人教版七年級數(shù)學上冊同步備課4.2.2線段長短的比較與運算(分層作業(yè))【原卷版+解析】

基礎訓練1．下列現(xiàn)象中，可用基本事實“兩點之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（

）A．植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線B．用兩個釘子就可以把木條固定在墻上C．利用圓規(guī)可以比較兩條線段的大小關系D．把彎曲的公路改直，就能縮短路程2．如圖，已知線段a，b．按如下步驟完成尺規(guī)作圖，則的長是（

）①作射線；②在射線上截??；③在線段上截取．A． B． C． D．3．線段，延長AB到C，使，再延長到D，使，則線段的長為（

）A． B． C． D．4．如圖，若C為線段的中點，D在線段上，，，則的長度是（

）

A． B．1 C． D．25．如圖，點B在線段AC上，，分別是的中點．對于結論：①；②B是的中點；③；④．其中正確的個數(shù)為（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個6．如圖，，C為的中點，點D在線段上且，則的長是（

）A． B． C． D．7．已知線段，點為線段的中點，點是直線上的一點，且，則線段的長是（

）A．lcm B．5cm C．lcm或5cm D．4cm或5cm8．下列生活、生產現(xiàn)象：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；②筑路公司修建一條隧道縮短了甲、乙兩地的路程；③建筑工人在砌墻時，時常在兩個墻角分別立一根標志桿，在兩根標志桿之間拉一根繩子；④從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段架設．其中能用基本事實“兩點之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象有．9．如圖，已知點在線段的延長線上，且，為的中點，若，則．

10．如圖，長度為的線段的中點為M，點C在線段上，且，則線段的長度為_______．

11．如圖，已知線段，是的中點，是的中點，是的中點，則的長為．（用含的式子表示）

12．尺規(guī)作圖：作一條線段等于已知線段．已知：線段，如圖求作：線段，使．小亮的作法如下：如圖，（1）作射線；（2）以點為圓心，長為半徑作弧交于點．線段就是所求作的線段．13．如圖，在直線上順次取三個點A，B，C，已知，，D是的中點，M是的中點，則．14．點在同一條直線上，，則．（提示：點可能在點左邊或右邊）15．如圖，已知是線段的中點，是線段的中點，如果，求的長．

16．如圖，是線段的中點，是上一點，是線段的中點，，且，則線段的長為多少？

能力提升17．如圖所示，B，C是線段上任意兩點，M是的中點，N是的中點，若，，則的長度是（）A． B． C． D．以上都不對18．如圖，是的中點，是的中點，則下列等式：①；②；③；④，其中正確的有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個19．如圖所示，數(shù)軸上O，A兩點的距離為8，一動點P從點A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次跳動到AO的中點A1處，第2次從A1點跳動到A1O的中點A2處，第3次從A2點跳動到A2O的中點A3處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整數(shù)）處，問經過這樣2023次跳動后的點與A1A的中點的距離是（）A． B． C． D．20．點是線段上的三等分點，是線段的中點，是線段的中點，若，則的長為．21．已知線段，點是射線上的一個動點，點是線段的中點，點是線段的中點．當時，的長為．22．如圖，C，D是線段AB上兩點，M，N分別是線段，的中點，下列結論：①若，則；②若，則；③；④．其中正確的結論是（填序號）．23．如圖，已知線段，，點是的中點．

(1)求線段的長；(2)在上取一點，使得，求線段的長．24．如圖，P是線段上任一點，，C、D兩點分別從P、B同時向A點運動，且C點的運動速度，D點的運動速度為，運動的時間為．

(1)若，當D在線段上運動時，試說明；(2)若，時，試探索的值．拔高拓展25．如圖，點C在線段AB上，，點M、N分別是的中點．(1)求線段的長；(2)若C為線段上任一點，滿足，點M、N分別是的中點，猜想：．(3)若C在線段AB的延長線上，且滿足，點M、N分別為的中點，猜想：．

基礎訓練1．下列現(xiàn)象中，可用基本事實“兩點之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（

）A．植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線B．用兩個釘子就可以把木條固定在墻上C．利用圓規(guī)可以比較兩條線段的大小關系D．把彎曲的公路改直，就能縮短路程【答案】D【分析】根據線段的性質：兩點之間線段最短進行解答即可；【詳解】A、植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線，是兩點確定一條直線，故此選項錯誤；B、用兩個釘子就可以把木條固定在墻上，是兩點確定一條直線，故此選項錯誤；C、利用圓規(guī)可以比較兩條線段的大小關系，是線段長度比較，故此選項錯誤；D、把彎曲的公路改直，就能縮短路程，可用基本事實“兩點之間，線段最短”來解釋，正確；故選：D【點睛】此題主要考查了線段的性質，正確把握直線射線的性質是解題關鍵．2．如圖，已知線段a，b．按如下步驟完成尺規(guī)作圖，則的長是（

）①作射線；②在射線上截??；③在線段上截取．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意作出圖形，根據線段的和差進行求解即可【詳解】解：如圖，根據作圖可知，故選D【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖作線段，線段和差的計算，數(shù)形結合是解題的關鍵．3．線段，延長AB到C，使，再延長到D，使，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據已知分別求出、的長，即可得出結論．【詳解】解：如圖，

∵，，∴，又∵，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查線段的和差，根據已知畫出圖形是解題的關鍵．4．如圖，若C為線段的中點，D在線段上，，，則的長度是（

）

A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先根據，計算出的長度，再根據線段的中點的性質求出，最后根據線段的和與差即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，∵C為線段的中點，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查線段的和差和線段中點的性質，能利用已知線段通過線段的和差去計算或者表示未知線段是解決本題的關鍵．5．如圖，點B在線段AC上，，分別是的中點．對于結論：①；②B是的中點；③；④．其中正確的個數(shù)為（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】利用線段中點的性質，結合線段的和差逐一分析判定即可．【詳解】∵，∴，即，①正確；∵是的中點．∴，∴B是的中點，②正確；∵是的中點∴，∴，③正確；∵，∴，④正確；綜上分析可得，正確的有：①②③④，故選：A．【點睛】本題考查了線段的中點，線段的和差，結合圖形找出線段之間的關系是解題的關鍵．6．如圖，，C為的中點，點D在線段上且，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由線段中點定義求出長，由得到，即可得到答案．【詳解】解：∵，C為的中點，∴，∵，∴．故選：B．【點睛】本題考查兩點的距離，線段的中點定義，數(shù)形結合是解答本題的關鍵．7．已知線段，點為線段的中點，點是直線上的一點，且，則線段的長是（

）A．lcm B．5cm C．lcm或5cm D．4cm或5cm【答案】C【分析】根據題意畫出圖形，由于點的位置不能確定，故應分兩種情況進行討論．【詳解】解：∵線段，為的中點，∴當點如圖1所示時，，；當點如圖2所示時，∴線段的長為1cm或5cm.故選：．【點睛】本題考查的是兩點間的距離，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．8．下列生活、生產現(xiàn)象：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；②筑路公司修建一條隧道縮短了甲、乙兩地的路程；③建筑工人在砌墻時，時常在兩個墻角分別立一根標志桿，在兩根標志桿之間拉一根繩子；④從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段架設．其中能用基本事實“兩點之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象有．【答案】②④【分析】直接利用線段公理以及直線公理分別分析得出答案．【詳解】解：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上，利用的是“兩點確定一條直線”，故①不合題意；②筑路公司修建一條隧道縮短了甲、乙兩地的路程，可用“兩點之間線段最短”來解釋，故②符合題意；③建筑工人在砌墻時，時常在兩個墻角分別立一根標志桿，在兩根標志桿之間拉一根繩子，利用的是“兩點確定一條直線”，故③不合題意；④從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段架設，可用“兩點之間線段最短”來解釋，故符合④題意；故答案為：②④．【點睛】此題主要考查了線段公理和直線公理，解題關鍵是正確掌握線段公理：兩點之間，線段最短；直線公理：兩點確定一條直線．9．如圖，已知點在線段的延長線上，且，為的中點，若，則．

【答案】【分析】首先根據線段之間的數(shù)量關系，得出，再根據題意，得出，進而得出，然后打入數(shù)據，計算即可得出答案．【詳解】解：∵點為的中點，，∴，又∵，由圖可得：，∴，即，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了線段之間數(shù)量關系，解本題的關鍵在充分利用數(shù)形結合思想解答．10．如圖，長度為的線段的中點為M，點C在線段上，且，則線段的長度為________．

【答案】【分析】先根據線段中點的定義得到，再根據求出，則．【詳解】解：∵長度為的線段的中點為M，∴，∵點C在線段上，且，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了與線段中點有關的計算，正確理清線段之間的關系是解題的關鍵．11．如圖，已知線段，是的中點，是的中點，是的中點，則的長為．（用含的式子表示）

【答案】【分析】借助，即可求解．【詳解】解：由題意得：，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查線段的和差倍分．找到線段之間的關系是解題關鍵．12．尺規(guī)作圖：作一條線段等于已知線段．已知：線段，如圖求作：線段，使．小亮的作法如下：如圖，（1）作射線；（2）以點為圓心，長為半徑作弧交于點．線段就是所求作的線段．【答案】CD【分析】根據尺規(guī)作圖的要求進行作圖即可．【詳解】作法如下：如圖，（1）作射線；（2）以點C為圓心，長為半徑作弧交于點D．線段就是所求作的線段．故答案為：（1）；（2）C，，D．【點睛】本題考核知識點：作一條線段等于已知線段．解題關鍵點：注意尺規(guī)作圖的要求．13．如圖，在直線上順次取三個點A，B，C，已知，，D是的中點，M是的中點，則．【答案】5【分析】先求出，再根據D是的中點，M是的中點，可得，，即有，問題得解．【詳解】∵，，∴，∵D是的中點，M是的中點，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了線段的和差，線段的中點的定義，利用線段差及中點性質是解題的關鍵．14．點在同一條直線上，，則．（提示：點可能在點左邊或右邊）【答案】7或13【分析】本題沒有給出圖形，在畫圖時，應考慮到、、三點之間的位置關系的多種可能，再根據題意畫出的圖形進行解答．【詳解】解：本題有兩種情形：（1）當點在線段上時，如圖，，又，，；（2）當點在線段的延長線上時，如圖，，又，，．故線段或．故答案為：7或13．【點睛】本題考查了兩點間的距離．在未畫圖類問題中，正確畫圖很重要，本題滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)了思維的嚴密性，在今后解決類似的問題時，要防止漏解．15．如圖，已知是線段的中點，是線段的中點，如果，求的長．

【答案】【分析】由線段的中點的含義先求解，，再利用線段的和差關系可得答案．【詳解】解：∵是線段的中點，，∴，∵是線段的中點，∴，∴．【點睛】本題考查的是線段的和差運算，線段的中點的含義，熟練的利用線段的和差運算進行計算是解本題的關鍵．16．如圖，是線段的中點，是上一點，是線段的中點，，且，則線段的長為多少？

【答案】【分析】利用，，求得，再根據C是線段的中點即可求得的長，利用即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵C是線段的中點，∴，∴．【點睛】本題考查兩點間距離，線段的中點的定義、線段的和差定義等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本概念，屬于基礎題．17．如圖，已知線段，，點是的中點．

(1)求線段的長；(2)在上取一點，使得，求線段的長．【答案】(1)(2)的長度是【分析】（1）根據線段的和差關系，可得，根據點M是AC的中點，可得；（2）由，求得,根據點M是AC的中點，求得，根據即可求解．【詳解】（1）解：線段，，∴，又∵點是的中點．∴，即線段的長度是；（2）解：∵，，∴，又∵點是的中點，，∴，∴，即的長度是．【點睛】本題考查了線段和差的計算，線段中點的定義，數(shù)形結合是解題的關鍵．能力提升18．如圖所示，B，C是線段上任意兩點，M是的中點，N是的中點，若，，則的長度是（）A． B． C． D．以上都不對【答案】C【分析】根據M是的中點，N是的中點，得出，，根據，，得出，求出，根據求出結果即可．【詳解】解：∵M是的中點，N是的中點，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數(shù)量關系也是十分關鍵的一點．19．如圖，是的中點，是的中點，則下列等式：①；②；③；④，其中正確的有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據線段的中點性質，結合圖形解答即可．【詳解】解：∵是的中點，是的中點，∴①不符合題意，②符合題意，∴③符合題意，∴④不符合題意．故選：【點睛】本題主要考查了兩點間的距離，掌握線段中點的概念和性質，靈活運用數(shù)形結合思想方法是解此題的關鍵．20．如圖所示，數(shù)軸上O，A兩點的距離為8，一動點P從點A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次跳動到AO的中點A1處，第2次從A1點跳動到A1O的中點A2處，第3次從A2點跳動到A2O的中點A3處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整數(shù)）處，問經過這樣2023次跳動后的點與A1A的中點的距離是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意，可以寫出前幾個點表示的數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，然后即可得到2023次跳動后的點與A1A的中點的距離，本題得以解決．【詳解】解：由題意可得，點A1表示的數(shù)為8×＝4，點A2表示的數(shù)為8××＝2，點A3表示的數(shù)為8××＝1，…，點An表示的數(shù)為8×（）n，∵A1A的中點表示的數(shù)為（8+4）÷2＝6，∴2023次跳動后的點與A1A的中點的距離是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣，故選：D．【點睛】本題考查數(shù)字的變化類、數(shù)軸，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點．21．點是線段上的三等分點，是線段的中點，是線段的中點，若，則的長為．【答案】或【分析】根據題意，分類討論，當時，；當時，，由此即可求解．【詳解】解：①如圖所示，∵，，，∴，解得，；②如圖所示，∵，，，∴，解得，；綜上所述，的長為或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查線段的加減運算，掌握中點，三等分點的性質，線段的和差運算方法，圖形結合分析是解題的關鍵．22．已知線段，點是射線上的一個動點，點是線段的中點，點是線段的中點．當時，的長為．【答案】或【分析】根據點是射線上的一個動點，分類討論點的位置：點在直線之內；點在直線之外，即可．【詳解】∵點是射線上的一個動點，∴點在直線之內，如圖，∵點是線段的中點，∴，∵點是線段的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；當點在直線之外，如圖，∵，，∴，∴，∵，∴．故答案為：或．【點睛】本題考查線段的計算，解題的關鍵是分類討論點的位置，根據線段之間的等量關系，進行計算．23．如圖，C，D是線段AB上兩點，M，N分別是線段，的中點，下列結論：①若，則；②若，則；③；④．其中正確的結論是（填序號）．【答案】①②③【分析】結合圖形，根據線段中點的定義與線段之間的和差關系進行分析，即可進行解答．【詳解】解：①∵M，N分別是線段，的中點，∴，∵，∴，即，∴，∴，故①正確，符合題意；②∵，∴，∵M是線段的中點，∴，∵，∴，故②正確，符合題意；③∵M，N分別是線段，的中點，∴，∴，整理得：，即，故③正確，符合題意；④∵，∴，∴，∴，故④不正確，不符合題意；故答案為：①②③．【點睛】本題主要考查了兩點之間的距離，解題的關鍵是掌握中點的定義，根據圖形，分析線段之間的和差關系．24．如圖，