北京市第五十六中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

北京市第五十六中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列雙曲線中，以為一個(gè)焦點(diǎn)，以為一個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線方程是（）A. B.C. D.2．下列命題中正確的是（）A.若為真命題，則為真命題B.在中“”是“”的充分必要條件C.命題“若，則或”的逆否命題是“若或，則”D.命題，使得，則，使得3．若復(fù)數(shù)，則（）A B.C. D.4．已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A.直線與曲線相切B.函數(shù)只有極大值，無(wú)極小值C.若與互為相反數(shù)，則的極值與的極值互為相反數(shù)D.若與互為倒數(shù)，則的極值與的極值互為倒數(shù)5．兩位同學(xué)課余玩一種類(lèi)似于古代印度的“梵塔游戲”：有3個(gè)柱子甲、乙、丙，甲柱上有個(gè)盤(pán)子，最上面的兩個(gè)盤(pán)子大小相同，從第二個(gè)盤(pán)子往下大小不等，大的在下，小的在上（如圖）.把這個(gè)盤(pán)子從甲柱全部移到乙柱游戲結(jié)束，在移動(dòng)的過(guò)程中每次只能移動(dòng)一個(gè)盤(pán)子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3個(gè)柱子上的盤(pán)子始終保持小的盤(pán)子不能放在大的盤(pán)子之下.設(shè)游戲結(jié)束需要移動(dòng)的最少次數(shù)為，則當(dāng)時(shí)，和滿足A. B.C. D.6．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的最大值為2021C.“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的必要不充分條件D.已知，且，則的最小值為97．從1，2，3，4，5中隨機(jī)抽取三個(gè)數(shù)，則這三個(gè)數(shù)能成為一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)的概率為（）A. B.C. D.8．若任取，則x與y差的絕對(duì)值不小于1的概率為（）A. B.C. D.9．幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“設(shè)點(diǎn)、是銳角的一邊上的兩點(diǎn)，試在邊上找一點(diǎn)，使得最大的．”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)為過(guò)、兩點(diǎn)且和射線相切的圓的切點(diǎn)．根據(jù)以上結(jié)論解決一下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）A.B.C.或D.或10．已知等差數(shù)列{an}中，a4+a9=8，則S12=（）A.96 B.48C.36 D.2411．已知f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)于任意的x∈R，均有，則（）A.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)<f(0) B.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0) D.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)12．阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前4項(xiàng)依次為，，，，則的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______14．分別過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)、作兩條互相垂直的直線、，它們的交點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是________15．若無(wú)論實(shí)數(shù)取何值，直線與圓恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.16．已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且，則圓的方程為_(kāi)________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域.18．（12分）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點(diǎn)（1）求橢圓C方程；（2）已知直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，與直線交于點(diǎn)Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若①求△面積的范圍，②證明：為定值19．（12分）正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4.E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為棱的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若E為棱上的中點(diǎn)，求直線BE到平面的距離.20．（12分）如圖，從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出60名，將其成績(jī)(均為整數(shù))整理后畫(huà)出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問(wèn)題：（1）[79.5，89.5)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？（2）估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)是多少？21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）已知，是經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)且與相切的兩條直線，斜率分別為，，直線的斜率為，求證：為定值.22．（10分）已知圓C的圓心在直線上，圓心到x軸的距離為2，且截y軸所得弦長(zhǎng)為（1）求圓C的方程；（2）若圓C上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，求實(shí)數(shù)k的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)題意，求得，即可選擇.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，故可設(shè)雙曲線方程為，且；又為一個(gè)頂點(diǎn)，故可得，解得，則雙曲線方程為：.故選：.2、B【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)一真一假時(shí)也滿足條件，但不滿足為真命題；B選項(xiàng)，可以使用正弦定理和大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊進(jìn)行證明；C選項(xiàng)，利用逆否命題的定義進(jìn)行判斷，D選項(xiàng)，特稱(chēng)命題的否定，把存在改為任意，把結(jié)論否定，故可判斷D選項(xiàng).【詳解】若為真命題，則可能均為真，或一真一假，則可能為真命題，也可能為假命題，故A錯(cuò)誤；在中，由正弦定理得：，若，則，從而，同理，若，則由正弦定理得，，所以，故在中“”是“”的充分必要條件，B正確；命題“若，則或”的逆否命題是“若且，則”，故C錯(cuò)誤；命題，使得，則，使得，故D錯(cuò)誤.故選：B3、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.【詳解】由，故選：A4、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為該點(diǎn)處切線的斜率，求出切線方程，并且判斷出極值，通過(guò)結(jié)合與互為相反數(shù)，若與互為倒數(shù)，分別判斷的極值與的極值是否互為相反數(shù)，以及是否互為倒數(shù).【詳解】，，令，得，所以，因?yàn)?，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，存在使，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即有極小值，無(wú)極大值，故B錯(cuò)誤；設(shè)為的極值點(diǎn)，則，且，所以，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故C正確，D錯(cuò)誤.5、C【解析】通過(guò)寫(xiě)出幾項(xiàng)，尋找規(guī)律，即可得到和滿足的遞推公式.【詳解】若甲柱有個(gè)盤(pán)，甲柱上的盤(pán)從上往下設(shè)為，其中，，當(dāng)時(shí)，將移到乙柱，只移動(dòng)1次；當(dāng)時(shí)，將移到乙柱，將移到乙柱，移動(dòng)2次；當(dāng)時(shí)，將移到丙柱，將移到丙柱，將移到乙柱，再將移到乙柱，將移到乙柱，；當(dāng)時(shí)，將上面的3個(gè)移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的3個(gè)移到乙柱，共次，所以次；當(dāng)時(shí)，將上面的4個(gè)移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的4個(gè)移到乙柱，共次，所以次；……以此類(lèi)推，可知，故選.【點(diǎn)睛】主要考查了數(shù)列遞推公式的求解，屬于中檔題.這類(lèi)型題的關(guān)鍵是寫(xiě)出幾項(xiàng)，尋找規(guī)律，從而得到對(duì)應(yīng)的遞推公式.6、C【解析】對(duì)于A：用存在量詞否定全稱(chēng)命題，直接判斷；對(duì)于B：根據(jù)充分不必要條件直接判斷；對(duì)于C：判斷出“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件，即可判斷；對(duì)于D：利用基本不等式求最值.【詳解】對(duì)于A：用存在量詞否定全稱(chēng)命題，所以命題“，”的否定是“，”.故A正確；對(duì)于B：若“”是“或”的充分不必要條件，所以，即實(shí)數(shù)m的最大值為2021.故B正確；對(duì)于C：“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”，則，解得：或，所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：已知，且，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）故D正確.故選：C7、C【解析】列舉出所有情況，然后根據(jù)兩邊之和大于第三邊數(shù)出能構(gòu)成三角形的情況，進(jìn)而得到答案.【詳解】5個(gè)數(shù)取3個(gè)數(shù)的所有情況如下：{1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5}共10種情況，而能構(gòu)成三角形的情況有{2,3,4；2,4,5；3,4,5}共3種情況，故所求概率.故選：C.8、C【解析】根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中分析以及與差的絕對(duì)值不小于1所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出其面積，由幾何概型公式計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，其對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)檎叫危涿娣e，若與差的絕對(duì)值不小于1，即，即或，對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分，其面積為，故與差的絕對(duì)值不小于1的概率.故選：C9、A【解析】根據(jù)米勒問(wèn)題的結(jié)論，點(diǎn)應(yīng)該為過(guò)點(diǎn)、的圓與軸的切點(diǎn)，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，寫(xiě)出圓的方程，并將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的方程為，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入圓的方程得，解得或（舍去），因此，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故選：A.10、B【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得.故選：B11、D【解析】通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定正確答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，所以在上遞增，所以，即.故選：D12、A【解析】由橢圓的面積為和兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，得到求解.【詳解】由題意得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（答案不唯一）【解析】觀察數(shù)列前幾項(xiàng)，找出規(guī)律即可寫(xiě)出通項(xiàng)公式.【詳解】根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)，先不考慮正負(fù)，可知，再由奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，可得到一個(gè)通項(xiàng)公式，故答案為：（不唯一）14、【解析】根據(jù)條件可知以為直徑的圓在橢圓的內(nèi)部，可得，再根據(jù)，即可求得離心率的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知，以為直徑的圓與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，即，即，，即.故填：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的取值范圍，求橢圓離心率是常考題型，涉及的方法包含1.根據(jù)直接求，2.根據(jù)條件建立關(guān)于的齊次方程求解，3.根據(jù)幾何關(guān)系找到的等量關(guān)系求解.15、【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到，根據(jù)，解不等式得到答案.【詳解】依題意有圓心到直線的距離，即，又無(wú)論取何值，，故，故.故答案：16、【解析】利用對(duì)稱(chēng)條件求出圓心C的坐標(biāo)，借助直線被圓所截弦長(zhǎng)求出圓半徑即可寫(xiě)出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的圓心，依題意，，解得，即圓心，點(diǎn)C到直線的距離，因圓截直線所得弦AB長(zhǎng)為6，于是得圓C的半徑所以圓的方程為：.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）先通過(guò)降冪公式和輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，進(jìn)而求出周期；（2）求出的范圍，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【小問(wèn)1詳解】，函數(shù)最小正周期為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，，∴，即函數(shù)的值域?yàn)?18、（1）；（2）①；②證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)建立方程組，求解方程組可得橢圓的方程；（2）先根據(jù)相切求出直線的斜率，結(jié)合可得，進(jìn)而應(yīng)用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)線距離公式及三角形面積公式求△面積的范圍，再逐個(gè)求解，，然后可證結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題意，解得，故橢圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線為，聯(lián)立得：，因?yàn)橹本€與橢圓C相切，則判別式，即，整理得，∴，故直線為，又，可得，設(shè)直線為，聯(lián)立方程組，解得，故Q為，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得設(shè)，由得：，且，①，到直線的距離為，∴，令，∴.②由上，故，于是為定值.【點(diǎn)睛】直線與橢圓的相切問(wèn)題一般是聯(lián)立方程，結(jié)合判別式為零求解；定值問(wèn)題的求解一般結(jié)合目標(biāo)式中的項(xiàng)，逐個(gè)求解，代入驗(yàn)證即可.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明計(jì)算作答.(2)利用(1)中坐標(biāo)系，證明平面，再求點(diǎn)B到平面的距離即可作答.【小問(wèn)1詳解】在正四棱柱中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，射線分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，因E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則設(shè)，，而，，即，所以.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，點(diǎn)，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，顯然有，則，而平面，因此，平面，于是有直線BE到平面的距離等于點(diǎn)B到平面的距離，所以直線BE到平面的距離是.20、（1）0.25，15；（2）眾數(shù)為74.5，中位數(shù)為72.8，平均分為70.5.【解析】（1）直接利用頻率和頻數(shù)公式求解；（2）利用頻率分布直方圖的公式求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).【詳解】（1）頻率＝(89.5－79.5)×0.025＝0.25；頻數(shù)＝60×0.25＝15.（2）[69.5，79.5)一組的頻率最大，人數(shù)最多，則眾數(shù)為74.5，左邊三個(gè)矩形的面積和為0.4，左邊四個(gè)矩形的面積和為0.7，所以中位數(shù)在第4個(gè)矩形中，設(shè)中位數(shù)為,所以中位數(shù)為72.8.平均分為44.5×0.1＋54.5×0.15＋64.5×0.15＋74.5×0.3＋84.5×0.25＋94.5×0.05＝70.521、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義可得答案；（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)的的切線方程為，聯(lián)立此直線與雙曲線的方程消元