專題8 極值點偏移問題（解析版）

專題8極值點偏移問題一、考情分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點與難點,近幾年高考試卷及各地模擬試卷中常出現(xiàn)與函數(shù)極值點偏移有關(guān)的函數(shù)與不等式問題（如2022高考全國卷甲理22）,已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù),在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點,且,若極值點左右的“增減速度”相同,常常有極值點,我們稱這種狀態(tài)為極值點不偏移；若極值點左右的“增減速度”不同,函數(shù)的圖象不具有對稱性,常常有極值點的情況,我們稱這種狀態(tài)為“極值點偏移”.此類問題背景新穎,教材中又沒有涉及,不少同學(xué)望而生畏,本專題給出此類問題的常用解法,共同學(xué)們參考.二、解題秘籍(一)通過對稱化構(gòu)造新函數(shù)破解極值點偏易問題【以例及類】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱,證明：當(dāng)時,；(3)如果,且,證明：．【分析】(1)由可得在上遞增,在上遞減；(2),構(gòu)造函數(shù),,由單調(diào)性可得時；(3)假設(shè),由(2)得,即,由在上遞增,可得.該題的三問由易到難,層層遞進,完整展現(xiàn)了處理極值點偏移問題的一般方法——對稱化構(gòu)造的全過程,直觀展示如下：該題是這樣一個極值點偏移問題：對于函數(shù),已知,,證明．再次審視解題過程,發(fā)現(xiàn)以下三個關(guān)鍵點：=1\*GB3①,的范圍；=2\*GB3②不等式；=3\*GB3③將代入（2）中不等式,結(jié)合的單調(diào)性獲證結(jié)論．小結(jié)：用對稱化構(gòu)造的方法求解極值點偏移問題大致分為以下三步：=1\*GB3①求導(dǎo),獲得的單調(diào)性,極值情況,作出的圖像,由得,的取值范圍（數(shù)形結(jié)合）；=2\*GB3②構(gòu)造輔助函數(shù)（對結(jié)論,構(gòu)造；對結(jié)論,構(gòu)造）,求導(dǎo),限定范圍（或的范圍）,判定符號,獲得不等式；=3\*GB3③代入（或）,利用及的單調(diào)性證明最終結(jié)論．下面給出第(3)問的不同解法【解析】法一：,易得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,時,,,時,,函數(shù)在處取得極大值,且,如圖所示.由,不妨設(shè),則必有,構(gòu)造函數(shù),則,所以在上單調(diào)遞增,,也即對恒成立.由,則,所以,即,又因為,且在上單調(diào)遞減,所以,即證法二：欲證,即證,由法一知,故,又因為在上單調(diào)遞減,故只需證,又因為,故也即證,構(gòu)造函數(shù),則等價于證明對恒成立.由,則在上單調(diào)遞增,所以,即已證明對恒成立,故原不等式亦成立.法三：由,得,化簡得…,不妨設(shè),由法一知,.令,則,代入式,得,反解出,則,故要證：,即證：,又因為,等價于證明：…,構(gòu)造函數(shù),則,故在上單調(diào)遞增,,從而也在上單調(diào)遞增,,即證式成立,也即原不等式成立.法四：由法三中式,兩邊同時取以為底的對數(shù),得,也即,從而,令,則欲證：,等價于證明：…,構(gòu)造,則,又令,則,由于對恒成立,故,在上單調(diào)遞增,所以,從而,故在上單調(diào)遞增,由洛比塔法則知：,即證,即證式成立,也即原不等式成立.【例1】（2023屆貴州省威寧彝族回族苗族自治縣高三數(shù)學(xué)樣卷）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，，求的取值范圍.(2)若函數(shù)有兩個極值點，證明：.【解析】（1）當(dāng)時，在恒成立，令，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，的取值范圍是．（2）函數(shù)，．則，函數(shù)有兩個極值點，，有兩個正實數(shù)解方程有兩個正實數(shù)解函數(shù)與函數(shù)，的圖象有兩個交點．，令，解得，當(dāng)時，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，則單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值即最大值為．又時，且當(dāng)時，，又，．不妨設(shè)，要證明，．令，，．所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，函數(shù)在單調(diào)遞增，，，即，因此成立．(二)含參函數(shù)問題可考慮先消去參數(shù)含參數(shù)的極值點偏移問題,在原有的兩個變元的基礎(chǔ)上,又多了一個參數(shù),故思路很自然的就會想到：想盡一切辦法消去參數(shù),從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介,構(gòu)造出一個變元的新的函數(shù).由于可導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點,也是方程的實根,所以有些與零點或方程實根有關(guān)的問題可以利用求解極值點偏移問題的方法去解決.【一題多解】已知函數(shù),為常數(shù),若函數(shù)有兩個零點,試證明：【分析】法一：消參轉(zhuǎn)化成無參數(shù)問題：,是方程的兩根,也是方程的兩根,則是,設(shè),,則,從而,此問題等價轉(zhuǎn)化成為【例1】,下略.法二：利用參數(shù)作為媒介,換元后構(gòu)造新函數(shù)：不妨設(shè),∵,∴,∴,欲證明,即證.∵,∴即證,∴原命題等價于證明,即證：,令,構(gòu)造,利用單調(diào)性求解,下略.法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：設(shè),則,反解出：,故,轉(zhuǎn)化成法二,略.【例2】（2024屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期聯(lián)考）函數(shù)有兩個極值點．其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）由于，由題知有兩個不同實數(shù)根，即有兩個不同實數(shù)根．令，則，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時，，時，，，故的圖象如圖所示，

當(dāng)時，有兩個零點且．則或，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極大值點為，極小值點為．故有兩個極值點時，實數(shù)的取值范圍為．（2）由于若設(shè)，則上式即為由（1）可得，兩式相除得，即，由得所以，令，則在恒成立，由于，令，則，，顯然在遞增，又有，所以存在使得，且易得在遞減，遞增，又有，所以存在使得，且易得在遞減，遞增，又，則時，時，，所以易得在上遞減，在上遞增，則，所以的取值范圍為．(三)對數(shù)平均不等式兩個正數(shù)和的對數(shù)平均定義：對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.【例3】設(shè)函數(shù)其圖象與軸交于兩點,且.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）；【分析】（1）,,當(dāng)時,在R上恒成立,不合題意當(dāng)時,當(dāng),即時,至多有一個零點,不合題意,故舍去；當(dāng),即時,由,且在內(nèi)單調(diào)遞減,故在有且只有一個零點；由令,則,故所以,即在有且只有一個零點.（2）由（1）知,在內(nèi)遞減,在內(nèi)遞增,且所以,因為,,即,所以所以,要證：,只須證,即故,,所以,所以因為,所以,而所以成立,所以【評注】根據(jù)對數(shù)平均不等式求解的步驟是：1.通過等式兩邊同取自然對數(shù)或相減等配湊出,2.通過等式兩邊同除以構(gòu)建對數(shù)平均數(shù),3.利用對數(shù)平均不等式將轉(zhuǎn)化為后再證明（或）.兩種方法各有優(yōu)劣,適用的題型也略有差異.(四)一題多解賞析【例4】已知,．若有兩個極值點,,且,求證：【分析】解法一欲證,需證．若有兩個極值點,,即函數(shù)有兩個零點．又,所以,,是方程的兩個不同實根．于是,有,解得．另一方面,由,得,從而可得,．于是,．又,設(shè),則．因此,,．要證,即證：,．即：當(dāng)時,有．構(gòu)造函數(shù),,利用為上的增函數(shù)求解.解法二欲證,需證．若有兩個極值點,,即函數(shù)有兩個零點．又,所以,,是方程的兩個不同實根．顯然,否則,函數(shù)為單調(diào)函數(shù),不符合題意．由,問題轉(zhuǎn)化為證明,構(gòu)造函數(shù)函數(shù),根據(jù)在上遞增,可得=0,所以,設(shè),由在上遞增可證.解法三由,是方程的兩個不同實根得,令,,由于,因此,在,．設(shè),需證明,只需證明,只需證明,即,即．來源：微信公眾號中學(xué)數(shù)學(xué)研討部落即,,故在,故,即．令,則,因為,,在,所以,即．解法四設(shè),,則由得,設(shè),則,．欲證,需證,把代入整理得,構(gòu)造證明.設(shè),,則由得,設(shè),則,．欲證,需證,即只需證明,即,設(shè),,故在,因此,命題得證．(五)2022屆高考全國卷甲理22題解析極值點偏移問題前幾年高考曾經(jīng)考查過，2022年高考全國卷甲理再次考查極值點偏移問題，該題有一定難度，但用前面介紹的方法可以輕易解決，下面給出兩種解法，共同學(xué)們參考：【例5】已知函數(shù)．（1）若,求a的取值范圍；（2）證明：若有兩個零點,則．【解析】解法一：（1）因為,令,得當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增,所以,若,則,即,所以的取值范圍為.（2）由（1）知,單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增,若有兩個零點,則一個零點小于1,一個零點大于1,不妨設(shè)要證,即證,因為,即證,因為,即證即證,即證,下面證明時,,設(shè),則,設(shè),所以,而,所以,所以,所以在單調(diào)遞增即,所以令,所以在單調(diào)遞減,即,所以；綜上,,所以.解法二：（1）因為,設(shè),則,所以時,遞減,時,遞增,,設(shè),則為增函數(shù),,若,則,即,所以的取值范圍為.（2）由（1）知有兩個零點,則方程有兩個實根,因為時遞減,時遞增,不妨設(shè),由得,所以要證,即證,即證,即證,設(shè),即證,設(shè),則,所以為增函數(shù),,所以成立.三、典例展示【例1】（2024屆四川省廣安友誼中學(xué)高三上學(xué)期9月月考）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若不等式有解，求實數(shù)t的取值范圍；(3)若函數(shù)有兩個零點x1，x2，證明：．【解析】（1），單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；（2）有解，所以，，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；所以，所以.（3）有兩個零點x1，x2，有兩個根x1，x2，不妨設(shè)，由（1）可知兩根也是與的兩個交點，且，，于是，由于在單調(diào)遞減，故等價于．而，故等價于．①設(shè)，則①式為．因為．設(shè)，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增，所以，從而，因此在單調(diào)遞增．又，故，故，于是．【例2】（2024屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期7月適應(yīng)性考試）已知函數(shù)有兩個零點.(1)證明：；(2)求證：①；②.【解析】（1）由，當(dāng)時，時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，當(dāng)時，，所以，若，即時，則時，此時在上不存在零點，要使有兩個零點，故.（2）①要證，不妨設(shè)，則證，因為在上單調(diào)遞增，即證，令，，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，得證；②引理1：當(dāng)時：證明：當(dāng)時，得證.利用引理1：，所以①，引理2：：證明：令，則，當(dāng)時，時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，利用引理2，因為，所以，所以，所以②，由①，②知：.【例3】（2023屆江蘇省常州市高三上學(xué)期期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在兩個零點，，求a的取值范圍，并證明：.【解析】（1）因為函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，在上遞增；當(dāng)時，由得，，時，，遞增；時，，遞減.綜上，當(dāng)時，在上遞增；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減.（2）由（1）知，且，解得，當(dāng)時，，所以在上存在唯一零點，記為；因為，所以，因為，設(shè)，，則，所以在上遞減，所以，即，所以在上存在唯一零點，記為，因為a的取值范圍是.

因為，令，則，得，所以，要證，只要證，只要證，設(shè)，，則，所以在上遞增，所以，得證．【例4】（2023屆江西省九江第一中學(xué)高三上學(xué)期12月月考）已知函數(shù)有兩個極值點，.(1)求的取值范圍；(2)證明：.【解析】（1）,有兩個極值點，，則在上有兩個實數(shù)根，，所以在上有兩個實數(shù)根，，則解得，故的取值范圍為，（2）由（1）知，且，，令，，令在上恒成立，所以在單調(diào)遞減，故，因此在單調(diào)遞減，故，故，得證.【例5】（2023屆廣東省高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知函數(shù)，．(1)若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有兩個零點，證明：．【解析】(1)若，則，所以，由，得；由，得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)因為函數(shù)，所以，所以．若函數(shù)有兩個零點，則方程的判別式，，所以．又，所以，即，，欲證，只需證，即證．設(shè)，其中，由，得．因為，所以，由得；由得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，從而成立．四、跟蹤檢測1.（2023屆河北省部分高中高三三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有兩個零點．（ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：．【解析】（1）因為，令，則，所以（），故（）.當(dāng)時，，，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，故在上恒成立.所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞減.（2）（?。┯袃蓚€零點等價于有兩個不同的根.而（），所以有兩個不同的根，等價于有兩個不同的根，等價于與有兩個不同的交點.因為，

（），當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，而當(dāng)趨向正無窮時，趨向0，趨向0時，趨向負無窮，為使與有兩個不同的交點，所以.（ⅱ）有兩個零點，則，.即，.所以，即，得，所以.因為，所以.2．（2023屆云南師大附中高考適應(yīng)性月考）已知函數(shù)，且，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)有三個零點，，，且，試比較與2的大小，并說明理由．【解析】（1）由，得，又，所以，則，所以，．當(dāng)時，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，得；令，得或；所以在與上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2），理由如下：因為，由，得，解得或．因為，所以，，是的正根，則，又，所以，，兩式相減得．令，，則，得，則．令，則，所以，，可得，．設(shè)，則，再設(shè)，則，所以在上為增函數(shù)，則，即，則在上為增函數(shù)，從而，所以，即，所以，即．3．（2024屆四川省綿陽市高中高三突擊班診斷性考試）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.(1)求的取值范圍；(2)記兩個極值點為，且.若，證明：.【解析】（1）由題意知，函數(shù)的定義域為，，方程在有兩個不同根，即方程在有兩個不同根，即方程在有兩個不同根，令，，則，則當(dāng)時，，時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的取值范圍為；（2）要證，兩邊取對數(shù)，等價于要證，由（1）可知，分別是方程的兩個根，即，所以原式等價于，因為，，所以原式等價于要證明.又由，作差得，，即.所以原式等價于，令，，則不等式在上恒成立.令，，又，當(dāng)時，可見時，，所以在上單調(diào)增，又，，所以在恒成立，所以原不等式恒成立.4．（2023屆海南省?？谑泻Ｄ先A僑中學(xué)高三模擬測試）已知函數(shù)（）有兩個零點.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為，，證明：.【解析】（1）當(dāng)時，恒成立，所以在上沒有零點.所以若，則.設(shè)（），則.當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以，時，在處取得唯一極小值，也是最小值.設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，所以最多有一個零點，即最多有一個零點，不滿足題意；當(dāng)時，因為，所以，，所以.又，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在定理可知，，有；，有.且當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，恒成立.所以，有兩個零點，即存在兩個零點.綜上，.（2）由（1）知，，且，得，即.設(shè)，得，即，則.設(shè)，則，設(shè)，.當(dāng)時，有，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，有，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，即在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，所以時，有，即，即，即，即.5．（2023屆湖南省常德市第一中學(xué)高三下學(xué)期5月月考）已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若存在實數(shù)，使得方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：【解析】（1）因為，所以，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，所以在上遞增，所以的增區(qū)間為，無減區(qū)間，（2）證明：由題意得，則，因為，所以，所以，因為，所以不妨設(shè)，令，則證，即證，即，由（1）知在上遞增，所以當(dāng)時，，即時，，得證.6．（2023屆北京市通州區(qū)高三考前查漏補缺）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，求實數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個零點，，求實數(shù)a的取值范圍并證明.【解析】（1）因為，所以.所以，又f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，所以，解得..（2）f（x）的定義域為（0，+∞），因為f（x）在定義域上為增函數(shù)，所以在（0，+∞）上恒成立.即恒成立.，即，令，所以，時，時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）定義域為當(dāng)時，，所以在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意.當(dāng)時，在（0，）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，函數(shù)存在兩個零點的必要條件是，即，又，所以在（1，）上存在一個零點（）.當(dāng)時，，所以在（，+∞）上存在一個零點，綜上函數(shù)有兩個零點，實數(shù)a的取值范圍是.不妨設(shè)兩個零點由，所以，所以，所以，要證，只需證，只需證，由，只需證，只需證，只需證，令，只需證，令，，∴H（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴，即成立，所以成立.7．（2023屆安徽省皖江名校高三最后一卷）已知函數(shù)有兩個極值點，且.(1)求的取值范圍；(2)若，證明：【解析】（1）在上有兩個變號零點，即有兩個不等實根，設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而，且當(dāng)，恒有成立，于是，且，即有，又，則，令，求導(dǎo)得，即在上單調(diào)遞減，從而，所以.（2）由（1）知，方程的兩個實根，即，亦即，從而，設(shè)，又，即，要證，即證，即證，即證，即證，即證，即證，即證，令，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，有，于是，即有在上單調(diào)遞增，因此，即，所以成立.8．（2024屆山東省新高考質(zhì)量檢測聯(lián)盟高三第一次質(zhì)量檢測）已知函數(shù)有三個零點.(1)求的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的三個零點由小到大依次是.證明：.【解析】（1）因為定義域為，又，（ⅰ）當(dāng)單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)，記，則，當(dāng)；當(dāng)，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又，所以，①當(dāng)，則單調(diào)遞減，至多一個零點，與題設(shè)矛盾；②當(dāng)，由（ⅱ）知，有兩個零點，記兩零點為，且，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，令，則，所以，所以，且趨近0，趨近于正無窮大，趨近正無窮大，趨近負無窮大，所以函數(shù)有三零點，綜上所述，；（2）等價于，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由（1）可得，則，所以，所以，則滿足，，要證，等價于證，易知，令，則，令得，令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，下面證明，由，即證，即證，即證，即證，令，，令，則，所以，所以，則，所以，所以，所以，所以，所以原命題得證.9．（2023屆海南省?？谑械?地高三上學(xué)期12月期末）已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個不同的零點，，證明：．【解析】（1）定義域為，且，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）因為，是函數(shù)的兩個不同的零點，所以，，，顯然，，因為，，所以，，即，，所以．不妨令，設(shè)，則，，所以，．又，所以要證，只需證，即．因為，所以只要證，即，即．令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以．10．（2023屆江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三三模）已知