2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 48 第六章 第五節(jié) 空間向量及其運(yùn)算

第五節(jié)空間向量及其運(yùn)算考試要求：1．了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．2．掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示．3．掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直．自查自測知識點(diǎn)一空間向量的有關(guān)概念、定理1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．(1)空間中模相等的兩個(gè)向量方向相同或相反．(×)(2)空間中所有的單位向量的模都相等．(√)(3)空間任意三個(gè)向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底．(×)(4)空間向量a，b，c，若a∥b，b∥c，則a∥c.(×)(5)空間中任意兩個(gè)非零向量都共面．(√)2．(教材改編題)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M.設(shè)AB＝a，AD＝b，AAA．－12a+12b＋cC．－12a－12b－c C解析：C1M＝C13．在空間四點(diǎn)O，A，B，C中，若{OA，OB，OC}是空間的一個(gè)基底，則O，A，B，C四點(diǎn)________.(填“共面”或不共面解析：若四點(diǎn)共面，則OA，核心回扣1．空間向量的有關(guān)概念名稱概念零向量長度(模)為0的向量單位向量長度(模)為1的向量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個(gè)的向量2．空間向量的有關(guān)定理及推論名稱語言描述共線向量定理對任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc推論設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使OP＝，且x＋y＋z＝1自查自測知識點(diǎn)二兩個(gè)非零空間向量的數(shù)量積如圖，若四面體ABCD的每條棱長都等于2，E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，則BC－EF＝______，EF與AC390?解析：因?yàn)镋F＝12BD，BD·BC＝所以BC－EF2＝BC－12BD2＝BC2－BC所以BC－EF＝因?yàn)镋F＝所以AC·EF＝12所以〈EF，AC核心回扣數(shù)量積及其性質(zhì)(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b?a·b＝0；(3)|a|2＝a2，|a|＝a·(4)cos〈a，b〉＝a·注意點(diǎn)：(1)a·b＝b·c?a＝c；(2)(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．自查自測知識點(diǎn)三空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1．(多選題)已知空間向量a＝(－2，－1，1)，b＝(3，4，5)，則下列結(jié)論正確的是()A．(2a＋b)∥a B．5|a|＝3C．a(chǎn)⊥(5a＋6b) D．a(chǎn)與b夾角的余弦值為3BC解析：因?yàn)?a＋b＝(－1，2，7)，a＝(－2，－1，1)，而－1－2≠2－1≠71，故A不正確；因?yàn)閍＝6，b＝52，所以5|a|＝3b，故B正確；因?yàn)閍·(5a＋6b)＝5a2＋6a·b＝5×(4＋1＋1)＋6×(－6－4＋5)＝0，故C正確；又因?yàn)閍·b＝－5，所以cos2．如圖，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，E為PB的中點(diǎn)，cos〈DP，AE〉＝33.若以DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)(1，1，1)解析：由已知得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)．設(shè)P(0，0，a)(a＞0)，則E1，所以DP＝(0，0，a)，AE＝－1，1，a因?yàn)閏os〈DP，AE〉＝33解得a＝2(負(fù)值舍去)，所以E(1，1，1)．核心回扣設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．名稱向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模aa夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a【常用結(jié)論】1．三點(diǎn)共線：在平面中A，B，C三點(diǎn)共線?OA＝xOB+yOC(其中x＋2．四點(diǎn)共面：在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面?OP＝xOA+yOB+zOC(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點(diǎn)．若x＝y(tǒng)＝應(yīng)用在下列條件中，一定能使空間中的四點(diǎn)M，A，B，C共面的是()A．OMB．OMC．MA+2D．OM+OAC解析：根據(jù)共面向量定理，對于OM＝xOA+yOB+zOC，若A，B，C，M共面，則x＋y＋z選項(xiàng)C可化為MA＝－2MB－MC，所以M，空間向量的線性運(yùn)算1．在空間四邊形ABCD中，AB＝(－3，5，2)，CD＝(－7，－1，－4)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，則EF的坐標(biāo)為()A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3)C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1)B解析：因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以EF＝OF－所以EF＝12OA+OD－12OB+OC＝12BA+CD＝12×(－4，－2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)F是側(cè)面CDD1C1的中心．若AF＝xAD+yAB+zAA1A．12 B．C．32 D．B解析：AF＝AD+DF＝AD+12DD1+DC＝AD+12AA1+3．(2024·濱州模擬)已知空間向量a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，則a－b＋2c＝________.(－4，3，3)解析：因?yàn)閍＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，所以a－b＋2c＝(1，2，3)－(3，－1，2)＋2(－1，0，1)＝(－4，3，3)．空間向量線性運(yùn)算的解題策略(1)用已知向量來表示未知向量，結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)將已知向量與所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，利用三角形法則、平行四邊形法則、多邊形法則把所求向量用已知向量表示出來．(3)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．共線向量定理、共面向量定理及其應(yīng)用【例1】(1)空間向量a＝(2，2，－1)的一個(gè)單位向量的坐標(biāo)是________.23，23，所以a的一個(gè)單位向量的坐標(biāo)是aa＝13(2，2，－(2)已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足OM＝①判斷MA，②判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)．解：①由題意知OA+OB+OC＝3OM，即MA＝BM+CM②因?yàn)镺M＝13OA+OB+OC所以M，A，B，C四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)．[變式]本例(1)若改為：“與空間向量a＝(2，2，－1)共線的單位向量的坐標(biāo)”，結(jié)果如何？解：|a|＝4+4+所以與a共線的單位向量的坐標(biāo)為±aa＝±13(2，2，－1)＝231．共線、共面向量定理的應(yīng)用(1)向量共線可以用來判斷直線平行、三點(diǎn)共線．(2)向量共面可以用來判斷直線與平面平行、四點(diǎn)共面．(3)根據(jù)向量共線和向量共面求參數(shù)取值．2．證明四點(diǎn)P，M，A，B共面的方法(1)MP＝(2)對空間內(nèi)任意一點(diǎn)O，OP＝(3)對空間內(nèi)任意一點(diǎn)O，OP＝xOM+yOA+z(4)PM∥AB或PA∥MB或PB∥AM.1．(2024·湛江模擬)已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，則()A．x＝13，y＝1 B．x＝12，y＝C．x＝2，y＝－14 D．x＝1，y＝－B解析：a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．由題意得1+2x2－x＝43＝4－y－2y－22．如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形，E為棱AB的中點(diǎn)，AF＝13AD，AG＝2GA1，213解析：由題可設(shè)AM＝λAC因?yàn)锳C1＝AB因?yàn)镸，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，所以2λ＋3λ＋32λ＝1，解得λ＝2空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用考向1空間向量數(shù)量積的運(yùn)算【例2】(1)已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則AE·AF的值為(A．1 B．1C．14 D．C解析：此空間四邊形及其對角線構(gòu)成的幾何體為正四面體，棱長為1，如圖．因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，所以AE＝所以AE＝12|AB(2)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在正方體的12條棱上(包括頂點(diǎn))運(yùn)動(dòng)，則AC·BP[－4，4]解析：以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，AC＝(－2，2，0)，點(diǎn)P在正方體的12條棱上運(yùn)動(dòng)，設(shè)P(x，y，z)，則BP＝(x－2，y－2，z)，所以AC·BP＝4－2x＋2y－4＝2y－2因?yàn)?≤x≤2，0≤y≤2，當(dāng)x＝2，y＝0時(shí)，AC·BP取得最小值－當(dāng)x＝0，y＝2時(shí)，AC·BP取得最大值所以AC·BP的取值范圍是[－4空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算．考向2空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【例3】(1)已知a＝(5，3，1)，b＝－2，t，－25，若5215，+∞解析：由題意得a·b>0且a解得t>5215，且t≠－65.故實(shí)數(shù)t的取值范圍為(2)已知A(－1，2，1)，B(－1，5，4)，C(1，3，4)．①求〈AB，②求AC在AB上的投影向量．解：①因?yàn)锳(－1，2，1)，B(－1，5，4)，C(1，3，4)，所以AB＝(0，3，3)，BC＝(2，－2，0)．因?yàn)锳B·BC＝0×2＋3×(－2)＋3×0＝－6，AB＝32，BC所以cos〈AB，BC〉＝AB·BCAB②因?yàn)锳C＝(2，1，3)，AB＝(0，3，3)，所以AC·AB＝2×0＋1×3＋3×3因?yàn)锳B＝32，AC＝所以cos〈AC，AB〉＝所以AC在AB上的投影向量為ACcos〈AC，AB〉A(chǔ)BAB＝14×2[變式]若將本例(1)中“銳角”改為“鈍角”，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．解：由題意得a·b<0且a，b不共線，所以－解得t<5215，且t≠－6故實(shí)數(shù)t的取值范圍為－∞空間向量數(shù)量積的應(yīng)用求夾角設(shè)向量a，b所成的角為θ，則cosθ＝a·求長度距離運(yùn)用公式|a|2＝a·a，可使線段長度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題1．(2024·青島模擬)已知向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)．若(2a－b)·b＝1，則x＝()A．－3 B．3C．－1 D．6B解析：2a－b＝(2，2，2x)－(－2，2，3)＝(4，0，2x－3)．因?yàn)?2a－b)·b＝1，所以－8＋3(2x－3)＝1，解得x＝3.2．如圖，已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120?.(1)求線段AC1的長；(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；(3)求證：AA1⊥BD.(1)解：設(shè)AB＝a，則|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120?＝－1.因?yàn)锳C1＝AB+AD+AA所以AC12＝|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋4＋0－2－2＝2所以AC1＝2，即線段AC1的長為2(2)解：由(1)可得AC1＝a+b所以AC1·A1D＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋|b|2－|c|2＝0＋1＋1－A1D＝|b－c|＝b－c2設(shè)異面直線AC1與A1D所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈AC1〉即異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為147(3)證明：由(1)可得AA1＝c，BD＝b－a，所以AA1·BD＝c·(b－a)＝c·b－c·a即AA1·BD＝0，所以AA1課時(shí)質(zhì)量評價(jià)(三十六)1．已知點(diǎn)O，A，B，C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a＝OA+OB+OC，向量b＝OA+OB－OC，A．OA B．OBC．OC D．OA或OBC解析：因?yàn)镺C＝12OA+OB+OC－1所以O(shè)C與a，b不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底．2．(2024·臺州模擬)若向量a＝(1，1，2)，b＝(2，x，y)，且a∥b，則|b|＝()A．2 B．22C．6 D．26D解析：由題意，得21＝x1＝y(tǒng)2，解得x＝2，y＝4，故b＝(2，2，4)3．(多選題)已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)．下列結(jié)論正確的有()A．AP⊥ABB．AP⊥ADC．AP是平面ABCD的一個(gè)法向量D．AP∥BDABC解析：對于A，AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以AP⊥AB，即AP⊥AB，故A對于B，AP·AD＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以AP⊥AD，即AP⊥AD，故B對于C，由AP⊥AB，且AP⊥AD，得出AP是平面ABCD的一個(gè)法向量，故C正確；對于D，由AP是平面ABCD的法向量，得出AP⊥BD，故D錯(cuò)誤．4．設(shè)向量a＝(3，5，2)，b＝(－2，1，3)，向量ma＋nb與x軸垂直時(shí)，實(shí)數(shù)m與n滿足()A．3m＝2n B．3m＝nC．m＝2n D．m＝nA解析：ma＋nb＝(3m－2n，5m＋n，2m＋3n)，取x軸的方向向量為e＝(1，0，0)．因?yàn)橄蛄縨a＋nb與x軸垂直，所以3m－2n＝0，解得3m＝2n.5．如圖，在一個(gè)120?的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，線段AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且均與棱AB垂直．若AB＝2，AC＝1，BD＝2，則CD的長為()A．2 B．3C．23 D．4B解析：因?yàn)镃A⊥AB，BD⊥AB，二面角大小為所以CA·AB＝0，BD·AB＝0，CA·BD因?yàn)镃D＝所以CD2＝CA2+AB2+BD2+2CA·AB+2所以CD＝3.6．已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，則向量a與b的夾角為________.π6解析：因?yàn)閍·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)所以cos〈a，b〉＝a·又因?yàn)椤碼，b〉∈[0，π]，所以向量a與b的夾角為π67．(2024·西安模擬)在空間四邊形ABCD中，AC與BD是四邊形的兩條對角線，M，N分別為線段AB，CD上的點(diǎn)，且滿足AM＝23AB，DN＝34DC，點(diǎn)G在線段MN上，且滿足MG＝3GN1112解析：如圖，連接MN，AN，AG由于MG＝3GN，故AG－整理得4AG＝3所以AG＝故x＝16所以x＋y＋z＝11128．已知空間向量a＝(1，0，1)，b＝(2，－1，2)，則向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)是________.89，－49，89解析：因?yàn)榭臻g向量a＝(1，0，1)，b＝(2，－1，2)，所以a·b＝4，b＝4+1+4＝3，所以向量a9．在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是DD1，DB的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝13CD，H是C1G的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥B1C；(2)求cos〈EF，C(3)求FH的長．(1)證明：如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，E(0，0，1)，F(xiàn)(1，1，0)，C(0，2，0)，C1所以EF＝(1，1，－1)，B1C＝(－2，0，－所以EF·B1C＝1×(－2)＋1×0＋(－1)×(－2)＝0，所以EF⊥B1C，故(2)解：因?yàn)镃1G＝0，因?yàn)镋F＝(1，1，－1)，所以EF＝3，EF·C1G＝1×0+所以cos〈EF，C1(3)解：因?yàn)镠是C1G的中點(diǎn)，所以H0，又因?yàn)镕(1，1，0)，所以HF＝所以HF＝12+－2310．(多選題)(2024·沈陽模擬)已知空間中三點(diǎn)A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，則()A．AB與AC是共線向量B．與向量AB方向相同的單位向量的坐標(biāo)是2C．AB與BC夾角的余弦值是55D．BC在AB上的投影向量的模為5BD解析：由已知得AB＝(2，1，0)，AC＝(－1，2，1)，BC＝(－3，1，1)，且－12≠因此AB與AC不共線，故A錯(cuò)誤；AB＝5，所以與向量AB方向相同的單位向量坐標(biāo)是15(2，1，0)＝255，AB·BC＝－5，BC＝11，cos〈AB，BC〉＝ABBC在AB上的投影向量的模是BC·ABAB＝11．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120?，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A．32 B．C．105 D．C解析：如圖，由題意知，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，CC1⊥平面ABC.因?yàn)锽C?平面ABC，AB?平面ABC，所以BB1⊥BC，CC1⊥AB.因?yàn)锳B1所以AB1·BC1因?yàn)锳B1＝5所以cos〈AB1，BC1〉＝AB1·BC1AB12．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段C1D，AC上，則線段PQ長度的最小值是()A．23 B．C．23 D．C解析：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則D(0，0，0)，C1(0