8.1 計(jì)數(shù)原理及排列組合（精練）（教師版）

8.1計(jì)數(shù)原理及排列組合（精練）1．（2023·云南曲靖）如圖所示某城區(qū)的一個(gè)街心花園，共有五個(gè)區(qū)域，中心區(qū)域E已被設(shè)計(jì)為代表城市特點(diǎn)的一個(gè)標(biāo)志性塑像，要求在周圍ABCD四個(gè)區(qū)域中種植鮮花，現(xiàn)有四個(gè)品種的鮮花可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只種一個(gè)品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數(shù)為（

）A．12 B．24 C．48 D．84【答案】D【解析】由題意可知：四個(gè)區(qū)域最少種植兩種鮮花，最多種植四種，所以分一下三類：當(dāng)種植的鮮花為兩種時(shí)：和相同，和相同，共有種種植方法；當(dāng)種植鮮花為三種時(shí)：和相同或和相同，此時(shí)共有種種植方法；當(dāng)種植鮮花為四種時(shí)：四個(gè)區(qū)域各種一種，此時(shí)共有種種植方法，綜上：則不同的種植方法的種數(shù)為種，故選：.2．（2023秋·江西南昌·）某植物園要在如圖所示的5個(gè)區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹，則共有（

）種不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．480【答案】C【解析】分兩類情況：第一類：2與4種同一種果樹，第一步種1區(qū)域，有5種方法；第二步種2與4區(qū)域，有4種方法；第三步種3區(qū)域，有3種方法；最后一步種5區(qū)域，有3種方法，由分步計(jì)數(shù)原理共有種方法；第二類：2與4種不同果樹，第一步在1234四個(gè)區(qū)域，從5種不同的果樹中選出4種果樹種上，是排列問題，共有種方法；第二步種5號(hào)區(qū)域，有2種方法，由分步計(jì)數(shù)原理共有種方法.再由分類計(jì)數(shù)原理，共有種不同的方法.故選：C.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色涂在如圖所示的六個(gè)區(qū)域，且相鄰兩個(gè)區(qū)域不能同色，則涂色方法總數(shù)是（

）（用數(shù)字填寫答案）A．24 B．48 C．72 D．120【答案】D【解析】對(duì)圖形進(jìn)行編號(hào)如圖所示：第一類：若區(qū)域⑥與區(qū)域④相同，涂區(qū)域⑤有方法，涂區(qū)域①有種方法，涂區(qū)域④有種方法，涂區(qū)域③有種方法，涂區(qū)域②有種方法，則不同的涂色方案的種數(shù)為：種；第二類：若區(qū)域⑥與區(qū)域④不相同，涂區(qū)域⑤有方法，涂區(qū)域①有種方法，涂區(qū)域④有種方法，涂區(qū)域⑥有種方法，再分類，若涂區(qū)域③和⑥一樣，涂區(qū)域②有種方法；若涂區(qū)域③和⑥不一樣，涂區(qū)域②、③有種方法，則不同的涂色方案的種數(shù)為：種；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有種；故選：D.4．（2023北京）如圖，“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成．現(xiàn)從給出的5種不同的顏色中最多可以選擇4種不同的顏色給這5個(gè)區(qū)域涂色；要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色．則不同的涂色方案有（

）種A．120 B．240 C．300 D．360【答案】C【解析】依題意顯然不能用少于2種顏色涂色，若利用3種不同的顏色涂色，首先選出3種顏色有種選法，先涂區(qū)域①有3種涂法，再涂②有2種涂法，則⑤只有1種涂法，④也只有1種涂法，則③也只有1種涂法，故一共有種涂法；若利用4種不同的顏色涂色，首先選出4種顏色有種選法，根據(jù)題意，分2步進(jìn)行涂色：當(dāng)區(qū)域①、②、⑤這三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當(dāng)區(qū)域③、④，必須有1個(gè)區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法；綜上可得一共有種涂法；故選：C5．（2023湖南）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．現(xiàn)有5種顏色可供選擇，則不同的涂色方法的有(

)種A．540 B．360 C．300 D．420【答案】D【解析】分兩種情況討論即可：(i)②和④涂同種顏色時(shí)，從①開始涂，①有5種涂法，②有4種涂法，④有1種涂法，③有3種涂法，⑤有3種涂法，∴此時(shí)有5×4×1×3×3＝180種涂法；(ii)②和④涂不同種顏色時(shí)，從①開始涂，①有5種涂法，②有4種涂法，④有3種涂法，③有2種涂法，⑤有2種涂法，∴此時(shí)有5×4×3×2×2＝240種涂法；∴總共有180＋240＝420種涂色方法．故選：D﹒6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一個(gè)國際象棋棋盤（由8×8個(gè)方格組成），其中有一個(gè)小方格因破損而被剪去（破損位置不確定）．“L”形骨牌由三個(gè)相鄰的小方格組成，如圖所示．現(xiàn)要將這個(gè)破損的棋盤剪成數(shù)個(gè)“L”形骨牌，則（）A．至多能剪成19塊“L”形骨牌B．至多能剪成20塊“L”形骨牌C．最多能剪成21塊“L”形骨牌D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】C【解析】考慮2×3的6塊方格，如圖：，每一塊這樣的骨牌含有2塊“L”形骨牌一共可以剪成10塊這樣的骨牌，和一個(gè)田字格，田字格可以剪1塊“L”形骨牌，則一共21塊“L”形骨牌.只要將破損的方格所在位置剪成一個(gè)恰當(dāng)?shù)奶镒指窦纯?，所以一定能夠剪?1塊“L”形骨牌.如圖所示故選：C7．（2023·陜西西安·西安市第三十八中學(xué)校考模擬預(yù)測）從六人（含甲）中選四人完成四項(xiàng)不同的工作（含翻譯），則甲被選且甲不參加翻譯工作的不同選法共有（

）A．120種 B．150種 C．180種 D．210種【答案】C【解析】依題意可得，甲需從除翻譯外的其他三項(xiàng)工作中任選一項(xiàng)，有3種選法，再從其余五人中選三人參加剩下的三項(xiàng)工作，有種選法，所以滿足條件的不同選法共有種．故選：C8．（2023·全國·模擬預(yù)測）從兩名醫(yī)生、兩名教師和一名警察中任選兩名參加社會(huì)服務(wù)活動(dòng)，則兩人職業(yè)不同的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】兩人不同職業(yè)的對(duì)立事件是兩個(gè)人的職業(yè)相同，職業(yè)相同的概率為，所以兩人職業(yè)不同的概率.故選：D9．（2023·福建福州·福州四中?？寄M預(yù)測）從1到10的連續(xù)10個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)，已知這3個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則這3個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知要使這3個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則這3個(gè)數(shù)必為3個(gè)奇數(shù)或2個(gè)偶數(shù)1個(gè)奇數(shù)，所以總的抽取法共有種，要使這3個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，則必為2個(gè)偶數(shù)1個(gè)奇數(shù)，共有種，所以所求概率為：.故選：B.10．（2023·福建寧德·?？级＃榱酥гc促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，某市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個(gè)地方的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，分派方案可按人數(shù)分為3，1，1或2，2，1兩種情況,則有：種方法；兩位女教師分派到同一個(gè)地方根據(jù)題意，分派方案可分為兩種情況：若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方?jīng)]有男老師，則有：種方法；若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方有一位男老師，則有：種方法；故一共有：種分派方法,這五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個(gè)地方的概率為.故選：11．（2023·河南·統(tǒng)考三模）某小學(xué)從2位語文教師，4位數(shù)學(xué)教師中安排3人到西部三個(gè)省支教，每個(gè)省各1人，且至少有1位語文教師入選，則不同安排方法有（

）種．A．16 B．20 C．96 D．120【答案】C【解析】從2位語文教師，4位數(shù)學(xué)教師中安排3人到西部三個(gè)省支教，每個(gè)省各1人，有種，其中沒有語文教師入選的有種，所以滿足條件的不同安排方法有種.故選：C12．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）現(xiàn)將5個(gè)代表團(tuán)人員安排至甲?乙?丙三家賓館入住，要求同一個(gè)代表團(tuán)人員住同一家賓館，且每家賓館至少有一個(gè)代表團(tuán)入住.若這5個(gè)代表團(tuán)中兩個(gè)代表團(tuán)已經(jīng)入住甲賓館且不再安排其他代表團(tuán)入住甲賓館，則不同的入住方案種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．16 D．18【答案】A【解析】甲賓館不再安排代表團(tuán)入住，則乙?丙兩家賓館需安排余下的3個(gè)代表團(tuán)入住，所以一個(gè)賓館住1個(gè)代表團(tuán)，另一個(gè)賓館住2個(gè)代表團(tuán).共有種方法，故選：A13．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）近年來喜歡養(yǎng)寵物貓的人越來越多．某貓舍只有5個(gè)不同的貓籠﹐金漸層貓3只（貓媽媽和2只小貓嶲）、銀漸層貓4只、布偶貓1只．該貓舍計(jì)劃將3只金漸層貓放在同一個(gè)貓籠里，4只銀漸層貓每2只放在一個(gè)貓籠里，布偶貓單獨(dú)放在一個(gè)貓籠里，則不同的安排有（

）A．8種 B．30種 C．360種 D．1440種【答案】C【解析】根據(jù)題意，將3只金漸層貓放在同一個(gè)貓籠里，則把3只金漸層貓看成是1個(gè)整體，4只銀漸層貓每2只放在一個(gè)貓籠里，則分組方法有（種）一共有4個(gè)整體進(jìn)行排列放在5個(gè)不同的貓籠，在5個(gè)不同的貓籠中可以放4個(gè)整體，則一共可以安排的方法有：（種）故選：C.14．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）中國飲食文化歷史悠久，博大精深，是中國傳統(tǒng)文化中最具特色的部分之一，其內(nèi)涵十分豐富，根據(jù)義務(wù)教育課程方案，勞動(dòng)課正式成為中小學(xué)一門獨(dú)立的課程，“食育”進(jìn)入校園.李老師計(jì)劃在實(shí)驗(yàn)小學(xué)開展一個(gè)關(guān)于“飲食民俗”的講座，講座內(nèi)容包括日常食俗，節(jié)日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6個(gè)方面.根據(jù)安排，講座分為三次，每次介紹兩個(gè)食俗內(nèi)容（不分先后次序），則節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】講座分為三次，每次介紹兩個(gè)食俗內(nèi)容（不分先后次序）,一共有種不同的安排方法，其中節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗有一個(gè)和節(jié)日食俗安排在第二次講座的有種，節(jié)日食俗安排在第二次講座，日常食俗與祭祀食俗都不和節(jié)日食俗安排在第二次講座且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的有種，故節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的有種，故所求概率為.故選：B15．（2023·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預(yù)測）某足球比賽有，，，，，，，，共9支球隊(duì)，其中，，為第一檔球隊(duì)，，，為第二檔球隊(duì)，，，為第三檔球隊(duì)，現(xiàn)將上述9支球隊(duì)分成3個(gè)小組，每個(gè)小組3支球隊(duì)，若同一檔位的球隊(duì)不能出現(xiàn)在同一個(gè)小組中，則不同的分組方法有（

）A．27種 B．36種 C．72種 D．144種【答案】B【解析】根據(jù)題意，先排，共有1種排法；再排，共有種不同的排法；最后排，共有種不同的排法，由分步計(jì)數(shù)原理得，共有種不同的排法.故選：B.16．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某校銀杏大道上共有20盞路燈排成一列，為了節(jié)約用電，學(xué)校打算關(guān)掉3盞路燈，頭尾兩盞路燈不能關(guān)閉，關(guān)掉的相鄰兩盞路燈之間至少有兩盞亮的路燈，則不同的方案種數(shù)是（

）A．324 B．364 C．560 D．680【答案】B【解析】將路燈分2盞(為保證關(guān)閉路燈之間至少有兩盞亮)、15盞、3盞(需關(guān)閉的路燈)，首先15盞亮的路燈先排成一排，把3盞關(guān)掉的路燈插空，而頭尾兩盞路燈不能關(guān)閉，所以是除頭尾之外的14個(gè)位置上插入三盞關(guān)掉的燈，共種，在每兩盞關(guān)掉的路燈之間再各放入一盞路燈且路燈無差異，保證關(guān)掉的相鄰兩盞路燈之間至少有兩盞亮的路燈，只有1種方法.綜上，共有種方案數(shù).故選：B17．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步走完，則第二步走兩級(jí)臺(tái)階的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】10級(jí)臺(tái)階要用7步走完，則4步是上一級(jí)，三步是上兩級(jí)，共種走法，若第二步走兩級(jí)臺(tái)階，則其余6步中有兩步是上兩級(jí)，共，所以第二步走兩級(jí)臺(tái)階的概率為.故選：C18．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）某國際高峰論壇會(huì)議中，組委會(huì)要從5個(gè)國內(nèi)媒體團(tuán)和3個(gè)國外媒體團(tuán)中選出3個(gè)媒體團(tuán)進(jìn)行提問，要求這三個(gè)媒體團(tuán)中既有國內(nèi)媒體團(tuán)又有國外媒體團(tuán)，每個(gè)媒體團(tuán)提問一次，且國內(nèi)媒體團(tuán)不能連續(xù)提問，則不同的提問方式的種數(shù)為（

）A．150 B．90 C．48 D．36【答案】A【解析】根據(jù)題意，要求提問的三個(gè)媒體團(tuán)中既有國內(nèi)媒體團(tuán)又有國外媒體團(tuán)，分2種情況討論：選出的3個(gè)媒體團(tuán)中只有一個(gè)國內(nèi)媒體團(tuán)，有種不同的提問方式；②選出的3個(gè)媒體團(tuán)中有兩個(gè)國內(nèi)媒體團(tuán)，則國外媒體要在中間位置發(fā)言，則有種不同的提問方式．綜上，共有種不同的提問方式，故選：A19．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第一中學(xué)?？既＃┲袊糯奈褰?jīng)是指：《詩經(jīng)》、《尚書》、《禮記》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同學(xué)分別選取了其中一本不同的書作為課外興趣研讀，若甲、乙都沒有選《詩經(jīng)》，乙也沒選《春秋》，則名同學(xué)所有可能的選擇有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【解析】因?yàn)榧住⒁叶紱]有選《詩經(jīng)》，乙也沒選《春秋》，則乙可在《尚書》、《禮記》、《周易》三種書中選擇一種，甲可在除《詩經(jīng)》外的三種書中任選一種，其余三種書可任意排序，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的選擇種數(shù)為.故選：D.20．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）漳州某校為加強(qiáng)校園安全管理，欲安排12名教師志愿者（含甲、乙、丙三名教師志愿者）在南門、北門、西門三個(gè)校門加強(qiáng)值班，每個(gè)校門隨機(jī)安排4名，則甲、乙、丙安排在同一個(gè)校門值班的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】將12個(gè)人平均分為3組，有種方法，將甲乙丙分在同一組有種方法，所以甲乙丙在同一校門的概率；故選：D.21．（2023·湖南益陽·安化縣第二中學(xué)?？既＃┠硞€(gè)單位安排7位員工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，則不同的安排方案共有（

）A．504種 B．960種 C．1008種 D．1200種【答案】C【解析】依題意，滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天的方法共有（種），其中滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在5月1日值班的方法共有（種）；滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丁在5月7日值班的方法共有(種)；滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有(種).因此滿足題意的方法共有(種).故選：C.22．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃B門市博物館由廈門博物館主館、鄭成功紀(jì)念館、廈門經(jīng)濟(jì)特區(qū)紀(jì)念館、廈門市文化遺產(chǎn)保護(hù)中心、破獄斗爭陳列館、陳化成紀(jì)念館、陳勝元故居七個(gè)館區(qū)組成.甲、乙兩名同學(xué)各自選取一個(gè)館區(qū)參觀且所選館區(qū)互不相同，若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭陳列館至少有一個(gè)被選，則不同的參觀方案有（

）A．22種 B．20種 C．12種 D．10種【答案】A【解析】若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭陳列館選一個(gè)：種，若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭陳列館選二個(gè)：種，故若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭陳列館至少有一個(gè)被選，則不同的參觀方案有種方案.故選：A.23．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的基本事件有，所以這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為.故選：D.24．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．20【答案】B【解析】不妨記五名志愿者為，假設(shè)連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)，共有種方法，同理：連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)有種.故選：B.25．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】C【解析】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有種，根據(jù)分步乘法公式則共有種，故選：C.26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）一個(gè)的表格內(nèi)，放有3輛完全相同的紅車和3輛完全相同的黑車，每輛車占1格，每行每列只有1輛車，放法種數(shù)為（

）A．720 B．20 C．518400 D．14400【答案】D【解析】先假設(shè)3輛紅車不同，3輛黑車也不相同，第一輛車顯然可占36個(gè)方格中任意一個(gè)，有36種放法，第二輛車由于不能與第一輛車同行，也不能與第一輛車同列，有25種放法，同理，第三、四、五、六輛車分別有16，9，4，1種放法．再注意到3輛紅車相同，3輛黑車也相同，故不同的放法共有（種）故選D27．（2023·云南·校聯(lián)考二模）三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)對(duì)該圖進(jìn)行涂色，有5種不同的顏色提供選擇，相鄰區(qū)域所涂顏色不同.在所有的涂色方案中隨機(jī)選擇一種方案，該方案恰好只用到三種顏色的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】所有的涂色方案分3類：(1)用到三種顏色，為⑤一種顏色，①③同色，②④同色，涂色方法為；(2)用到四種顏色，為⑤一種顏色，①③不同色，②④同色或⑤一種顏色，①③同色，②④不同色，涂色方法為；(3)用到五種顏色，涂色方法為；因此該方案恰好只用到三種顏色的概率是.故選：B28．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃┠呈形拿鬓k積極創(chuàng)建全國文明典范城市，號(hào)召志愿者深入開展交通督導(dǎo)?旅游宣傳?潔凈家園?秩序維護(hù)4項(xiàng)志愿服務(wù).現(xiàn)有6組志愿者服務(wù)隊(duì)，若每組參與一項(xiàng)志愿服務(wù)，每項(xiàng)志愿服務(wù)至少有1組參與，其中甲組志愿服務(wù)隊(duì)不參與旅游宣傳志愿服務(wù)，則不同的參與方式共有種.【答案】1170【解析】甲組志愿服務(wù)隊(duì)是單獨(dú)一組參加一項(xiàng)志愿服務(wù)，則，甲組志愿服務(wù)隊(duì)是二個(gè)組一起參加一項(xiàng)志愿服務(wù)，，甲組志愿服務(wù)隊(duì)是三個(gè)組一起參加一項(xiàng)志愿服務(wù)，，所以.故答案為：117029．（2023春·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）從A，B，C等8人中選出5人排成一排.(1)A必須在內(nèi)，有多少種排法？(2)A，B，C三人不全在內(nèi)，有多少種排法？(3)A，B，C都在內(nèi)，且A，B必須相鄰，C與A，B都不相鄰，都多少種排法？(4)A不允許站排頭和排尾，B不允許站在中間（第三位），有多少種排法？【答案】(1)4200(2)5520(3)240(4)4440【解析】（1）由題意，先從余下的7人中選4人共有種不同結(jié)果，再將這4人與A進(jìn)行全排列有種不同的排法，故由乘法原理可知共有種不同排法；（2）從8人中任選5人排列共有種不同排法，A，B，C三人全在內(nèi)有種不同排法，由間接法可得A，B，C三人不全在內(nèi)共有種不同排法；（3）因A，B，C都在內(nèi)，所以只需從余下5人中選2人有種不同結(jié)果，A，B必須相鄰，有種不同排法，由于C與A，B都不相鄰，先將選出的2人進(jìn)行全排列共有種不同排法，再將A、B這個(gè)整體與C插入到選出的2人所產(chǎn)生的3個(gè)空位中有種不同排法，由乘法原理可得共有種不同排法；（4）分四類：第一類：所選的5人無A、B，共有種排法；第二類：所選的5人有A、無B，共有種排法；第三類：所選的5人無A、有B，共有種排法；第四類：所選的5人有A、B，若A排中間時(shí)，有種排法，若A不排中間時(shí)，有種排法，共有種排法；綜上，共有4440種不同排法.30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）父母和四個(gè)孩子圍圓桌而坐，(1)有幾種不同的坐法？(2)若父、母要相鄰而坐，有幾種不同的坐法？(3)若父、母要相對(duì)而坐，有幾種不同的坐法？(4)若最小的孩子坐在父、母之間，又有幾種不同的坐法？【答案】(1)120(2)48(3)24(4)12【解析】（1）父、母與四個(gè)孩子圍圓桌而坐，可看成六個(gè)元素的回排列，因此有：種坐法．（2）若父、母是相鄰而坐的，可將父母看成一組，與其余四個(gè)元素的圓排列，則有種坐標(biāo)，對(duì)于上述的每一種坐法，父、母的坐法又有兩種，因此共有：種坐法．（3）若父，母要相對(duì)而坐，那么父、母之中，有一位的位置確定，另一位的位置也隨之而確定，其余四個(gè)孩子的排列數(shù)共有種坐法．（4）若最小的孩子坐在父母之間，則可將這三人看成一組，與其余三人的圓排列，有種坐法，對(duì)于上述的每一種坐法，父、母的坐法又有兩種，因此共有：種坐法．

31．（2023春·天津河西·高二統(tǒng)考期中）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加、、三個(gè)智力競賽項(xiàng)目，每個(gè)人都要報(bào)名且只能參加一個(gè)項(xiàng)目．(1)共有多少種不同的報(bào)名方法？(2)甲必須報(bào)項(xiàng)目，乙必須報(bào)項(xiàng)目，那么有多少種不同的報(bào)名方法？(3)甲、乙報(bào)同一項(xiàng)目，丙不報(bào)項(xiàng)目，那么有多少種不同的報(bào)名方法？(4)每個(gè)項(xiàng)目都有人報(bào)名，那么有多少種不同的報(bào)名方法？(5)甲不報(bào)項(xiàng)目，且、項(xiàng)目報(bào)名的人數(shù)相同，那么有多少種不同的報(bào)名方法？【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】（1）解：每個(gè)同學(xué)都有種選擇，則甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的報(bào)名方法種數(shù)為.（2）解：甲必須報(bào)項(xiàng)目，乙必須報(bào)項(xiàng)目，則丙、丁各有種選擇，所以，不同的報(bào)名方法種數(shù)為.（3）解：甲、乙報(bào)同一項(xiàng)目，則甲、乙報(bào)名的方法種數(shù)為，丙不報(bào)項(xiàng)目，則丙有種選擇，所以，丁有種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的報(bào)名方法種數(shù)為.（4）解：將甲、乙、丙、丁四名同學(xué)分為三組，每組人數(shù)分別為、、，然后再將這三組同學(xué)分配給、、三個(gè)智力競賽項(xiàng)目，所以，不同的報(bào)名方法種數(shù)為.（5）解：分兩種情況討論：①項(xiàng)目沒人報(bào)，且、項(xiàng)目的報(bào)名人數(shù)均為，此時(shí)不同的報(bào)名方法種數(shù)為種；②項(xiàng)目有人報(bào)，且甲不報(bào)項(xiàng)目，、項(xiàng)目報(bào)名的人數(shù)相同，則、項(xiàng)目報(bào)名的人數(shù)均為，則甲報(bào)項(xiàng)目或項(xiàng)目，則報(bào)名項(xiàng)目的有人，剩余個(gè)項(xiàng)目只有一人報(bào)名，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的報(bào)名方法種數(shù)為.綜上所述，不同的報(bào)名方法種數(shù)為.32．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？(1)6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子；(2)6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；(3)6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；(4)6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，恰有1個(gè)空盒．【答案】(1)4096(2)1560(3)10(4)2160【解析】（1）由題意，6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)小球都有4種可能的放法，故有種不同的方法；（2）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；先把6個(gè)小球分為4組，每組個(gè)數(shù)為或，再放入不同的4個(gè)盒子中，共有種不同的方法.（3）6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球，即將6個(gè)相同的小球分為4份即可，可采用隔板法，即將6個(gè)小球排成一排，在中間形成的5個(gè)空中選3個(gè)插入隔板，即可將6個(gè)相同的小球分成4份，故有種方法.（4）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，恰有1個(gè)空盒,將6個(gè)不同的小球分為3組，球的個(gè)數(shù)為或或，然后從4個(gè)不同的盒子中選3個(gè)放入這3組球，則有種不同的方法.1．（2023·四川）已知一組拋物線，其中a為2，4，6，8中任取的一個(gè)數(shù)，b為1，3，5，7中任取的一個(gè)數(shù)，從這些拋物線中任意抽取兩條，它們?cè)谂c直線交點(diǎn)處的切線相互平行的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】這組拋物線共條，任取兩條取法有種.它們?cè)谂c直線交點(diǎn)處的切線斜率，若，有，兩種情形，從中取出兩條，有種取法；若，有，，三種情形，從中取出兩條，有種取法；若，有，，，四種情形，從中取出兩條，有種取法；若，有，，三種情形，從中取出兩條，有種取法；若，有，兩種情形，從中取出兩條，有種取法；共有種，故所求概率為.故選：B.2．（2022秋·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）連接正方體每個(gè)面的中心構(gòu)成一個(gè)正八面體．甲隨機(jī)選擇此正八面體的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，乙隨機(jī)選擇此正八面體三個(gè)面的中心構(gòu)成三角形，且甲、乙的選擇互不影響，則（

）A．甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正三角形的概率為B．甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形的概率為C．乙選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正三角形的概率為D．甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形與乙選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似的概率為【答案】ACD【解析】甲隨機(jī)選擇的情況有種，乙隨機(jī)選擇的情況有種，對(duì)于A：甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正三角形，只有一種情況：甲從上下兩個(gè)點(diǎn)中選一個(gè)，從中間四個(gè)點(diǎn)中選相鄰兩個(gè)，共有種，故甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正三角形的概率為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，有三種情況：①上下兩點(diǎn)都選，中間四個(gè)點(diǎn)中選一個(gè)，共有種；②上下兩點(diǎn)中選一個(gè)，中間四個(gè)點(diǎn)中選相對(duì)的兩個(gè)點(diǎn)，共有種；③中間四個(gè)點(diǎn)中選三個(gè)點(diǎn)，共有種，故共有4+4+4=12種，所以甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形的概率為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：乙選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正三角形，只有一種情況：上面四個(gè)面的中心中選一個(gè)點(diǎn)且從下面四個(gè)面的中心選相對(duì)的兩個(gè)點(diǎn)，或下面四個(gè)面的中心中選一個(gè)點(diǎn)且從上面四個(gè)面的中心選相對(duì)的兩個(gè)點(diǎn)，共有種，所以乙選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正三角形的概率為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形同上所求，共有8+16=24種，概率為，甲乙相似，則甲乙均為正三角形或均為等腰直角三角形，所以甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形與乙選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似的概率為，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.3．（2023·吉林白山·統(tǒng)考二模）（多選）將A，B，C，D這4張卡片分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得一張卡片，則（

）．A．甲得到A卡片與乙得到A卡片為對(duì)立事件B．甲得到A卡片與乙得到A卡片為互斥但不對(duì)立事件C．甲得到A卡片的概率為D．甲、乙2人中有人得到A卡片的概率為【答案】BCD【解析】甲得到A卡片與乙得到A卡片不可能同時(shí)發(fā)生，但可能同時(shí)不發(fā)生，所以甲得到A卡片與乙得到A卡片為互斥但不對(duì)立事件，A不正