匯編拋物線一、單選題1．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）已知拋物線，經過點P的任意一條直線與C均有公共點，則點P的坐標可以為（

）A． B． C． D．2．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）已知拋物線與拋物線關于軸對稱，則的準線方程是（

）A． B．C． D．3．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）已知圓的圓心在拋物線上，且此圓過定點，則圓與直線的位置關系為（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．不能確定二、填空題4．（2023·北京豐臺·統(tǒng)考二模）在水平地面豎直定向爆破時，在爆破點炸開的每塊碎片的運動軌跡均可近似看作是拋物線的一部分．這些碎片能達到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線是拋物線的一部分（如圖中虛線所示），稱該條拋物線為安全拋物線．若某次定向爆破中碎片達到的最大高度為40米，碎片距離爆炸中心的最遠水平距離為80米，則這次爆破中，安全拋物線的焦點到其準線的距離為__________米．三、解答題5．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）已知焦點為的拋物線經過點．(1)設為坐標原點，求拋物線的準線方程及△的面積；(2)設斜率為的直線與拋物線交于不同的兩點，若以為直徑的圓與拋物線的準線相切，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．四、雙空題6．（2023·北京朝陽·二模）已知圓A：，拋物線C：，則圓心A到拋物線C的準線的距離為________；過圓心A的直線與圓A相交于P，Q兩點，與拋物線C相交于M，N兩點，若，則________.7．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）已知拋物線的焦點為，點在上，且在第一象限，則點的坐標為__________；若，點到直線的距離為__________.

參考答案1．D【分析】根據(jù)點與拋物線的位置即可求解.【詳解】在軸上，所以在拋物線外部，將代入拋物線中，則，所以在拋物線外部，將代入拋物線中，則，所以在拋物線外部，將代入拋物線中，則，所以在拋物線內部，將選項中的點分別在直角坐標系中畫出來，只有點在拋物線內部，故當點位于點處，此時經過點P的任意一條直線與C均相交，故均有公共點，故選：D2．D【分析】根據(jù)兩個拋物線的對稱性，即可求拋物線的準線方程.【詳解】拋物線的準線方程為，因為拋物線與拋物線關于軸對稱，所以兩個拋物線的準線也關于軸對稱，所以的準線方程是.故選：D3．A【分析】根據(jù)拋物線的定義求得正確答案.【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，根據(jù)拋物線的定義可知，到焦點的距離等于到準線的距離，所以圓與直線相切.故選：A4．80【分析】建立平面直角坐標系，待定系數(shù)法求出拋物線方程，得到答案.【詳解】以拋物線最高點為坐標原點，平行于地面為軸，建立平面直角坐標系，設拋物線方程為，由題意得，將其代入拋物線方程得，解得，故安全拋物線的焦點到其準線方程為80米.故答案為：805．(1)準線為，(2)證明見解析，定點．【分析】（1）由點在拋物線上代入求參數(shù)，寫出拋物線方程，進而得準線方程，最后求△的面積；（2）設為，聯(lián)立拋物線并應用韋達定理、中點公式得的中點N點橫坐標，根據(jù)到準線的距離等于列方程得，即可證結論并確定定點坐標.【詳解】（1）因為拋物線過點，所以，即．故拋物線的方程為，焦點，準線方程為.所以（2）設直線的方程為．由得：，又有．設則，．設的中點為，則.所以到準線的距離，，依題意有，即，整理得，解得，滿足．所以直線過定點．6．【分析】由題設有且半徑，拋物線準線為，即可得A到拋物線C準線的距離，根據(jù)對稱性令和在兩側，易知為中點，設直線聯(lián)立拋物線，應用韋達定理、弦長公式求.【詳解】由題設且半徑，拋物線準線為，則A到拋物線C準線的距離為，又，故A在拋物線內部，若拋物線上任意點，則其到A的距離，所以圓A在拋物線內部，如上圖示：由對稱性，不妨令和在兩側，由易知：為中點，若直線為，聯(lián)立拋物線得，所以，則，，而，即，經檢驗，此時，故，所以.故答案為：4，7．【分析】根據(jù)拋物線的方程可得焦點坐