吉林省通榆縣一中2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理

PAGEPAGE12吉林省通榆縣一中2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理考生留意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清晰.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：集合、常用邏輯用語、復(fù)數(shù)、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形、平面對量、數(shù)列、立體幾何.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.已知是虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模是（）A.5 B. C. D.33.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.在巴比倫晚期的《泥板文書》中，有按級遞減分物的等差數(shù)列問題，其中有一個問題大意是：10個兄弟分100兩銀子，長兄最多，依次削減相同數(shù)目，現(xiàn)知第8兄弟分得6兩，則長兄可分得銀子的數(shù)目為（）A.兩 B.兩 C.兩 D.兩5.若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.6.已知等比數(shù)列中，，公比，則（）A.32 B.16 C.-16 D.-327.已知數(shù)列滿意，，則（）A. B. C. D.8.在中，角，，的對邊分別為，，，若，，點是的重心，且，則的面積為（）A. B. C.或 D.或9.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減10.如圖，在三棱柱中，底面，為等邊三角形，，，，分別為，，的中點，是線段上的一點，則直線與直線的位置關(guān)系可能是（）①相交②垂直③異面④平行A.①② B.①②③C.①③④ D.②③④11.如圖，在正方形中，是線段上的一動點，交于點，若，，則（）A. B.1C. D.212.已知數(shù)列中，其前項和為，且滿意，數(shù)列的前項和為，若對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，，且向量，的夾角是，則_______.14.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則_______.15.若，，則_______.16.已知半徑為4的球面上有兩點，，且，球心為，若球面上的動點滿意：與所在截面所成角為，則四面體的體積的最大值為_______.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且滿意，，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.18.如圖，在直三棱柱中，，，，，為的中點，為的中點，為的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.19.已知中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的周長.20.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為線段的中點，交于點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21.已知數(shù)列，，滿意，.（1）令，證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若，證明：.22.已知函數(shù)在點處的切線方程為.（1）求實數(shù)，的值﹔（2）若函數(shù)，試探討函數(shù)的零點個數(shù).通榆一中高三期中考試試題·數(shù)學(xué)（理科）參考答案、提示及評分細(xì)則一、選擇題1-5：BCBCA 6-10：ABDDB 11-12：BD1.B由題意知，，所以.故選B2.C據(jù)題意，得，所以的共軛復(fù)數(shù)是，所以.故選C.3.B由，得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選B.4.C設(shè)10個兄弟由大到小依次分得兩銀子，設(shè)數(shù)列的公差為，其前項和為，則由題意得，即，解得.所以長兄分得兩銀子.故選C.5.A，由其圖象關(guān)于點對稱，得，即，所以的最小值是，故選A.6.A由.故選A.7.B由，得，所以，所以.故選B.8.D由題可知，，則，或.又，延長交于點，所以.因為，所以，即，當(dāng)時，，所以的面積為；當(dāng)時，，所以的面積為.9.D函數(shù)的定義域為，，即，所以是偶函數(shù).當(dāng)時，，為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.故選D.10.B當(dāng)點與點重合時，直線與直線相交，連接，，，，由題意，可得，，，，，在中，，同理，，，所以，，所以.又，平面，所以平面，又平面，所以，當(dāng)點不與點重合時，直線與直線異面.故選B.11.B取向量，作為一組基底，則有，.因為向量與共線，所以，即.故選B.12.D當(dāng)時，，得；當(dāng)時，，，兩式相減得，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列.因為，所以.又，所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，，由，得，所以，所以.又，所以，所以，即對恒成立，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以，令，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以；當(dāng)為奇數(shù)時，，所以，所以，所以.綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選D.二、填空題13.214.10815.16.613.2因為，所以.14.108由題意，，，，成等差數(shù)列，即18，24，30，36，故.15.因為，所以.因為，所以，所以.16.6設(shè)所在截面圓的圓心為，中點為，連接，，，則為與所在截面所成角，即，得，，由，所以，同理.因為，，所以.在中，得，因為四面體的體積為，連接，當(dāng)過時，且最大，所以四面體的體積的最大值.三、解答題17.解：（1）由，得；由，，成等比數(shù)列，得，，即，解得，，即.（2）由（1）得，則，即.18.證明：（1）取的中點，分別連接，.又∵為的中點，∴，且.又∵為的中點，據(jù)三棱柱性質(zhì)知，，，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴.又∵平面，平面，∴平面.解：（2）如圖，過點作直線的垂線，且交于點.以為坐標(biāo)原點，以，，分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，，，∴，，.設(shè)平面的一個法向量，有，取，，，∴.∴，∴直線與平面所成角的余弦值為.19.解：（1）因為，由正弦定理得，所以，所以.因為，所以，所以，所以，所以，所以.（2）由（1）得，所以的面積，得.由余弦定理得.又因為，，所以，解得，所以的周長為.20.證明：（1）因為平面，平面，所以.因為，，為的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.所以.又因為，，為的中點，所以四邊形為正方形，所以.又，平面，平面，所以平面.又因為平面，所以.因為平面，平面，所以.又，所以為等腰直角三角形.又因為為斜邊的中點，所以.又，平面，平面，所以平面.解：（2）以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：不妨設(shè)，則有點，，，，所以，，.設(shè)平面的一個法向量，則，即.令，得.所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.21.證明：（1）因為，所以.又因為，所以，即，所以是公差為2的等差數(shù)列.又，所以.（2）由（1），所以，則，①，②由①-②，得，所以.因為，所以，即.22.解：（1）因為函數(shù)，所以.由題意知，得，解得.（2）由題意知，所以.令，解得，.（i）當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，此時，，明顯在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.因為，故函數(shù)在上有且只有一個零點.（ii）當(dāng)時，函數(shù)的