專題05 一元二次方程及其應(yīng)用（云南專用）（解析版）

專題05一元二次方程及其應(yīng)用目錄熱點(diǎn)題型歸納 1題型01一元二次方程的解 1題型02解一元二次方程—直接開平方法 3題型03解一元二次方程—配方法 5題型04解一元二次方程—公式法 8題型05解一元二次方程—因式分解法 10題型06根的判別式 12題型07根與系數(shù)的關(guān)系 14題型08由實(shí)際問題抽象出一元二次方程、一元二次方程的應(yīng)用 16中考練場(chǎng) 21 題型01一元二次方程的解【解題策略】（1）只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，且系數(shù)不為0的整式方程，叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次項(xiàng)，bx叫做一次項(xiàng)，c叫做常數(shù)項(xiàng)，a是二次項(xiàng)的系數(shù)，b是一次項(xiàng)的系數(shù)，注意a≠0.【典例分析】例1.（2023·廣東）關(guān)于x的方程a?1x2+4x?3=0是一元二次方程，則A.a>1 B.a=1 C.a≠1 D.a≥0【答案】C

【解析】根據(jù)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不等于零得到a?1≠0，由此求得a的取值范圍．依題意得：a?1≠0，

解得a≠1．

故選：C．本題利用了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).例2.（2023·江蘇）若x=1是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx?6=0的一個(gè)根，則m=______．【答案】5

【解析】解：把x=1代入方程x2+mx?6=0得1+m?6=0，

解得m=5．

故答案為：5．

把x=1代入原方程得到1+m?6=0，然后解一次方程即可．【變式演練】1.（2023·山東）若一元二次方程mx2+2x+1=0有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是(

)A.m≥?1 B.m≤1

C.m≥?1且m≠0 D.m≤1且m≠0【答案】D

【解析】略2.（2023·湖南）已知關(guān)于x的方程x2+mx?20=0的一個(gè)根是?4，則它的另一個(gè)根是______．【答案】5

【解析】解：設(shè)方程的另一個(gè)解為t，

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得?4t=?20，

解得t=5，

即方程的另一個(gè)根為5．

故答案為：5．

設(shè)方程的另一個(gè)解為t，則利用根與系數(shù)的關(guān)系得?4t=?20，然后解一次方程即可．

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)3.（2023·山東）若x=3是關(guān)x的方程ax2?bx=6的解，則2023?6a+2b【答案】2019

【解析】解：把x=3代入方程得：9a?3b=6，即3a?b=2，

則原式=2023?2(3a?b)=2023?4=2019．

故答案為：2019．

把x=3代入方程求出3a?b的值，代入原式計(jì)算即可求出值．

此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．題型02解一元二次方程—直接開平方法【解題策略】1、直接開平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是2、直接開平方法：把方程變成的形式，當(dāng)m＞0時(shí)，方程的解為；當(dāng)m＝0時(shí)，方程的解；當(dāng)m＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解．【典例分析】例1．（2023·全國模擬）方程(2x+1)2=49的根是

【答案】x1=3，【解析】略例2.（2023·廣東模擬）解方程：(x+3)2?25=0【答案】解：移項(xiàng)得：(x+3)2=25，

方程兩邊開平方得：x+3=±5，

所以x1【解析】先把方程變形為解(x+3)2=25，然后利用直接開平方法解方程．

本題考查了解一元二次方程?直接開平方法：形如x【變式演練】1.（2023·吉林模擬）方程x2=16的解為______．【答案】x1=4，【解析】【分析】

本題考查了解一元二次方程?直接開平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．

利用直接開平方法解方程．

【解答】

解：x2=16，

開平方，得x=±4，

所以x1=42.（2023·天津模擬）方程(x+6)2?9=0的兩個(gè)根是A.x1=3，x2=9 B.x1=?3，x2=9

C.【答案】D

【解析】解：∵(x+6)2?9=0，

∴(x+6)2=9，

則x+6=±3，

∴x1=?3，x3.（2023·黑龍江）

解方程：(x?2)【答案】解：x?2=±2

x1=0，【解析】見答案題型03解一元二次方程—配方法【解題策略】適用二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程將一般形式的常數(shù)項(xiàng)移到“=”右邊兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得到式的一元二次方程3）利用直接開方法求解方程2、配方法：通過配方把一元二次方程變形為的形式，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，用直接開平方法求解，它的解為．【典例分析】例1．（2023·山東模擬）用配方法解一元二次方程2x2?12x?9=5，則方程可變形為A.2(x?6)2=43 B.(x?6)2=43

【答案】D

【解析】解：∵2x2?12x?9=5，

∴2x2?12x=14，

x2?6x=7，

則例2.（2023·北京模擬）將一元二次方程x2?8x+10=0通過配方轉(zhuǎn)化為(x+a)2A.(x?4)2=6 B.(x?8)2=6【答案】A

【解析】解：x2?8x=?10，

x2?8x+16=6，

(x?4)2=6．

故選：A．

先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊同時(shí)加上16，然后把方程左邊寫成完全平方形式即可．

此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：

(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；

【變式演練】1.（2023·浙江模擬）方程x2?2x=1經(jīng)過配方后，其結(jié)果正確的是

(

)A.(x?1)2=2 B.(x+1)2=2【答案】A

【解析】【分析】

此題考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，首先利用等式性質(zhì)把方程的二次項(xiàng)的系數(shù)化為1，其次在方程二邊同加一次項(xiàng)的系數(shù)一半的平方．【解答】解：∵x∴x∴(x?1)故選：A．2.（2023·江蘇模擬）用配方法解一元二次方程2x2+4x?5=0時(shí)，將它化為(x+a)2=b的形式，則A.8 B.92 C.72 【答案】B

【解析】解：2x2xx2x2(x+1)所以a=1，b=7所以a+b=故選：B.先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊除以2，接著把方程兩邊加上1，然后把方程左邊配成完全平方式，從而得到a、b的值，最后計(jì)算它們的和即可．本題考查了解一元二次方程?配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟是解決問題的關(guān)鍵．3.（2023·江蘇模擬）(本小題8分)

(1)解不等式：x+12+x?13≤1；

(2)【答案】解：(1)x+12+x?13≤1，

3×(x+1)+2×(x?1)≤1×6，

3x+3+2x?2≤6，

3x+2x≤6+2?3，

5x≤5，

x≤1；

(2)x2+4x?1=0，

x2+4x=1，

x2+4x+4=5，

(x+2)【解析】(1)利用①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤化系數(shù)為1的步驟解出不等式；

(2)根據(jù)配方法解出方程即可．

本題考查的是一元一次不等式的解法、配方法解一元二次方程，掌握解一元一次不等式的一般步驟、配方法的一般步驟是解題的關(guān)鍵．題型04解一元二次方程—公式法【解題策略】適用所有一元二次方程將方程寫成一般式；分別寫出a、b、c的表達(dá)式，帶入求出根的判別式的值將數(shù)據(jù)帶入公式，得到方程的兩個(gè)解x1、x2【典例分析】例1．（2023·江蘇模擬）方程x2?3x=1的解是______．【答案】x1=3+【解析】解：方程化為一般式為x2?3x?1=0，

a=1，b=?3，c=?1，

Δ=(?3)2?4×1×(?1)=13>0，

x=3±132×1=3±132，

所以x1例2.（2023·廣東模擬）解方程：x2?2x?15=0【答案】解：∵x2?2x?15=0．

∴a=1，b=?2，c=?15，

∴b2?4ac=4+60=64>0，

∴x=2±【解析】【試題解析】

本題考查一元二次方程的解法，熟練掌握公式法的解題步驟是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公式法的步驟即可解決問題．【變式演練】1.（2023·廣東模擬）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)x(x?3)=x?3(2)【答案】解：(1)

x(x?3)=x?3

，∴

x(x?3)?(x?3)=0

，∴

(x?3)(x?1)=0

，解得：

x1=1,(2)

x2+3x?1=0a=1,b=3,c=?1

，

，∴

x=?b±解得：

x1=?3+13【解析】(1)根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．(2)根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解．2.（2023·山東模擬）已知函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y之間滿足下列表格中的數(shù)量關(guān)系，那么(a+b+c)(?b+x245y0.350.353A.18 B.15 C.9 D.3【答案】A

【解析】解：∵拋物線經(jīng)過(2,0.35)，(4,0.35)，

∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=?b2a=3，

∴?ba=6，

∵拋物線經(jīng)過(5,3)，對(duì)稱軸為直線x=3，

∴拋物線經(jīng)過(1,3)，即a+b+c=3，

∴(a+b+c)(?b+b2?4ac2a+?b?b2?4ac2a題型05解一元二次方程-因式分解法【解題策略】化成一般形式后，“=”左邊可以因式分解的一元二次方程將一元二次方程化成一般是將“=”左邊的部分因式分解讓各部分因式分別=0各部分因式分別=0的x的值即為方程的解【典例分析】例1．（2023·廣東模擬）方程x2+2x?3=0的兩個(gè)根分別是x1=

，【答案】1?3【解析】【分析】運(yùn)用因式分解法求解即可．【詳解】∵x∴(x+3)(x?1)=0，∴x+3=0或x?1=0，∴x

?1

=1，x

?2

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟練掌握計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．例2.（2023·天津）方程x2+4x+3=0的兩個(gè)根為(

)A.x1=1，x2=3 B.x1=?1，x2=3

C.【答案】D

【解析】解：x2+4x+3=0，

(x+3)(x+1)=0，

x+3=0或x+1=0，

x1=?3，x2=?1，

故選：D．

根據(jù)解一元二次方程?因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【變式演練】1.（2023·湖南模擬）方程3x2?6x=0的解是

【答案】x1=0，【解析】略2.（2023·四川模擬）解方程：x2?2x?3=0．【答案】解：將原方程左邊分解因式，得

(x?3)(x+1)=0，

∴x?3=0或x+1=0，

∴x1=3，【解析】【分析】

先將原方程左邊分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出兩個(gè)一元一次方程的解即可．

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查了解一元二次方程?因式分解法，把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．題型06根的判別式【解題策略】一元二次方程根的判別式對(duì)于一元二次方程的一般形式：，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程沒有實(shí)數(shù)根【易錯(cuò)警示】在應(yīng)用跟的判別式時(shí)，若二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母，注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件；當(dāng)時(shí)，可得方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，相等不相等未知【典例分析】例1．（2023·廣東）已知一元二次方程x2+6x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為

．【答案】9

【解析】【分析】

本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與Δ=b2?4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．

根據(jù)根的判別式的意義得到Δ=62?4m=0，然后解關(guān)于m的方程即可．

【解答】

解：根據(jù)題意得Δ=例2.（2023·貴州）若一元二次方程kx2?3x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k【答案】94【解析】解：∵一元二次方程kx2?3x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ=(?3)2?4k×1=0，且k≠0，

解得：k=94，【變式演練】1.（2023·北京）已知關(guān)于x的方程x2+2x+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是________【答案】1

【解析】解：∵關(guān)于x的方程x2+2x+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴△=22?4×1×k=0，

解得：k=1．

故答案為：1．

根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△=0，即可得出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可得出k2.（2023·吉林）一元二次方程x2?5x+2=0根的判別式的值是(

)A.33 B.23 C.17 D.【答案】C

【解析】解：x2?5x+2=0，

∵a=1，b=?5，c=2，

∴Δ=b2?4ac=(?5)2?4×1×2=25?8=17．

故選：3.（2023·四川）關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+a2A.沒有實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

D.實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)與實(shí)數(shù)a的取值有關(guān)【答案】C

【解析】解：∵Δ=(2a)2?4×1×(a2?1)

=4a2?4a2+4

=4>0．

∴關(guān)于題型07根與系數(shù)的關(guān)系【解題策略】如果關(guān)于的一元二次方程的兩根（當(dāng)）為,,那么有【典例分析】例1．（2023·湖北）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?3x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1和x2，則【答案】2

【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2?3x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1和x2，

∴x1+x2=??31=3，x1x2=11=1，

∴x1+例2.（2023·天津）若x1，x2是方程x2?6x?7=0A.x1+x2=6 B.x1【答案】A

【解析】解：∵x1，x2是方程x2?6x?7=0的兩個(gè)根，

∴x1+x2=6，x1x2=?7，

故選：A【變式演練】1.（2023·湖北模擬）設(shè)x1，x2是一元二次方程x2?x?1=0的兩根，則x【答案】0

【解析】解：∵x1,x2是方程x2?x?1=0的兩根，

∴x1+x2=1，x1?x2=?1，

∴x12.（2023·江蘇模擬）若一元二次方程x2+3x?2=0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1【答案】?4

【解析】略3.（2023·山東）設(shè)x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2?2(m+1)x+m2+2=0【答案】1

【解析】解：∵x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2?2(m+1)x+m2+2=0的兩實(shí)根，

∴x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+2，

∵(x1+1)(x2+1)=8，

∴m2+2+2(m+1)+1=8，

解得m=1或m=?3，

∵Δ=4(m+1)2題型08由實(shí)際問題抽象出一元二次方程、一元二次方程的應(yīng)用【解題策略】1．應(yīng)用問題中常用的數(shù)量關(guān)系及題型(1)數(shù)字問題(包括日歷中的數(shù)字規(guī)律)關(guān)鍵會(huì)表示一個(gè)兩位數(shù)或三位數(shù)，對(duì)于日歷中的數(shù)字問題關(guān)鍵是弄清日歷中的數(shù)字規(guī)律．(2)體積變化問題關(guān)鍵是尋找其中的不變量作為等量關(guān)系.(3)打折銷售問題其中的幾個(gè)關(guān)系式：利潤＝售價(jià)-成本價(jià)(進(jìn)價(jià))，利潤率＝×100%．明確這幾個(gè)關(guān)系式是解決這類問題的關(guān)鍵．(4)關(guān)于兩個(gè)或多個(gè)未知量的問題重點(diǎn)是尋找到多個(gè)等量關(guān)系，能夠設(shè)出未知數(shù)，并且能夠根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)列出方程.(5)行程問題對(duì)于相遇問題和追及問題是列方程解應(yīng)用題的重點(diǎn)問題，也是易出錯(cuò)的問題，一定要分析其中的特點(diǎn)，同向而行一般是追及問題，相向而行一般是相遇問題．注意：追及和相遇的綜合題目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分問題增長量＝原有量×增長率；現(xiàn)有量＝原有量+增長量；現(xiàn)有量＝原有量-降低量．2．解應(yīng)用題的步驟(1)分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；(3)找出相等關(guān)系，并用它列出方程；(4)解方程求出題中未知數(shù)的值；(5)檢驗(yàn)所求的答數(shù)是否符合題意，并做答．要點(diǎn)詮釋：方程的思想，轉(zhuǎn)化(化歸)思想，整體代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，數(shù)形結(jié)合的思想用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示與數(shù)量有關(guān)的語句的數(shù)學(xué)思想．注意：①設(shè)列必須統(tǒng)一，即設(shè)的未知量要與方程中出現(xiàn)的未知量相同；②未知數(shù)設(shè)出后不要漏棹單位；③列方程時(shí)，兩邊單位要統(tǒng)一；④求出解后要雙檢，既檢驗(yàn)是否適合方程，還要檢驗(yàn)是否符合題意．【典例分析】例1．（2023·福建）根據(jù)福建省統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為53109.85億元.設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程(

)A.43903.89(1+x)=53109.85 B.43903.89(1+x)2=53109.85

C.43903.89【答案】B

【解析】解：設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，

根據(jù)題意得，43903.89(1+x)2=53109.85，

故選：B．

設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為53109.85例2.（2023·廣東）因活動(dòng)需要購買某種水果，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)通過市場(chǎng)調(diào)查得知：在甲商店購買該水果的費(fèi)用y1(元)與該水果的質(zhì)量x(千克)之間的關(guān)系如圖所示；在乙商店購買該水果的費(fèi)用y2(元)與該水果的質(zhì)量x(千克)之間的函數(shù)解析式為y2=10x(x≥0)．

(1)求y1與x之間的函數(shù)解析式；【答案】解：(1)當(dāng)0≤x≤5時(shí)，設(shè)y1與x之間的函數(shù)解析式為y1=kx(k≠0)，

把(5,75)代入解析式得：5k=75，

解得k=15，

∴y1=15x；

當(dāng)5<x≤10時(shí)，設(shè)y1與x之間的函數(shù)解析式為y1=mx+n(m≠0)，

把(5,75)和(10,120)代入解析式得5m+n=7510m+n=120，

解得m=9n=30，

∴y1=9x+30，

綜上所述，y1與x之間的函數(shù)解析式為y1=15x(0≤x≤5)9x+30(x>5)；

(2)在甲商店購買：9x+30=600，

解得x=6313，

∴在甲商店600元可以購買6313【解析】(1)用待定系數(shù)法，分段求出函數(shù)解析式即可；

(2)把y=600分別代入y1，y2解析式，解方程即可．【變式演練】1.（2023·江蘇）2020年?2022年無錫居民人均可支配收入由5.76萬元增長至6.58萬元，設(shè)人均可支配收入的平均增長率為x，下列方程正確的是(

)A.5.76(1+x)2=6.58 B.5.76(1+x2)=6.58【答案】A

【解析】解：由題意得：5.76(1+x)2=6.58．

故選：A．

根據(jù)2020年的人均可支配收入×(1+年平均增長率)2.（2023·上海）某商店以20元/千克的單價(jià)進(jìn)貨了一批商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y(千克)與銷售單價(jià)x(元/千克)之間的函數(shù)關(guān)系如圖中線段AB所示．

(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)要使每天的銷售利潤達(dá)到800元，銷售單價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？【答案】解：(1)設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b(k≠0)，

將(20,60)，(80,0)代入y=kx+b，得：20k+b=6080k+b=0，

解得：k=?1b=80k=?1，b=80．

∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=?x+80．

(2)根據(jù)題意得：(x?20)(?x+80)=800，

整理得：x2?100x+2400=0，

解得：x1=40，x2【解析】(1)觀察函數(shù)圖象找出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出y與x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)根據(jù)總利潤=每千克利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式；(2)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．3.（2023·廣東模擬）某種商品的標(biāo)價(jià)為200元/件，由于疫情的影響，銷量不佳，店家經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為128元/件，并且兩次降價(jià)的百分率相同．(1)求該種商品每次降價(jià)的百分率；(2)若該種商品進(jìn)價(jià)為80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各種費(fèi)用100元，在每件降價(jià)幅度不超過10元的情況下，若每件降價(jià)1元，則每天可多售出5件，如果每天盈利1475元，每件應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】解：(1)設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為x，

依題意，得：200(1?x)2=128，

解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不合題意，舍去)，

答：該種商品每次降價(jià)的百分率為20%．

(2)設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)y元，

根據(jù)題意，得：(128?y?80)(20+5y)?100=1475，

解方程得y1=41，y2=3，

∵【解析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，得到現(xiàn)在的銷售量是解決本題的難點(diǎn)；根據(jù)每天盈利得到相應(yīng)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．

(1)設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)該商品的原價(jià)及經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)關(guān)系式為：每件商品的盈利×(原來的銷售量+增加的銷售量)=1475，為了減少庫存，計(jì)算得到降價(jià)多的數(shù)量即可．4.（2023·山東模擬）某公司2月份銷售新上市的A產(chǎn)品20套，由于該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)適用性，銷量快速上升，4月份該公司銷售A產(chǎn)品達(dá)到45套，并且2月到3月和3月到4月兩次的增長率相同．

(1)求該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率；

(2)若A產(chǎn)品每套盈利2萬元，則平均每月可售30套，為了盡量減少庫存，該公司決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A產(chǎn)品每套每降0.5萬元，公司平均每月可多售出20套；若該公司在5月份要獲利70萬元，則每套A產(chǎn)品需降價(jià)多少？【答案】解：(1)設(shè)該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率為x，

依題意，得：20(1+x)2=45，

解得：x1=0.5=50%，x2=?2.5(不合題意，舍去)．

答：該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率為50%．

(2)設(shè)每套A產(chǎn)品需降價(jià)y萬元，則平均每月可售出(30+y0.5×20)套，

依題意，得：(2?y)(30+y0.5×20)=70，

整理，得：4y2?5y+1=0，

解得：y1【解析】(1)設(shè)該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率為x，根據(jù)2月份及4月份該公司A產(chǎn)品的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)每套A產(chǎn)品需降價(jià)y萬元，則平均每月可售出(30+y0.5×20)套，根據(jù)總利潤=每套的利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于y1.（2023·遼寧）若關(guān)于x的一元二次方程(k?1)x2+2x?2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是A.k>12且k≠1 B.k>12

C.k≥1【答案】A

【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程(k?1)x2+2x?2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴k?1≠0Δ=22?4×(k?1)×(?2)>0，

解得：k>12且k≠1，

∴k的取值范圍是k>12且k≠1．

故選：A．

由二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式2.（2023·湖南）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx?2=0的一個(gè)根為?1，則m的值為______，另一個(gè)根為______．【答案】?1，2．

【解析】解：將x=?1代入原方程可得1?m?2=0，

解得：m=?1，

∵方程的兩根之積為ca=?2，

∴方程的另一個(gè)根為?2÷(?1)=2．

故答案為：?1，2．

將x=?1代入原方程，可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再結(jié)合兩根之積等于?2，即可求出方程的另一個(gè)根．

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，牢記“兩根之和等于?b3.（2023·四川）已知方程x2?3x?4=0的根為x1，x2，則【答案】6

【解析】解：∵方程x2?3x?4=0的根為x1，x2，

∴x1+x2=3，x1?x2=?4，

∴(4.（2023·上海）方程(x?1)2=9【答案】x=?2或x=4

【解析】解：(x?1)2=9，

兩邊直接開平方得：x?1=±3，

則x?1=3，x?1=?3，

解得：x1=4，x2=?2，

故答案為：x=4或?2．

5.（2023·內(nèi)蒙古）用配方法解方程x2?4x?1=0時(shí)，配方后正確的是(

)A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=17【答案】C

【解析】略6.（2023·江蘇）

(1)解方程：2x2+x?2=0；

(2)解不等式組：x+3>?2x【答案】解：(1)2x2+x?2=0，

∵a=2，b=1，c=?2，

∴b2?4ac=12?4×2×(?2)=17，

∴x=?b±b2?4ac2a=?1±174，

∴x1=?1+【解析】(1)方程利用公式法求解即可；

(2)分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．

本題考查的是解一元二次方程以及解一元一次不等式組，掌握公式法和解一元一次不等式組的基本步驟是解答本題的關(guān)鍵．7.（2023·黑龍江）(本小題8分)

解方程：x【答案】解：x2?3x+2=0，

(x?1)(x?2)=0，

x?1=0或x?2=0，

∴x1【解析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，利用十字相乘法因式分解，得到兩個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，

分別解兩個(gè)一元一次方程即可得到一元二次方程的解．8.（2023·上海）(本小題8分)

解方程：(x?2)2?4(x?2)=12【答案】解：(x?2)2?4(x?2)=12，

(x?2)2?4(x?2)?12=0，

(x?2?6)(x?2+2)=0，

x(x?8)=0，

x=0或x?8=0，【解析】方程利用因式分解法求解即可．

本題考查了解一元二次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本題的關(guān)鍵．9.（2023·山東）若一元二次方程mx2+2x+1=0有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是A.m≥?1 B.m≤1

C.m≥?1且m≠0 D.m≤1且m≠0【答案】D

【解析】解：∵一元二次方程mx2+2x+1=0有實(shí)數(shù)解，

∴Δ=22?4m≥0，且m≠0，

解得：m≤1且m≠0，

故選：D．10.（2023·四川）關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+m?2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是(

)A.m<32 B.m>3 C.m≤3 【答案】D

【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+m?2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ=(?2)2?4×1×(m?2)=12?4m>0，

解得：m<3．

故選：D．

根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ>0，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m11.（2023·遼寧）若關(guān)于x的一元二次方程kx2?2x+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是A.k<13 B.k≤13

C.k<13且【答案】D

【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2?2x+3=0，

∴k≠0，

∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴Δ=(?2)2?4k×3≥0，

解得k≤13，

∴k的取值范圍是k≤13且k≠0，

故選：D．12.（2023·湖南）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2?m+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且x1【答案】3

【解析】解：∵原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ=(2m)2?4×1×(m2?m+2)>0，

∴m>2．

∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2?m+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴x1+x2=?2m，x1?x2=m2?m+2，

∵x1+x2+x1?x2=2，

∴?2m+m213.（2023·江蘇）若x??2?4x+3=0，y??2?4y+3=0，【答案】?2

【解析】【分析】

本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解一元二次方程根與系數(shù)是解答關(guān)鍵.根據(jù)已知條件，可以把x、y看作方程t2?4t+3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x+y=4，xy=3，然后利用整體代入的方法計(jì)算．

【解答】

解：∵x2?4x+3=0，y2?4y+3=0，且x≠y，

∴x、y可看作方程t2?4t+3=014.（2023·山東）一元二次方程x2+3x?1=0的兩根為x1，x2，則1A.32 B.?3 C.3 D.【答案】C

【解析】解：∵一元二次方程x2+3x?1=0的兩根為x1，x2，

∴x1+x2=?3；x1x2=?1．

∴1x1+1x2

=x1+x2x1x15.（2023·浙江）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感.設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程(

)A.x+(1+x)=36 B.2(1+x)=36

C.1+x+x(1+x)=36 D.1+x+【答案】C

【解析】解：由題意得：1+x+x(1+x)=36，

故選：C．

患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則第一輪傳染了x個(gè)人，第二輪作為傳染源的是(x+1)人，則傳染x(x+1)人，依題意列方程：1+x+x(1+x)=36．

本題考查的是根據(jù)實(shí)際問題列一元二次方程．找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．16.（2023·廣東）某公司的生產(chǎn)利潤原來是a元，經(jīng)過連續(xù)兩年的增長達(dá)到了y萬元，如果每年增長的百分?jǐn)?shù)都是x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是(

)A.y=x2+a B.y=a(x?1)2

【答案】D

【解析】解：依題意，

得y=a(1+x)2．

故選D．

本題是增長率的問題，基數(shù)是a元，增長次數(shù)2次，結(jié)果為y，根據(jù)增長率的公式表示函數(shù)關(guān)系式．17.（2023·黑龍江）如圖，在長為100m，寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面