初中數(shù)學(xué)等腰三角形考點方法考題解析

初中數(shù)學(xué)等腰三角形考點方法考題解析考點·方法·破譯1．等腰三角形及其性質(zhì)有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是軸對稱圖形，因此它的性質(zhì)有：⑴等腰三角形的兩個底角相等（即等邊對等角）；⑵等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即等腰三角形三線合一）2．等腰三角形的判定證明一個三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴從定義入手，證明一個三角形有兩條邊相等；⑵從角入手，證明一個三角形有兩個角相等，依據(jù)是等腰三角形判定定理；等角對等邊．3．構(gòu)造等腰三角形的常用方法⑴角平分線＋平行線＝等腰三角形⑵角平分線＋垂線（或高）＝等腰三角形⑶線段中垂線構(gòu)造等腰三角形⑷將2倍角轉(zhuǎn)化為相等角構(gòu)造等腰三角形經(jīng)典·考題·賞析等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為400，則這個等腰三角形的底角為________________.【解法指導(dǎo)】若問題中涉及到三角形的高，則要分別考慮三角形的高是在三角形的外，三角形內(nèi)的情況．解：如圖1，當(dāng)一腰上的高在三角形內(nèi)時，∠ACD＝400，∴∠A＝500∴∠B＝∠ACB＝QUOTE如圖2，當(dāng)一腰上的高在三角形外時，∠ACD＝400，∠DAC＝500∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B∴∠B＝∠ACB＝250，故填650或250.【變式題組】01．（呼和浩特）在等腰⊿ABC中，AB＝AC，一邊上的中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為（）A.7B.11C.7或11D．7或1002.（黃岡）在⊿ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為500，則∠B＝___________度．03.（襄樊）在⊿ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm,D為BC的中點，動點P從B點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t，那么當(dāng)t＝_________秒時，過D、P兩點的直線將⊿ABC的周長分成兩個部分，使其中一部分是另一部分的2倍．【例２】如圖，在⊿ABC中，AB＝AC，點D在AC上，AD＝BD＝BC，求∠A的度數(shù)．【解法指導(dǎo)】圖中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性質(zhì)，用方程的思想求角的度數(shù)．解：設(shè)∠A＝x,

∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x，∵在△ABC中,∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°∴x＋2x＋2x＝180°，x＝36°，∴∠A＝36°．【變式題組】01．如圖，在⊿ABC中，AB＝AC，BD＝BC,AD＝DE＝EB，求∠A的度數(shù)．02．如圖，在⊿ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的大?。纠场恳阎鴺?biāo)原點O和點A（2，－2），B是坐標(biāo)軸上的一點．若⊿AOB是等腰三角形，則這樣的點B一共有（）個A．4B．5C．6D．8【解法指導(dǎo)】⊿AOB是等腰三角形，但不能確定哪條邊是等腰三角形的底，因而要分三種情況進(jìn)行說明①AO＝OB,②OA＝AB,③BA＝BO,又∵B是坐標(biāo)軸上的點．要考慮x軸與y軸兩種情況．解：①如圖1，當(dāng)OA是底邊時，B在OA的中垂線上，又B在坐標(biāo)軸上，因而B是OA中垂線與坐標(biāo)軸的交點；②如圖2，當(dāng)OA為腰時，若O為頂點，則B在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上，又B在坐標(biāo)軸上，因而B是圓與坐標(biāo)軸的交點；③如圖3，當(dāng)OA為腰時，若A為頂點，則B在以A為圓心，OA為半徑的圓上，又B在坐標(biāo)軸上，因而B是圓與坐標(biāo)軸的交點.故選D.【變式題組】01．(海南競賽試題)在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知A（3，－3），點P是y軸上一點，則使⊿AOP為等腰三角形的點P共有（）A．2個B．3個C．4個D．5個02．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是(1，0),點B的坐標(biāo)是（0，QUOTE），點C在坐標(biāo)平面內(nèi)．若以A、B、C為頂點構(gòu)成的三角形是等腰三角形，且底角為30度，則滿足條件的點C有_________個．ABABCDPE第2題圖第4題圖第3題圖第2題圖第4題圖第3題圖03.（南昌）如圖，已知長方形紙片ABCD，點E是AB的中點，點G是BC上一點，∠BEG＞600，現(xiàn)沿直線EG將紙片折疊，使點B落在紙片中的點H處，連接AH，則與∠BEG相等的角的個數(shù)為（）A．4B．3C．2D．1ACBMDE(例4題圖)04．（濟(jì)南）如圖所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝QUOTE，點E是折線段A－D－C上的一個動點（點E與點A不重合），點P是點A關(guān)于BE的對稱點．在點E運(yùn)動的過程中，使△PCB為等腰三角形的點EACBMDE(例4題圖)A．2個B．3個C．4個D．5個【例４】（棗莊）兩個全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點M，連結(jié)ME，MC．試判斷△EMC的形狀，并說明理由．【解法指導(dǎo)】判斷⊿MEC為等腰直角三角形，M為直角頂點，即想證∠EMC＝900，而⊿ABD為等腰三角形，M是BD的中點，若連接AM則有∠AMD＝900,因而只需證∠DME＝∠AMC,利用全等三角形即可．解：的形狀是等腰直角三角形，理由如下：連接，由題意得：．．又，．．．．又，．．所以的形狀是等腰直角三角形．【變式題組】01．如圖，在等腰直角三角形ABC中，P是斜邊BC的中點,以P為直角頂點的兩邊分別與邊AB、AC交于點E、F，當(dāng)∠EPF繞頂點P旋轉(zhuǎn)時(點E不與A、B重合)，⊿PEF也始終是等腰三角形，請你說明理由．02．如圖，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝900，D是BC的中點，DE⊥AB垂足為E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F，連接CF交AD于G．⑴求證：AD⊥CF;⑵連接AF，試判斷⊿ACF的形狀，并說明理由．03．如圖，⊿ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC,CO為中線．現(xiàn)將一直角三角板頂點放在點O上并繞點O旋轉(zhuǎn)，若三角板的兩直角邊分別交AC、CB的延長線于點G、H．⑴試寫出圖中除AC＝BC,OA＝OB＝OC外其他所有相等的線段；⑵請選一組你寫出的相等線段給予證明．【例５】我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．⑴請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；⑵如圖，在中，點分別在上，設(shè)相交于點，若，．請你寫出圖中一個與相等的角，并猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形；⑶在中，如果是不等于的銳角，點分別在上，且．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結(jié)論．【解法指導(dǎo)】證明兩條線段相等時，若兩條線段在同一三角形中，可證明它們所對的角相等．若兩條線段在不同的三角形中，則證它們所在的兩個三角形全等，若三角形不全等，即可通過構(gòu)造全等三角形或等腰三角形解決問題．解：⑴如：平行四邊形、等腰梯形等⑵答：與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四邊形DBCE是等對邊四邊形；圖1⑶答：此時存在等對邊四邊形，是四邊形DBCE．圖1證法一：如圖1，作CG⊥BE于G點，作BF⊥CD交CD延長線于F點．∵∠DCB＝∠EBC＝QUOTE∠A，BC為公共邊，∴△BCF≌△CBG，∴BF＝CG，∵∠BDF＝∠ABE＋∠EBC＋∠DCB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，∴∠BDF＝∠BEC，可證△BDF≌△CEG，∴BD＝CE∴四邊形DBCE是等邊四邊形．圖2證法二：如圖2，以C為頂點作∠FCB＝∠DBC，CF交BE于F點．圖2∵∠DCB＝∠EBC＝QUOTE∠A，BC為公共邊，∴△BDC≌△CFB，∴BD＝CF，∠BDC＝∠CFB，∴∠ADC＝∠CFE，∵∠ADC＝∠DCB＋∠EBC＋∠ABE，∠FEC＝∠A＋∠ABE，∴∠ADC＝∠FEC，∴∠FEC＝∠CFE，∴CF＝CE，∴BD＝CE，∴四邊形DBCE是等邊四邊形．【變式題組】01．如圖，在QUOTEABC中，∠B＝2∠C，AD為∠BAC的平分線．求證：AC＝AB＋BD.02．(天津初賽試題)如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝1050，∠ABC＝∠ADC＝450，若AB＝2，求CD的長．03．如圖，在QUOTEABC中，AB＝AC，D在AB上，F(xiàn)在AC延長線上，BD＝CF．求證DE＝EF.【變式題組】01．(重慶)已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1:4，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為（）A．200B．1200C．200或1200D．360002．（云南）已知等腰三角形的兩邊分別為6和3，則此等腰三角形周長為（）A．9B．15C．15D．12或1503.（云南）如圖，等腰QUOTEABC的周長為21，底邊BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交AC于點E，則QUOTEBEC的周長為（）A．13B．14C．15D．1604．如圖，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝180，則∠GEF的度數(shù)是（）A．800B．900C．1000D．108005．如圖，RtQUOTEABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EF⊥AB于F，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．∠ACD＝∠BB.CH＝CE＝EFC.CH＝HDD.AC＝AF06．如圖，QUOTEABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D,交AC于點E,那么下列結(jié)論：①Q(mào)UOTEBDF和QUOTECEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③QUOTEADE的周長等于AB與AC的和；④BF＝CF.其中正確的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①07.（武漢）如圖，已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點，OA＝OB＝OC,∠ABC＝∠ADC＝700,則∠DAO＋∠DCO的大小是（）A．700B．1100C．1400D．150008．（濱州）已知等腰QUOTEABC的周長為10，若設(shè)腰長為x，則x的取值范圍是____________.09．如圖所示，在QUOTEABC中，已知AB＝AC，∠A＝360，BC＝2，BD是QUOTEABC的角平分線，則AD＝___________.10．(威海)如圖，AB＝AC，BD＝BC,若∠A＝400，則∠ABD的度數(shù)是_________.11．(烏魯木齊)在一次數(shù)學(xué)課上，王老師在黑板上畫出圖6，并寫下了四個等式：①，②，③，④．要求同學(xué)從這四個等式中選出兩個作為條件，推出是等腰三角形．請你試著完成王老師提出的要求，并說明理由．（寫出一種即可）已知：BEDABEDAC證明：12．（泰安）兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結(jié)．⑴請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母）；⑵證明：．圖1圖1圖2DCEAB13.（包頭）如圖，已知中，厘米，厘米，點為的中點．⑴如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運(yùn)動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運(yùn)動．①若點Q的運(yùn)動速度與點P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請說明理由；②若點Q的運(yùn)動速度與點P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使與全等？⑵若點Q以②中的運(yùn)動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運(yùn)動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在的哪條邊上相遇？AAQCDBP14.（臨沂）如圖1，已知中，，，把一塊含角的直角三角板的直角頂點放在的中點上（直角三角板的短直角邊為，長直角邊為），將直角三角板繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)．⑴在圖1中，交于，交于．①證明；②在這一旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角板與的重疊部分為四邊形，請說明四邊形的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積；⑵繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，延長交于，延長交于，是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；圖1圖2圖3⑶繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置，延長交于，延長交于，是否仍然成立？請寫出結(jié)論，不用證明．圖1圖2圖3培優(yōu)升級·奧賽檢測01．如圖，∠BAC與∠CBE的平分線相交于點P，BE＝BC,PB與CE交于點H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列結(jié)論：①GA＝GP;②QUOTE③BP垂直平分CE；④FP＝FC;其中正確的判斷有（）A．只有①②B．只有③④C．只有①③④D．只有①②③④02．如圖，點A是QUOTE網(wǎng)格圖形中的一個網(wǎng)格圖形中的一個格點（小正方形的頂點），圖中每個小正方形的邊長為1，以A為其中的一個頂點，面積等于2.5的格點等腰直角三角形（三角形的三個頂點都是格點）的個數(shù)是（）A.10個B.12個C.14個D.16個03．如圖，在QUOTEABC中，AB＝BC,MN＝NA,∠BAM＝∠NAC,則∠MAC＝_________.04．