第03講集合的基本運(yùn)算（3個知識點(diǎn)2個要點(diǎn)3種題型1個易錯點(diǎn)過關(guān)檢測）

第03講集合的基本運(yùn)算（3個知識點(diǎn)+2個要點(diǎn)+3種題型+1個易錯點(diǎn)+過關(guān)檢測）知識點(diǎn)1：并集文字語言一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)符號語言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}圖形語言性質(zhì)A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝A?B?A，A?A∪B注意點(diǎn)：(1)A∪B仍是一個集合．(2)并集符號語言中的“或”包含三種情況：①x∈A且x?B；②x∈A且x∈B；③x?A且x∈B.(3)對概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互異性．知識點(diǎn)2：交集文字語言一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交B”)符號語言A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}圖形語言性質(zhì)A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝A?A?B，(A∩B)?(A∪B)，(A∩B)?A，(A∩B)?B注意點(diǎn)：(1)A∩B仍是一個集合．(2)文字語言中“所有”的含義：A∩B中任一元素都是A與B的公共元素，A與B的公共元素都屬于A∩B.(3)如果兩個集合沒有公共元素，不能說兩個集合沒有交集，而是A∩B＝?.知識點(diǎn)3：全集與補(bǔ)集1.全集如果一個集合包含我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，全集通常記作U.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)討論集合時，R便可看作一個全集U.2．補(bǔ)集定義文字語言設(shè)A?S，由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集符號語言?SA＝{x|x∈S，且x?A}圖形語言性質(zhì)(1)A?S，?SA?S；(2)?S(?SA)＝A；(3)?SS＝?，?S?＝S要點(diǎn)1：德?摩根（DeMorgan）定律(1)?u(AnB)=(?uA)U(?uB)(簡記為“交的補(bǔ)”=“補(bǔ)的并”).(2)?u(AUB)=(?uA)∩(?uB)(簡記為“并的補(bǔ)”=“補(bǔ)的交”).要點(diǎn)2：集合中元素個數(shù)的計(jì)算（容斥原理）實(shí)際問題中的集合主要是涉及集合中元素個數(shù)的問題,先對實(shí)際問題進(jìn)行分析,抽象建立集合模型,轉(zhuǎn)化為集合問題,運(yùn)用集合知識進(jìn)行求解,然后將數(shù)學(xué)問題的解翻譯成實(shí)際問題的解并進(jìn)行檢驗(yàn),從而使問題得以解決,其中用Venn圖進(jìn)行分析,往往可將問題直觀化、形象化,使問題便捷、準(zhǔn)確地獲解我們把含有限個元素的集合A叫做有限集，用card(A)來表示有限集合A中元素的個數(shù).例如,A={a,b,c},則card(A)=3.結(jié)論:一般地,對任意兩個有限集合A,B,有card(AUB)=card(A)+card(B)card(AnB)易錯點(diǎn)：考慮問題不全面，等價變換時易出錯題型一集合交、并、補(bǔ)的綜合運(yùn)算【例題1】（2425高一上·上?！るS堂練習(xí)）設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得，得到，結(jié)合并集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由，又由，可得，所以.故選：D【變式1】（2324高一下·河南許昌·開學(xué)考試）設(shè)集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直接得到的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D【變式2】（2324高一上·西藏林芝·期中）設(shè)集合，則(用區(qū)間表示).【答案】【分析】利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，則.故答案為：【變式3】（2425高一上·上?！ふn堂例題）已知全集，且，，求集合．【答案】【分析】根據(jù)得出有元素，沒有，得出有元素即可求解．【詳解】解：∵全集，滿足，，有元素，沒有，有，∴題型二集合交、并運(yùn)算與集合間關(guān)系的轉(zhuǎn)化【例題2】（2324高一上·陜西西安·開學(xué)考試）已知集合，，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】若，即可得到，從而求出的范圍，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若，則，又，，所以，所以由推得出，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【變式1】（2324高一上·天津紅橋·階段練習(xí)）已知集合.若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可得：，分和兩種情況，結(jié)合包含關(guān)系分析求解.【詳解】因?yàn)?，則，若，則，解得；若，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：C.【變式2】（2223高一上·河北保定·階段練習(xí)）已知集合，，，則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】首先根據(jù)集合補(bǔ)集的定義得到，然后分別討論或即可得到參數(shù)的值.【詳解】，.，，即.當(dāng)時，得，分別代入集合與集合中得：，，此時不符合題意，舍去；當(dāng)，得或，將分別代入集合與集合中得：，，不符合題意，舍去；將分別代入集合與集合中得：，，符合題意.綜上所述：.故答案為：.【變式3】（2425高一上·上海·隨堂練習(xí)）已知集合，．(1)若是的真子集，求的取值范圍；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)真子集定義即可求出的取值范圍；（2）根據(jù)子集定義即可求出的取值范圍.【詳解】（1）若是的真子集，根據(jù)真子集定義，的范圍要完全在的內(nèi)部，且，故．（2）若，即，由圖知題型三補(bǔ)集思想的應(yīng)用【典例分析】【例3】設(shè)集合A＝{x|a≤x≤a＋4}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B≠?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】當(dāng)A∩B＝?時，如圖所示，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,a＋4≤5，))解得－1≤a≤1.即A∩B＝?時，實(shí)數(shù)a的取值范圍為M＝{a|－1≤a≤1}．而A∩B≠?時，實(shí)數(shù)a的取值范圍顯然是集合M在R中的補(bǔ)集，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a＜－1，或a＞1}．【變式演練】【變式】已知集合A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}，若A∩B≠A，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解若A∩B＝A，則A?B.又A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－1≤2，,2k－1≥3，))解得2≤k≤3.又k∈R，所以當(dāng)A∩B≠A時，實(shí)數(shù)k的取值范圍為集合{k|2≤k≤3}在R中的補(bǔ)集，即k的取值范圍為(－∞，2)∪(3，＋∞)．易錯點(diǎn)考慮問題不全面，等價變換時易出錯例：已知全集，集合，求?U.【錯解】由已知得，設(shè)方程的兩根分別是，所以當(dāng)時，，?U.當(dāng)時，，?U.【錯因分析】忽略了的情況.【正解】由已知得.當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根，此時，，所以?U=?U=.當(dāng)時，設(shè)方程的兩根分別是，，.因?yàn)?，所以只可能有以下情形：①?dāng)時，，此時，?U；②當(dāng)時，，此時，?U.綜上所述，當(dāng)時，?U；當(dāng)時，?U=；當(dāng)時，?U=.【變式1】（2324高一上·安徽·階段練習(xí)）已知集合，，若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由可以得到，從而對集合分類討論即可求解參數(shù)的范圍.【詳解】∵已知，又因?yàn)?，∴，即，①?dāng)時，滿足，此時，解得；②當(dāng)時，由，得，解得；綜上所述，.故選：C.【變式2】（2223高一上·山東濱州·期末）已知集合，，且，則的所有取值組成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系分類討論求解.【詳解】因?yàn)椋裕?，若，則或，經(jīng)檢驗(yàn)均滿足題意，若，則或，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，與互異性矛盾，綜上的所有取值為：，0,2，故選:D【變式3】（2223高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知集合，若，求實(shí)數(shù)的值及.【答案】，【分析】由交集的運(yùn)算可知，則或，分別求值并驗(yàn)證集合是否滿足題意和元素的互異性，從而確定的值，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)椋郧?，又，所以或，解得或；?dāng)時，，，則，與已知矛盾，舍去；當(dāng)時，，，集合不滿足集合的互異性，舍去；當(dāng)時，，，則，滿足題意；綜上，，此時.一、單選題1．（2324高一上·河北石家莊·期中）設(shè)集合，.若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)交集的定義可知，代入集合可求出的值，從而求解集合.【詳解】因?yàn)?，所以，則，解得.則.故選：D2．（2324高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，再根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意得，則，故選：B．3．（2324高一上·湖北孝感·開學(xué)考試）設(shè)全集，且，若，則m的值等于（

）A．4 B．6 C．4或6 D．不存在【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出集合，再借助韋達(dá)定理求解作答.【詳解】由全集，，得，即1，4是方程的兩個根，于是，解得，所以m的值等于4.故選：A4．（2324高一上·廣東廣州·期中）集合，若，則滿足條件的集合個數(shù)為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】求出集合，由得，根據(jù)子集的定義可得．【詳解】由題意，則，這樣的有個．故選：C．5．（2324高一上·山西·期中）設(shè)集合．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意易得1是方程的解，代入方程可得的值，解方程進(jìn)而得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，?是方程的解，將代入方程得，所以的解為或，所以．故選：A.6．（2324高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知集合，，若滿足，則的值為（

）A．或5 B．或5 C． D．5【答案】C【分析】根據(jù)集合的交集，知，分類討論，求出a的值，檢驗(yàn)是否符合題意，即得答案.【詳解】由，則，若，則，，則，不符合題意；若，當(dāng)時，，違反了集合元素的互異性，不合題意；當(dāng)時，，，符合題意，故選：C7．（2324高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出集合，依題意可得，再分、、三種情況討論.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，?dāng)，則，當(dāng)，即，解得，當(dāng)，即，解得，綜上可得實(shí)數(shù)a的取值集合為.故選：D8．（2324高一上·浙江杭州·期末）若集合，，，則集合（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)交集、并集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，，所以，則.故選：C二、多選題9．（2324高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A． B． C．0 D．1【答案】BCD【分析】根據(jù)已知得出.分以及討論，即可得出答案.【詳解】由可得，.當(dāng)時，滿足，此時；當(dāng)時，，解可得，.因?yàn)?，所以?當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上所述，或或.故選：BCD.10．（2324高一上·江西·階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】解法一：由判斷A；由判斷B；由判斷CD．解法二：依題意列舉中的元素，觀察可得答案.【詳解】解法一：易知，故A錯誤；易知，則B正確；，故，故C正確，D錯誤，故選：BC．解法二：依題意，，，觀察可知AD錯誤，BC正確，故選：BC.11．（2324高一上·青海海東·階段練習(xí)）已知集合，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先求出集合，再有交集，并集和補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，對于A，所以，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：AC.三、填空題12．（2324高一上·四川成都·期中）已知，均為集合的子集，且，，則集合．【答案】【分析】根據(jù)集合間交并補(bǔ)的混合運(yùn)算可得解.【詳解】由，，可得，故答案為：.13．（2324高一上·遼寧大連·期中）設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】或【分析】依題意可得，分和兩種情況討論.【詳解】因?yàn)?，又，所以，?dāng)時，符合題意；當(dāng)，則，解得，綜上可得或.故答案為：或14．（2324高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知全集，且，，，則集合

．【答案】【分析】由已知補(bǔ)集交集的運(yùn)算結(jié)果，得到集合A與集合B，再求補(bǔ)集與交集的運(yùn)算.【詳解】全集，，則，，所以.故答案為：.四、解答題15．（2324高一上·湖南長沙·期末）已知集合，.(1)當(dāng)時，求與；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）把代入求出集合，再利用交集、并集的定義求解即得.（2）利用給定交集的結(jié)果，結(jié)合集合的包含關(guān)系列式求解即得.【詳解】（1）當(dāng)時，，而，所以，.（2）由，得，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.16．（2324高一上·河南·期中）已知集合，，．(1)若，求中元素的個數(shù)；(2)若，求a的取值范圍．【答案】(1)5(2)【分析】（1）化簡集合直接根據(jù)交集運(yùn)算即可；（2）化簡集合C，根據(jù)交集為空集列出不等式求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，故中元素的個數(shù)為.（2）由，可得，解得，故a的取值范圍為.17．（2324高一上·湖南長沙·期末）已知集合或．(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由補(bǔ)集、并集的概念即可求解.（2）由包含關(guān)系分類討論即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，或，所以，因此，.（2）當(dāng)時，則時，即當(dāng)時，成立，當(dāng)時，即當(dāng)時，即當(dāng)時，由，可得，解得，此時．綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知，或．(1)若，求的取值范圍；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）分和兩種情