第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)（習(xí)題課單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用）課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)習(xí)題課單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用人教A版

數(shù)學(xué)

必修第一冊重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系.(邏輯推理)2.能運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性等解決比較大小、求最值、解不等式等綜合問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1函數(shù)的奇偶性,可否為研究函數(shù)的性質(zhì)提供簡化?問題2結(jié)合具體的函數(shù)圖象,說明函數(shù)奇偶性與單調(diào)性之間有什么聯(lián)系嗎?探究點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判斷【例1】

下列函數(shù)是偶函數(shù)且在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減的是(

)A.y=2x

B.y=C.y=|x|

D.y=-x2C解析

y=2x不是偶函數(shù);y=不是偶函數(shù);y=|x|是偶函數(shù),且函數(shù)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,所以C選項(xiàng)正確;y=-x2是二次函數(shù),是偶函數(shù),且在(-∞,0)上單調(diào)遞增,故選C.探究點(diǎn)二應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性比較大小問題3已知函數(shù)一側(cè)的單調(diào)性,結(jié)合奇偶性,可否知道另一側(cè)的單調(diào)性?問題4已知函數(shù)單調(diào)性,主要能解決什么問題?體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想?【例2】

已知偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關(guān)系是(

)A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3)A解析

∵f(x)在R上是偶函數(shù),∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵2<3<π,且f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(2)<f(3)<f(π),∴f(-2)<f(-3)<f(π).故選A.延伸探究(1)若將本例中的“單調(diào)遞增”改為“單調(diào)遞減”,其他條件不變,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關(guān)系如何?(2)若將本例中的“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”,其他條件不變,比較這三個(gè)數(shù)的大小.

解

(1)因?yàn)閒(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,所以有f(2)>f(3)>f(π).又因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù),所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),從而有f(-2)>f(-3)>f(π).(2)因?yàn)楹瘮?shù)為定義在R上的奇函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在R上是增函數(shù).因?yàn)?3<-2<π,所以f(-3)<f(-2)<f(π).規(guī)律方法

涉及奇、偶函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值大小比較的策略應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判斷函數(shù)值的大小時(shí),先利用函數(shù)的奇偶性將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性對函數(shù)值的大小作出比較.探究點(diǎn)三應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式【例3】

已知定義在[-2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,若f(1-m)<f(m),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解因?yàn)閒(x)在區(qū)間[-2,2]上為奇函數(shù),且在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[-2,2]上單調(diào)遞減.延伸探究若將本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”,把區(qū)間“[0,2]”改為“[-2,0]”,其他條件不變,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解

因?yàn)楹瘮?shù)為[-2,2]上的偶函數(shù),又函數(shù)在區(qū)間[-2,0]上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增,原不等式可化為f(|1-m|)<f(|m|),規(guī)律方法

抽象不等式的求解策略解有關(guān)奇函數(shù)f(x)的不等式f(a)+f(b)<0,先將f(a)+f(b)<0變形為f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的單調(diào)性去掉“f”,化為關(guān)于a,b的不等式.另外,要特別注意函數(shù)的定義域.由于偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反,所以我們要利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)=f(|x|)=f(-|x|)將f(g(x))中的g(x)全部化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),再利用單調(diào)性去掉符號“f”,使不等式得解.【例4】

設(shè)f(x)是奇函數(shù),且在(-∞,0)上是減函數(shù),f(1)=0,則xf(x)<0的解集是(

)A.{x|-1<x<0或0<x<1}B.{x|x<-1或0<x<1}C.{x|-1<x<0或x>1}D.{x|x<-1或x>1}D解析

由已知可得f(x)是奇函數(shù),且在(-∞,0)上是減函數(shù),則f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),又f(1)=0,所以f(-1)=0,所以xf(x)<0等價(jià)于:當(dāng)x<0時(shí),則f(x)>0,即f(x)>f(-1),解得x<-1;當(dāng)x>0時(shí),則f(x)<0,即f(x)<f(1),解得x>1.綜上所述,不等式xf(x)<0的解集為{x|x<-1或x>1}.故選D.延伸探究已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),滿足對任意的x1,x2∈(-∞,0)(其中x1≠x2),都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0,且f(-1)=0,則

的范圍是(

)A.(-∞,-1)∪[0,1) B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,-1]∪(0,1] D.(-1,1)B解析

因?yàn)閷θ我獾膞1,x2∈(-∞,0)(其中x1≠x2),都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0,所以當(dāng)x<0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,因?yàn)閒(-1)=0且f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(1)=f(-1)=0,f(0)=0,作出f(x)的大致圖象如圖所示,規(guī)律方法

求解與奇、偶函數(shù)有關(guān)的不等式問題要涉及分類討論問題,為避免分類討論出現(xiàn)錯(cuò)誤,可根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性作出函數(shù)的大致圖象及函數(shù)與x軸的交點(diǎn),根據(jù)圖象可將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為具體不等式求解.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1234567891011A級必備知識基礎(chǔ)練1.(多選題)已知定義在區(qū)間[-7,7]上的一個(gè)偶函數(shù),它在[0,7]上的圖象如圖,則下列說法正確的是(

)A.這個(gè)函數(shù)有2個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間B.這個(gè)函數(shù)有3個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間C.這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值7D.這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值-7BC解析

根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,可得它在定義域[-7,7]上的圖象,如圖所示,因此這個(gè)函數(shù)有3個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間,3個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間,在其定義域內(nèi)有最大值7,最小值不能確定,故選BC.123456789101112345678910112.下列函數(shù)是奇函數(shù),且在(0,+∞)上為增函數(shù)的是(

)D12345678910113.偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,4]上單調(diào)遞減,則有(

)A.f(-1)>f(2)>f(-3) B.f(2)>f(-1)>f(-3)C.f(-3)>f(-1)>f(2) D.f(-1)>f(-3)>f(2)A解析

由y=f(x)為偶函數(shù),則f(-1)=f(1),f(-3)=f(3),又因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間[0,4]上單調(diào)遞減,所以f(1)>f(2)>f(3),即f(-1)>f(2)>f(-3),故選A.12345678910114.若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,-1]上單調(diào)遞減,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上(

)A.單調(diào)遞增,且有最小值為f(1)B.單調(diào)遞增,且有最大值為f(1)C.單調(diào)遞減,且有最小值為f(2)D.單調(diào)遞減,且有最大值為f(2)C解析

根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以其在y軸兩側(cè)單調(diào)性相同,因?yàn)閒(x)在區(qū)間[-2,-1]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故選C.1234567891011B解析

∵函數(shù)f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函數(shù),∴f(-x)=(m-1)x2-2mx+3=f(x)=(m-1)x2+2mx+3,∴m=0,即f(x)=-x2+3.∴f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,123456789101112345678910116.f(x)是定義在[-6,6]上的偶函數(shù),且f(3)>f(1),則下列各式一定成立的是(

)A.f(0)<f(6) B.f(3)>f(2)C.f(-1)<f(3) D.f(2)>f(0)C解析

∵f(x)是偶函數(shù),∴f(1)=f(-1),又f(3)>f(1),故f(3)>f(-1).故選C.12345678910117.

已知奇函數(shù)f(x)在定義域R上是增函數(shù),則不等式f(4x-3x2)+f(7)>0的解集是

.

解析

∵f(4x-3x2)+f(7)>0,∴f(4x-3x2)>-f(7).又f(x)為定義域R上的奇函數(shù),∴f(4x-3x2)>f(-7).12345678910118.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,1),且滿足下列條件:①f(x)為奇函數(shù);②f(x)在定義域上是減函數(shù).若f(1-a)+f(1-a2)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

∵f(x)為奇函數(shù),∴f(1-a2)=-f(a2-1),∴f(1-a)+f(1-a2)<0,則f(1-a)<-f(1-a2),即f(1-a)<f(a2-1).∵f(x)在定義域(-1,1)上是減函數(shù),故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1).12345678910111234567891011B級關(guān)鍵能力提升練9.(多選題)關(guān)于函數(shù)y=f(x),y=g(x),下述結(jié)論正確的是(

)A.若y=f(x)是奇函數(shù),則f(0)=0B.若y=f(x)是偶函數(shù),則y=|f(x)|也是偶函數(shù)C.若y=f(x)(x∈R)滿足f(1)<f(2),則f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增D.若y=f(x),y=g(x)均為R上的增函數(shù),則y=f(x)+g(x)也是R上的增函數(shù)BD解析

若y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)定義域不包含0時(shí)不成立,故A錯(cuò)誤;若y=f(x)是偶函數(shù),f(x)=f(-x),故|f(x)|=|f(-x)|,y=|f(x)|也是偶函數(shù),B正確;舉反例:f(x)=(x-)2滿足f(1)<f(2),在[1,2]上不單調(diào)遞增,故C錯(cuò)誤;設(shè)x1<x2,則[f(x2)+g(x2)]-[f(x1)+g(x1)]=[f(x2)-f(x1)]+[g(x2)-g(x1)]>0,故y=f(x)+g(x)也是R上的增函數(shù),故D正確.1234567891011123456789101110.若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減