浙教版八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷特訓(xùn)08期中解答題(題型歸納38道第1-4章)(原卷版+解析)

特訓(xùn)08期中解答題（題型歸納38道，第1-4章）一、解答題1．計算：(1)(2)(3)(4)．2．計算題(1)；(2)；(3)；(4)．3．用指定的方法解方程：(1)（用配方法）(2)（用公式法）(3)（用因式分解法）(4)（用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?．化簡二次根式：．5．已知，，求代數(shù)式的值；(1)；(2).6．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；(2)該方程的兩個根為和，，求的取值范圍．7．已知關(guān)于x的方程．(1)求證：此方程有兩個不相等的實數(shù)根(2)若此方程的兩個根分別為，其中，若，求m的值．8．如圖，用長為22米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為14米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在BC上用其他材料做了寬為1米的兩扇小門．(1)設(shè)花圃的一邊AB長為x米，請你用含x的代數(shù)式表示另一邊AD的長為米；(2)若此時花圃的面積剛好為45m2，求此時花圃的長與寬．9．先閱讀方框中方程的求解過程，然后解答問題：解方程：．解：方程左邊分解因式，得，解得，，．(1)解方程：．(2)解方程：．(3)方程的解為__________．10．一天老師在黑板上出示：求代數(shù)式的值，其中．如圖是小明和小芳的解答過程：(1)的解法是錯誤的；(2)求代數(shù)式的值，其中．11．去年10至12月份，某服飾公司經(jīng)營甲、乙、丙三個品牌內(nèi)衣，10月份共賣出400套，12月份共賣出576套．(1)求該公司11、12兩月賣出內(nèi)衣套數(shù)的月平均增長率．(2)若甲品牌內(nèi)衣價格100元/套，乙品牌內(nèi)衣價格80元/套，丙品牌內(nèi)衣價格160元/套．據(jù)預(yù)測，今年1月份可以賣出甲、乙、丙三個品牌內(nèi)衣分別有200套、300套和200套．并且當(dāng)甲、乙兩個品牌內(nèi)衣價格不變時，丙品牌內(nèi)衣單價每下降1元，甲品牌內(nèi)衣少賣出6套，乙品牌內(nèi)衣少賣出4套，丙品牌內(nèi)衣就可以多賣出去10套．①若丙品牌內(nèi)衣以單價下降m元銷售，求該服飾公司1月份的總收入（用m表示）．②問：將丙品牌內(nèi)衣價格下降多少元/套（降價不超過30元）時，1月份的總收入是79800元？12．在數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)活動中，小華和他的同學(xué)遇到一道題：已知，求的值．小華是這樣解答的：，．請你根據(jù)小華的解題過程，解決下列問題．(1)填空：______；______．(2)化簡：．(3)若，求的值．13．當(dāng)時，求的值．如圖是小亮和小芳的解答過程：(1)的解法是錯誤的；(2)錯誤的原因在于未能正確地運用二次根式的性質(zhì)：；(3)當(dāng)時，求的值．14．閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方.如．善于思考的小明進行了以下探索：設(shè)（其中a，b，m，n均為整數(shù)），則有.故，，這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)a，b都是正整數(shù)，若，則________，________；(2)當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時，若，用含m，n的式子分別表示a，b，得________，________；(3)若，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．15．閱讀下面的解題過程體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題化簡∶解∶隱含條件，解得：∴∴原式【啟發(fā)應(yīng)用】（1）按照上面的解法，試化簡【類比遷移】（2）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．（3）已知a，b，c為ABC的三邊長．化簡：16．閱讀下列材料，然后回答問題．在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：，以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知，，求．我們可以把和看成是一個整體，令，，則．這樣，我們不用求出，，就可以得到最后的結(jié)果．(1)計算：；(2)已知是正整數(shù)，，且．求．17．如果關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，其中一個實數(shù)根是另一個實數(shù)根的2倍，那么稱這樣的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的兩個根是，則方程是“倍根方程”．(1)通過計算，判斷是否是“倍根方程”．(2)若關(guān)于x的方程是“倍根方程”，求代數(shù)式的值；(3)已知關(guān)于x的一元二次方程（是常數(shù)）是“倍根方程”，請直接寫出的值．18．已知關(guān)于的方程.(1)求證：無論取何實數(shù)，這個方程總有實數(shù)根；(2)若這個方程的兩個實根、滿足，求的值.(3)當(dāng)?shù)妊切蔚囊贿呴L，另兩邊長、恰好是這個方程的兩根時，求的周長.19．已知關(guān)于x的一元二次方程(1)若方程的一個根為，求a的值和另一個根；(2)當(dāng)時，①若代數(shù)式，則___________；②若代數(shù)式的值為正整數(shù)，且x為整數(shù)，求x的值；(3)當(dāng)時，方程的一個正根為；當(dāng)時，方程的一個正根為；若，試比較與的大?。?0．一元二次方程中，根的判別式通常用來判斷方程實根個數(shù)，在實際應(yīng)用當(dāng)中，我們亦可用來解決部分函數(shù)的最值問題，例如：已知函數(shù)，當(dāng)為何值時，取最小值，最小值是多少？解答：已知函數(shù)，，（把當(dāng)作參數(shù)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程），即，，（當(dāng)為何值時，存在相應(yīng)的與之對應(yīng)，即方程有根）因此的最小值為，此時，解得，符合題意，所以當(dāng)時，．應(yīng)用：(1)已知函數(shù)，當(dāng)__________時，的最大值是___________．(2)已知函數(shù)，當(dāng)為何值時，取最小值，最小值是多少？21．先閱讀材料，再解決下列問題．例如：用配方法求代數(shù)式的最小值．原式．∵，∴當(dāng)時，有最小值是2．根據(jù)上述所用方法，解決下列問題：(1)求代數(shù)式的最小值；(2)若，當(dāng)_______時，有最_______值（填“大”或“小”），這個值是_______；(3)當(dāng)，，分別為的三邊時，且滿足時，判斷的形狀并說明理由．22．某校開展讀書活動以來，受到同學(xué)們的廣泛關(guān)注，學(xué)校為了解全校學(xué)生課外閱讀的情況，隨機調(diào)查了名學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書的次數(shù)，并制成如圖不完整的統(tǒng)計圖表．學(xué)生借閱圖書的次數(shù)統(tǒng)計表借閱圖書的次數(shù)0次1次2次3次4次及以上人數(shù)713103請你根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息，解答下列問題：(1)________；________；________；(2)該調(diào)查統(tǒng)計數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________次；眾數(shù)是________次；(3)若該校共有2000名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計該校學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書“4次及以上”的人數(shù)．23．近年來網(wǎng)約車給人們的出行帶來了便利．小明和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對網(wǎng)約車公司司機的月收入進行了抽樣調(diào)查，在甲、乙兩家公司分別調(diào)查了10名司機的月收入（單位：千元），并將所得數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計圖：根據(jù)以上信息，整理分析數(shù)據(jù)如下：10名司機平均月收入（千元）中位數(shù)眾數(shù)方差甲公司661.2乙公司47.6(1)填空：__________，__________，___________．(2)王樂的叔叔計劃從甲、乙兩家公司中選擇一家去應(yīng)聘網(wǎng)約車司機．如果你是王樂，你建議他選哪家公司？請說明理由．24．在常態(tài)化疫情防控工作形勢下，某校通過云講解、云參觀、云課堂等方式立體講解中國首批國家公園，并組織初中全體學(xué)生發(fā)起了“大美我家園敬畏大自然”的主題教育活動，為了解學(xué)生對中國國家公園的了解程度，隨機抽取了七年級、八年級學(xué)生若干名（抽取的各年級學(xué)生人數(shù)相同）進行網(wǎng)上問卷測試，并對得分情況進行整理和分析（得分用整數(shù)表示，單位：分），且分為A，，三個等級，分別是：優(yōu)秀為A等級：，合格為等級：，不合格為等級：．分別繪制成如下統(tǒng)計圖表，其中七年級學(xué)生測試成績數(shù)據(jù)的眾數(shù)出現(xiàn)在A組，A組測試成績情況分別為：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；八年級學(xué)生測試成績數(shù)據(jù)的A組共有個人．七年級、八年級兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差如表所示：成績平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級8599.5八年級85919695.1根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)填空：________，________，________；(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該學(xué)校哪個年級的測試成績更好，并說明理由；(3)若該校七、八年級分別有1500人，請估計該校初中七、八年級學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有多少名？25．2022年6月5日上午10點44分，神舟十四號載人飛船發(fā)射成功，中國載人航天與空間站建設(shè)迎來全新的發(fā)展階段．某中學(xué)為了解本校學(xué)生對我國航天科技及空間站的知曉情況，在全校開展了“航天夢科普知識”競賽活動．該活動主要負(fù)責(zé)人從八、九年級各隨機抽取了40名學(xué)生的成績整理分析（滿分為100分，得分均為整數(shù)，兩個年級成績分組相同）得到以下信息：信息一：八年級學(xué)生成績的頻數(shù)分布表和九年級學(xué)生成績的扇形統(tǒng)計圖如下：八年級學(xué)生成績的頻數(shù)分布表：組別成績?nèi)藬?shù)A90≤x≤1005B80≤x＜90C70≤x＜8010D60≤x＜70E60分以下5信息二：成績在B組的學(xué)生中，九年級比八年級少2人；信息三：八年級C組10名學(xué)生的成績是：70，72，73，73，74，75，75，76，78，79．根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)八年級成績在B組的有人；(2)該校八年級學(xué)生有560人，九年級學(xué)生有600人．若成績在80分以上為優(yōu)秀，請你估計八、九年級競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)；(3)在此次調(diào)查中，小雪的成績是77分，被評為“中上水平”．請你判斷小雪屬于哪個年級，并說明理由．26．如圖，，是的對角線上兩點，且，求證：．27．由邊長為1的小正方形構(gòu)成網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，點、，都是格點，僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示畫圖結(jié)果用實線表示，并回答下列問題：(1)直接寫出的長是；(2)在圖中，畫以點、、為頂點且周長最大的平行四邊形；(3)在圖2中，畫的角平分線．28．如圖，在中，是的中點，延長到點，使，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求四邊形的面積．29．如圖，在中，點E為上一點，連接并延長交的延長線于點F，，連接．(1)求證：平分；(2)若點E為中點，，，求的面積．30．在中，，、分別是、的中點，延長到點，使，連接、、、，與交于點O．(1)試說明與互相平分；(2)若，，求的長．31．如圖，在四邊形中，E，F(xiàn)分別是的中點．(1)若，求的長．(2)若，求證：．32．如圖，在平行四邊形中，點E是邊上的一點，且，過點A作交于點F，交于G，連接，．(1)若是的角平分線，求證：．(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．(3)若點E是邊的中點，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．33．如圖，六邊形是正六邊形，請用無刻度直尺畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示，按要求完成下列問題：(1)如圖1，連接；①求的度數(shù)；②在圖1中畫出以為邊的等邊三角形，且另一個頂點在六邊形的邊上，并證明．(2)已知，P為邊上一點，如圖2，在邊上找一點Q，使得為等腰三角形；按要求畫出圖形即可，不必證明．34．中，點E、F分別在C、上，且．(1)如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖2，若E為中點，連接、、，與相交于點G，與相交于點H，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中除和以外的所有平行四邊形．35．中，點E在邊上，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，延長交于點F，點G在線段上，連接，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，若，，，求的長．36．如圖，在中，，，垂足分別為點，點，連接、．(1)試判斷與的關(guān)系，并說明理由；(2)若，的面積是，則的面積為______．37．已知：在中，，，點P是邊上一點，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，將沿翻折得到，延長交于點Q，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，在上取一點E，連接，使，若，求的長．38．如圖，在的同側(cè)以、為底邊向外作等腰、，其中，為的中點，連接、．(1)如圖，當(dāng)時，直接寫出與的關(guān)系．(2)如圖，當(dāng)時，（1）的結(jié)論還成立嗎？請你做出判斷并說明理由；(3)如圖，當(dāng)，，連接，取其中點，若動點A從的位置運動到時停止，則點的運動路徑長為______．特訓(xùn)08期中解答題（題型歸納38道，第1-4章）一、解答題1．計算：(1)(2)(3)(4)．【答案】(1)1(2)(3)(4)【分析】（1）先化簡各二次根式，然后合并即可；（2）先利用二次根式的乘法法則計算，然后化簡成最簡二次根式，再合并即可；（3）先化簡各二次根式，然后合并即可；（3）利用完全平方公式、平方差公式計算即可．【解析】（1）解：原式；（2）原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【點睛】本題考查了二次根式的計算，掌握二次根式的性質(zhì)，乘法法則以及合并同類二次根式法則是解題的關(guān)鍵．2．計算題(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先化簡二次根式，再統(tǒng)一為乘法運算進行計算即可；（2）先化簡各項，再進行加減法運算即可；（3）各項先化成最簡二次根式，再合并同類二次根式即可；（4）利用分母有理化和平方差公式計算，最后再進行加減運算即可．【解析】（1）解：（2）（3）（4）【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算，實數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則和順序是解題的關(guān)鍵．3．用指定的方法解方程：(1)（用配方法）(2)（用公式法）(3)（用因式分解法）(4)（用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ敬鸢浮?1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可；（4）先將給出的方程進行變形，然后利用因式分解法解方程即可．【解析】（1）移項，得：，系數(shù)化1，得：，配方，得：，，，∴，；（2）原方程可變形為，，，，，原方程有兩個不相等的實數(shù)根，，∴，；（3）原方程可變形為：，整理得：，解得，；（4）原方程可變形為：，整理得：，，∴，【點睛】本題主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有關(guān)知識，掌握配方法的基本步驟，一元二次方程的求根公式是解題關(guān)鍵．4．化簡二次根式：．【答案】【分析】先將括號內(nèi)各式化為最簡二次根式，再根據(jù)二次根式的混合運算法則計算即可．【解析】解：原式當(dāng)時，原式，當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查二次根式的化簡以及二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的化簡法則以及二次根式的混合運算法則．5．已知，，求代數(shù)式的值；(1)；(2).【答案】(1)14(2)15【分析】（1）先求得，，再利用完全平方公式得到，然后代值求解；（2）利用完全平方公式得到，然后代值求解即可．【解析】（1）解：∵，，∴，，∴；（2）解：．【點睛】本題考查二次根式的混合運算，熟記完全平方公式和平方差公式并靈活運用是解答的關(guān)鍵．6．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；(2)該方程的兩個根為和，，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)或【分析】（1）表示出，根據(jù)的數(shù)值判斷即可；（2）表示出方程的兩個根，據(jù)兩根及其條件列出不等式，并解不等式即可．【解析】（1）∵關(guān)于x的方程中，∴該方程總有兩個實數(shù)根．（2）∵∴方程的兩個根為m和3m由可知，當(dāng)時，，∴即，當(dāng)時，，∴即，綜上，或【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式、解一元二次方程等，解題的關(guān)鍵是表示出方程的兩個根．7．已知關(guān)于x的方程．(1)求證：此方程有兩個不相等的實數(shù)根(2)若此方程的兩個根分別為，其中，若，求m的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，求出出，即可證明結(jié)論成立；（2）利用分解因式法得出方程的根，結(jié)合、即可得出關(guān)于m的一元一次方程求解即可．【解析】（1）證明：∵，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2），即，解得：．∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了根的判別式，以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的兩個根．8．如圖，用長為22米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為14米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在BC上用其他材料做了寬為1米的兩扇小門．(1)設(shè)花圃的一邊AB長為x米，請你用含x的代數(shù)式表示另一邊AD的長為米；(2)若此時花圃的面積剛好為45m2，求此時花圃的長與寬．【答案】(1)(2)長為9m，寬為5m【分析】（1）用繩子的總長減去三個的長，然后加上兩個門的長即可表示出；（2）根據(jù)長方形面積公式列出關(guān)于x的一元二次方程求解即可得出答案．【解析】（1）解：設(shè)花圃的寬AB長為x米，則長米，故答案為:；（2）解：由題意可得：，解得：；，∴當(dāng)時，，不符合題意舍去，當(dāng)時，，滿足題意．答：花圃的長為9m，寬為5m．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，弄清題意、用x表示出是解答本題的關(guān)鍵．9．先閱讀方框中方程的求解過程，然后解答問題：解方程：．解：方程左邊分解因式，得，解得，，．(1)解方程：．(2)解方程：．(3)方程的解為__________．【答案】(1)，，；(2)，，，；(3)，．【分析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．【解析】（1）解：，∴，∴或，解得，解，即，∴，，∴方程的解為：，，；（2）解：，∴，∴或∴，，，；（3）解：，∴，∴，即，∴，，無實數(shù)解，或，，∴，．故答案為：，．【點睛】本題考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判別式等知識點，能把高次方向轉(zhuǎn)化成低次方程是解此題的關(guān)鍵．10．一天老師在黑板上出示：求代數(shù)式的值，其中．如圖是小明和小芳的解答過程：(1)的解法是錯誤的；(2)求代數(shù)式的值，其中．【答案】(1)小亮(2)2028【分析】（1）根據(jù)二次根式的非負(fù)性可判斷小亮的解法是錯誤的；（2）根據(jù)二次根式的非負(fù)性化簡原式并代值求解即可．【解析】（1）解：∵，∴，，∴小亮的解法是錯誤的，故答案為：小亮；（2）解：∵，∴．【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)、代數(shù)式求值，熟記完全平方公式，掌握二次根式的非負(fù)性是解答的關(guān)鍵．11．去年10至12月份，某服飾公司經(jīng)營甲、乙、丙三個品牌內(nèi)衣，10月份共賣出400套，12月份共賣出576套．(1)求該公司11、12兩月賣出內(nèi)衣套數(shù)的月平均增長率．(2)若甲品牌內(nèi)衣價格100元/套，乙品牌內(nèi)衣價格80元/套，丙品牌內(nèi)衣價格160元/套．據(jù)預(yù)測，今年1月份可以賣出甲、乙、丙三個品牌內(nèi)衣分別有200套、300套和200套．并且當(dāng)甲、乙兩個品牌內(nèi)衣價格不變時，丙品牌內(nèi)衣單價每下降1元，甲品牌內(nèi)衣少賣出6套，乙品牌內(nèi)衣少賣出4套，丙品牌內(nèi)衣就可以多賣出去10套．①若丙品牌內(nèi)衣以單價下降m元銷售，求該服飾公司1月份的總收入（用m表示）．②問：將丙品牌內(nèi)衣價格下降多少元/套（降價不超過30元）時，1月份的總收入是79800元？【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)增長率問題的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程求解即可；（2）①用含有的代數(shù)式分別表示甲，乙，丙品牌的收入，再相加即可；②根據(jù)總收入為元列方程求解即可．【解析】（1）解：設(shè)月平均增長率為解得：（舍去）∵答：該公司11、12兩月賣出內(nèi)衣套數(shù)的月平均增長率為．（2）①解：甲品牌收入：元乙品牌收入：元丙品牌收入：元∴該服飾公司1月份的總收入為：元②解：由題意得：解得：（舍去）答：將丙品牌內(nèi)衣價格下降10元/套（降價不超過30元）時，1月份的總收入是79800元【點睛】本題主要考查一元二次方程的增長率問題以及收入問題，熟練掌握增長率問題和收入問題的數(shù)量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．12．在數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)活動中，小華和他的同學(xué)遇到一道題：已知，求的值．小華是這樣解答的：，．請你根據(jù)小華的解題過程，解決下列問題．(1)填空：______；______．(2)化簡：．(3)若，求的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）利用分母有理化進行計算即可；（2）先分母有理化再進行加減計算即可；（3）先分母有理化，得到，從而可得，利用整體代入的方法計算即可．【解析】（1）解：，，故答案為：，；（2）解：原式（3）解：，，．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是先化簡再求值，運用整體代入的方法簡化計算．13．當(dāng)時，求的值．如圖是小亮和小芳的解答過程：(1)的解法是錯誤的；(2)錯誤的原因在于未能正確地運用二次根式的性質(zhì)：；(3)當(dāng)時，求的值．【答案】(1)小亮(2)(3)-2【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求出答案．（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求出答案．（3）根據(jù)的范圍判斷與的符號，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)進行化簡即可求出答案．【解析】（1）原式，，∵，∴，∴原式，故小亮的解法錯誤，故答案為：小亮．（2），故答案為：．（3）∵，，，∴原式，．【點睛】本題考查二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．14．閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方.如．善于思考的小明進行了以下探索：設(shè)（其中a，b，m，n均為整數(shù)），則有.故，，這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)a，b都是正整數(shù)，若，則________，________；(2)當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時，若，用含m，n的式子分別表示a，b，得________，________；(3)若，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．【答案】(1)，(2)，(3)7或者13【分析】（1）根據(jù)題干給的方法，將等式的右邊展開即可作答；（2）根據(jù)題干給的方法，將等式的右邊展開即可作答；（3）根據(jù)題干給的方法，將等式的右邊展開即可得到，，即，根據(jù)，為正整數(shù)，可得，或，，則問題得解．【解析】（1）∵，∴，∴，∵a，b都是正整數(shù)，∴，，故答案為：，；（2）∵，∴，∵a，b，m，n均為正整數(shù)，∴，，故答案為：，；（3）∵，∴，∴，，∴，∵，為正整數(shù)，∴，或，，∴，或，即a的值為7或者13．【點睛】本題考查了二次根式的恒等變形，弄清材料中解題的方法，熟練掌握和靈活運用二次根式的相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵.15．閱讀下面的解題過程體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題化簡∶解∶隱含條件，解得：∴∴原式【啟發(fā)應(yīng)用】（1）按照上面的解法，試化簡【類比遷移】（2）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．（3）已知a，b，c為ABC的三邊長．化簡：【答案】（1）1；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件判斷出的范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡可得；（2）由a，b在數(shù)軸上的位置判斷出、，再利用二次根式的性質(zhì)化簡即可得；（3）由三角形的三邊關(guān)系得出，，，再利用二次根式的性質(zhì)化簡可得．【解析】解：（1）隱含條件，解得：∴∴原式；（2）觀察數(shù)軸得隱含條件：，，∴，∴原式；（3）由三角形的三邊關(guān)系可得隱含條件：，，，∴，，∴原式．【點睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系等知識點．16．閱讀下列材料，然后回答問題．在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：，以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知，，求．我們可以把和看成是一個整體，令，，則．這樣，我們不用求出，，就可以得到最后的結(jié)果．(1)計算：；(2)已知是正整數(shù)，，且．求．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用分母有理化的方法對各式子進行整理，從而可求解；（2）對已知條件進行整理，從而可求得，的值，再對所求的式子進行整理，整體代入運算即可．【解析】（1）解：；（2）解：∵m是正整數(shù)，，，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，解得：，（不符合題意舍去）．∴．【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關(guān)鍵是理解清楚分母有理化的方法并靈活運用．17．如果關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，其中一個實數(shù)根是另一個實數(shù)根的2倍，那么稱這樣的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的兩個根是，則方程是“倍根方程”．(1)通過計算，判斷是否是“倍根方程”．(2)若關(guān)于x的方程是“倍根方程”，求代數(shù)式的值；(3)已知關(guān)于x的一元二次方程（是常數(shù)）是“倍根方程”，請直接寫出的值．【答案】(1)是(2)26或5(3)13或【分析】（1）利用因式分解法解方程得到，然后根據(jù)新定義進行判斷；（2）利用因式分解法解方程得到，再根據(jù)新定義，然后把代入所求的代數(shù)式中進行分式的運算即可；（3）設(shè)方程的根的兩根分別為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，然后求出α，再計算對應(yīng)的m的值．【解析】（1），，，所以，則方程是“倍根方程”；（2），或，解得，∵是“倍根方程”，∴，當(dāng)時，；當(dāng)時，，綜上所述，代數(shù)式的值為26或5；（3）根據(jù)題意，設(shè)方程的根的兩根分別為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，解得或，∴m的值為13或．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根時，，．也考查了閱讀理解能力．18．已知關(guān)于的方程.(1)求證：無論取何實數(shù)，這個方程總有實數(shù)根；(2)若這個方程的兩個實根、滿足，求的值.(3)當(dāng)?shù)妊切蔚囊贿呴L，另兩邊長、恰好是這個方程的兩根時，求的周長.【答案】(1)見解析(2)或(3)的周長為10【分析】（1）整理成一般形式，根據(jù)一元二次方程根的判別式，當(dāng)時，方程有兩個實數(shù)根，所以只需證明即可；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得出，，，即，建立k的方程求得答案即可；（3）分，兩邊長b、c有一邊是4，利用等腰三角形的性質(zhì)與三邊關(guān)系探討得出答案即可．【解析】（1）證明：方程整理成一般形式為，，∴無論k取什么實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）解：∵、是這個方程的兩個實根，∴，，∵，∴，解得：或；（3）解：當(dāng)時，，即，解得：，此時，∵，∴此時不能構(gòu)成三角形；當(dāng)兩邊長b、c有一邊是4時，，解得：，關(guān)于x的方程即，解得：或，等腰的三邊長為2、4、4，∴的周長為．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及分類討論思想的運用．19．已知關(guān)于x的一元二次方程(1)若方程的一個根為，求a的值和另一個根；(2)當(dāng)時，①若代數(shù)式，則___________；②若代數(shù)式的值為正整數(shù)，且x為整數(shù)，求x的值；(3)當(dāng)時，方程的一個正根為；當(dāng)時，方程的一個正根為；若，試比較與的大?。敬鸢浮?1)，另一根為；(2)①；②0或1(3)【分析】（1）把代入方程求得a的值，再把a的值代入方程，解一元二次方程便可求得方程的另一根；（2）①把代入方程，根據(jù)多項式恒等原理列出p、q的方程求得P、q，進而求得代數(shù)式的值；②求出原式，由原式的值為正整數(shù)，得代數(shù)式的值為1，2，算出和的解即可；（3）根據(jù)已知條件用m、n分別表示，，再得出，根據(jù)差的正負(fù)判斷，的大小．【解析】（1）解：把代入原方程，得，解得，把代入原方程，得，，解得，，，∴方程的另一根為；（2）①把代入，得，即，∴，解得：，∴，故答案為：；②原式，∵不論x為何值，∴原式∵代數(shù)式的值為正整數(shù)，∴代數(shù)式的值為1，2，當(dāng)時，這時x的值不是整數(shù)，不符合題意，舍去；當(dāng)時，或1，故x的值是0或1；（3）解：當(dāng)時，得，∴，當(dāng)時，得，∴，∴∵，，，∴，，，∴，∴．【點睛】本題主要考查解一元二次方程，一元二次方程的解的應(yīng)用，配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的方法，靈活應(yīng)用配方法和差值法解題．20．一元二次方程中，根的判別式通常用來判斷方程實根個數(shù)，在實際應(yīng)用當(dāng)中，我們亦可用來解決部分函數(shù)的最值問題，例如：已知函數(shù)，當(dāng)為何值時，取最小值，最小值是多少？解答：已知函數(shù)，，（把當(dāng)作參數(shù)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程），即，，（當(dāng)為何值時，存在相應(yīng)的與之對應(yīng)，即方程有根）因此的最小值為，此時，解得，符合題意，所以當(dāng)時，．應(yīng)用：(1)已知函數(shù)，當(dāng)__________時，的最大值是___________．(2)已知函數(shù)，當(dāng)為何值時，取最小值，最小值是多少？【答案】(1)，；(2)即x為-1時，y取最小值，最小值是.【分析】（1）仿照題目所給的解題方法解答即可.（2）先將轉(zhuǎn)化成一元二次方程的形式，其中y是參數(shù)，然后按照題目所給的方法解答即可.【解析】（1）解：已知函數(shù)因此，y的最大值為，此時-解得，符合題意.∴當(dāng)時，故答案為：（2）已知函數(shù)得整理得因此y的最小值為，此時得得符合題意.∴當(dāng)，即x為-1時，y取最小值，最小值是【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，當(dāng)時，一元二次方程有實根，當(dāng)時，一元二次方程無實根.另外讀懂題目所給的方法是解題的關(guān)鍵.21．先閱讀材料，再解決下列問題．例如：用配方法求代數(shù)式的最小值．原式．∵，∴當(dāng)時，有最小值是2．根據(jù)上述所用方法，解決下列問題：(1)求代數(shù)式的最小值；(2)若，當(dāng)_______時，有最_______值（填“大”或“小”），這個值是_______；(3)當(dāng)，，分別為的三邊時，且滿足時，判斷的形狀并說明理由．【答案】(1)3(2)1，大，-2(3)直角三角形，見解析【分析】（1）湊成完全平方加一個數(shù)值的形式．（2）和（1）類似，湊成完全平方加以一個數(shù)值的形式．（3）先因式分解，判斷字母，，三邊的關(guān)系，再判定三角形的形狀．【解析】（1）解：；∴的最小值是3．（2），，，∴當(dāng)?shù)臅r，有最大值．故答案為：1，大，．（3），，，三個完全平方式子的和為0，所以三個完全平方式子分別等于0．，，，解得，，．∵，∴是直角三角形．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解的方法把所給的代數(shù)式和等式進行變形，然后得到更為簡單得數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)此關(guān)系解決問題．22．某校開展讀書活動以來，受到同學(xué)們的廣泛關(guān)注，學(xué)校為了解全校學(xué)生課外閱讀的情況，隨機調(diào)查了名學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書的次數(shù)，并制成如圖不完整的統(tǒng)計圖表．學(xué)生借閱圖書的次數(shù)統(tǒng)計表借閱圖書的次數(shù)0次1次2次3次4次及以上人數(shù)713103請你根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息，解答下列問題：(1)________；________；________；(2)該調(diào)查統(tǒng)計數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________次；眾數(shù)是________次；(3)若該校共有2000名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計該校學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書“4次及以上”的人數(shù)．【答案】(1)50；17；20(2)2；2(3)120人【分析】（1）先由1次的人數(shù)及其所占百分比求得總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)減去其他次數(shù)的人數(shù)求得的值，用3次的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)求得的值；（2）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解；（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中“4次及以上”的人數(shù)所占比例即可得．【解析】（1）解：被調(diào)查的總?cè)藬?shù)（人，，，即．（2）解：由于共有50個數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為第25、26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而第25、26個數(shù)據(jù)均為2次，所以中位數(shù)為2次，出現(xiàn)次數(shù)最多的是2次，所以眾數(shù)為2次．（3）解：（人，答：估計該校學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書“4次及以上”的人數(shù)為120人．【點睛】本題考查的是扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?3．近年來網(wǎng)約車給人們的出行帶來了便利．小明和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對網(wǎng)約車公司司機的月收入進行了抽樣調(diào)查，在甲、乙兩家公司分別調(diào)查了10名司機的月收入（單位：千元），并將所得數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計圖：根據(jù)以上信息，整理分析數(shù)據(jù)如下：10名司機平均月收入（千元）中位數(shù)眾數(shù)方差甲公司661.2乙公司47.6(1)填空：__________，__________，___________．(2)王樂的叔叔計劃從甲、乙兩家公司中選擇一家去應(yīng)聘網(wǎng)約車司機．如果你是王樂，你建議他選哪家公司？請說明理由．【答案】(1)6；4.5；6(2)甲公司，理由見解析【分析】（1）利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義分別計算后即可確定正確的答案；（2）根據(jù)平均數(shù)一樣，中位數(shù)及眾數(shù)的大小和方差的大小進行選擇即可．【解析】（1）解：∵“6千元”對應(yīng)的百分比為，∴乙公司10名司機平均月收入（千元）；乙公司的中位數(shù)為：，由扇形統(tǒng)計圖知甲公司“6千元”所占的百分比最大，即眾數(shù)．故答案為：6、4.5、6；（2）解：選甲公司．理由：因為甲、乙兩家司機的月收入平均數(shù)相同，中位數(shù)、眾數(shù)甲公司均大于乙公司，且甲公司司機月收入的方差小，更穩(wěn)定，所以選擇甲公司．【點睛】本題考查了統(tǒng)計的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是能夠了解有關(guān)的計算公式．24．在常態(tài)化疫情防控工作形勢下，某校通過云講解、云參觀、云課堂等方式立體講解中國首批國家公園，并組織初中全體學(xué)生發(fā)起了“大美我家園敬畏大自然”的主題教育活動，為了解學(xué)生對中國國家公園的了解程度，隨機抽取了七年級、八年級學(xué)生若干名（抽取的各年級學(xué)生人數(shù)相同）進行網(wǎng)上問卷測試，并對得分情況進行整理和分析（得分用整數(shù)表示，單位：分），且分為A，，三個等級，分別是：優(yōu)秀為A等級：，合格為等級：，不合格為等級：．分別繪制成如下統(tǒng)計圖表，其中七年級學(xué)生測試成績數(shù)據(jù)的眾數(shù)出現(xiàn)在A組，A組測試成績情況分別為：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；八年級學(xué)生測試成績數(shù)據(jù)的A組共有個人．七年級、八年級兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差如表所示：成績平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級8599.5八年級85919695.1根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)填空：________，________，________；(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該學(xué)校哪個年級的測試成績更好，并說明理由；(3)若該校七、八年級分別有1500人，請估計該校初中七、八年級學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有多少名？【答案】(1)13；86；95；(2)八年級的成績比較好，理由見解析；(3)該校初中七、八年級學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有名．【分析】（1）先根據(jù)頻數(shù)分布直方圖求出七年級抽取的人數(shù)，再根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求出a、b；再根據(jù)扇形統(tǒng)計圖求出八年級A組的占比即可求出c；（2）從中位數(shù)和方差兩個方面進行描述即可；（3）用1500乘以樣本中兩個年級的優(yōu)秀占比從而分別求出兩個年級成績?yōu)锳等級的人數(shù)，由此即可得到答案．【解析】（1）解；由頻數(shù)分布表可知，抽取的七年級的學(xué)生人數(shù)為人，∴七年級測試成績的中位數(shù)為將分?jǐn)?shù)從高到低排列后的第10名和第11名成績的平均成績，∵將組測試成績從高到低排列后的第10名和第11名成績分別為85，87，∴，∵七年級的眾數(shù)在A組，且七年級A組中成績?yōu)?5分出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴；由扇形統(tǒng)計圖可知，八年級成績在A組的占比為，∴，故答案為；13；86；95；（2）解：八年級的成績比較好，理由如下：兩個年級的平均成績相同，但是八年級的中位數(shù)比七年級的大，并且八年級的方差比七年級的方差小，即八年級的成績更加穩(wěn)定，∴八年級的成績比較好；（3）解：名，∴該校初中七、八年級學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有名．【點睛】本題主要考查了中位數(shù)，眾數(shù)和方差，頻數(shù)分布直方圖，扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體等等，正確讀懂統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵．25．2022年6月5日上午10點44分，神舟十四號載人飛船發(fā)射成功，中國載人航天與空間站建設(shè)迎來全新的發(fā)展階段．某中學(xué)為了解本校學(xué)生對我國航天科技及空間站的知曉情況，在全校開展了“航天夢科普知識”競賽活動．該活動主要負(fù)責(zé)人從八、九年級各隨機抽取了40名學(xué)生的成績整理分析（滿分為100分，得分均為整數(shù)，兩個年級成績分組相同）得到以下信息：信息一：八年級學(xué)生成績的頻數(shù)分布表和九年級學(xué)生成績的扇形統(tǒng)計圖如下：八年級學(xué)生成績的頻數(shù)分布表：組別成績?nèi)藬?shù)A90≤x≤1005B80≤x＜90C70≤x＜8010D60≤x＜70E60分以下5信息二：成績在B組的學(xué)生中，九年級比八年級少2人；信息三：八年級C組10名學(xué)生的成績是：70，72，73，73，74，75，75，76，78，79．根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)八年級成績在B組的有人；(2)該校八年級學(xué)生有560人，九年級學(xué)生有600人．若成績在80分以上為優(yōu)秀，請你估計八、九年級競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)；(3)在此次調(diào)查中，小雪的成績是77分，被評為“中上水平”．請你判斷小雪屬于哪個年級，并說明理由．【答案】(1)14(2)506人(3)小雪屬于八年級，理由見解析【分析】（1）先求出九年級成績在B組的人數(shù)，根據(jù)九年級比八年級少2人，即可求出答案；（2）分別計算八年級和九年級成績在80分以上的人數(shù)，相加即可；（3）分別求出中位數(shù)即可判斷．【解析】（1）解：∵九年級成績在B組的人數(shù)為（人），∴八年級成績在B組的有（人）；故答案為：14；（2）（人），答：估計八、九年級競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)為506人；（3）小雪屬于八年級，理由：∵八年級的中位數(shù)為（分），小雪的成績是77分，被評為“中上水平”，∴判斷小雪屬于八年級．【點睛】本題考查扇形統(tǒng)計圖、頻數(shù)分布表、中位數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．26．如圖，，是的對角線上兩點，且，求證：．【答案】證明見解析【分析】借助平行四邊形的性質(zhì)，利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”即可證明．【解析】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∵，∴，∴；∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)等知識，證明是解題關(guān)鍵．27．由邊長為1的小正方形構(gòu)成網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，點、，都是格點，僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示畫圖結(jié)果用實線表示，并回答下列問題：(1)直接寫出的長是；(2)在圖中，畫以點、、為頂點且周長最大的平行四邊形；(3)在圖2中，畫的角平分線．【答案】(1)(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求解；（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，以為對角線畫出平行四邊形；（3）根據(jù)網(wǎng)格的特點，延長至，使得，則是等腰三角形，再找到的中點，連接，即可求解．【解析】（1）解：，故答案為：；（2）如圖1中，四邊形即為所求作；（3）如圖2中，延長至，使得，則是等腰三角形，再找到的中點，連接，線段即為所求作．【點睛】本題考查了畫平行四邊形，勾股定理與網(wǎng)格問題，等腰三角形的性質(zhì)，三線合一，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．28．如圖，在中，是的中點，延長到點，使，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)四邊形是平行四邊形，得，，根據(jù)是的中點，，即可判定四邊形是平行四邊形；（2）過點作于點，根據(jù)四邊形是平行四邊形，得，，又根據(jù)四邊形是平行四邊形，，；根據(jù)直角三角形中，所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，求出，的長度，即可求解．【解析】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，，又∵F是AD的中點，∴，∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，（2）∵四邊形是平行四邊形∴，又∵四邊形是平行四邊形∴，∴過點作于點∴∵∴∴∴【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，直角三角形中，所對的直角邊等于斜邊的一半．29．如圖，在中，點E為上一點，連接并延長交的延長線于點F，，連接．(1)求證：平分；(2)若點E為中點，，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由四邊形是平行四邊形得到，則，由得到，則，即可得證；（2）由平行四邊形的性質(zhì)和點E為中點證得是等邊三角形，則，，則是等邊三角形，即可證明，則，得到，由勾股定理得到，由的面積等于的面積即可得到答案．【解析】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，即平分；（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，，，，∵點E為中點，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴的面積．∴的面積即的面積是．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30．在中，，、分別是、的中點，延長到點，使，連接、、、，與交于點O．(1)試說明與互相平分；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）結(jié)合已知條件推知四邊形是平行四邊形，則該平行四邊形的兩條對角線互相平分；（2）根據(jù)勾股定理求得的長度，然后由平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理來求的長度．【解析】（1）∵、分別是、的中點，∴是的中位線，∴且．又，即，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴與互相平分；（2）∵在中，，，，∴由勾股定理得，又由（1）知，，且，∴．∴在中，，，，∴由勾股定理得．【點睛】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理．理解三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解決問題的關(guān)鍵．31．如圖，在四邊形中，E，F(xiàn)分別是的中點．(1)若，求的長．(2)若，求證：．【答案】(1)13(2)見解析【分析】（1）取的中點P，連接，由三角形中位線定理得，且，且＝12，再證，然后由勾股定理即可得出結(jié)論；（2）由三角形中位線定理得，且，，且，再證，然后由勾股定理即可得出結(jié)論．【解析】（1）如圖，取的中點P，連接，∵E，F(xiàn)分別是的中點，，∴，且，且．又∵，∴，∴．在中，．（2）證明：如圖，取的中點P，連接．∵E，F(xiàn)分別是的中點，∴，且，，且．∴．∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查三角形中位線定理、勾股定理以及平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握三角形中位線定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．32．如圖，在平行四邊形中，點E是邊上的一點，且，過點A作交于點F，交于G，連接，．(1)若是的角平分線，求證：．(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．(3)若點E是邊的中點，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)(3)，理由見解析【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，得到為等腰三角形，進而得到，從而得到，證明，即可得證；（2）根據(jù)全等得到，利用對頂角得到：，再根據(jù)，得到，利用互余關(guān)系，求出的度數(shù)即可；（3）延長，交的延長線于點，證明，得到，根據(jù)直角三角形的中線，推出，根據(jù)外角的性質(zhì)，即可得到．【解析】（1）∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴．∴．∵平分，∴．在和中，，∴，∴．（2）解：∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．（3）延長，交的延長線于點．∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，．∵點是邊上的中點，∴．在和中，，∴∴．∵，∴．∴．∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．33．如圖，六邊形是正六邊形，請用無刻度直尺畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示，按要求完成下列問題：(1)如圖1，連接；①求的度數(shù)；②在圖1中畫出以為邊的等邊三角形，且另一個頂點在六邊形的邊上，并證明．(2)已知，P為邊上一點，如圖2，在邊上找一點Q，使得為等腰三角形；按要求畫出圖形即可，不必證明．【答案】(1)①；②圖見解析；證明見解析(2)見解析【分析】（1）①根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，即可求解；②根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，可證得，即可求解；（2）連接；由正六邊形的對稱性可知，將沿翻折，點的對應(yīng)點即為；根據(jù)此原理作圖即可；【解析】（1）解：①∵六邊形是正六邊形∴，∴②如圖，連接、，即為所求；證明：∵六邊形是正六邊形∴，∴∴∴為等邊三角形（2）解：如圖，連接交于點，連接，并延長交于點，點即為所求；【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)；熟練掌握正六邊形的邊、角的特征以及對稱性是解題的關(guān)鍵．34．中，點E、F分別在C、上，且．(1)如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖2，若E為中點，連接、、，與相交于點G，與相交于點H，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中除和以外的所有平行四邊形．【答案】(1)見解析，(2)，【分析】（1）由得