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4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用用函數(shù)模型解應(yīng)用題的四個(gè)步驟.(1)審題——弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步
選擇模型.(2)建?!獙⒆匀徽Z(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符
號(hào)語(yǔ)言,利用數(shù)學(xué)知識(shí),建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)求?!蠼鈹?shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)模型.(4)還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題.
判斷正誤(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)在選擇實(shí)際問題的函數(shù)模型時(shí),必須使所有數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型. (
)(2)利用函數(shù)模型求實(shí)際問題的最值時(shí)要注意取得最值時(shí)的自變量與實(shí)際意義是否相符. (
)(3)用函數(shù)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果必須和實(shí)際結(jié)果相符合. (
)(4)數(shù)據(jù)擬合時(shí),得到的函數(shù)必須要進(jìn)行檢驗(yàn). (
)【解析】(1)在選擇實(shí)際問題的函數(shù)模型時(shí),允許少量數(shù)據(jù)不符合該函數(shù)模型.×√√√
某城市2020年底人口總數(shù)為100萬(wàn)人,如果年平均增長(zhǎng)率為1.2%,試解答以下問題:(1)寫出經(jīng)過(guò)x年后,該城市人口總數(shù)y(萬(wàn)人)與x(年)的函數(shù)關(guān)系;(2)計(jì)算10年后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬(wàn)人);(3)計(jì)算經(jīng)過(guò)多少年以后,該城市人口總數(shù)將達(dá)到120萬(wàn)人(精確到1年).(參考數(shù)據(jù):1.0129≈1.113,1.01210≈1.127,lg1.2≈0.079,lg2≈0.301,lg1.012≈0.005)解:(1)2020年底人口總數(shù)為100萬(wàn)人,經(jīng)過(guò)1年,2021年底人口總數(shù)為100+100×1.2%=100×(1+1.2%)(萬(wàn)人),經(jīng)過(guò)2年,2022年底人口總數(shù)為100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2(萬(wàn)人),經(jīng)過(guò)3年,2023年底人口總數(shù)為100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3(萬(wàn)人),……所以經(jīng)過(guò)x年后,該城市人口總數(shù)為100×(1+1.2%)x(萬(wàn)人),所以y=100×(1+1.2%)x.(2)10年后該城市人口總數(shù)為100×(1+1.2%)10≈112.7(萬(wàn)人).(3)由題意得100×(1+1.2%)x=120,即lg[100×(1+1.2%)x]=lg120,整理得,2+xlg1.012=2+lg1.2,解得x≈16.所以經(jīng)過(guò)16年以后,該城市人口總數(shù)將達(dá)到120萬(wàn)人.[規(guī)律方法]有關(guān)平均增長(zhǎng)率的問題,其基本運(yùn)算方法是:如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為p,則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y可用公式y(tǒng)=N(1+p)x來(lái)表示.解決平均增長(zhǎng)率的問題,常用到這個(gè)函數(shù)模型.某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥,如果成年人按規(guī)定的劑量服用,據(jù)監(jiān)測(cè),服藥后每毫升血液中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線.(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)解析式y(tǒng)=f(t);(2)進(jìn)一步測(cè)定:每毫升血液中含藥量不少于0.25毫克時(shí),藥物對(duì)治療疾病有效.求服藥一次治療疾病的有效時(shí)間.
人們對(duì)聲音有不同的感覺,這與它的強(qiáng)度有關(guān)系,聲音的強(qiáng)度用I(W/m2)表示,但在實(shí)際測(cè)量中常用聲音的強(qiáng)度水平L表示,它們滿足關(guān)系式L=10·lg(單位為分貝,L≥0,I0=1×10-12W/m2,I0是人們平均能聽到的最小強(qiáng)度,是聽覺的開端).(1)樹葉沙沙聲的強(qiáng)度是1×10-12W/m2,耳語(yǔ)的強(qiáng)度是1×10-10W/m2,恬靜的無(wú)線電廣播的強(qiáng)度是1×10-8W/m2,試分別求出它們的強(qiáng)度水平;(2)某一新建的安靜小區(qū)規(guī)定小區(qū)內(nèi)公共場(chǎng)所聲音的強(qiáng)度水平必須保持在50分貝以下,求聲音強(qiáng)度I的范圍.某研究小組在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中獲得一組關(guān)于y,t的數(shù)據(jù),將其整理得到如圖所示的圖形.下列函數(shù)中,最能近似刻畫y與t之間關(guān)系的是(
)DA.y=2t
B.y=2t2C.y=t3 D.y=log2t【解析】由圖形知該函數(shù)可能是y=log2t.
某個(gè)體經(jīng)營(yíng)者把開始六個(gè)月試銷A,B兩種商品的逐月投資金額與所獲純利潤(rùn)列成下表:該經(jīng)營(yíng)者準(zhǔn)備第七個(gè)月投入12萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品,但不知A,B兩種商品各投入多少萬(wàn)元才合算.請(qǐng)你幫助制定一個(gè)資金投入方案,使得該經(jīng)營(yíng)者能獲得最大純利潤(rùn),并按你的方案求出該經(jīng)營(yíng)者第七個(gè)月可獲得的最大純利潤(rùn)(精確到0.01萬(wàn)元).解:以投資金額為橫軸,純利潤(rùn)為縱軸,分別在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象,如圖所示.由圖1可以看出,A種商品所獲純利潤(rùn)y與投資金額x之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進(jìn)行模擬.取(4,2)為最高點(diǎn),則yA=a(x-4)2+2(a≠0),再把點(diǎn)(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以yA=-0.15(x-4)2+2;由圖2可以看出,B種商品所獲純利潤(rùn)y與投資金額x之間的變化規(guī)律是線性的,可以用一次函數(shù)模型進(jìn)行模擬.此時(shí)B商品的投資為9萬(wàn)元.故該經(jīng)營(yíng)者第七個(gè)月把12萬(wàn)元中的3萬(wàn)元投資A種商品,9萬(wàn)元投資B種商品,可獲得最大利潤(rùn),約為4.55萬(wàn)元.某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品,根據(jù)預(yù)測(cè)可知,進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái),該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng).記2016年為第1年,且前4年中,第x年與年產(chǎn)量f(x)(單位:萬(wàn)件)之間的關(guān)系如表所示.(1)找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型,并說(shuō)明理由,然后選取2016年和2018年的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式;(2)因受新冠肺炎疫情的影響,2020年的年產(chǎn)量比預(yù)計(jì)減少了30%,試根據(jù)所建立的函數(shù)模型,求出2020年的年產(chǎn)量.解:(1)最適合的函數(shù)模型為f(x)=ax+b,理由如下:若模型為f(x)=2x+a,則由f(1)=2+a=4,可知a=2,即f(x)=2x+2,則f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,與已知數(shù)據(jù)相差很大,不符合.[規(guī)律方法]1.對(duì)于此類實(shí)際應(yīng)用問題,關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式,
再解決數(shù)學(xué)問題,最后驗(yàn)證并結(jié)合問題的實(shí)際意義作出回
答,這個(gè)過(guò)程就是先擬合函數(shù)再利用函數(shù)解題.2.函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)的一般步驟:(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù),繪出散點(diǎn)圖;(2)通過(guò)觀察散點(diǎn)圖,畫出“最貼近”的直線或曲線,即擬合
直線或擬合曲線;(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí),求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)解析式;(4)利用函數(shù)解析式,根據(jù)條件對(duì)所給問題進(jìn)行預(yù)測(cè),為決策和管理提供依據(jù).1.某地區(qū)植被被破壞,土地沙化越來(lái)越嚴(yán)重,最近三年測(cè)得
沙漠增加值分別為0.2萬(wàn)公頃,0.4萬(wàn)公頃和0.76萬(wàn)公頃,則
沙漠增加值y(萬(wàn)公頃)關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為接近的是(
)【解析】當(dāng)x=1時(shí),排除選項(xiàng)B;當(dāng)x=2時(shí),排除選項(xiàng)D;當(dāng)x=3時(shí),排除選項(xiàng)A.故選C.C2.經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到某種型號(hào)的汽車每小時(shí)耗油量Q(單位:L)
與速度v(單位:km/h)(40≤v≤120)的數(shù)據(jù)如下表:為描述Q與v的關(guān)系,現(xiàn)有以下三種模型供選擇:Q(v)=0.04v+3.6,Q(v)=0.5v+a,Q(v)=0.000025v3-0.004v2+0.25v.選出最符合實(shí)際的函數(shù)模型,解決下列問題:某高速公路共有三個(gè)車道,分別是外側(cè)車道、中間車道、內(nèi)側(cè)車道,車速范圍分別是[60,90),[90,110),[110,120](單位:km/h).為使百公里耗油量W(單位:L)最小,該型號(hào)汽車行駛的車道與速度為(
)A.在外側(cè)車道以80km/h行駛B.在中間車道以90km/h行駛C.在中間車道以95km/h行駛D.在內(nèi)側(cè)車道以115km/h行駛A3.我們可以把(1+1%)365看作每天的“進(jìn)步”率都是1%,一年
后的值是1.01365,而把(1-1%)365看作每天的“退步”率都是1%,一年后的值是0.99365,照此計(jì)算,若“進(jìn)步”后的值是“退步”后的值的10倍,則需經(jīng)過(guò)的天數(shù)為(參考數(shù)據(jù):lg1.01≈0.00432,lg0.99≈-0.00436)(
)A.100 B.108C.115 D.124C(i)調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間[0,100];(ii)調(diào)度后每座水庫(kù)
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