蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)?？键c(diǎn)微專題提分精練第一次月考難點(diǎn)特訓(xùn)(三)和數(shù)字類規(guī)律計(jì)算探索有關(guān)的壓軸題(原卷版+解析)

第一次月考難點(diǎn)特訓(xùn)（三）和數(shù)字類規(guī)律計(jì)算探索有關(guān)的壓軸題1．觀察下列等式：第1個(gè)等式：第2個(gè)等式：第3個(gè)等式：第4個(gè)等式：……請(qǐng)回答下列問題：（1）按照上述規(guī)律，寫出第5個(gè)等式：；（2）求的值．2．小明同學(xué)在查閱大數(shù)學(xué)家高斯的資料時(shí)，知道了高斯如何求1+2+3+…+100.小明于是對(duì)從1開始連續(xù)奇數(shù)的和進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)如下式子:第1個(gè)等式:;第2個(gè)等式:;第3個(gè)等式:探索以上等式的規(guī)律，解決下列問題:(1)

；(2)完成第個(gè)等式的填空:；(3)利用上述結(jié)論，計(jì)算51+53+55+…+109.3．仔細(xì)觀察下列三組數(shù)：第一組：1，?4，9，?16，25，…；第二組：0，?5，8，?17，24，…；第三組：0，10，?16，34，?48，…；解答下列問題：（1）每一組的第6個(gè)數(shù)分別是，，；（2）分別寫出第二組和第三組的數(shù)與第一組對(duì)應(yīng)數(shù)的關(guān)系；（3）取每組數(shù)的第10個(gè)數(shù)，計(jì)算它們的和．4．觀察下列等式：，，，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：．（1）猜想并寫出：＝．（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：①＝；②＝．（3）探究并解決問題：如果有理數(shù)a，b滿足|a﹣2|+|1﹣b|＝0，試求：的值．5．探索發(fā)現(xiàn)：＝1﹣；＝﹣；＝﹣…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：（1）＝，＝；（2）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：＋＋…＋．6．觀察下列各式：13=1=；13+23=9=；13+23+33=36=；13+23+33+43=100=．回答下面的問題：（1）13+23+33+43+53+63=_____；（2）計(jì)算13+23+33+…+93+103的值；（3）計(jì)算：113+123+…+193+203的值．7．（1）先觀察下列等式，再完成題后問題：；；①請(qǐng)你猜想：＝．②若a、b為有理數(shù)，且|a﹣1|+|b﹣2|＝0，求：+?+的值．（2）探究并計(jì)算：+?+．（3）如圖，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，接著把面積為的長(zhǎng)方形等分成兩個(gè)面積為的正方形，再把面積為的正方形等分成兩個(gè)面積為的矩形，如此進(jìn)行下去，試?yán)脠D形揭示的規(guī)律計(jì)算：++++++?+（直接寫答案）．8．材料1：一般地，個(gè)相同因數(shù)相乘：記為.如，此時(shí)，3叫做以2為底的8的對(duì)數(shù)，記為（即）（1）計(jì)算__________，__________.材料2：新規(guī)定一種運(yùn)算法則：自然數(shù)1到的連乘積用表示，例如：，，，，…在這種規(guī)定下（2）求出滿足該等式的：（3）當(dāng)為何值時(shí)，9．探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．定義“”運(yùn)算：；；；；；．（1）歸納運(yùn)算的法則：兩數(shù)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，．（文字語言或符號(hào)語言均可）特別地，和任何數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，或任何數(shù)和進(jìn)行運(yùn)算，.（2）計(jì)算：（3）是否存在有理數(shù)使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由．10．【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等0）的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”．一般地，把（a≠0）記作a?讀作“a的圈n次方”【初步探究】（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：2③＝，（﹣）④＝；（2）關(guān)于除方，下列說法錯(cuò)誤的是；A．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)B．對(duì)于任何正整數(shù)n，1?＝1C.3③＝4③D．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算呢？（3）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式（﹣3）④＝；5⑥＝；（﹣）⑩＝；（4）想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式是；（5）算一算：122÷（﹣）④×（﹣）③﹣（﹣）④÷3411．觀察下面三個(gè)等式：1×2＝（1×2×3﹣0×1×2）2×3＝（2×3×4﹣1×2×3）3×4＝（3×4×5﹣2×3×4）將這三個(gè)等式的兩邊分別相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝×3×4×5＝20，仿照上面的做法，請(qǐng)你完成以下問題：（1）填空：①1×2+2×3+…+10×11＝；②1×2+2×3+…+n（n+1）＝；（2）求值：11×12+12×13+…+18×19+19×20（請(qǐng)寫出計(jì)算過程）．12．若n表示一個(gè)整數(shù)，我們可以用2n+1表示一個(gè)奇數(shù)．下面我們來探究連續(xù)奇數(shù)的和的問題．（1）計(jì)算：1+3+5＝；1+3+5+7+9＝；（2）請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示1+3+5+7+9+…+（2n+1）的值為；（3）請(qǐng)用上述規(guī)律計(jì)算41+43+45+…+83+85的值．13．（1）觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空：（2）利用（1）中結(jié)論，解決下列問題：①1+3+5+…+203=；②計(jì)算：101+103+105+…+199；14．a(chǎn)是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)．已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，．．．（1）求a2，a3，a4的值；（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)猜想并求出的值；（3）計(jì)算：a1?a2?a3?…?a2018?a2019．15．觀察下列有規(guī)律的數(shù)：根據(jù)規(guī)律可知：（1）第8個(gè)數(shù)是；（2）是第個(gè)數(shù)；（3）計(jì)算：．16．如圖，搭一個(gè)正方形需要4根火柴棒，搭2個(gè)正方形需要7根火柴棒，搭3個(gè)正方形需要10根火柴棒．（1）若搭5個(gè)這樣的正方形，這需要根火柴棒；（2）若搭n個(gè)這樣的正方形，這需要根火柴棒；（3）若現(xiàn)在有2021根火柴棒，要搭701個(gè)這樣的正方形，還需要火柴棒多少根？17．已知10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝，10m×10n＝．（m，n均為正整數(shù)）（2）運(yùn)用上述猜想計(jì)算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）；②（﹣6.4×103）×（2×106）．18．探索發(fā)現(xiàn)：請(qǐng)觀察下列算式：（1），，，則第10個(gè)算式為__________＝__________．第n個(gè)算式為__________＝__________．（2）運(yùn)用以上規(guī)律計(jì)算：；（3）仿照以上方法計(jì)算：．19．觀察下列等式：第1個(gè)等式：

第2個(gè)等式：第3個(gè)等式：

第4個(gè)等式：請(qǐng)解答下列問題：（1）按以上規(guī)律寫出第個(gè)等式：＝．（2）用含的式子表示第個(gè)等式：＝＝（為正整數(shù)）．（3）求的值．20．觀察下列等式：請(qǐng)解答下列問題：（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)算式：；（2）由此計(jì)算：（3）用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：an=．（n為正整數(shù)）第一次月考難點(diǎn)特訓(xùn)（三）和數(shù)字類規(guī)律計(jì)算探索有關(guān)的壓軸題1．觀察下列等式：第1個(gè)等式：第2個(gè)等式：第3個(gè)等式：第4個(gè)等式：……請(qǐng)回答下列問題：（1）按照上述規(guī)律，寫出第5個(gè)等式：；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題目所給規(guī)律，直接可寫出第5個(gè)等式．（2）利用題目的規(guī)律，進(jìn)行等式變形，提取，括號(hào)里面的前一項(xiàng)和后一項(xiàng)數(shù)可以抵消掉，最后求得結(jié)果．【詳解】（1）解：由上述規(guī)律可知：（2）解：原式=．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了數(shù)字的規(guī)律以及利用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，通過題目所給條件，找到對(duì)應(yīng)的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律進(jìn)行求解，是解決本題的關(guān)鍵．2．小明同學(xué)在查閱大數(shù)學(xué)家高斯的資料時(shí)，知道了高斯如何求1+2+3+…+100.小明于是對(duì)從1開始連續(xù)奇數(shù)的和進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)如下式子:第1個(gè)等式:;第2個(gè)等式:;第3個(gè)等式:探索以上等式的規(guī)律，解決下列問題:(1)

；(2)完成第個(gè)等式的填空:；(3)利用上述結(jié)論，計(jì)算51+53+55+…+109.【答案】(1)25;(2)2n-1;(3)2400.【解析】【分析】(1)根據(jù)題目中的規(guī)律,寫出答案即可.(2)根據(jù)題目中的規(guī)律,反推答案即可.(3)利用規(guī)律通式,代入計(jì)算即可.【詳解】(1)由題意規(guī)律可以得,連續(xù)奇數(shù)的和為中間相的平方,所以.(2)設(shè)最后一項(xiàng)為x,由題意可推出:,x=2n-1.(3)根據(jù)上述結(jié)論,51+53+55+…+109=(1+3+5+···+109)-(1+3+5+···+49)=552-252=2400.【點(diǎn)睛】本題為找規(guī)律題型,關(guān)鍵在于通過題意找到規(guī)律.3．仔細(xì)觀察下列三組數(shù)：第一組：1，?4，9，?16，25，…；第二組：0，?5，8，?17，24，…；第三組：0，10，?16，34，?48，…；解答下列問題：（1）每一組的第6個(gè)數(shù)分別是，，；（2）分別寫出第二組和第三組的數(shù)與第一組對(duì)應(yīng)數(shù)的關(guān)系；（3）取每組數(shù)的第10個(gè)數(shù)，計(jì)算它們的和．【答案】（1）-36，-37，74；（2）第二組的數(shù)是第一組對(duì)應(yīng)數(shù)減1的差；第三組的數(shù)是第一組對(duì)應(yīng)數(shù)減1的差的-2倍；（3）1．【解析】【分析】（1）由所給的數(shù)總結(jié)出規(guī)律，即可求解；（2）根據(jù)（1）總結(jié)出的規(guī)律，進(jìn)行求解即可；（3）由所總結(jié)出的規(guī)律，分別寫出第10個(gè)數(shù)再相加即可．【詳解】解：（1）第一組：∵1=（-1）1+1×12，-4=（-1）1+2×22，9=（-1）1+3×32，-16=（-1）1+4×42，25=（-1）1+5×52，…，∴第n個(gè)數(shù)為：（-1）n+1n2；第二組：0=1-1，-5=-4-1，8=9-1，…，則第n個(gè)數(shù)為：（-1）n+1n2-1；第三組：0=0×（-2），10=-5×（-2），-16=8×（-2），…，則第n個(gè)數(shù)為：-2×[（-1）n+1n2-1]；∴第一組的第6個(gè)數(shù)為：（-1）6+1×62=-36，第二組的第6個(gè)數(shù)為：-36-1=-37，第三組的第8個(gè)數(shù)為：-37×（-2）=74，故答案為：-36，-37，74；（2）由（1）得：第二組的第n個(gè)數(shù)為：（-1）n+1n2-1；第三組的第n個(gè)數(shù)為：-2×[（-1）n+1n2-1]；故第二組的數(shù)比第一組對(duì)應(yīng)數(shù)減1的差；第三組的數(shù)是第一組對(duì)應(yīng)數(shù)減1的差的-2倍；（3）第一組第10個(gè)數(shù)為：（-1）10+1×102=-100，第二組第10個(gè)數(shù)為：-100-1=-101，第三組第10個(gè)數(shù)為：-101×（-2）=202，∴其和為：-100+（-101）+202=1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解答的關(guān)鍵是根據(jù)所給的數(shù)字，總結(jié)出所存在的規(guī)律．4．觀察下列等式：，，，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：．（1）猜想并寫出：＝．（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：①＝；②＝．（3）探究并解決問題：如果有理數(shù)a，b滿足|a﹣2|+|1﹣b|＝0，試求：的值．【答案】（1）；（2）①；②；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)題目中的等式，可以寫出相應(yīng)的猜想；（2）①利用（1）中的結(jié)論得到原式=1-+-+-+…+-，然后合并即可；②每個(gè)分?jǐn)?shù)提，然后利用（1）中的結(jié)論計(jì)算；；（3）根據(jù)|ab-2|+|1-b|=0，可以得到a、b的值，然后即可求得所求式子的值．【詳解】解：（1）；（2）①原式=1-+-+-+…+-=1-=；②原式=（+++…+）=（1-+-+-+…+-）=（1-）=；（3）∵|a-2|+|1-b|=0，∴a-2=0，1-b=0，解得a=2，b=1，∴==1-+-+-+…+-=1-=．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意題意，發(fā)現(xiàn)式子的特點(diǎn)，求出相應(yīng)的值．5．探索發(fā)現(xiàn)：＝1﹣；＝﹣；＝﹣…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：（1）＝，＝；（2）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：＋＋…＋．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）觀察已知等式，寫出所求即可；（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；【詳解】解：（1），，（2）原式＝，．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．6．觀察下列各式：13=1=；13+23=9=；13+23+33=36=；13+23+33+43=100=．回答下面的問題：（1）13+23+33+43+53+63=_____；（2）計(jì)算13+23+33+…+93+103的值；（3）計(jì)算：113+123+…+193+203的值．【答案】（1）；（2）3025；（3）41075【解析】【分析】（1）（2）由題意可知：從1開始連續(xù)自然數(shù)的立方和，等于最后一個(gè)自然數(shù)的平方乘這個(gè)自然數(shù)加1的平方的，由此規(guī)律計(jì)算得出答案即可；（3）由（2）的結(jié)果減去（1）的結(jié)果即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，抓住數(shù)字特點(diǎn)，找出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．7．（1）先觀察下列等式，再完成題后問題：；；①請(qǐng)你猜想：＝．②若a、b為有理數(shù)，且|a﹣1|+|b﹣2|＝0，求：+?+的值．（2）探究并計(jì)算：+?+．（3）如圖，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，接著把面積為的長(zhǎng)方形等分成兩個(gè)面積為的正方形，再把面積為的正方形等分成兩個(gè)面積為的矩形，如此進(jìn)行下去，試?yán)脠D形揭示的規(guī)律計(jì)算：++++++?+（直接寫答案）．【答案】（1）①；②；（2）；（3）【解析】【分析】（1）①根據(jù)題意類比得出即可；②先根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性得出、的值，再將、的值代入原式變形為，由此即可求得答案；（2）原式利用得出的規(guī)律變形，計(jì)算即可得到結(jié)果；（3）由數(shù)據(jù)和圖形可知，利用正方形的面積減去最后的一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積來求解面積和即可．【詳解】解：（1）①由題意可得：；故答案為：；②，且，，，，，原式；（2）原式；（3）由圖可知：．．．．．由此可得：．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化類、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．8．材料1：一般地，個(gè)相同因數(shù)相乘：記為.如，此時(shí)，3叫做以2為底的8的對(duì)數(shù)，記為（即）（1）計(jì)算__________，__________.材料2：新規(guī)定一種運(yùn)算法則：自然數(shù)1到的連乘積用表示，例如：，，，，…在這種規(guī)定下（2）求出滿足該等式的：（3）當(dāng)為何值時(shí)，【答案】（1）2，；（2）或；（3）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)材料示例計(jì)算可得；（2）根據(jù)材料定義的運(yùn)算，化簡(jiǎn)后解含絕對(duì)值的方程即可求得；（3）綜合兩個(gè)材料中的定義，化簡(jiǎn)后得到解方程可求得．此方程化簡(jiǎn)后為|x+2|+|x-6|=10，可理解為求數(shù)軸上一點(diǎn)x到-2和6的距離之和為10，由-2和6兩個(gè)點(diǎn)將數(shù)軸分為三部分，當(dāng)x分別位于這三個(gè)區(qū)域時(shí)將方程去絕對(duì)值號(hào)后進(jìn)行解方程．【詳解】解：（1）由題意可知：log39=2，（log216）2+log381=42+×4=，故答案為2；．（2）化簡(jiǎn)得：|x-1|=6即x-1=6或x-1=-6∴x=7或x=-5故符合題意的x值為7或-5．（3）由|x+log416|+|x-3!|=10得|x+2|+|x-6|=10當(dāng)x+2=0時(shí)，可得x=-2；當(dāng)x-6=0時(shí)，可得x=6．則當(dāng)x＜-2時(shí)，原方程可化為：-x-2-x+6=10，解得x=-3；當(dāng)-2≤x≤6時(shí)，原方程可化為：x+2-x+6=10，則此時(shí)方程無解；當(dāng)x＞6時(shí)，原方程可化為：x+2+x-6=10，解得x=7．故當(dāng)x為-3或7時(shí)，符合題意．【點(diǎn)睛】本題考察對(duì)給材料定義運(yùn)算的學(xué)習(xí)和理解，目的在于考察學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，關(guān)鍵要理解清楚題目中所定義的運(yùn)算并進(jìn)行應(yīng)用．9．探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．定義“”運(yùn)算：；；；；；．（1）歸納運(yùn)算的法則：兩數(shù)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，．（文字語言或符號(hào)語言均可）特別地，和任何數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，或任何數(shù)和進(jìn)行運(yùn)算，.（2）計(jì)算：（3）是否存在有理數(shù)使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由．【答案】（1）同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把兩數(shù)的平方相加；等于這個(gè)數(shù)的平方；（2）17；（3）存在，理由見解析．【解析】【分析】（1）首先根據(jù)*運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的算式，歸納出*運(yùn)算的運(yùn)算法則即可；然后根據(jù)：0*（?5）＝（?5）2；（＋3）*0）＝（＋3）2，可得：0和任何數(shù)進(jìn)行*運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行*運(yùn)算，等于這個(gè)數(shù)的平方．（2）根據(jù)（1）中總結(jié)出的*運(yùn)算的運(yùn)算法則，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算法則，進(jìn)行求值計(jì)算即可．（3）根據(jù)總結(jié)的運(yùn)算法則，進(jìn)行分析計(jì)算即可．【詳解】解：（1）歸納*運(yùn)算的法則：兩數(shù)進(jìn)行*運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把兩數(shù)的平方相加；特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行*運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行*運(yùn)算，等于這個(gè)數(shù)的平方；故填：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把兩數(shù)的平方相加；等于這個(gè)數(shù)的平方；（2）（＋1）*[0*（?2）]＝（＋1）*（?2）2＝（＋1）*4＝＋（12＋42）＝1＋16＝17；（3）存在，理由如下：∵（m?1）*（n＋2）＝0，∴（m?1）2＋（n＋2）2＝0∴m?1＝0，n＋2＝0，解得：m＝1，n＝?2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了定義新運(yùn)算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，注意加法運(yùn)算律的應(yīng)用．10．【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等0）的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”．一般地，把（a≠0）記作a?讀作“a的圈n次方”【初步探究】（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：2③＝，（﹣）④＝；（2）關(guān)于除方，下列說法錯(cuò)誤的是；A．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)B．對(duì)于任何正整數(shù)n，1?＝1C.3③＝4③D．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算呢？（3）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式（﹣3）④＝；5⑥＝；（﹣）⑩＝；（4）想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式是；（5）算一算：122÷（﹣）④×（﹣）③﹣（﹣）④÷34【答案】（1）；（2）C；（3），，；（4）；（5）【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義，直接寫出計(jì)算結(jié)果；（2）根據(jù)新定義，逐項(xiàng)分析即可；（3）根據(jù)除法轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，仿照上面的算式，將運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式即可；（4）根據(jù)（3）的結(jié)論直接寫出結(jié)果即可；（5）根據(jù)（4）的結(jié)論計(jì)算即可；【詳解】（1）2③；（﹣）④故答案為：；（2）一般地，把（a≠0）記作a?讀作“a的圈n次方”A．③（a≠0）任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；B．?對(duì)于任何正整數(shù)n，1?＝1，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；C.③，4③3③4③故該選項(xiàng)不正確，符合題意；D．根據(jù)有理數(shù)的除法法則以及定義可知，負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)，正確，不符合題意；故選C；（3）（﹣3）④＝；5⑥＝；（﹣）⑩＝；故答案為：，，；（4）由（3）可知a?，故答案為：（5）122÷（﹣）④×（﹣）③﹣（﹣）④÷34【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確理解題意，掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．11．觀察下面三個(gè)等式：1×2＝（1×2×3﹣0×1×2）2×3＝（2×3×4﹣1×2×3）3×4＝（3×4×5﹣2×3×4）將這三個(gè)等式的兩邊分別相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝×3×4×5＝20，仿照上面的做法，請(qǐng)你完成以下問題：（1）填空：①1×2+2×3+…+10×11＝；②1×2+2×3+…+n（n+1）＝；（2）求值：11×12+12×13+…+18×19+19×20（請(qǐng)寫出計(jì)算過程）．【答案】（1）①440；②；（2）2220【解析】【分析】（1）①由所給式子可得，1×2+2×3+…+10×11=（10×11×12-0×1×2）=440；②觀察所給式子可得規(guī)律：1×2+2×3+…+n（n+1）=[n×（n+1）×（n+2）-0×1×2]=；（3）所求式子可化為11×12+12×13+…+18×19+19×20=1×2+2×3+…+19×20-1×2+2×3+…+10×11，再由②即可求解．【詳解】解：（1）①∵10×11=（10×11×12-9×10×11），9×10=（9×10×11-8×9×10），∴1×2+2×3+…+10×11=（1×2×3-0×1×2）+（2×3×4-1×2×3）+（3×4×5-2×3×4）+…+（10×11×12-9×10×11）=（10×11×12-0×1×2）=440，故答案為：440；②∵n×（n+1）=[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]，（n-1）×n=[（n-1）×n×（n+1）-（n-2）×（n-1）×n]，∴1×2+2×3+…+n（n+1）=（1×2×3-0×1×2）+（2×3×4-1×2×3）+（3×4×5-2×3×4）+…+[（n-1）×n×（n+1）-（n-2）×（n-1）×n]+[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]=[n×（n+1）×（n+2）]=，故答案為：；（2）11×12+12×13+…+18×19+19×20=1×2+2×3+…+19×20-1×2+2×3+…+10×11=-=2660-440=2220．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的規(guī)律，能夠通過所給式子，探索出式子的一般規(guī)律，并能靈活運(yùn)用所得規(guī)律進(jìn)行解題是關(guān)鍵．12．若n表示一個(gè)整數(shù)，我們可以用2n+1表示一個(gè)奇數(shù)．下面我們來探究連續(xù)奇數(shù)的和的問題．（1）計(jì)算：1+3+5＝；1+3+5+7+9＝；（2）請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示1+3+5+7+9+…+（2n+1）的值為；（3）請(qǐng)用上述規(guī)律計(jì)算41+43+45+…+83+85的值．【答案】（1）9；25；（2）；（3）1449．【解析】【分析】（1）將兩個(gè)算式進(jìn)行加法計(jì)算即可；（2）結(jié)合（1）1+3+5=9=32；1+3+5+7+9=25=52，即可得1+3+5+7+9+…+（2n+1）的值；（3）利用（2）中得到的規(guī)律將原式變形為1+3+5+…+85-（1+3+5+…+39），進(jìn)而即可計(jì)算41+43+45+…+83+85的值．【詳解】解：（1）1+3+5=9；1+3+5+7+9=25，故答案是：9，25；（2）1+3+5+7+9+…+（2n+1）=，故答案是：；（3）原式=1+3+5+…+85-（1+3+5+…+39）==1849-400=1449．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)字的變化尋找規(guī)律．13．（1）觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空：（2）利用（1）中結(jié)論，解決下列問題：①1+3+5+…+203=；②計(jì)算：101+103+105+…+199；【答案】（1）42=16；n2；（2）①10404；②7500【解析】【分析】（1）可以看出連續(xù)奇數(shù)的和等于數(shù)的個(gè)數(shù)的平方；（2）①由1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，…可以看出連續(xù)奇數(shù)的和等于數(shù)的個(gè)數(shù)的平方，因此得到一般規(guī)律．②根據(jù)1到199的和減去1到99的和即可.【詳解】（1）1+3+5+7=16=42=16；1+3+5+7+9….+（2n-1）=n2,（2）①因?yàn)?+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，…1+3+5+7+…+203=1022=10404，②101+103+105+…+199=（1+3+5+…+199）-（1+3+5+…+99）=1002-502=7500.【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)字的變化找出規(guī)律.14．a(chǎn)是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)．已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，．．．（1）求a2，a3，a4的值；（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)猜想并求出的值；（3）計(jì)算：a1?a2?a3?…?a2018?a2019．【答案】（1）a2，a3，a4的值分別為2，-1，；（2）-1；（3）-1．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，可以分別計(jì)算出a2，a3，a4的值；（2）根據(jù)（1）中式子的值，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，從而可以求得a2009?a2010?a2011的值；（3）根據(jù)前面發(fā)現(xiàn)的數(shù)字的特點(diǎn)，可以求得所求式子的值．【詳解】解：（1）∵a1=，∴a2==2，a3==-1，a4==，即a2，a3，a4的值分別為2，-1，；（2）由（1）可知，每三個(gè)數(shù)一循環(huán)，∵2009÷3=669…2，∴a2009?a2010?a2011=2×（-1）×=-1；（3）∵2019÷3=673，∵a1?a2?a3=a4?a5?a6=…=a2017?a2018?a2019=×2×（-1）=-1，∴a1?a2?a3?…?a2018?a2019=(-1)673=-1．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．15．觀察下列有規(guī)律的數(shù)：根據(jù)規(guī)律可知：（1）第8個(gè)數(shù)是；（2）是第個(gè)數(shù)；（3）計(jì)算：．【答案】（1）；（2）11；（3）【解析】【分析】分子都是1，分母拆成兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，可得規(guī)律：第個(gè)數(shù)為．（1）求得第8個(gè)數(shù)即可；（2），得出是第11個(gè)數(shù)；（3）利用拆分計(jì)算得出答案即可．【詳解】解：，，，…可得：第個(gè)數(shù)是是正整數(shù)），（1）第8個(gè)數(shù)是；（2）∴是第11個(gè)數(shù)；（3）．【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給出的數(shù)據(jù)找出之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．16．如圖，搭一個(gè)正方形需要4根火柴棒，搭2個(gè)正方形需要7根火柴棒，搭3個(gè)正方形需要10根火柴棒．（1）若搭5個(gè)這樣的正方形，這需要根火柴棒；（2）若搭n個(gè)這樣的正方形，這需要根火柴棒；（3）若現(xiàn)在有2021根火柴棒，要搭701個(gè)這樣的正方形，還需要火柴棒多少根？【答案】（1）16；（2）3n+1；（3）還需要火柴83根．【解析】【分析】（1）根據(jù)搭1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)正方形所需火柴棒數(shù)，即可找到搭5個(gè)正方形所需火柴棒數(shù)；（2）根據(jù)圖形中火柴棒數(shù)目的變化，可找出搭n個(gè)這樣的正方形需要（3n+1）根火柴棒；（3）由（2）計(jì)算出搭701個(gè)這樣的正方形所需要的火柴棒數(shù)，從而可求解．【詳解】解：（1）∵搭一個(gè)正方形需要4根火柴棒，搭2個(gè)正方形需要7根火柴棒，搭3個(gè)正方形需要10根火柴棒，∴搭4個(gè)正方形需要13根火柴棒，搭5個(gè)正方形需要16根火柴棒．故答案為：16；（2）∵搭一個(gè)正方形需要4根火柴棒，搭2個(gè)正方形需要7根火柴棒，搭3個(gè)正方形需要10根火柴棒，…，∴搭n個(gè)這樣的正方形需要（3n+1）根火柴棒．故答案為：（3n+1）；（3）3×701+1=2104，2104-2021=83，答：現(xiàn)在有2021根火柴棒，要搭701個(gè)這樣的正方形，還需要火柴83根．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)圖形中火柴棒數(shù)目的變化，找出搭5個(gè)正方形所需火柴棒數(shù)；（2）根據(jù)圖形中火柴棒數(shù)目的變化，找出火柴棒數(shù)目變化的規(guī)律；（3）根據(jù)規(guī)律解題．17．已知10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝，10m×10n＝．（m，n均為正整數(shù)）（2）運(yùn)用上述猜想計(jì)算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）；②（﹣6.4×103）×（2×106）．【答案】（1）1010，10m+n；（2）①1.8×109；②-1.28×10