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文檔簡介
PAGE1-單元評估檢測(五)(第十章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.直線ax+y+7=0與4x+ay-3=0平行,則a為 ()A.2 B.2或-2C.-2 D.-1【解析】選B.由直線ax+y+7=0與4x+ay-3=0平行,可得a4=1a≠7-2.圓x2+y2=4與圓x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在直線和兩坐標軸所圍成圖形的面積為 ()A.1 B.2 C.4 【解析】選B.圓x2+y2=4與圓x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在直線的方程為x-y+2=0,它與兩坐標軸分別交于(-2,0),(0,2),所以直線和兩坐標軸所圍成圖形的面積為123.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線的方程是y=3x,它的一個焦點落在拋物線yA.x28-y224=1 B.C.x24-y212=1 D.【解析】選C.雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線的方程是y=它的一個焦點落在拋物線y2=16x的準線上,可得c=4,即16=a2+b2,a=2,b=23.所求的雙曲線方程為x24-4.已知橢圓E:y2a2+x2b2=1(a>b>0)經(jīng)過點A(A.23 B.53 C.49【解析】選A.由橢圓E:y2a2+x2b2=1(a>b>0),經(jīng)過點A(所以c=9-5=2,其離心率e=5.在△ABC中,若asinA+bsinB-csinC=0,則圓C:x2+y2=1與直線l:ax+by+c=0的位置關系是 ()A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定【解析】選A.因為asinA+bsinB-csinC=0,所以由正弦定理得a2+b2-c2=0,所以圓心C(0,0)到直線l:ax+by+c=0的距離d=|c|a2+b2=1=r,所以圓C:x2+y6.已知F1,F2是橢圓C的兩個焦點,P是C上的一點,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,則C的離心率為A.1-32 B.2-C.3-12 【解析】選D.在直角三角形PF1F2中,|F1F2|=2c,∠PF2所以|PF1|=3c,|PF2|=c,又|PF1|+|PF2|=2a,所以3c+c=2a,解得e=ca=23+17.(2024·榆林模擬)已知l是雙曲線C:x22-y24=1的一條漸近線,P是l上的一點,F1,F2分別是C的左、右焦點,若PF1·PFA.233 B.2 C.2 【解析】選C.由已知F1(-6,0),F2(6,0),不妨設l的方程為y=2x,點P(x0,2x0),由PF1·PF2=(-6-x0,-2x0)·(6-x0,-2x0)=3x02-6=0,得x0=±2,所以點P到8.橢圓與雙曲線共焦點F1,F2,它們的交點P對兩公共焦點F1,F2的張角為∠F1PF2=2θ,橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2,則 ()A.cos2θe12+sin2θC.e12cos2θ+e2【解析】選B.設橢圓的長軸長為2a1,雙曲線的實軸長為2a2,并設PF1=m,PF2=n,其中m>n,焦距為2c,在△PF1F2中,由余弦定理得2mncos2θ=2c由橢圓和雙曲線的定義得m解得m代入m2+n2-2mncos2θ=2c得a1+a22+a1-a22即a12+a22+a22-a所以a121-cos2即2a12sin2θ+2a22cos2θ所以a12si因此,sin2θe9.已知雙曲線x23-y2=1的右焦點恰好是拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,且M為拋物線的準線與x軸的交點,N為拋物線上的一點,且滿意|NF|=32|MN|,則點F到直線A.12 B.1 C.3【解析】選D.雙曲線x23-y2=1的右焦點為(2,0),拋物線y2=2px(p>0)的焦點為則2=p2,解得p=4,則拋物線方程為y2=8x,準線方程為x=-2,由點N向拋物線的準線作垂線,垂足為R,則由拋物線的定義,可得|NR|=|NF|=32|MN|,從而可以得到∠NMR=60°,從而得到∠NMF=30°,所以有點F到直線MN4sin30°=2.10.(2024·廈門模擬)已知拋物線x2=4y,斜率為-12的直線交拋物線于A,B兩點.若以線段AB為直徑的圓與拋物線的準線切于點P,則點P到直線AB的距離為A.52 B.5 C.325【解析】選B.設A(x1,y1),B(x2,y2),則Px1+x22PB=x2依據(jù)題意得到PA·PB=0.設直線方程為x=-2y+n,聯(lián)立直線和拋物線方程得到4y2-4(n+1)y+n2=0,所以16PA·PB=-(x1-x2化簡得到-(y1+y2)2+5y1y2+y1+y2+1=0,依據(jù)根與系數(shù)的關系,將根的和與乘積代入化簡得到n=2.此時直線為x=-2y+2,點P坐標為Px1+x22,-1=P(-(y1+y211.如圖所示,橢圓有這樣的光學性質:從橢圓的一個焦點動身的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.依據(jù)橢圓的光學性質解決下題:已知曲線C的方程為x2+4y2=4,其左、右焦點分別是F1,F2,直線l與橢圓C切于點P,且|PF1|=1,過點P且與直線l垂直的直線l′與橢圓長軸交于點M,則|F1M|∶|F2A.2∶3 B.1∶2C.1∶3 D.1∶3【解析】選C.由橢圓的光學性質得到直線l′平分∠F1PF2,因為S△PMF1=|P由|PF1|=1,|PF1|+|PF2|=4得到|PF2|=3,故|F1M|∶|F212.已知雙曲線x23-y2=1的右焦點是拋物線y2=2px(p>0)的焦點,直線y=kx+m與拋物線交于A,B兩個不同的點,點M(2,2)是AB的中點,則△OAB(O為坐標原點)世紀金榜導學號A.43 B.3 C.14 D.23【解析】選D.雙曲線x23-y2=1中a=c=3+1=2,右焦點為(2,0),則拋物線y2=2px(p>0)的焦點為(2,0),即2=p2,解得p=4,即拋物線方程為y2聯(lián)立直線y=kx+m得k2x2+(2km-8)x+m2=0,判別式Δ=(2km-8)2-4k2m設A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=8-由點M(2,2)是AB的中點,得8-解得k=2,m=-2,滿意判別式大于0,所以x1+x2=4,x1x2=1,弦長|AB|=1+4·(x1+x2)2-4x1x2=5×16-4=215,點O到直線2x-y-2=0的距離d=|0-0-2二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)13.圓(x+1)2+y2=5關于直線y=x對稱的圓的標準方程為.
【解析】圓(x+1)2+y2=5的圓心坐標為(-1,0),它關于直線y=x的對稱點坐標為(0,-1),即所求圓的圓心坐標為(0,-1),所以所求圓的標準方程為x2+(y+1)2=5.答案:x2+(y+1)2=514.拋物線y2=8x的焦點為F,點A(6,3),P為拋物線上一點,且P不在直線AF上,則△PAF周長的最小值為.
【解析】如圖,l=C△PAF=|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PQ|+|AF|≥|AQ|+|AF|,當且僅當A,P,Q共線時,等號成立.此時|AQ|=xA+2=8,|AF|=42所以l≥8+5=13.答案:1315.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),過其中一個焦點分別作兩條漸近線的垂線段【解析】令雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦點為(c,0),垂線段的長度即焦點到準線的距離,即|bc±a所以雙曲線的離心率滿意e2=c2a2=a即e=52答案:516.點M是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的點,以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點F,圓M與y軸相交于P,Q,若△PQM是銳角三角形【解析】因為圓M與x軸相切于焦點F,所以圓心與F的連線必垂直于x軸,不妨設M(c,y),因為M在橢圓上,則y=±b2所以圓的半徑為b2由題意|y|>c>22所以c2<b2a2<所以e2<(1-e2)2<2e2,所以6-22答案:6三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知△ABC中,A(2,-1),B(4,3),C(3,-2).(1)求BC邊上的高所在直線方程的一般式;(2)求△ABC的面積.【解析】(1)因為kBC=5,所以BC邊上的高AD所在直線斜率k=-15所以AD所在直線方程為y+1=-15即x+5y+3=0.(2)BC的直線方程為:y+2=5(x-3).點A到直線BC的距離為|2×5|BC|=(3-4所以△ABC的面積為3.18.(12分)已知圓x2+y2-4y+3=0的圓心為點M,直線l經(jīng)過點(-1,0).(1)若直線l與圓M相切,求l的方程.(2)若直線l與圓M相交于A,B兩點,且△MAB為等腰直角三角形,求直線l的斜率.【解析】(1)x2+y2-4y+3=0?x2+(y-2)2=1,所以點M的坐標為(0,2),當直線l斜率存在時,設直線y=k(x+1)?kx-y=-k?d=|k-2|k當直線斜率不存在時,x=-1滿意題意,所以l的方程為3x-4y+3=0或x=-1.(2)由題意有:|MA|=|MB|,MA⊥MB,作MD⊥AB,則|MD|=22|MB|=2設l方程為y=k′(x+1),d=|k'-2|k'2+1=22?19.(12分)已知直線l:y=x+m(m∈R)與直線l′關于x軸對稱.(1)若直線l與圓(x-2)2+y2=8相切于點P,求m的值和P點的坐標.(2)直線l′過拋物線C:x2=4y的焦點,且與拋物線C交于A,B兩點,求|AB|的值.【解析】(1)由點到直線的距離公式得d=|2+m|解得m=2或m=-6,當m=2時P(0,2),當m=-6時P(4,-2).(2)因為直線的方程為y=x+m,所以l′的方程為y=-x-m,焦點(0,1),m=-1,將直線y=-x+1代入拋物線x2=4y,整理得x2+4x-4=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-4,y1+y2=-(x1+x2)+2=6,|AB|=y1+y2+2=8.20.(12分)已知動點P與A(-2,0),B(2,0)兩點連線的斜率之積為-14,點P的軌跡為曲線C,過點E(1,0)的直線交曲線C于M,N兩點(1)求曲線C的方程.(2)若直線MA,NB的斜率分別為k1,k2,試推斷k1k2是否為定值?若是,求出這個值;若不是【解析】(1)設點P(x,y)(x≠±2),由題知,yx+2·yx整理,得曲線C:x24+y2=1(x≠±2),(2)由題意,知直線MN的斜率不為0,故可設MN:x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),設直線MB的斜率為k3,由題知,A(-2,0),B(2,0),由x=my+1x24+y2所以y1所以k2·k3=y=y1y2又因為點M在橢圓上,所以k1·k3=y12x所以k1k2=121.(12分)(2024·咸陽模擬)如圖所示,曲線C由部分橢圓C1:y2a2+x2b2=1(a>b>0,y≥0)和部分拋物線C2:y=-x2+1(y≤0)連接而成,C1與C2的公共點為A,B,其中(1)求a,b的值.(2)過點B的直線l與C1,C2分別交于點P,Q(P,Q,A,B中隨意兩點均不重合),若AP⊥AQ,求直線l的方程.【解析】(1)因為y=-x2+1(y≤0),所以y=0,即x=±1,因此A(-1,0),B(1,0),代入橢圓方程中,得b=1,由ca=22以及a2-c2=b2=1,可得a=所以a=2,b=1.(2)由(1)可求出橫軸上方的橢圓方程為:y2+2x2=2(y>0),由題意可知:過點B的直線l存在斜率且不能為零,故設直線方程為x=my+1(m≠0),代入橢圓C1得:2m2+1y2+4my=0,故可得點P的坐標為:1-2m21+2m2,-4m1+2m2,明顯m<0,同理將x=my+1(m≠0)代入拋物線C2方程中所以·=-1-mm+1·1-2m21+2m2+1-2m+1m222.(12分)(2024·吉林模擬)已知點D(0,-2),過點D作拋物線C1:x2=2py(p>0)的切線l,切點A在其次象限. 世紀金榜導學號(1)求切點A的縱坐標.(2)有一離心率為32的橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)恰好經(jīng)過切點A,設切線l與橢圓的另一交點為點B,記切線l,OA,OB的斜率分別為k,k
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