6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示教學(xué)設(shè)計高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

教學(xué)設(shè)計

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期秋季課題在“已有知識”的土壤中生根發(fā)芽6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示內(nèi)容解析本節(jié)課是人教A版第六章第三節(jié)的第二課時，前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的概念，平面向量的運算，以及平面向量基本定理。其中平面向量基本定理是建立向量坐標的邏輯基礎(chǔ)，正確地構(gòu)建向量的坐標是向量的坐標運算的理論依據(jù)，本節(jié)課內(nèi)容具有承前啟后的作用。本節(jié)是將向量由幾何屬性變?yōu)榇鷶?shù)屬性的轉(zhuǎn)折點，具有重要的意義。學(xué)情分析建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強調(diào)，學(xué)生并不是空著腦袋走進教室的，教師的教學(xué)不能無視學(xué)生原有的知識經(jīng)驗，教師應(yīng)以學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)為“生長點”，引導(dǎo)學(xué)生將新知納入原有的知識體系中。因此，教師不僅要了解教學(xué)內(nèi)容，還要掌握學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)及學(xué)習(xí)中可能遇到的困難，從而采取有效的方法引導(dǎo)學(xué)生順利構(gòu)建新知識。對于本節(jié)內(nèi)容，學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)與新知的關(guān)系為：“平面向量基本定理”和“平面向量的線性運算”為向量的坐標表示的理論基礎(chǔ)，經(jīng)過同化順應(yīng)將“物理中力的合成與分解”以及“平面直角坐標系”納入新的知識體系。具體關(guān)系如下：教學(xué)目標1.掌握向量的正交分解，理解向量坐標表示的定義：①能寫出給定向量的坐標②給出坐標能畫出表示向量的有向線段③理解向量與坐標之間是一一對應(yīng)的關(guān)系掌握向量坐標與點坐標的關(guān)系①起點在原點時，向量坐標就是終點坐標②向量坐標=終點坐標起點坐標3.學(xué)生經(jīng)歷向量的幾何表示線性表示坐標表示的實現(xiàn)過程，從中體會由特殊到一般的研究問題的方法，體會由形到數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想。培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。4.在問題引路，分步建構(gòu)的探究過程中，學(xué)生通過獨立思考，討論交流逐步獲得知識，同化順應(yīng)構(gòu)建新的知識體系，獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點：平面向量坐標表示的定義突破方法：滲透從特殊到一般，從形到數(shù)的思想教學(xué)難點：平面向量坐標表示生成過程的理解突破方法：設(shè)置問題，層層遞進，力求自然合理教學(xué)過程一．回顧舊知問題1.什么是平面向量基本定理？生1：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這個平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使得，其中為這個平面的一組基底師：這個定理說明，平面上的任一向量，都可以分解為基底向量所在的方向上的兩個向量.二．問題引路，分步建構(gòu)G問題2.斜坡上有一個木塊，重力如何分解？G生2：重力G可以分解為平行于斜面，使木塊沿斜面下滑的力和垂直于斜面的壓力師：這本質(zhì)是我們前面提到的將一個向量分解到兩個方向上，此處分解的兩個方向互相垂直.追問1.上述物理問題抽象為數(shù)學(xué)語言是什么？生3：把一個向量分解為互相垂直的兩個向量，叫做正交分解.追問2.把互相垂直的兩個向量作為基底，能不能借助一個數(shù)形結(jié)合的工具將這組基底統(tǒng)一化，標準化？生4：平面直角坐標系.11師：非常好，在平面直角坐標系中，取x，y軸正方向上的單位向量為基底，我們把這組基底稱為單位正交基底，記作11xy練1.已知與x正方向夾角為，用基底來表示.xy練2.如圖用基底來表示.追問3.在這組基底下,任一向量，能否省略基底，只保留其系數(shù)x，y來表示向量呢？生6：可以，根據(jù)平面向量基本定理，這種表示唯一確定，與其系數(shù)x，y，建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，所以可以用有序?qū)崝?shù)對來表示向量.同化順應(yīng)，理解新知問題3.通過上面的探究，你能歸納出平面向量坐標表示的定義嗎？生7：在平面直角坐標系中，設(shè)與x軸，y軸正方向相同的兩個單位向量，取作為基底，對于平面內(nèi)的任一向量，由平面向量基本定理可知：有且只有一對有序?qū)崝?shù)使得，我們把有序?qū)崝?shù)對叫做的坐標.追問1:在平面直角坐標系中的坐標為？生8：追問2.相等向量的坐標有什么關(guān)系？生9：由平面向量基本定理，基底確定時，同一向量的表示唯一，所以相等向量的表示完全相同.追問3.向量平移后，坐標是否改變？生10：向量平移不改變向量的大小的方向，所以坐標不變。這說明向量坐標只與向量的大小和方向有關(guān)，與向量的位置無關(guān).追問4.起點為原點的向量的坐標與點的坐標有什么關(guān)系？11axyO生11：向量的坐標與點11axyO師：強調(diào)寫法不同，有無等號.11BAO追問5：起點不為原點的向量11BAO生12：師：向量坐標=終點坐標起點坐標四.典例探究，鞏固新知例1.寫出下列向量的坐標.解：例2.用表示下列向量.解：例3.用表示下列向量，并求其坐標.解：例4.若向量的終點在原點，求其起點坐標.解：例5.將沿著平移后得到,求的坐標.解：五．歸納總結(jié)，反思提升問題5.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識？探究過程為什么？生13：1.向量的正交分解2.向量坐標表示的定義3.向量坐標與點坐標的關(guān)系生14：物理中力的分解平面向量的正交分解平面向量的單位正交基底平面向量的坐標