云南省普洱市寧洱哈尼族彝族自治縣普洱中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2025屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷（考試時間120分鐘，滿分150分）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校、姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的學(xué)校、準考證號、姓名、考場號、座位號，在規(guī)定的位置貼好條形碼及填涂準考證號。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.若，則（）A. B. C. D.3.已知向量，，則（）A.2 B.3 C. D.4.已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則的值為（）A. B. C.4 D.165.已知，，則（）A. B. C. D.16.已知一個圓柱的軸截面是正方形，一個圓錐與該圓柱的底面半徑及側(cè)面積均相等，則圓柱與圓錐的體積之比為（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的范圍是（）A. B. C. D.8.設(shè)函數(shù)，若，且，，的最小值為（）A.9 B. C.5 D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則（）A. B.C. D.10.下列說法正確的是（）A.已知隨機變量X服從二項分布，則B.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則C.已知一組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，則它的第70百分位數(shù)為7D.若事件A，B滿足，，，則事件A，B相互獨立11.已知數(shù)列，下列結(jié)論正確的有（）A.若，，則B.若，，則C.若，則數(shù)列是等比數(shù)列D.若為等差數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為等差數(shù)列三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)是等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的前10項和______.13.曲線在處的切線方程為______.14.雙曲線的左、右焦點分別是，，過且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若為正三角形，則雙曲線的離心率為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知為等差數(shù)列的前n項和，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前10項和.16.（15分）隨著AI技術(shù)的不斷發(fā)展，人工智能科技在越來越多的領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用.某校在寒假里給學(xué)生推薦了一套智能輔導(dǎo)系統(tǒng)，學(xué)生可自愿選擇是否使用該系統(tǒng)完成假期的作業(yè).開學(xué)時進行了入學(xué)測試，隨機抽取了100名學(xué)生統(tǒng)計得到如下列聯(lián)表：使用智能輔導(dǎo)系統(tǒng)未使用智能輔導(dǎo)系統(tǒng)合計入學(xué)測試成績優(yōu)秀202040入學(xué)測試成績不優(yōu)秀402060合計6040100（1）判斷是否有95%的把握認為入學(xué)測試成績優(yōu)秀與使用智能輔導(dǎo)系統(tǒng)相關(guān)；（2）若把這100名學(xué)生按照入學(xué)測試成績是否優(yōu)秀進行分層隨機抽樣，從中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，記抽取的2人中入學(xué)測試成績優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.63517.（15分）如圖所示，在直四棱柱中，底面是平行四邊形，點M，N分別在棱，上，且，.（1）求證：平面；（2）若，，，求二面角的大小.18.（17分）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點O，點在雙曲線上，且其兩條漸近線相互垂直.（1）求雙曲線的標(biāo)準方程；（2）若過點的直線l與雙曲線交于E，F(xiàn)兩點，的面積為，求直線l的方程.19.（17分）已知函數(shù)的圖象過點，且.（1）求a，b的值；（2）求函數(shù)的極值.2025屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)答案1.D【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得集合M，再求交集即得.【詳解】由可得，因在R上為增函數(shù)，故，則，故.故選：D2.A【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.3.A【分析】先利用向量線性運算的坐標(biāo)表示求得，再求其模.【詳解】根據(jù)題意，，所以.故選：A4.D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)運算即可.【詳解】因為是等比數(shù)列，所以，所以.故選：D.5.C【分析】運用兩角和差的正弦公式，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式中商關(guān)系進行求解即可.【詳解】由，由，可得，所以.故選：C6.B【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，圓錐的母線長為l，依題意得到求得，繼而求出圓錐的高，最后求即得.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為r，因為圓柱軸截面是正方形，所以圓柱的高為2r，依題意圓錐的底面半徑為r，設(shè)圓錐的母線長為l，因為圓錐與該圓柱的側(cè)面積相等，所以，解得，則圓錐的高為，圓柱的體積，圓錐的體積，所以.故選：B7.D【分析】根據(jù)在上單調(diào)遞增，有恒成立，參變分離求在區(qū)間上最大值，進而求出a的范圍.【詳解】解：因為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，并且在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即，則，即恒成立，，因為在上最大值為1，所以.故選：D8.B【分析】根據(jù)條件得到，將變形為，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，即，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故選：B9.AB【分析】由正態(tài)曲線的對稱性和題設(shè)條件易得，可知A，B正確，C錯誤；對于D，只需判斷，結(jié)合正態(tài)曲線的特征即可排除D.【詳解】對于A，由知是1和3的中間值，故，故A正確；對于B，C，在正態(tài)分布中，，故B正確，C錯誤；對于D，當(dāng)時，，由正態(tài)曲線的特征可得，，所以D錯誤.故選：AB.10.AD【分析】根據(jù)根據(jù)二項分布知識可判斷A，根據(jù)正態(tài)分布知識可判斷B，根據(jù)百分位數(shù)可判斷C，根據(jù)條件概率知識可判斷D.【詳解】因為隨機變量X服從二項分布，則，故A正確；因為隨機變量X服從正態(tài)分布，則對稱軸為，，故B錯誤；這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，故C錯誤；因為，所以，所以事件A，B相互獨立.故選：AD.11.ABD【分析】A.利用累加法求和，即可判斷；B.利用構(gòu)造法，構(gòu)造為等比數(shù)列，求通項公式，即可判斷；C.利用公式，即可求解通項公式，判斷選項：D.根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可判斷選項.【詳解】對于選項A，由，得，則，故A項正確；對于選項B，由，得，所以為等比數(shù)列，首項為，公比為2，所以，所以，故B項正確；對于選項C，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，將代入，得，所以，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故C項錯誤.對于選項D，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列前n項和公式可得，所以與n無關(guān)，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故D項正確.故選：ABD.12.100【分析】依題意可得，即可求出公差d，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算可得.【詳解】因為，所以，所以的公差，又，所以.故答案為：10013.【分析】首先求出切點坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，最后利用點斜式求出切線方程；【詳解】解：當(dāng)時，，即切點坐標(biāo)為∴則曲線在處的切線方程為，即故答案為：【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.【分析】由條件確定a，b，c的關(guān)系，化簡求離心率.【詳解】∵為正三角形，∴，又，∴∴，∴∴，（舍去）故答案為：.15.（1）（2）【分析】（1）由題意列出方程組求出首項、公差即可；（2）化簡表達式，由裂項相消法即可求解.（6分）【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d.因為，且，所以，解得，所以.（7分）（2）由（1）得，所以，所以，所以.16.（1）沒有（2）分布列見解析，【分析】（1）計算卡方后與3.841比較大小即可得；（2）借分層抽樣的性質(zhì)可得5人中成績優(yōu)秀的人數(shù)，再得出X的取值可能后計算相應(yīng)的概率即可得其分布列，即可得其期望.（6分）【詳解】（1）∵，∴沒有95%的把握認為入學(xué)測試成績優(yōu)秀與使用智能輔導(dǎo)系統(tǒng)相關(guān)；（9分）（2），∴5人中2人成績優(yōu)秀，3人成績不優(yōu)秀，X的取值可能為0、1、2，∴，，，∴分布列為：X012P∴.17.（1）見解析（2）【分析】（1）連接，交于E，取的中點F，連接，，由題意可得、，由線面平行的判定即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點坐標(biāo)后，求出平面的一個法向量為、平面的一個法向量為，利用即可得解.（6分）【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，交于E，取的中點F，連接，，由，，故，且，故四邊形為平行四邊形，所以，由底面是平行四邊形可得E為AC中點，所以，所以由平面，平面，所以平面；（9分）（2）因為，，所以，由，得，以D為原點，以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，令，得，設(shè)平面的一個法向量為，由得，由，所以二面角的大小為.【點睛】本題考查了線面平行的判定及利用空間向量求二面角，考查了空間思維能力和計算能力，屬于中檔題.18.（1）（2）或.【分析】（1）設(shè)所求雙曲線方程為，，把點代入，即可得出答案.（2）根據(jù)題意設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，分別用點到直線的距離公式，弦長公式，三角形面積公式，建立方程，即可得出答案.（5分）【詳解】（1）因為雙曲線C的兩條漸近線互相垂直，所以雙曲線C為等軸雙曲線，所以設(shè)所求雙曲線方程為，，又雙曲線C經(jīng)過點，所以，即，所以雙曲線的方程為，即.（12分）（2）根據(jù)題意可知直線l的斜率存在，又直線l過