8.2 二項(xiàng)式定理（精練）（教師版）

8.2二項(xiàng)式定理（精練）1．（2023秋·北京）在的展開式中，的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．4【答案】B【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為，.由已知得，得.故選：B2．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）的展開式中的系數(shù)為（

）．A． B． C．40 D．80【答案】D【解析】的展開式的通項(xiàng)為令得所以的展開式中的系數(shù)為故選：D3．（2023春·北京）若，則的值為（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】B【解析】取，得；再取，得，所以.故選：B.4．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知的展開式中的系數(shù)為，則正整數(shù)（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)榈恼归_式中的系數(shù)為的展開式中的系數(shù)，所以有，顯然為正奇數(shù)，且為不小于的正整數(shù)，，故選：D5．（2023·山西太原·太原五中校考一模）被1000除的余數(shù)是（

）A． B． C．1 D．901【答案】C【解析】，所以展開式中從第二項(xiàng)開始都是1000的倍數(shù)，因此被1000除的余數(shù)是1.故選：C6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）的計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位的近似值為A．106 B．107 C．108 D．109【答案】B【解析】∵，∴.故選B7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的最大值為（

）．A．112 B．448 C．896 D．1792【答案】D【解析】該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，由，可得．因?yàn)?，所以展開式中各項(xiàng)系數(shù)的最大值為．故選：D8．（2023春·上海嘉定·高三上海市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知二項(xiàng)式，的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，其中，由（其中），即，，，依題意可知使上式成立，即，所以.故選：A9．（2023·陜西安康·統(tǒng)考三模）在的展開式中，下列說法正確的是（

）A．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為1 B．第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C．所有項(xiàng)的系數(shù)和為128 D．第4項(xiàng)的系數(shù)最大【答案】B【解析】對(duì)選項(xiàng)A：展開式所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：展開式共有8項(xiàng)，故第4項(xiàng)和第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，正確；對(duì)選項(xiàng)C：令得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：，，系數(shù)小于0，，系數(shù)大于0，D錯(cuò)誤.故選：B10．（2023春·廣東東莞·）（多選）在的展開式中，下列說法正確的有（

）A．展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128 B．展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為C．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為 D．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)為第四項(xiàng)【答案】AC【解析】選項(xiàng)A：展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，故A正確；選項(xiàng)B：令，則展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：展開式的通項(xiàng)為，則展開式中含的系數(shù)為，故C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)閚＝8，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)為第5項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.故選：AC．11．（2023·安徽六安）（多選）在的展開式中，下列結(jié)論正確的是（

）A．第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等 B．奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256C．常數(shù)項(xiàng)為84 D．有理項(xiàng)有2項(xiàng)【答案】BC【解析】的展開式中共有10項(xiàng)，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得展開式中的第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，故A錯(cuò)誤；由已知可得二項(xiàng)式系數(shù)之和為，且展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，所以奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故B正確；展開式的通項(xiàng)為，令，解得．故常數(shù)項(xiàng)為，故C正確；有理項(xiàng)中x的指數(shù)為整數(shù)，故，2，4，6，8，故有理項(xiàng)有5項(xiàng)，故D錯(cuò)誤．故選：BC12．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）已知二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和為64，則（

）A．B．展開式中的系數(shù)為C．展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為32D．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為【答案】ACD【解析】令，則，可得，A對(duì)；，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)；由原二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為32，C對(duì)；由上知：二項(xiàng)式系數(shù)最大為，即，則，D對(duì).故選：ACD13．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）（多選）已知，則（

）A．展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為 B．展開式中二項(xiàng)系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)C． D．【答案】AC【解析】選項(xiàng)A，令，則展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為，A選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)與第1013項(xiàng)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，令，則，令，則，所以，C選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，已知關(guān)系式兩邊同時(shí)取導(dǎo)，則，令，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.14．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)校考模擬預(yù)測）（多選）若，則（

）A．可以被整除B．可以被整除C．被27除的余數(shù)為6D．的個(gè)位數(shù)為6【答案】AB【解析】，可以被整除，故A正確；，可以被整除，故B正確；被27除的余數(shù)為5，故C錯(cuò)誤；，個(gè)位數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：AB15．（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）對(duì)于的展開式，下列說法正確的是（

）A．展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為256B．展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和為C．展開式中的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128D．展開式中的常數(shù)項(xiàng)是1120【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：令，可得，所以展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎归_式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和與的系數(shù)和相等，令，可得，所以展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：展開式中的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榈恼归_式為，令，解得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)是，故D正確；故選：BCD.16．（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）（多選）已知，則（

）A．的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)B．的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是C．的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128D．的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為1【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，不滿足，故的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，故正確；對(duì)于選項(xiàng)：由于的最大值為，故展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)：令，可得展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為，故錯(cuò)誤.故選：.17．（2023春·安徽滁州（多選））若，則（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】①，令，則，故A正確，易知，故B錯(cuò)誤；令，則，故C正確；對(duì)①兩邊求導(dǎo)可得：②令，得，則，兩式相減得，所以，故D錯(cuò)誤．故選：AC．18．（2023春·福建廈門）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】取，可得，故A正確；取，得，則，故C正確；取，得，故D錯(cuò)誤；令，得，知，故B錯(cuò)誤.故選：AC.19．（2023春·山西大同）（多選）若，則下列說法正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】AC【解析】依題意，，令，得，A選項(xiàng)正確.令，得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.則，C選項(xiàng)正確.，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC20．（2023春·河北石家莊）若n是正整數(shù)，則除以9的余數(shù)是.【答案】0或7【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可知，，又所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，除以9的余數(shù)為0；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，除以9的余數(shù)為7.故答案為：0或721．（2022秋·福建泉州·高三?？计谥校┑恼归_式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【解析】，令，得，故，由題意知，即，解得.故答案為：.22．（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測）的展開式中的系數(shù)為．【答案】5【解析】二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此展開式中含的項(xiàng)為，所以所求系數(shù)為5.故答案為：523．（2023·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模）在的展開式中，的系數(shù)是.【答案】【解析】，又的展開式的通項(xiàng)公式為，所以的展開式含項(xiàng)的系數(shù)為，含項(xiàng)的系數(shù)為，所以在的展開式中，的系數(shù)是，故答案為：.24．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知常數(shù)，的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)是780，則m的值為．【答案】3【解析】=，設(shè)其通項(xiàng)為，設(shè)的通項(xiàng)為，要求項(xiàng)的系數(shù)，只有為偶數(shù)，當(dāng)，此時(shí)項(xiàng)的系數(shù)為，當(dāng)，此時(shí)項(xiàng)的系數(shù)為，當(dāng)，此時(shí)項(xiàng)的系數(shù)為，當(dāng)，不合題意，故項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：325．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）的展開式中，的系數(shù)為．【答案】30【解析】表示5個(gè)因式的乘積，在這5個(gè)因式中，有2個(gè)因式選，其余的3個(gè)因式中有一個(gè)選，剩下的兩個(gè)因式選，即可得到含的項(xiàng)，即可算出答案．表示5個(gè)因式的乘積，在這5個(gè)因式中，有2個(gè)因式選，其余的3個(gè)因式中有一個(gè)選，剩下的兩個(gè)因式選，即可得到含的項(xiàng)，故含的項(xiàng)系數(shù)是.故答案為：3026．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.【答案】29【解析】表示7個(gè)因式的乘積，在這7個(gè)因式中，有0個(gè)因式選x，有0個(gè)因式都選，7個(gè)因式都選1，相乘可得常數(shù)項(xiàng)；有1個(gè)因式選x，有1個(gè)因式都選，其余的5個(gè)因式都選1，相乘可得常數(shù)項(xiàng)；有2個(gè)因式選x，有2個(gè)因式都選，其余的3個(gè)因式都選1，相乘可得常數(shù)項(xiàng)；有3個(gè)因式選x，有3個(gè)因式都選，其余的1個(gè)因式都選1，相乘可得常數(shù)項(xiàng)，由多項(xiàng)式定理，得的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：故所求常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：29.27．（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？家荒＃┰诘恼归_式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為.【答案】【解析】因?yàn)榈耐?xiàng)為，的通項(xiàng)為，∵展開式系數(shù)最大的項(xiàng)為，展開式系數(shù)最大的項(xiàng)為，∴在的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為：.1．（2023·湖北·模擬預(yù)測）展開式中無理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】由，則其通項(xiàng)為，其中，，若不是整數(shù)時(shí)，即得到展開式中的無理項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，的值為；當(dāng)，時(shí)，的值為；當(dāng)，或時(shí)，的值為或；當(dāng)，或時(shí)，的值為或；當(dāng)，或或時(shí)，的值為或或；當(dāng)，或或時(shí)，的值為或或，綜上，展開式中無理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為8．故選：C．2．（2024·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測）已知，則下列描述正確的是

（

）A． B．除以5所得的余數(shù)是1C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A：令得：；令，得．，因此A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，因此B正確對(duì)于C：因?yàn)槎?xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，由通項(xiàng)公式知，二項(xiàng)展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，所以，由，令，得到，令，得到，所以，因此C錯(cuò)誤對(duì)于D：對(duì)原表達(dá)式的兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得到，令，得到，令，得所以，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：B3．（2023·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學(xué)?？寄M預(yù)測）若，則被8整除的余數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】在已知等式中，取得，取得，兩式相減得，即，因?yàn)橐驗(yàn)槟鼙?整除，所以被8整除的余數(shù)為5，即被8整除