滬科版八年級數(shù)學上學期考試滿分全攻略第07講反比例函數(shù)(10大考點)(原卷版+解析)

第07講反比例函數(shù)（10大考點）考點考向考點考向一、反比例函數(shù)的概念1、如果兩個變量的每一組對應(yīng)值的乘積是一個不等于零的常數(shù)，我們就說這兩個變量成反比例．用數(shù)學式子表示兩個變量、成反比例，就是，或表示為，其中是不等于0的常數(shù)． 2、解析式形如（是常數(shù)，）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中叫做比例系數(shù)． 3、反比例函數(shù)的定義域是不等于零的一切實數(shù)．二、反比例函數(shù)的圖像 1、反比例函數(shù)（是常數(shù)，）的圖像叫做雙曲線，它有兩支．三、反比例函數(shù)的性質(zhì) 1、當時，函數(shù)圖像的兩支分別在第一、三象限；在每個象限內(nèi)，當自變量的值 逐漸增大時，的值隨著逐漸減?。?2、當時，函數(shù)圖像的兩支分別在第二、四象限；在每個象限內(nèi)，當自變量的值 逐漸增大時，的值隨著逐漸增大． 3、圖像的兩支都無限接近于軸和軸，但不會與軸和軸相交．考點精講考點精講一．反比例函數(shù)的定義（共3小題）1．（2021秋?楊浦區(qū)期中）已知y與2z成反比例，比例系數(shù)為k1，z與x成正比例，比例系數(shù)為k2，k1和k2是已知數(shù)，且k1?k2≠0，則y關(guān)于x成比例．（填“正”或“反”）2．（2020秋?嘉定區(qū)期中）若y＝（4﹣2a）x是反比例函數(shù)，則a的值是．3．（2020秋?靜安區(qū)期末）已知y＝y(tǒng)1+y2，y1與（x﹣1）成反比例，y2與x成正比例，且當x＝2時，y1＝4，y＝2．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）求當x＝3時的函數(shù)值．二．反比例函數(shù)的圖象（共2小題）4．（2020秋?寶山區(qū)校級期末）函數(shù)y＝﹣kx與y＝（k＜0）的圖象大致是（）A． B． C． D．5．（2020秋?奉賢區(qū)期末）已知正比例函數(shù)y＝kx和反比例函數(shù)y＝﹣在同一坐標系內(nèi)的大致圖象是（）A．（1）或（3） B．（1）或（4） C．（2）或（3） D．（3）或（4）．三．反比例函數(shù)的性質(zhì)（共3小題）6．（2021秋?浦東新區(qū)期末）已知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0），y的值隨x的值的增大而減小，那么它和反比例函數(shù)y＝﹣（k≠0）在同一直角坐標平面內(nèi)的大致圖象是（）A． B． C． D．7．（2021秋?普陀區(qū)期末）如果反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，那么k的取值范圍是（）A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣28．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）下列函數(shù)中，y的值隨著x的值增大而減小的是（）A．y＝ B．y＝﹣2x C．y＝﹣ D．y＝2x四．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共1小題）9．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）如圖，已知雙曲線（x＞0）經(jīng)過矩形OABC的邊AB的中點F，交BC于點E，且四邊形OEBF的面積為2．則k＝（）A．2 B． C．1 D．4五．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征（共6小題）10．（2021秋?楊浦區(qū)期中）已知點（x1，y1）和（x2，y2）都在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，如果x1＜x2，那么y1與y2的大小關(guān)系正確的是（）A．y1＜y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＞y2 D．無法判斷11．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）反比例函數(shù)y＝的圖象在第二、四象限內(nèi)，則點（m，﹣1）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．（2021秋?浦東新區(qū)期末）在反比例函數(shù)y＝的圖象上有三點A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，則下列各式中，正確的是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y213．（2021秋?徐匯區(qū)期末）若M（﹣1，y1）、兩點都在函數(shù)的圖象上，且y1＜y2，則k的取值范圍是．14．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）l1是反比例函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的圖象，且過點A（2，5），l2與l1關(guān)于x軸對稱，那么圖象l2的函數(shù)解析式為．15．（2021秋?楊浦區(qū)校級期中）平面直角坐標系中，點A（，2）向左平移m個單位后恰好落在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，則m的值為．六．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式（共3小題）16．（2021秋?松江區(qū)期末）已知y＝y(tǒng)1+y2，y1與x成正比例，y2與x成反比例，且當x＝﹣1時，y＝﹣4；當x＝3時，y＝4．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）當x＝﹣2時，求y的值．17．（2021秋?浦東新區(qū)期末）已知y＝y(tǒng)1+y2，并且y1與x成正比例，y2與x﹣2成反比例．當x＝3時，y＝7；當x＝1時，y＝1，求：y關(guān)于x的函數(shù)解析式．18．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）已知函數(shù)y＝y(tǒng)1﹣y2，且y1為x的反比例函數(shù)，y2為x的正比例函數(shù)，且和x＝1時，y的值都是1．求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．七．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共4小題）19．（2021秋?徐匯區(qū)期末）如果正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的一個交點的坐標為（3，﹣4），那么另一個交點的坐標為（）A．（﹣3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3）20．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的一個交點為，當正比例函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方時，則x的取值范圍是．21．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）若正比例函數(shù)y＝（1+k）x與反比例函數(shù)的圖象沒有交點，則k取值范圍是．22．（2021秋?普陀區(qū)期末）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy內(nèi)，反比例函數(shù)y＝圖象與正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）圖象的公共點A在第一象限，點A到x軸的距離是2．（1）求點A的坐標和正比例函數(shù)的解析式；（2）點P在直線OA上，點B為x軸的正半軸上一點，且PO＝PB，過點P作PD⊥x軸，垂足為點D，線段PD交雙曲線于點C，如果S△POB＝8，求點C的坐標．八．根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式（共1小題）23．（2018秋?寶山區(qū)期末）矩形的長為x，寬為y，面積為9，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系及定義域是．九．反比例函數(shù)的應(yīng)用（共4小題）24．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）已知某種近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）之間的函數(shù)解析式為，如果測得該近視眼鏡鏡片的焦距為0.25米，那么該近視眼鏡的度數(shù)為度．25．（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）為了做好校園疫情防控工作，校醫(yī)每天早上對全校辦公室和教室進行藥物噴灑消毒，她完成3間辦公室和2間教室的藥物噴灑要19min；完成2間辦公室和1間教室的藥物噴灑要11min．（1）校醫(yī)完成一間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要多少時間？（2）消毒藥物在一間教室內(nèi)空氣中的濃度y（單位：mg/m3）與時間x（單位：min）的函數(shù)關(guān)系如圖所示：校醫(yī)進行藥物噴灑時y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x，藥物噴灑完成后y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，兩個函數(shù)圖象的交點為A（m，n）．當教室空氣中的藥物濃度不高于1mg/m3時，對人體健康無危害，校醫(yī)依次對一班至十一班教室（共11間）進行藥物噴灑消毒，當她把最后一間教室藥物噴灑完成后，一班學生能否進入教室？請通過計算說明．26．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）為了預(yù)防疾病，某單位對辦公室采用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成為正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖），現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量6毫克，請根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題：（1）藥物燃燒時，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，自變量x的取值范圍為；藥物燃燒后，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為．（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時員工方可進辦公室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過分鐘后，員工才能回到辦公室；（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？27．由于今年H1N1甲流疫情日益嚴重，為了更好地做好衛(wèi)生防御工作，我們和田中學決定對教室采用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖所示），現(xiàn)測得藥物8min燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6mg，請你根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題．（1）藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，定義域是；藥物燃燒后y與x的函數(shù)關(guān)系式為，定義域是；（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6mg時學生方可進教室，那么從消毒開始，至少多少分鐘后學生才能回到教室？一十．反比例函數(shù)綜合題（共4小題）28．（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，在直角坐標平面內(nèi)，正比例函數(shù)y＝x的圖象與一個反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點為點A，過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，AB＝3．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）在直線AB上是否存在點C，使點C到直線OA的距離等于它到點B的距離？若存在，求點C的坐標；若不存在，請說明理由；（3）已知點P在直線AB上，如果△AOP是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標．29．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，△AOB是等邊三角形．（1）在y軸正半軸取一點E，使得△EOB是一個等腰直角三角形，EB與OA交于M，已知MB＝3，求MO．（2）若等邊△AOB的邊長為6，點C在邊OA上，點D在邊AB上，且OC＝3BD．反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象恰好經(jīng)過點C和點D，求反比例函數(shù)解析式．（此題無需寫括號理由）30．（2021秋?浦東新區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，雙曲線y＝（k≠0）上有A，B兩點，且與直線y＝ax（a＞0）交于第一象限內(nèi)的點A，點A的坐標為（4，2），點B的坐標為（n，1），過點B作y軸的平行線，交x軸與點C，交直線y＝ax（a＞0）與點D，（1）求：點D的坐標；（2）求：△AOB的面積；（3）在x軸正半軸上是否存在點P，使△OAP是以O(shè)A為腰的等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，請直接寫出P的坐標．31．（2021秋?靜安區(qū)期末）如圖所示，在直角坐標系中，點A是反比例函數(shù)y1＝的圖象上一點，AB⊥x軸的正半軸于B點，C是OB的中點；一次函數(shù)y2＝ax+b的圖象經(jīng)過A、C兩點，并將y軸于點D（0，﹣2），若S△AOD＝4．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，請指出在y軸的右側(cè)，當y1＞y2時，x的取值范圍．鞏固提升鞏固提升1.（市西2020期末3）下列各點中，在反比例函數(shù)圖像上的是（）A. B. C. D.2.（金山2020期末3）已知正比例函(k是常數(shù),)中y隨x的増大而增大,那么它和函數(shù)(k是常數(shù),k≠0)在同一平面直角坐標系內(nèi)的大致圖像可能是()A. B. C. D.3.（松江區(qū)2020期末3）下列函數(shù)中，y隨著x的增大而減小的是（）A．y＝3x B． C．y＝﹣3x D．4.（浦東新區(qū)2020期末3）已知點，均在雙曲線上，下列說法中錯誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5.（浦東新區(qū)2020期末4）如圖，A、C是函數(shù)的圖象上任意兩點，過點A作y軸的垂線，垂足為B，過點C作y軸的垂線，垂足為D．記的面積為，的面積為，則和的大小關(guān)系是（）A.；B.；C.；D.由A、C兩點的位置確定6.（金山2020期末10）已知函數(shù)，則______．7.（嘉定區(qū)2019期中14）如果是反比例函數(shù)，則__________.8.（松江區(qū)2020期末12）已知反比例函數(shù)的圖象有一分支在第二象限，那么常數(shù)m的取值范圍是．9.（浦東新區(qū)2020期末13）已知函數(shù)與的圖像的一個交點坐標是（1，2），則它們的圖像的另一個交點的坐標是____．10.（金山2020期末13）已知點A(3,a)、B(-1,b)在函數(shù)的圖像上,那么a___b(填“>”或“=”或“<”)11.（西延安2019期中15）正比例函數(shù)的圖像和反比例函數(shù)的圖像相交于、兩點，點在第二象限，點的橫坐標為，作軸，垂足為，為坐標原點，.若軸上有點，且，則點坐標為______.12.（浦東四署2020期末18）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線分別交反比例函數(shù)在第一象限的圖像于點A、B，過點B作軸于點D，交的圖像于點C，連結(jié)AC.若是等腰三角形，則k的值是.13.（西延安2019期中26）如圖，已知直線與雙曲線交于兩點，且點的橫坐標為4.（1）求的值；（2）過原點的另一條直線交雙曲線于兩點，（點在第一象限），若由點為頂點組成的三角形面積為6，求點的坐標.14.（市西2020期末26）如圖，已知直線與雙曲線在第一象限交于點，且點的橫坐標為4，點在雙曲線上.（1）求雙曲線的函數(shù)解析式；（2）若點的縱坐標為8，試判斷形狀，并說明理由.15.（浦東南片2020期末25）如下圖，在平面直角坐標系內(nèi)，函數(shù)和交于兩點，已知.（1）求這兩個函數(shù)的解析式，并直接寫出點的坐標；（2）點在軸上，且時，求點的坐標.16.（浦東新區(qū)2020期末24）如圖，直線與雙曲線交于A點，且點A的橫坐標是4．雙曲線上有一動點C（m，n）,.過點A作軸垂線，垂足為B，過點C作軸垂線，垂足為D，聯(lián)結(jié)OC．（1）求的值；（2）設(shè)的重合部分的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系；（3）聯(lián)結(jié)AC，當?shù)冢?）問中S的值為1時，求的面積．17.如圖，點A、B在反比例函數(shù)的圖像上，且A、B橫坐標分別是a、2a．AC⊥x軸，垂足為C，三角形AOC的面積為2．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）若點也在反比例函數(shù)的圖像上，試比較的大?。?8.如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖像交于第一象限內(nèi)的點A，AB⊥x軸于點B，AB=6．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）在直線AB上是否存在點P，使點P到正比例函數(shù)直線OA的距離等于點P到點B的距離?若存在，求點P坐標，若不存在，請說明理由．AABOxy19.已知反比例函數(shù)與正比例函數(shù)相交與點A，點A的坐標是（1，m）．（1）求此正比例函數(shù)解析式；（2）若正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)相交于點B，過點A 和點B分別做x軸的垂線，分別交x軸于點C和點D，AC和OB相交于點P，求梯形 PCDB的面積；（3）聯(lián)結(jié)AB，求的面積．20.如圖，在反比例函數(shù)的圖像上，有點，他們的橫坐標為1，2，3，4．分別過這些點往x軸和y軸上作垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左向右依次是的值．21.已知，如圖點P是雙曲線上的一點，PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，PA、PB分別交雙曲線于點D、C．求△PCD的面積．22.如圖已知在平面直角坐標系中，正方形ABCD頂點A、B的坐標分別為（1，0）和（0，2）．雙曲線經(jīng)過點D．（1）求雙曲線的函數(shù)解析式；（2）將正方形ABCD沿x軸向左平移多少個單位長度，可以使點C正好落在雙曲線上．第07講反比例函數(shù)（10大考點）考點考向考點考向一、反比例函數(shù)的概念1、如果兩個變量的每一組對應(yīng)值的乘積是一個不等于零的常數(shù)，我們就說這兩個變量成反比例．用數(shù)學式子表示兩個變量、成反比例，就是，或表示為，其中是不等于0的常數(shù)． 2、解析式形如（是常數(shù)，）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中叫做比例系數(shù)． 3、反比例函數(shù)的定義域是不等于零的一切實數(shù)．二、反比例函數(shù)的圖像 1、反比例函數(shù)（是常數(shù)，）的圖像叫做雙曲線，它有兩支．三、反比例函數(shù)的性質(zhì) 1、當時，函數(shù)圖像的兩支分別在第一、三象限；在每個象限內(nèi)，當自變量的值 逐漸增大時，的值隨著逐漸減小． 2、當時，函數(shù)圖像的兩支分別在第二、四象限；在每個象限內(nèi)，當自變量的值 逐漸增大時，的值隨著逐漸增大． 3、圖像的兩支都無限接近于軸和軸，但不會與軸和軸相交．考點精講考點精講一．反比例函數(shù)的定義（共3小題）1．（2021秋?楊浦區(qū)期中）已知y與2z成反比例，比例系數(shù)為k1，z與x成正比例，比例系數(shù)為k2，k1和k2是已知數(shù)，且k1?k2≠0，則y關(guān)于x成反比例．（填“正”或“反”）【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義得出y＝，根據(jù)正比例函數(shù)的定義得出z＝k2x，求出y＝，再根據(jù)反比例函數(shù)的定義得出答案即可．【解答】解：∵y與2z成反比例，比例系數(shù)為k1，∴y＝，∵z與x成正比例，比例系數(shù)為k2，∴z＝k2×x＝k2x，∴y＝＝＝，∵k1和k2是已知數(shù)，且k1?k2≠0，∴y關(guān)于x成反比例，故答案為：反．【點評】本題考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的定義，能熟記正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．2．（2020秋?嘉定區(qū)期中）若y＝（4﹣2a）x是反比例函數(shù)，則a的值是﹣2．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)形式y(tǒng)＝kx﹣1（k為常數(shù)，k≠0），即可得出關(guān)于a的關(guān)系式，進而得到a的值．【解答】解：∵y＝（4﹣2a）x是反比例函數(shù)，∴4﹣2a≠0，且a2﹣5＝﹣1，解得a＝﹣2，故答案為：﹣2．【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)定義，解題時關(guān)鍵是注意y＝kx﹣1的形式中k≠0．3．（2020秋?靜安區(qū)期末）已知y＝y(tǒng)1+y2，y1與（x﹣1）成反比例，y2與x成正比例，且當x＝2時，y1＝4，y＝2．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）求當x＝3時的函數(shù)值．【分析】（1）設(shè)y1＝，y2＝k2x（k2≠0），把x＝2，y1＝4和x＝2，y＝2分別代入求解即可得到答案；（2）把x＝3代入解析式計算可得答案．【解答】解：（1）設(shè)y1＝，y2＝k2x（k2≠0），∴y＝+k2x，把x＝2，y1＝4和x＝2，y＝2分別代入得，解得，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣x；（2）當x＝3時，y＝﹣3＝﹣1．【點評】此題考查的是反比例函數(shù)的定義、正比例函數(shù)的定義，掌握其概念是解決此題關(guān)鍵．二．反比例函數(shù)的圖象（共2小題）4．（2020秋?寶山區(qū)校級期末）函數(shù)y＝﹣kx與y＝（k＜0）的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．【解答】解：∵k＜0，∴反比例函數(shù)y＝的圖象位于一、三象限，正比例函數(shù)y＝﹣kx的圖象過一、三象限；故選：A．【點評】本題考查了反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的圖象，二次根式的意義，熟知正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2020秋?奉賢區(qū)期末）已知正比例函數(shù)y＝kx和反比例函數(shù)y＝﹣在同一坐標系內(nèi)的大致圖象是（）A．（1）或（3） B．（1）或（4） C．（2）或（3） D．（3）或（4）．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)并結(jié)合其系數(shù)解答即可．【解答】解：（1）、函數(shù)y＝kx中，k＜0，函數(shù)y＝﹣中，k＜0；正確；（2）、函數(shù)y＝kx中，k＜0，函數(shù)y＝﹣，k＞0；錯誤；（3）、函數(shù)y＝kx中，k＞0，函數(shù)y＝﹣中，k＜0；錯誤；（4）、函數(shù)y＝kx中，k＞0，函數(shù)y＝﹣中，k＞0；正確．故選：B．【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和正比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，關(guān)鍵是由k的取值確定函數(shù)所在的象限．三．反比例函數(shù)的性質(zhì)（共3小題）6．（2021秋?浦東新區(qū)期末）已知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0），y的值隨x的值的增大而減小，那么它和反比例函數(shù)y＝﹣（k≠0）在同一直角坐標平面內(nèi)的大致圖象是（）A． B． C． D．【分析】首先由“y＝kx（k≠0）中y隨x的增大而減小”判定k＜0，然后根據(jù)k的符號來判斷函數(shù)y＝﹣所在的象限．【解答】解：∵函數(shù)y＝kx（k≠0）中y隨x的增大而減小，∴k＜0，該函數(shù)圖象經(jīng)過第二，四象限；∴函數(shù)y＝﹣的圖象經(jīng)過第一、三象限；故選：C．【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象特點：①反比例函數(shù)y＝的圖象是雙曲線；②當k＞0時，它的兩個分支分別位于第一、三象限；③當k＜0時，它的兩個分支分別位于第二、四象限．7．（2021秋?普陀區(qū)期末）如果反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，那么k的取值范圍是（）A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣2【分析】由反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，得出k﹣2＜0，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，∴k﹣2＜0，∴k＜2，故選：A．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象以及性質(zhì)；熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．8．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）下列函數(shù)中，y的值隨著x的值增大而減小的是（）A．y＝ B．y＝﹣2x C．y＝﹣ D．y＝2x【分析】根據(jù)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的增減性，結(jié)合自變量的取值范圍，逐一判斷．【解答】解：A、y＝是反比例函數(shù)，∵2＞0，故在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，不符合題意；B、y＝﹣2x是正比例函數(shù)，k＝﹣2＜0，故y隨著x增大而減小，符合題意；C、y＝是反比例函數(shù)，∵﹣2＜0，故在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，不符合題意；D、y＝2x，正比例函數(shù)，k＞0，故y隨著x增大而增大，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．四．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共1小題）9．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）如圖，已知雙曲線（x＞0）經(jīng)過矩形OABC的邊AB的中點F，交BC于點E，且四邊形OEBF的面積為2．則k＝（）A．2 B． C．1 D．4【分析】設(shè)B點坐標為（a，b），由矩形OABC的邊AB的中點為F，則F點的坐標為（a，），根據(jù)反比例函數(shù)y＝（k≠0）系數(shù)k的幾何意義得到S△OAF＝S△OEC＝|k|＝a?，則ab＝2k，利用S矩形＝S四邊形OEBF+S△OAF+S△OEC得到ab＝2+k+k，所以2k＝k+2，再解一次方程即可．【解答】解：設(shè)B點坐標為（a，b），∵矩形OABC的邊AB的中點為F，∴F點的坐標為（a，），∴S△OAF＝S△OEC＝|k|＝a?，∴ab＝2k，∵S矩形＝S四邊形OEBF+S△OAF+S△OEC，∴ab＝2+k+k，∴2k＝k+2，∴k＝2．故選：A．【點評】本題考查了反比例函數(shù)y＝（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y＝kx（k≠0）圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|．五．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征（共6小題）10．（2021秋?楊浦區(qū)期中）已知點（x1，y1）和（x2，y2）都在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，如果x1＜x2，那么y1與y2的大小關(guān)系正確的是（）A．y1＜y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＞y2 D．無法判斷【分析】分x1，x2同號和異號兩種情況討論．【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝﹣中k＝﹣3，∴圖象在二、四象限，在每個象限y隨x的增大而增大，當x1，x2同號，即0＜x1＜x2或x1＜x2＜0，y1＜y2，當x1，x2異號時，即x2＞0＞x1，y1＞y2；故選：D．【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．11．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）反比例函數(shù)y＝的圖象在第二、四象限內(nèi)，則點（m，﹣1）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合反比例函數(shù)圖象所在象限，求出m的取值范圍，再由點的坐標特點，確定點所在象限．【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝的圖象在第二、四象限內(nèi)，∴m＜0，∴點（m，﹣1）的橫縱坐標都為負，∴點M在第三象限，故選：C．【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，象限內(nèi)點的坐標特征，關(guān)鍵是根據(jù)反比例函數(shù)圖象的位置確定m的取值范圍．12．（2021秋?浦東新區(qū)期末）在反比例函數(shù)y＝的圖象上有三點A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，則下列各式中，正確的是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2【分析】根據(jù)反比例函數(shù)解析式畫出草圖，再找出符合條件的點，可以直觀的得到答案．【解答】解：如圖所示：根據(jù)函數(shù)圖象可得y2＜y1＜y3，故選：C．【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，做此類題目，畫出圖象，描出符合條件的點，可以直觀的得到答案．13．（2021秋?徐匯區(qū)期末）若M（﹣1，y1）、兩點都在函數(shù)的圖象上，且y1＜y2，則k的取值范圍是k＜0．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：∵當﹣1＜﹣＜0時，y1＜y2，∴在每個象限y隨x的增大而增大，∴k＜0，故答案為：k＜0．【點評】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)．14．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）l1是反比例函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的圖象，且過點A（2，5），l2與l1關(guān)于x軸對稱，那么圖象l2的函數(shù)解析式為y＝﹣．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，得出k＝xy＝2，進而求出圖象l2的函數(shù)解析式．【解答】解：∵l1是反比例函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的圖象，且過點A（2，5），∴k＝2×5＝10，∵l1與l2關(guān)于x軸對稱，∴兩圖象形狀完全一樣，只是所在象限不同，∴xy＝﹣10，∴圖象l2的函數(shù)解析式為：y＝﹣．故答案為：y＝﹣．【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及關(guān)于x軸對稱的性質(zhì)，利用已知得出xy＝﹣10是解決問題的關(guān)鍵．15．（2021秋?楊浦區(qū)校級期中）平面直角坐標系中，點A（，2）向左平移m個單位后恰好落在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，則m的值為2．【分析】根據(jù)點的平移規(guī)律可得平移后點的坐標是（﹣m，2），再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點可得（﹣m）×2＝﹣2，再解方程即可得到答案．【解答】解：∵A坐標為（，2），∴將點A沿x軸向左平移m個單位后得到的點的坐標是（﹣m，2），∵恰好落在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，∴（﹣m）×2＝﹣2，解得：m＝2．故答案為：2．【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，以及點的平移規(guī)律，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k．六．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式（共3小題）16．（2021秋?松江區(qū)期末）已知y＝y(tǒng)1+y2，y1與x成正比例，y2與x成反比例，且當x＝﹣1時，y＝﹣4；當x＝3時，y＝4．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）當x＝﹣2時，求y的值．【分析】（1）根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的定義設(shè)y1＝mx，y2＝，則y＝mx+，再把兩組對應(yīng)值代入得到關(guān)于m、n的方程組，然后解方程組求出m、n即可．（2）把x＝﹣2代入（1）中求得的解析式即可求得．【解答】解：（1）設(shè)y1＝mx，y2＝，則y＝mx+，根據(jù)題意得，解得．所以y與x的函數(shù)表達式為y＝x+．（2）把x＝﹣2代入得，y＝﹣2+＝﹣．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點的坐標特征，圖象上點的坐標適合解析式是解題的關(guān)鍵．17．（2021秋?浦東新區(qū)期末）已知y＝y(tǒng)1+y2，并且y1與x成正比例，y2與x﹣2成反比例．當x＝3時，y＝7；當x＝1時，y＝1，求：y關(guān)于x的函數(shù)解析式．【分析】設(shè)所求的函數(shù)解析式為y＝k1x+（k1≠0，k2≠0），再將所給的點代入可求得，即可求函數(shù)解析式．【解答】解：設(shè)所求的函數(shù)解析式為y＝k1x+（k1≠0，k2≠0），當x＝3時，y＝7；當x＝1時，y＝1，代入y＝k1x+，∴，解得，∴函數(shù)解析式是y＝2x+．【點評】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的定義，會用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．18．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）已知函數(shù)y＝y(tǒng)1﹣y2，且y1為x的反比例函數(shù)，y2為x的正比例函數(shù)，且和x＝1時，y的值都是1．求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．【分析】首先根據(jù)題意，分別表示出y1與x，y2與x的函數(shù)關(guān)系式，再進一步表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式；然后根據(jù)已知條件，得到方程組，即可求解．【解答】解：∵y1與x成反比例，y2與x成正比例，∴y1＝，y2＝kx．∵y＝y(tǒng)1﹣y2，∴y＝﹣kx，∵當x＝﹣時，y＝1；當x＝1時，y＝1，∴，∴∴y＝﹣2x．【點評】解決本題的關(guān)鍵是得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，需注意兩個函數(shù)的比例系數(shù)是不同的．七．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共4小題）19．（2021秋?徐匯區(qū)期末）如果正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的一個交點的坐標為（3，﹣4），那么另一個交點的坐標為（）A．（﹣3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3）【分析】正比例函數(shù)圖象經(jīng)過原點，反比例函數(shù)圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，故這兩個函數(shù)圖象的兩交點是關(guān)于原點對稱的，再根據(jù)點的坐標關(guān)于原點對稱的性質(zhì)即可得．【解答】解：由正比例函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)得，圖象的兩個交點是關(guān)于原點對稱的，∵正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的一個交點的坐標為（3，﹣4），∴另一個交點的坐標為（﹣3，4），故選：C．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，熟知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的中心對稱性是解題的關(guān)鍵．20．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的一個交點為，當正比例函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方時，則x的取值范圍是x＜﹣2或0＜x＜2．【分析】待定系數(shù)法先求出正比例函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)正比例函數(shù)的圖象性質(zhì)求出自變量x的取值范圍．【解答】解：∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的一個交點為，∴正比例函數(shù)為y＝﹣x，反比例函數(shù)為y＝﹣．∴當正比例函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時，即﹣x＞﹣，解得x＜﹣2或0＜x＜2．故答案為：x＜﹣2或0＜x＜2．【點評】主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)正比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．（1）反比例函數(shù)y＝的圖象是雙曲線，當k＞0時，它的兩個分支分別位于第一、三象限；當k＜0時，它的兩個分支分別位于第二、四象限．（2）正比例函數(shù)y＝kx的圖象性質(zhì)：圖象是一條直線，一定經(jīng)過坐標軸的原點．當k＞0時，圖象經(jīng)過一，三象限，y隨x的增大而增大；當k＜0時，圖象經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減小．21．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）若正比例函數(shù)y＝（1+k）x與反比例函數(shù)的圖象沒有交點，則k取值范圍是k＞2或k＜﹣1．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的特征，得到或，解不等式組即可確定出k的范圍．【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝（1+k）x與反比例函數(shù)的圖象沒有交點，∴正比例函數(shù)經(jīng)過第一、三象限，反比例函數(shù)經(jīng)過第二、四象限或正比例函數(shù)經(jīng)過第二、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過第一、四象限，∴或，解得k＞2或k＜﹣1，故答案為：k＞2或k＜﹣1．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握兩函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．22．（2021秋?普陀區(qū)期末）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy內(nèi)，反比例函數(shù)y＝圖象與正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）圖象的公共點A在第一象限，點A到x軸的距離是2．（1）求點A的坐標和正比例函數(shù)的解析式；（2）點P在直線OA上，點B為x軸的正半軸上一點，且PO＝PB，過點P作PD⊥x軸，垂足為點D，線段PD交雙曲線于點C，如果S△POB＝8，求點C的坐標．【分析】（1）由題意可知A的坐標為2，代入反比例函數(shù)解析式求得A的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得正比例函數(shù)解析式；（2）設(shè)P的坐標為（m，2m），根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出OB＝2m，由S△POB＝8，求得m＝2，進而即可求得C（2，1）．【解答】解：（1）∵點A在第一象限，點A到x軸的距離是2，∴點A的縱坐標為2，把y＝2代入y＝得，2＝，解得x＝1，∴A（1，2），代入y＝kx，求得k＝2，∴正比例函數(shù)為y＝2x；（2）設(shè)P的坐標為（m，2m），∵PO＝PB，PD⊥x軸，垂足為點D，∴OD＝BD，∴OB＝2m，∵S△POB＝8，∴＝8，∴＝8，∴m＝2（負數(shù)舍去），∴P的橫坐標為2，把x＝2代入y＝得，y＝1，∴C（2，1）．【點評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，求得P的坐標是解題的關(guān)鍵．八．根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式（共1小題）23．（2018秋?寶山區(qū)期末）矩形的長為x，寬為y，面積為9，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系及定義域是y＝（x≥3）．【分析】根據(jù)矩形的面積得出xy＝9，進而得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系及定義域．【解答】解：∵矩形的長為x，寬為y，面積為9，∴xy＝9，且x≥3，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系及定義域是：y＝（x≥3）．故答案為：y＝（x≥3）．【點評】此題主要考查了根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式，利用矩形面積得出是解題關(guān)鍵．九．反比例函數(shù)的應(yīng)用（共4小題）24．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）已知某種近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）之間的函數(shù)解析式為，如果測得該近視眼鏡鏡片的焦距為0.25米，那么該近視眼鏡的度數(shù)為400度．【分析】把近視眼鏡鏡片的焦距為0.25米代入函數(shù)解析式就可解決問題．【解答】解：把x＝0.25代入，解得y＝400，所以他的眼睛近視400度．故答案為：400．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，本題實際上是已知自變量的值求函數(shù)值的問題，比較簡單．25．（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）為了做好校園疫情防控工作，校醫(yī)每天早上對全校辦公室和教室進行藥物噴灑消毒，她完成3間辦公室和2間教室的藥物噴灑要19min；完成2間辦公室和1間教室的藥物噴灑要11min．（1）校醫(yī)完成一間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要多少時間？（2）消毒藥物在一間教室內(nèi)空氣中的濃度y（單位：mg/m3）與時間x（單位：min）的函數(shù)關(guān)系如圖所示：校醫(yī)進行藥物噴灑時y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x，藥物噴灑完成后y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，兩個函數(shù)圖象的交點為A（m，n）．當教室空氣中的藥物濃度不高于1mg/m3時，對人體健康無危害，校醫(yī)依次對一班至十一班教室（共11間）進行藥物噴灑消毒，當她把最后一間教室藥物噴灑完成后，一班學生能否進入教室？請通過計算說明．【分析】（1）設(shè)完成一間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要xmin和ymin，則，即可求解；（2）點A（5，10），則反比例函數(shù)表達式為y＝，當x＝55時，y＝＜1，即可求解．【解答】解：（1）設(shè)完成一間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要xmin和ymin，則，解得，故校醫(yī)完成一間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要3min和5min；（2）一間教室的藥物噴灑時間為5min，則11個房間需要55min，當x＝5時，y＝2x＝10，故點A（5，10），設(shè)反比例函數(shù)表達式為：y＝，將點A的坐標代入上式并解得：k＝50，故反比例函數(shù)表達式為y＝，當x＝55時，y＝＜1，故一班學生能安全進入教室．【點評】本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．26．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）為了預(yù)防疾病，某單位對辦公室采用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成為正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖），現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量6毫克，請根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題：（1）藥物燃燒時，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝x，自變量x的取值范圍為0≤x≤8；藥物燃燒后，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝（x＞8）．（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時員工方可進辦公室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過30分鐘后，員工才能回到辦公室；（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？【分析】（1）藥物燃燒時，設(shè)出y與x之間的解析式y(tǒng)＝k1x，把點（8，6）代入即可，從圖上讀出x的取值范圍；藥物燃燒后，設(shè)出y與x之間的解析式y(tǒng)＝，把點（8，6）代入即可；（2）把y＝1.6代入反比例函數(shù)解析式，求出相應(yīng)的x；（3）把y＝3代入正比例函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式，求出相應(yīng)的x，兩數(shù)之差與10進行比較，＞等于10就有效．【解答】解：（1）設(shè)藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）為6＝8k1∴k1＝設(shè)藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝k2＞0）代入（8，6）為6＝∴k2＝48∴藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝x（0≤x≤8）藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝（x＞8）（2）結(jié)合實際，令y＝中y≤1.6得x≥30即從消毒開始，至少需要30分鐘后學生才能進入教室．（3）把y＝3代入y＝x，得：x＝4把y＝3代入y＝，得：x＝16∵16﹣4＝12所以這次消毒是有效的．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．27．由于今年H1N1甲流疫情日益嚴重，為了更好地做好衛(wèi)生防御工作，我們和田中學決定對教室采用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖所示），現(xiàn)測得藥物8min燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6mg，請你根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題．（1）藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝x，定義域是0≤x≤8；藥物燃燒后y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝，定義域是x≥8；（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6mg時學生方可進教室，那么從消毒開始，至少多少分鐘后學生才能回到教室？【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得出答案；（2）當y＝1.6時，代入y＝可得出答案．【解答】解：（1）設(shè)藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝kx（k≠0），將點（8，6）代入，得k＝，所以藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝x，自變量x的取值范圍是0≤x≤8；設(shè)藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝，把（8，6）代入得：m＝48，所以藥物燃燒后y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝（x≥8），故答案為：y＝x，0≤x≤8，y＝，x≥8；（2）當y＝1.6時，代入y＝，得x＝30，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過30分鐘后，學生才能回到教室．【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的應(yīng)用，正確數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．一十．反比例函數(shù)綜合題（共4小題）28．（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，在直角坐標平面內(nèi)，正比例函數(shù)y＝x的圖象與一個反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點為點A，過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，AB＝3．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）在直線AB上是否存在點C，使點C到直線OA的距離等于它到點B的距離？若存在，求點C的坐標；若不存在，請說明理由；（3）已知點P在直線AB上，如果△AOP是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標．【分析】（1）將y＝3代入y＝x，得x＝，可得A（），再將點A代入反比例函數(shù)的解析式為y＝，即可得出答案；（2）根據(jù)點A的坐標，可知∠OAB＝30°，過點C作CG⊥OA于G，由題意得CB＝CG，分點C在AB上或AB的延長線上，分別根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案；（3）由OA＝，分AO＝AP，OA＝OP，PA＝PO三種情形，分別得出答案．【解答】解：（1）∵AB＝3，∴點A的縱坐標為3，∵正比例函數(shù)y＝x的圖象經(jīng)過點A，當y＝3時，x＝，∴A（），設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝（k≠0），將點A（，3）代入得k＝3，∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝；（2）∵AB⊥x軸于點B，設(shè)點C的坐標為（，y），在Rt△ABO中，OB＝，AB＝3，由勾股定理得：OA＝＝2，∵OB＝，∴∠OAB＝30°，過點C作CG⊥OA于G，由題意得CB＝CG，當點C在AB上時，則OC平分∠AOB，∴∠BOC＝30°，∴BC＝＝1，∴C（，1），當點C在AB延長線上時，同理可得C'（，﹣3），綜上所述：C（，1）或（，﹣3）；（3）當AO＝AP＝2時，則P（，3﹣2）或（，3+2），當OA＝OP時，由OB⊥AP得，AB＝BP，∴P（，﹣3），當PA＝PO時，∴∠OAP＝∠POA＝30°，則OP平分∠AOB，∴P（，1），綜上所述：P（，3﹣2）或（，3+2）或（，﹣3）或（，1）．【點評】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識，運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．29．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，△AOB是等邊三角形．（1）在y軸正半軸取一點E，使得△EOB是一個等腰直角三角形，EB與OA交于M，已知MB＝3，求MO．（2）若等邊△AOB的邊長為6，點C在邊OA上，點D在邊AB上，且OC＝3BD．反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象恰好經(jīng)過點C和點D，求反比例函數(shù)解析式．（此題無需寫括號理由）【分析】（1）過M作MH⊥x軸交x軸于點H，利用勾股定理得出OM與OH的關(guān)系，再計算出OH和OM即可；（2）過C作CF⊥x軸交x軸于點F，過D作DG⊥x軸交x軸于點G，OF＝a，分別用a的代數(shù)式表示出C點和D點的坐標，再用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可．【解答】解：（1）如下圖，過M作MH⊥x軸交x軸于點H，設(shè)OH＝m，∵∠EOB＝90°，△EOB是一個等腰直角三角形，∴EO＝BO，∠EBO＝45°，∴直角△MHB也是等腰直角三角形，即MH＝BH，∵MH2+BH2＝BM2，即2MH2＝（3）2＝18，解得：MH＝3，又∵△AOB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠OMH＝30°，∴OM＝2OH＝2m，在Rt△MOH中，MH2+OH2＝OM2，即：9+m2＝4m2，解得：，（舍）∴；（2）如下圖，過C作CF⊥x軸交x軸于點F，過D作DG⊥x軸交x軸于點G，設(shè)OF＝a，∵△AOB是等邊三角形，∴∠AOB＝∠ABO＝60°，∴∠OCF＝∠BDG＝30°，∴OC＝2OF＝2a，BD＝2BG，∵OC＝3BD，∴，∴，∴，在Rt△COF中，，在Rt△DBG中，，∴，，∵點C和點D在上，則：，解得：，∴反比例函數(shù)解析式為．【點評】本題主要考查反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．30．（2021秋?浦東新區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，雙曲線y＝（k≠0）上有A，B兩點，且與直線y＝ax（a＞0）交于第一象限內(nèi)的點A，點A的坐標為（4，2），點B的坐標為（n，1），過點B作y軸的平行線，交x軸與點C，交直線y＝ax（a＞0）與點D，（1）求：點D的坐標；（2）求：△AOB的面積；（3）在x軸正半軸上是否存在點P，使△OAP是以O(shè)A為腰的等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，請直接寫出P的坐標．【分析】（1）求出直線OA解析式，根據(jù)反比例函數(shù)確定B點坐標，再根據(jù)B點和D點橫坐標相同求出D點坐標即可；（2）連接AB、OB，過A點作AH⊥BD于H，根據(jù)S△AOB＝S△OCD﹣S△COB﹣S△ADB計算即可；（3）分OA＝OP和OA＝AP兩種情況分別求出P點坐標即可．【解答】解：（1）∵直線y＝ax（a＞0）與雙曲線y＝交于第一象限內(nèi)的點A（4，2），∴a＝，∴直線OA的解析式為y＝x，∵點B（n，1）在雙曲線y＝上，∴n＝8，即B（8，1），由題知D點與B點橫坐標相同都為8，當x＝8時，y＝，∴D（8，4）；（2）連接AB、OB，過A點作AH⊥BD于H，由（1）知C（8，0），B（8，1），D（8，4），A（4，2），∴OC＝8，CD＝4，BD＝3，BC＝1，AH＝4，∴S△AOB＝S△OCD﹣S△COB﹣S△ADB＝OC?CD﹣OC?BC﹣BD?AH＝×8×4﹣﹣＝16﹣4﹣6＝6，即△AOB的面積為6；（3）存在點P，使△OAP是以O(shè)A為腰的等腰三角形，分以下兩種情況：①當OA＝OP時，∵A（4，2），∴OA＝＝2，∴OP＝2，即P（2，0）；②當OA＝AP時，OP＝2xA＝2×4＝8，即P（8，0），綜上，符合條件的B點坐標為（2，0）或（8，0）．【點評】本題主要考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．31．（2021秋?靜安區(qū)期末）如圖所示，在直角坐標系中，點A是反比例函數(shù)y1＝的圖象上一點，AB⊥x軸的正半軸于B點，C是OB的中點；一次函數(shù)y2＝ax+b的圖象經(jīng)過A、C兩點，并將y軸于點D（0，﹣2），若S△AOD＝4．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，請指出在y軸的右側(cè)，當y1＞y2時，x的取值范圍．【分析】（1）需求A點坐標，由S△AOD＝4，點D（0，﹣2），可求A的橫坐標；由C是OB的中點，可得OD＝AB求出A點縱坐標，從而求出反比例函數(shù)解析式；根據(jù)A、D兩點坐標求一次函數(shù)解析式；（2）觀察圖象知，在交點A的左邊，y1＞y2．【解答】解：（1）作AE⊥y軸于E，∵S△AOD＝4，OD＝2∴OD?AE＝4∴AE＝4（1分）∵AB⊥OB，C為OB的中點，∴∠DOC＝∠ABC＝90°，OC＝BC，∠OCD＝∠BCA∴Rt△DOC≌Rt△ABC∴AB＝OD＝2∴A（4，2）（2分）將A（4，2）代入中，得k＝8，∴反比例函數(shù)的解析式為：，（3分）將A（4，2）和D（0，﹣2）代入y2＝ax+b，得解之得：∴一次函數(shù)的解析式為：y2＝x﹣2；（4分）（2）在y軸的右側(cè)，當y1＞y2時，0＜x＜4．（6分）【點評】熟練掌握通過求點的坐標進一步求函數(shù)解析式的方法；通過觀察圖象解不等式時，從交點看起，函數(shù)圖象在上方的函數(shù)值大．鞏固提升鞏固提升1.（市西2020期末3）下列各點中，在反比例函數(shù)圖像上的是（）A. B. C. D.【答案】A；【解析】解：A.，∴此點在反比例函數(shù)的圖象上，故A正確；B.，∴此點不在反比例函數(shù)的圖象上，故B錯誤；C.，∴此點不在反比例函數(shù)的圖象上，故C錯誤；D.，∴此點不在反比例函數(shù)的圖象上，故D錯誤．故選：A．2.（金山2020期末3）已知正比例函(k是常數(shù),)中y隨x的増大而增大,那么它和函數(shù)(k是常數(shù),k≠0)在同一平面直角坐標系內(nèi)的大致圖像可能是()A. B. C. D.【答案】D；【解析】解：∵正比例函(k是常數(shù),)的圖象y隨x的增大而增大，∴k＞0，∴反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的圖象分布在第一、三象限，故選D．3.（松江區(qū)2020期末3）下列函數(shù)中，y隨著x的增大而減小的是（）A．y＝3x B． C．y＝﹣3x D．【答案】C；【解析】解：A、y＝3x中k＝3＞0，y隨著x的增大而增大，不符合題意；B、中k＝3＞0，在每個象限內(nèi)y隨著x的增大而減小，不符合題意；C、y＝﹣3x中k＝﹣3＜0，y隨著x的增大而減小，符合題意；D、中k＝﹣3＜0，在每個象限內(nèi)y隨著x的增大而增大，不符合題意；故選：C．4.（浦東新區(qū)2020期末3）已知點，均在雙曲線上，下列說法中錯誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D；【解析】解：∵點（x1，y1），（x2，y2）均在雙曲線上，∴，．A、當x1=x2時，，即y1=y2，故本選項說法正確；B、當x1=-x2時，，即y1=-y2，故本選項說法正確；C、因為雙曲線位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，所以當0＜x1＜x2時，y1＜y2，故本選項說法正確；D、因為雙曲線位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，所以當x1＜x2＜0時，y1＞y2，故本選項說法錯誤；故選：D．5.（浦東新區(qū)2020期末4）如圖，A、C是函數(shù)的圖象上任意兩點，過點A作y軸的垂線，垂足為B，過點C作y軸的垂線，垂足為D．記的面積為，的面積為，則和的大小關(guān)系是（）A.；B.；C.；D.由A、C兩點的位置確定【答案】C；【解析】解：由題意得：S1=S2=．故答案選：C．6.（金山2020期末10）已知函數(shù)，則______．【答案】；【解析】解：把x＝2代入，可得：，故答案為：.7.（嘉定區(qū)2019期中14）如果是反比例函數(shù)，則__________.【答案】0；【解析】解：由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，解得：．8.（松江區(qū)2020期末12）已知反比例函數(shù)的圖象有一分支在第二象限，那么常數(shù)m的取值范圍是．【答案】；【解析】解：∵反比例函數(shù)的圖象有一分支在第二象限，∴3m﹣1＜0，解得.9.（浦東新區(qū)2020期末13）已知函數(shù)與的圖像的一個交點坐標是（1，2），則它們的圖像的另一個交點的坐標是____．【答案】（-1，-2）；【解析】解：∵函數(shù)與的圖像都是中心對稱圖形，∴函數(shù)與的圖像的一個交點坐標是（1，2）關(guān)于原點對稱的點是（-1，-2），∴它們的圖像的另一個交點的坐標是（-1，-2）．10.（金山2020期末13）已知點A(3,a)、B(-1,b)在函數(shù)的圖像上,那么a___b(填“>”或“=”或“<”)【答案】<；【解析】解：把點A（3，a）代入函數(shù)可得，a=-1；把點B（-1，b）代入函數(shù)可得，b=3；∵3＞-1，即a＜b．故答案為：＜．11.（西延安2019期中15）正比例函數(shù)的圖像和反比例函數(shù)的圖像相交于、兩點，點在第二象限，點的橫坐標為，作軸，垂足為，為坐標原點，.若軸上有點，且，則點坐標為______.【答案】或；【解析】解：設(shè)反比例函數(shù)為：，正比例函數(shù)為：，∵二者圖像關(guān)于原點對稱∴A與B這兩點亦關(guān)于原點對稱，如圖通過圖像關(guān)系可以得知：AD就是A的縱坐標y，而AD邊的高就是A與B兩點橫坐標的距離2，∴A的坐標為（﹣1,2），B的坐標為（1，﹣2），設(shè)C的坐標為（m，0）∵，∴，解得m=2，∴C的坐標為（2,0）或（﹣2,0）.12.（浦東四署2020期末18）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線分別交反比例函數(shù)在第一象限的圖像于點A、B，過點B作軸于點D，交的圖像于點C，連結(jié)AC.若是等腰三角形，則k的值是.【答案】;【解析】解：設(shè)，，則，點A、B代入得：，故得，因為，因此，，，若是等腰三角形，則（1）當AB=AC時，，無解；（2）當AB=BC時，，解得，所以；（3）當AC=BC時，，解得，故.綜上所述：k的值是.13.（西延安2019期中26）如圖，已知直線與雙曲線交于兩點，且點的橫坐標為4.（1）求的值；（2）過原點的另一條直線交雙曲線于兩點，（點在第一象限），若由點為頂點組成的三角形面積為6，求點的坐標.【答案】（1）；（2）或；【解析】解：（1）A點橫坐標為4，把代入中，得，（2）設(shè)過點分別做x軸的垂線，垂足為E、F，點在雙曲線上，，，，，，，，或.14.（市西2020期末26）如圖，已知直線與雙曲線在第一象限交于點，且點的橫坐標為4，點在雙曲線上.（1）求雙曲線的函數(shù)解析式；（2）若點的縱坐標為8，試判斷形狀，并說明理由.【答案】（1）；（2）直角三角形；【解析】