2.2基本不等式（導(dǎo)學(xué)案）

2.2《基本不等式》導(dǎo)學(xué)案（解析版）（日期：2024年9月課時：2課時第4周）班級：姓名：分數(shù)：.一.學(xué)習(xí)目標1.理解與掌握基本不等式及其原理（數(shù)學(xué)抽象）；2.能靈活運用基本不等式求解最值問題以及證明不等式成立（邏輯推理）.二.學(xué)習(xí)過程（導(dǎo)學(xué)、自學(xué)）(一)復(fù)習(xí)舊知——乘法公式1.乘法公式各位同學(xué)，初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式，它們在代數(shù)式的運算中有著重要作用，你們還能對這些公式進行闡述嗎？1、完全平方公式1、完全平方公式：a±b22、平方差公式2、平方差公式：a+b?2.問題：那么，是否也有一些不等式，它們在解決不等式問題時也有著與乘法公式相類似的重要作用呢？相信各位同學(xué)通過今天的學(xué)習(xí)，將能回答這一問題.探究新知——基本不等式1.探究我們知道，對于?m,n∈R都有m?n2據(jù)完全平方公式則有mm2特別地，令a=則有m=a將②代入①：a+b≥即a+b2≥ab2.基本不等式對于對于?a>0,b>0，都有a+b2≥ababab叫正數(shù)a與b的幾何平均數(shù)a+b2叫正數(shù)a與b的3、（1）基本不等式通常用于求解與兩個正項相關(guān)的最值問題，且在實際運用中，通常變形為對于?a>0,b>0對于?a>0,b>0，都有a+b≥2②對于右邊②對于右邊2ab①對于左邊a+b，有最小值2（2)如果問題出現(xiàn)的兩個項是實數(shù)項（即可正、可負、可零），則要運用初中學(xué)習(xí)的二次函數(shù)y=ax2三.小組合作、討論交流(互學(xué))各位同學(xué)，請大家每4個人組成一組，分別交流討論后，解決下列問題：例1.已知x>0,求x+1解：∵已知x>0∴∴據(jù)基本不等式可得（當且僅當x=1x（即故x+1例2、已知x,y都是正數(shù)，求證：(1)如果積xy等于定值P,那么當x=y時，和x+y有最小值2P(2)如果和x+y等于定值S,那么當x=y時，積xy有最大值1證明(1)：∵已知x>0,y>0,且xy=P∴據(jù)基本不等式可得x+y≥2故和x+y有最小值2證明(2)：∵已知x>0,y>0,且x+y=S∴據(jù)基本不等式可得xy∴據(jù)同正可乘方性，兩邊同時求平方得xy≤1故積xy有最大值1例3、(1)用籬笆圍一個面積為100m2解:設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為xm，ym(且x>0,y>0)，則籬笆的長度為2（x+y）m,且有xy=100∵x>0,y>0∴據(jù)基本不等式可得x+y∴2（x+y）≥2×20=40（當且僅當x=y=10時等號成立）故當這個矩形菜園是邊長為10m的正方形時，所用籬笆最短，最短籬笆的長度為40m.例3、(2)用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大?最大面積是多少?解（2）：由題意可得2x+y=36，即x+y=18,∵x>0,y>0∴據(jù)基本不等式可得∴∴據(jù)同正可乘方性，兩邊同時求平方得xy≤81(當且僅當x=y=9時等號成立)故當這個矩形菜園是邊長為9m的正方形時，菜園的面積最大，最大面積是81m例4、某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m.如果池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為解:設(shè)貯水池池底的相鄰兩條邊的邊長分別為xm，ym(且x>0,y>0)，水池的總造價為z元,則有z=150×即z=240000+720(x+y)∵已知水池容積為4800∴3xy=4800,即xy=1600∵x>0,y>0，∴據(jù)基本不等式可得∴720(x+y)≥57600（可乘性）∴240000+720(x+y)≥297600（可加性）即z≥297600(當且僅當x=y=40時等號成立)故將貯水池的池底設(shè)計成邊長為40m的正方形時，總造價最低，最低總造價是297600元.例5.已知x>0,y>0,且1x+9解：∵已知1∴x+y=（x+y)(又∵已知x>0,y>0∴yx∴yy即x+y≥16(當且僅當yx故x+y的最小值為16.四.達標檢測（遷移變通、檢測實踐）1.已知a>0，b>0，若a+b=4，則(

)A.a2+b2有最小值 B.ab有最小值

C.1【答案】A

【解析】【分析】本題考查利用基本不等式求最值，是中檔題．

根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，逐項判斷即可．【解答】

解：∵a>0，b>0，且a+b=4，

a+b≥2ab，∴4≥2ab，∴ab≤4，當且僅當a=b=2時取等號，

∴?a2+b2=(a+b)2?2ab=16?2ab≥16?2×4=8，

∴?a2+b2有最小值8，故A正確；

由上可知ab≤2，當且僅當a=b=2時取等號，當a逐漸接近于0，此時b逐漸接近于4，ab逐漸接近于0，ab沒有最小值，故ab有最大值2，沒有最小值，故B錯誤；

同樣當a逐漸接近于0，此時b逐漸接近于4，1a+1b趨近于+∞2.（多選題）若x>0，y>0且滿足x+y=xy，則(

)A.x+y的最小值為4

B.x+y的最小值為2

C.2xx?1+4yy?1的最小值為2+4【答案】AD

【解析】【分析】本題考查了利用基本不等式求最值，注意運用的條件一正二定三相等．

由題可得1x+1y=1，利用“乘1法”可得x+y的最小值，即判定A、B;將2xx?1+4yy?1恒等變形后得到4x+2y【解答】

解：由x>0，y>0且滿足x+y=xy，得1x+1y=1，

∴x+y=(x+y)(1x+1y)=2+xy+yx≥2+2xy·yx=4，

當且僅當x=y=23.已知x、y為兩個正實數(shù)，且mx+y≤1x+2y【答案】(?∞【解析】【分析】本題考查了不等式的恒成立問題，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．

由參變量分離法可得m?(x+y)(1x+2y【解答】

解：因為x、y為兩個正實數(shù)，由mx+y?1x+2y可得m?(x+y)(1x+2y)，

因為(x+y)(4.已知不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|2<x<3}，則bc=

；b+c+【答案】?5【解析】【分析】本題考查了一元二次不等式的解集與相應(yīng)方程的根與系數(shù)的關(guān)系和基本不等式，屬一般題．

根據(jù)不等式的解集可得a，b，c之間的關(guān)系，可以求出bc;然后將b+c+25【解答】

解：∵ax2+bx+c<0的解集為{x|2<x<3}，

∴a>0，?ba=2+3=5，ca=2×3=6，

則b=?5a，c=6a，

所以bc=?5a6a=?56，

∴b+c+25a+2=(a+2)+255.已知x，y>0，a，b為正常數(shù)，且ax+by=1．

(1)若a=1，b=9，求x+y的最小值；

(2)若a+b=10，x+y的最小值為18，求a，b的值；

(3)若a=2，b=1，且不等式(x?2y【答案】解：(1)由題意：1x+9y=1，

則x+y=(x+y)(1x+9y)=1+9xy+yx+9

≥10+29xy?yx=16，

且僅當9xy=yx1x+9y=1，即x=4，y=12時取等號，

∴x+y的最小值為16；

(2)因為a+b=10，且x，y，a，b>0，

則x+y=(x+y)(ax+by)=a+bxy+ayx+b

=a+b+bxy+ayx=10+bxy+ayx

≥10+2bxy?ayx=10+2ab，

當且僅當bxy=ayxax+by=1時取等號，則2ab=8，即ab=16，

【解析】

本題考查利用基本不等式求最值，也考查了不等式恒成立問題，是中檔題．

(1)由題意，利用基本不等式求得x+y的最小值；

(2)由題意，利用基本不等式求得x+y取最小值時a