考點(diǎn)04 二次根式（精講）（原卷版）

考點(diǎn)04.二次根式（精講）【命題趨勢(shì)】二次根式在各地中考中，每年考查2道題左右，分值為8分左右，對(duì)二次根式的考查主要集中在對(duì)其取值范圍、化簡(jiǎn)、計(jì)算等方面，其中取值范圍類考點(diǎn)多出選擇題、填空題形式出現(xiàn)，而化簡(jiǎn)計(jì)算則多以解答題形式考察。此外，二次根式還常和銳角三角函數(shù)、實(shí)數(shù)、其他幾何圖形等結(jié)合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題。【知識(shí)清單】1：二次根式的相關(guān)概念（☆☆）（1）二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式。其中符號(hào)“”叫做二次根號(hào)，二次根號(hào)下的數(shù)叫做被開方數(shù)。注意：被開方數(shù)只能是非負(fù)數(shù)。即要使二次根式eq\r(a)有意義，則a≥0。（2）最簡(jiǎn)二次根式：被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式。（3）同類二次根式：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的幾個(gè)二次根式，叫做同類二次根式。2：二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)（☆☆☆）（1）二次根式的性質(zhì)：1）雙重非負(fù)性：≥0（≥0）；2）；3）；（2）二次根式的化簡(jiǎn)方法：1）利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)；2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)。（3）化簡(jiǎn)二次根式的步驟：1）把被開方數(shù)分解因式；2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把各因式（或因數(shù)）積的算術(shù)平方根化為每個(gè)因式（或因數(shù)）的算術(shù)平方根的積；3）化簡(jiǎn)后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2。3：二次根式的的運(yùn)算（☆☆☆）（1）加減法法則：先把各個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并?？谠E：一化、二找、三合并。（2）乘法法則:兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：。（3）除法法則：兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.即：。（4）分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過程。分母有理化因式：1）分母為單項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是分母本身帶根號(hào)的部分；即：。2）分母為多項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分；即：。（5）混合運(yùn)算順序：二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的。在運(yùn)算過程中，乘法公式和有理數(shù)的運(yùn)算律在二次根式的運(yùn)算中仍然適用?！疽族e(cuò)點(diǎn)歸納】1.二次根式定義中規(guī)定，任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根都是二次根式，不需要看化簡(jiǎn)后的結(jié)果，如：、都是二次根式。2.最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不應(yīng)含有根號(hào)）；②不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1。3.根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)時(shí)，前無“-”,化簡(jiǎn)出來就不可能是一個(gè)負(fù)數(shù)。4.利用二次根式性質(zhì)時(shí)，如果題目中對(duì)根號(hào)內(nèi)的字母給出了取值范圍，那么應(yīng)在這個(gè)范圍內(nèi)對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應(yīng)注意對(duì)題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現(xiàn)出來，在允許的取值范圍內(nèi)進(jìn)行化簡(jiǎn)。5.化簡(jiǎn)（或計(jì)算）后的最后結(jié)果應(yīng)為最簡(jiǎn)二次根式，并且分母中不含二次根式。6.二次根式進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，根號(hào)外的系數(shù)因式必須為假分?jǐn)?shù)形式。【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)1.二次根式的相關(guān)概念例1：（2023·四川綿陽·中考真題）使式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的整數(shù)x有()A．5個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．2個(gè)變式1．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）要使有意義，則的值可以是（

）A．0 B． C． D．2變式2．（2023·江蘇·?？寄M預(yù)測(cè)）已知x、y為實(shí)數(shù)，且，則的值是．例2：（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．變式1.（2023·廣東·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列各式中，不是二次根式的是（）A． B． C． D．變式2.（2020·山東濟(jì)寧市·中考真題）下列各式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．變式3．（2023·河南駐馬店·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）請(qǐng)寫出一個(gè)大于2且小于3的二次根式：．例3：（2023·重慶·九年級(jí)?？计谥校┤绻詈?jiǎn)二次根式與和是同類二次根式，那么a的值是（）A．4 B．5 C．6 D．8變式1．（2023·湖南衡陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則a的值為．例4：（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）請(qǐng)寫出一個(gè)正整數(shù)m的值使得是整數(shù)；．變式1．（2023上·廣東惠州·九年級(jí)?？计谥校┮阎獮檎麛?shù)，且也為正整數(shù)，則的最小值為．核心考點(diǎn)2.二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)例5：（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算等于（

）A． B．2 C．4 D．變式1．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）若，，則；變式2．（2022·廣西桂林·中考真題）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A．2 B．3 C．2 D．2變式3．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知一組數(shù)，，3，，，，，，…，排列方式如下：，，3，；，，，；…．若3的位置記為，的位置記為，則的位置記為．例6：（2023上·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下面的解題過程，體會(huì)如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題：化簡(jiǎn)：解：隱含條件，解得：，∴，∴原式，【啟發(fā)應(yīng)用】(1)按照上面的解法，試化簡(jiǎn)；【類比遷移】(2)實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：；

(3)已知a，b，c為的三邊長(zhǎng)．化簡(jiǎn)：．變式1．（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為．變式2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的化簡(jiǎn)結(jié)果是（

）A． B．1 C． D．變式3．（2023上·山西晉城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）當(dāng)時(shí)，求的值．如圖

(1)______的解法是錯(cuò)誤的．(2)當(dāng)時(shí)，求的值．例7．（2023·廣東·?？寄M預(yù)測(cè)）若，則_____．變式1．（2023·河南周口·?？寄M預(yù)測(cè)）若屬于真分?jǐn)?shù)，任意寫出一個(gè)符合條件的的值．例8．（2023上·山西長(zhǎng)治·九年級(jí)?？计谥校╅喿x與思考下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．雙層二次根式的化簡(jiǎn)二次根式的化簡(jiǎn)是一個(gè)難點(diǎn)，稍不留心就會(huì)出錯(cuò)，我在上網(wǎng)還發(fā)現(xiàn)了一類帶雙層根號(hào)的式子，就是根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的式子、它們能通過完全平方公式及二次根式的性質(zhì)消掉外面的一層根號(hào)．例如：要化簡(jiǎn)，可以先思考（根據(jù)1）．．通過計(jì)算，我還發(fā)現(xiàn)設(shè)（其中m，n，a，b都為正整數(shù)），則有．∴，__________．這樣，我就找到了一種把部分化簡(jiǎn)的方法．任務(wù)：(1)文中的“根據(jù)1”是__________，__________．(2)根據(jù)上面的思路，化簡(jiǎn)：．(3)已知，其中a，x，y均為正整數(shù)，求a的值．變式1．（2023上·湖北·九年級(jí)?？贾軠y(cè)）．核心考點(diǎn)3.二次根式的的運(yùn)算例9：（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．變式1.（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．變式2.（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）估計(jì)的值應(yīng)在（

）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間例10：（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）計(jì)算：變式1．（2021·湖南常德市·中考真題）計(jì)算：（）A．0 B．1 C．2 D．變式2．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．例11：（2023·河南駐馬店·模擬預(yù)測(cè)）斐波那契（約）是意大利數(shù)學(xué)家，他研究了一列數(shù)，被稱為“斐波那契數(shù)列”．他發(fā)現(xiàn)該數(shù)列中的每個(gè)正整數(shù)都可以用無理數(shù)的形式表示，如第（為正整數(shù)）個(gè)數(shù)可表示為，且連續(xù)三個(gè)數(shù)，，之間存在以下關(guān)系（）．①第個(gè)數(shù)；②第個(gè)數(shù)：；③“斐波那契數(shù)列”中的前個(gè)數(shù)是，，，，，，，；④若把“斐波那契數(shù)列”中的每一項(xiàng)除以所得的余數(shù)按相對(duì)應(yīng)的順序組成一組新數(shù)列，在新數(shù)列中，第項(xiàng)的值是．以上說法正確的有______．（請(qǐng)把你認(rèn)為正確的序號(hào)全都填上去）變式1．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）人們把這個(gè)數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應(yīng)用了黃金比．設(shè)，，記，，…，，則_______．變式2．（2023·四川內(nèi)江·九年級(jí)?？计谥校┒x：我們將與稱為一對(duì)“對(duì)偶式”，因?yàn)?，可以有效的去掉根?hào)，若，則．例12：（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）《數(shù)書九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為．現(xiàn)有周長(zhǎng)為18的三角形的三邊滿足，則用以上給出的公式求得這個(gè)三角形的面積為______．變式1．（2022·山東聊城·中考真題）射擊時(shí)，子彈射出槍口時(shí)的速度可用公式進(jìn)行計(jì)算，其中為子彈的加速度，為槍筒的長(zhǎng)．如果，，那么子彈射出槍口時(shí)的速度（用科學(xué)記數(shù)法表示）為（

）A．B．C．D．例13：（2023·重慶·?？既＃┠硵?shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)二次根式的時(shí)候發(fā)現(xiàn)：有時(shí)候兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，例如，，，．通過查閱相關(guān)資料發(fā)現(xiàn)，這樣的兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．小組成員利用有理化因式，分別得到了一個(gè)結(jié)論：甲：；乙：設(shè)有理數(shù)a，b滿足：，則；丙：；?。阂阎?，則；戊：.以上結(jié)論正確的有（）A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁變式1．（2023·重慶·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：材料一：兩個(gè)含有二次根式而非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如：，，我們稱的一個(gè)有理化因式是，的一個(gè)有理化因式是．材料二：如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿印⒎帜竿朔帜傅挠欣砘蚴?，使分母中不含根號(hào)，這種變形叫做分母有理化．例如：，．請(qǐng)你仿照材料中的方法探索并解決下列問題：(1)的有理化因式為______，的有理化因式為______；（均寫出一個(gè)即可）(2)將下列各式分母有理化（要求；寫出變形過程）：①；②；(3)計(jì)算：的結(jié)果．變式2．（2023·北京西城·九年級(jí)?？计谥校╅喿x下述材料：我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用．其實(shí)，有一個(gè)類似的方法叫做“分子有理化”，與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式，比如：，分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較和的大?。梢韵葘⑺鼈兎肿佑欣砘缦拢?，，因?yàn)?，所以．再例如：求的最大值．做法如下：解：由可知，而，?dāng)時(shí)，分母有最小值2，所以y的最大值是2．解決下述問題：(1)比較和的大小；(2)求的最大值和最小值．例14：（2023上·福建泉州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，為兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，，即：，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，等號(hào)成立．我們把叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，把叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)，于是上述不等式可表述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)．它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最值問題的有力工具．示例：當(dāng)時(shí)，求的最小值；解：，當(dāng)，即時(shí)，的最小值為3．(1)探究：當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)知識(shí)遷移：隨著人們生活水平的提高，汽車已成為越來越多家庭的交通工具，假設(shè)某種汽車的購(gòu)車費(fèi)用為10萬元，每年應(yīng)繳保險(xiǎn)費(fèi)等各類費(fèi)用共計(jì)0.4萬元，年的保養(yǎng)，維修費(fèi)用總和為萬元，問這種汽車使用