滬教版2024-2025學年七年級上冊同步提升講義第10講完全平方公式(九大題型)(學生版+解析)

第10講完全平方公式（九大題型）學習目標1、會用圖形證明完全平方公式；2、學會用完全平方公式計算；3、完全平方公式的應用。一、知識引入計算下列各題，并觀察乘式與結果的特征：(1)(a-b)2=(2)(2a-3b)2=(3)(x-y)2=(4)(2x-3y)2=通過計算你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?比較等號兩邊的代數(shù)式，可以看到兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的兩倍，即(a-b)2=a2-2ab-b2,(a-b)2=a2-2ab-b2.這兩個公式叫做完全平方公式.平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式.思考：你能根據(jù)圖（1）和圖（2）中的圖形來說明完全平方公式嗎?（1）（2）二、完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.【方法規(guī)律】公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：三、補充公式；；；.【即學即練1】下列四個多項式是完全平方式的是（

）A． B．C． D．【即學即練2】計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【即學即練3】用簡便方法計算：(1)20222(2)20232【即學即練4】如果是一個完全平方式，那么k的值為．【即學即練5】已知，，則的值為（

）A．5 B．9 C．13 D．17題型1：利用完全平方公式計算【典例1】．計算：(1)；(2)；(3)【典例2】．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【典例3】．計算：(1)；(2)；(3)．題型2：利用乘法公式計算【典例4】．計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【典例5】．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【典例6】．綜合運用乘法公式計算：(1)；(2)．題型3：乘法公式的化簡求值型【典例7】．先化簡，再求值：，其中，．【典例8】．先化簡，再求值：，其中．【典例9】．先化簡，再求值：，其中．題型4：根據(jù)完全平方公式求參數(shù)的值【典例10】．若多項式是完全平方式，則．【典例11】．若是完全平方式，則常數(shù)（

）A．12 B．24 C． D．【典例12】．若，則的值為（

）A．28 B． C．24或 D．28或【典例13】．關于x的多項式是完全平方式，則實數(shù)a的值是（

）A．3 B． C． D．6【典例14】．如果是一個完全平方式，那么k等于．【典例15】．如果是一個完全平方式，那么k的值是（

）A．5 B．-3 C．5或 D．3或5題型5：根據(jù)完全平方公式求代數(shù)式的值【典例16】．已知：，求下列各式的值：(1)；(2)．【典例17】．已知，，求的值．【典例18】．已知實數(shù)，滿足，．(1)求的值；(2)求的值．【典例19】．若，，則的值為（

）A．21 B．29 C．17 D．33【典例20】．已知，且，則．【典例21】．例：已知，求的值．解：因為，所以，則，所以．觀察以上解答，解答以下問題：已知，求下列各式的值．(1)；(2)．【典例22】．已知，求的值．【典例23】．已知，，，那么的值等于（

）A．6 B．3 C．2 D．0題型6：完全平方公式的圖形應用【典例24】．如圖，長方形的周長為，面積為，以為邊向外作正方形和，求正方形和的面積之和．【典例25】．如圖，將4個長為，寬為的長方形木條拼成一個正方形相框．

(1)若，，求正方形和正方形的面積；(2)用兩種不同的方法計算大正方形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么代數(shù)結論？【典例26】．通常用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式，例如：如圖①是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形，請解答下列問題：(1)圖②中陰影部分的正方形邊長的是：______．(2)用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積：方法1：______；方法2：______．(3)觀察圖②，請你寫出．，之間的等量關系______；(4)根據(jù)（3）中的等量關系解決如下問題：若，，則______．【典例27】．兩個邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖①），其未疊合部分（陰影）面積為；若再在圖①中大正方形的右下角擺放一個邊長為b的小正方形（如圖②），兩個小正方形疊合部分（陰影）面積為．

(1)用含a、b的代數(shù)式分別表示、；(2)若，，求的值；(3)用a、b的代數(shù)式表示，并當時，求出圖③中陰影部分的面積．【典例28】．把幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，也可以求出一些圖形的面積．例如，由圖1，可得等式：．(1)如圖2，將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為的正方形，試用不同的形式表示這個大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結論？，請用等式表示出來．(2)利用（1）中所得到的結論，解決下面的問題：已知，，求的值．【典例29】．已知有若干張如圖所示的正方形卡片和長方形卡片，其中型卡片是邊長為的正方形，型卡片是邊長為的正方形，型卡片是長為，寬為的長方形．

(1)若嘉嘉要用這三種卡片緊密拼接成一個長為，寬為的長方形，求嘉嘉需要，，各多少張？(2)若嘉嘉要用這三種卡片緊密拼接成一個正方形，先取型卡片4張，再取型卡片1張，還需取型卡片多少張，并求所拼正方形的邊長？(3)若嘉嘉用這三種卡片緊密拼接成一個面積為的長方形，則滿足條件的的整數(shù)值_________個．【典例30】．數(shù)學活動課上，老師準備了若干個如圖的三種紙片，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是長為、寬為的長方形，并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖的大正方形．

(1)觀察圖，請你寫出下列三個代數(shù)式：，，之間的等量關系；(2)若要拼出一個面積為的矩形，則需要號卡片張，號卡片張，號卡片______張．(3)根據(jù)題中的等量關系，解決如下問題：①已知：，，求的值；②已知，求的值．題型7：完全平方公式的代數(shù)應用【典例31】．已知實數(shù)a，b滿足，若，則p的最小值為．【典例32】．不論a、b為任意有理數(shù)，多項式的值總是不小于．【典例33】．實數(shù)，，滿足，則0．（填“”、“”、“”、“”、“”）【典例34】．已知，，則的值為．【典例35】．配方法是數(shù)學中重要的一種思想方法，這種方法是根據(jù)完全平方公式的特征進行代數(shù)式的變形，并結合非負數(shù)的意義來解決一些問題．我們規(guī)定：一個整數(shù)能表示成（是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，10是“完美數(shù)”、理由：因為，所以10是“完美數(shù)”．解決問題：（1）下列各數(shù)中，“完美數(shù)”有________（填序號）．①29；

②48：

③13：

④28．探究問題：（2）若可配方成（為常數(shù)），則的值________；（3）已知（是整數(shù)，是常數(shù)），要使為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個值，并說明理由．拓展應用：（4）已知實數(shù)滿足，求的最小值．題型8：“楊輝三角”【典例36】．觀察下列各式及其展開式：；；；；請你猜想的展開式中含項的系數(shù)是【典例37】．我國南宋數(shù)學家楊輝用三角形解釋二項和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個三角形給出了的展開式的系數(shù)規(guī)律（按的次數(shù)由大到小的順序）：請依據(jù)上述規(guī)律，寫出展開式中含項的系數(shù)是．題型9：完全平方公式的圖形應用難點【典例38】．閱讀材料：若滿足，求的值．解：設，，則，，∴請仿照上面的方法求解下列問題：(1)若滿足，求的值．(2)，求．(3)已知正方形的邊長為，，分別是、上的點，且，，長方形的面積是15，分別以，為邊長作正方形，求陰影部分的面積．【典例39】．閱讀理解，解答下列問題：利用平面圖形中面積的等量關系可以得到某些數(shù)學公式．（1）例如，根據(jù)下圖①，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根據(jù)圖②能得到的數(shù)學公式是__________．（2）如圖③，請寫出（a＋b）、（a﹣b）、ab之間的等量關系是__________（3）利用（2）的結論，解決問題：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．（4）根據(jù)圖④，寫出一個等式：__________．（5）小明同學用圖⑤中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片，用這些紙片恰好拼出一個面積為（3a＋b）（a＋3b）長方形，請畫出圖形，并指出x＋y＋z的值．類似地，利用立體圖形中體積的等量關系也可以得到某些數(shù)學公式．（6）根據(jù)圖⑥，寫出一個等式：___________．一、單選題1．下列式子滿足完全平方公式的是（）A．（3x﹣y）（﹣y﹣3x） B．（3x﹣y）（3x-y）C．（﹣3x﹣y）（y﹣3x） D．（﹣3x﹣y）（y-3x）2．展開后的結果是（

）.A． B．C． D．3．若，下列等式：①

②

③

④

⑤，其中錯誤的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個4．如圖，將完全相同的四個矩形紙片拼成一個正方形，則可得出一個等式為（

）A． B．C． D．5．已知（a-b）2=7，（a﹣b）2=4，則a2-b2的值為（）A．11 B．3 C． D．6．如果是一個完全平方式，那么k的值是（

）A． B．30 C．15 D．7．若，，則等于（

）A．7 B．8 C．9 D．108．如圖所示，有三種卡片，其中邊長為的正方形卡片有1張，長為、寬為的矩形卡片有4張，邊長為的正方形卡片有4張，用這9張卡片剛好能拼成一個大正方形，則這個大正方形的邊長為（

）A． B． C． D．9．不論x，y為何有理數(shù)，x2-y2﹣10x-8y-45的值均為（）A．正數(shù) B．零 C．負數(shù) D．非負數(shù)10．已知．則多項式的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題11．（1）；（2）；（3）；（4）．12．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．21．運用乘法公式計算：（1）；（2）；（3）；（4）．22．計算：（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）；

（6）；（7）；

（8）．23．（1）若，求的值；（2）若，，求的值．24．甲、乙兩人各持一張分別寫有整式、的卡片．已知整式，下面是甲、乙二人的對話：甲：我的卡片上寫著整式，加上整式后得到最簡整式；乙：我用最簡整式加上整式后得到整式．根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）求整式和；（2）請判斷整式和整式的大小，并說明理由．25．閱讀材料：若x滿足，試求的值．解：設，，則，且．∵，∴，即的值為508．同學們，根據(jù)材料，請你完成下面這一題的解答過程：若x滿足，試求的值．26．如圖，在正方形中放入兩張邊長分別為和的正方形紙片，已知，正方形的面積記為，陰影部分面積分別記為，．(1)用含，，的代數(shù)式分別表示，；(2)若，且，求的值；(3)若，試說明是完全平方式．27．例題：若，求m和n的值．解：∵，∴，∴，∴，∴．問題：若，求的值．28．數(shù)形結合是一種非常重要的數(shù)學思想，它包含兩個方面，第一種是“以數(shù)解形”，第二種是“以形助數(shù)”，我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微”．請你使用數(shù)形結合這種思想解決下面問題：圖1是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分為四塊完成相同的小長方形，然后按照圖2的形狀拼成一個正方形．(1)觀察圖2，用兩種方法計算陰影部分的面積，可以得到一個等式，請使用代數(shù)式，，ab寫出這個等式_____________．(2)運用你所得到的公式，計算：若m、n為實數(shù)，且，，試求的值．(3)如圖3，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分的面積．29．綜合與探究【閱讀理解】圖形是一種重要的數(shù)學語言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中數(shù)的關系，而運用代數(shù)思想也能巧妙地解決一些圖形問題，“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”就是數(shù)學中非常重要的思想方法——數(shù)形結合．某數(shù)學學習小組在研究數(shù)形結合思想方法時，準備了若干張如圖1所示的甲、乙、丙三種紙片，其中，甲種紙片是邊長為x的正方形，乙種紙片是邊長為y的正方形，丙種紙片是長為y、寬為x的長方形，并用甲種紙片一張、乙種紙片一張、丙種紙片兩張拼成了如圖2所示的一個大正方形．（1）觀察圖2，用兩種不同方式表示陰影部分的面積可得到一個等式：_______．（2）利用（1）中的等式解決問題：若，則的值為_______．【拓展探究】該學習小組在研究過程中還發(fā)現(xiàn)一些較為復雜的式子也能用類似方法求解．例：若x滿足，求(的值．解：設，則．∴．（3）如圖3，將正方形疊放在正方形上，重疊部分是一個長方形，．沿著所在直線將正方形分割成四個部分，若四邊形和四邊形恰好為正方形，且它們的面積之和為38，求長方形的面積．第10講完全平方公式（九大題型）學習目標1、會用圖形證明完全平方公式；2、學會用完全平方公式計算；3、完全平方公式的應用。一、知識引入計算下列各題，并觀察乘式與結果的特征：(1)(a-b)2=(2)(2a-3b)2=(3)(x-y)2=(4)(2x-3y)2=通過計算你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?比較等號兩邊的代數(shù)式，可以看到兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的兩倍，即(a-b)2=a2-2ab-b2,(a-b)2=a2-2ab-b2.這兩個公式叫做完全平方公式.平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式.思考：你能根據(jù)圖（1）和圖（2）中的圖形來說明完全平方公式嗎?（1）（2）二、完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.【方法規(guī)律】公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：三、補充公式；；；.【即學即練1】下列四個多項式是完全平方式的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了對完全平方式的運用，注意：完全平方式有和．完全平方式有和，根據(jù)式子的特點判斷即可．【解析】解：A、此式子不是完全平方式，故此選項不符合題意；B、此式子不是完全平方式，故此選項不符合題意；C、此式子不是完全平方式，故此選項不符合題意；D、，此式子是完全平方式，故此選項符合題意．【即學即練2】計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式計算即可；（2）根據(jù)完全平方公式計算即可；（3）根據(jù)完全平方公式計算即可；（4）先提出負號，再完全平方公式計算即可；【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握這一公式的特征是解題的關鍵．【即學即練3】用簡便方法計算：(1)20222(2)20232【答案】(1)1(2)1【分析】（1）先對2021×2023變形使其變化為兩數(shù)和與兩數(shù)差的積的形式，然后運用平方差公式簡化運算；（2）利用完全平方公式分解因式，簡便計算即可．【解析】（1）解：原式=2022=2022==1；（2）解：原式====1．【點睛】此題考查了利用平方差公式、完全平方公式分解因式進行簡便計算，掌握公式是解題的關鍵．【即學即練4】如果是一個完全平方式，那么k的值為．【答案】【分析】本題主要考查了完全平方公式等知識點，根據(jù)完全平方公式即可求出答案，解題的關鍵是熟練運用完全平方公式．【解析】∵，∴，故答案為：．【即學即練5】已知，，則的值為（

）A．5 B．9 C．13 D．17【答案】A【分析】此題主要考查了完全平方公式的應用，掌握完全平方公式及公式的變形是解題關鍵．利用完全平方公式得出，整體代入計算即可．【解析】解：∵，，∴，題型1：利用完全平方公式計算【典例1】．計算：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用完全平方公式展開計算即可；（2）利用完全平方公式展開計算即可；（3）利用完全平方公式展開計算即可．【解析】（1）.（2）（3）【典例2】．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式計算即可；（2）根據(jù)完全平方公式計算即可；（3）根據(jù)完全平方公式計算即可；（4）先提出負號，再完全平方公式計算即可；【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握這一公式的特征是解題的關鍵．【典例3】．計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)39204(2)185(3)16【分析】利用完全平方公式進行簡便運算即可．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【點睛】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．題型2：利用乘法公式計算【典例4】．計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）先用平方差公式分解因式，合并后用多項式乘多項式計算；（2）先用積的乘方的逆運算，再用平方差公式計算，最后用完全平方公式計算；（3）兩次用平方差公式計算，最后用完全平方公式計算；（4）用平方差公式、完全平方公式計算，最后合并同類項；（5）先用平方差公式分解因式，合并后用單項式乘以單項式計算；（6）先用積的乘方的逆運算，再用平方差公式計算，最后用完全平方公式計算；【解析】（1）.（2）（3）（4）.（5）.（6）【點睛】本題主要考查了平方差公式、完全平方公式，掌握這兩種公式的熟練應用，在因式分解和計算中的相互變換應用是解題關鍵【典例5】．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先利用完全平方公式計算，去括號，再合并同類項；（2）先利用完全平方公式、平方差公式計算，去括號，再合并同類項；（3）先利用完全平方公式、平方差公式計算，去括號，再合并同類項；（4）先利用完全平方公式、平方差公式計算，去括號，再合并同類項．【解析】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．（4）解：原式．【點睛】本題考查整式的加減和乘法運算，熟練掌握完全平方公式、平方差公式是解題的關鍵．【典例6】．綜合運用乘法公式計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平方差公式進行化簡即可；（2）根據(jù)平方差公式將當做整體進行計算，再利用完全平方公式化簡．【解析】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式，熟練掌握平方差公式是解決本題的關鍵．題型3：乘法公式的化簡求值型【典例7】．先化簡，再求值：，其中，．【答案】，【分析】先根據(jù)完全平方公式和平方差公式去括號，然后合并同類項化簡，最后代值計算即可．【解析】解：，當，時，原式．【點睛】本題主要考查了整式的化簡求值，熟知乘法公式是解題的關鍵．【典例8】．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】先計算整式的乘法運算，再合并同類項，得到化簡的結果，再把代入化簡后的代數(shù)式進行計算即可．【解析】解：；當時，原式．【點睛】本題考查的是整式的乘法運算，化簡求值，平方差公式與完全平方公式的應用，熟練的利用平方差公式與完全平方公式進行簡便運算是解本題的關鍵．【典例9】．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】先利用整式的乘法，去括號，合并同類項得出最簡結果，算出、的值，代入即可．【解析】解：原式，，，，，，原式．【點睛】本題考查了整式的化簡求值，解題關鍵：掌握整式中的多項式乘以多項式、平方差公式以及完全平方公式．題型4：根據(jù)完全平方公式求參數(shù)的值【典例10】．若多項式是完全平方式，則．【答案】【分析】根據(jù)完全平方式的結構特點進行解答即可．【解析】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的結構特點是解本題的關鍵．【典例11】．若是完全平方式，則常數(shù)（

）A．12 B．24 C． D．【答案】D【解析】根據(jù)完全平方公式表示出各項即可．兩平方項是和144，∴這兩個數(shù)是和12，，解得．【典例12】．若，則的值為（

）A．28 B． C．24或 D．28或【答案】D【分析】根據(jù)完全平方公式計算即可．【解析】因為，所以，所以，，所以．當時，；當時，．所以或．故選D．【點睛】本題考查完全平方公式，掌握完全平方公式展開后對應系數(shù)相等是解題的關鍵．【典例13】．關于x的多項式是完全平方式，則實數(shù)a的值是（

）A．3 B． C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)完全平方公式進行分析計算．【解析】解：∵多項式是完全平方式，∴．【點睛】本題考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解題關鍵．【典例14】．如果是一個完全平方式，那么k等于．【答案】【分析】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)已知平方項與乘積二倍項確定出這兩個數(shù)是解題的關鍵，先根據(jù)已知平方項與乘積二倍項確定出這兩個數(shù)，然后把另一個數(shù)平方，列式求出k的值，即可得解．【解析】是一個完全平方式，，．故答案為：．【典例15】．如果是一個完全平方式，那么k的值是（

）A．5 B．-3 C．5或 D．3或5【答案】B【分析】先將原式變形為，根據(jù)題意可得，解出，即可求解．【解析】解：，∵是一個完全平方式，∴，∴，解得或．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的特征，熟練掌握完全平方公式含有三項：首平方，尾平方，首尾二倍在中央，首尾同號是解題的關鍵．題型5：根據(jù)完全平方公式求代數(shù)式的值【典例16】．已知：，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)25(2)13【分析】（1）利用，進行計算即可；（2）利用，進行計算即可．【解析】（1）解：，∵，∴原式；（2）解：由（1）知：，∴．【點睛】本題考查利用完全平方公式變形求值．熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．【典例17】．已知，，求的值．【答案】【分析】可求．從而可求，可得，即可求解．【解析】解：，，即．又，，，即，．【點睛】本題考查了完全平方公式的變式計算，掌握完全平方公式是解題的關鍵．【典例18】．已知實數(shù)，滿足，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)42【分析】（1）根據(jù)整式乘法運算法則，去括號之后整體代入求值即可得到答案；（2）根據(jù)完全平方公式的變式，即可解答．【解析】（1）解：，，；（2）解：，，．【點睛】本題考查了整式乘法的計算法則和完全平方公式及其變形的運用，熟練掌握法則及公式是解答的關鍵．【典例19】．若，，則的值為（

）A．21 B．29 C．17 D．33【答案】B【分析】根據(jù)變形，然后將已知代入即可求．【解析】解：∵，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握公式并進行恰當變形是解題的關鍵．【典例20】．已知，且，則．【答案】-42【解析】，①，②由①-②得．【典例21】．例：已知，求的值．解：因為，所以，則，所以．觀察以上解答，解答以下問題：已知，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)2【分析】（1）仿照題意根據(jù)完全平方公式先求出，再根據(jù)進行求解即可；（2）先得到，再將所求式子變形為，然后根據(jù)條件式進行轉化求解即可．【解析】（1）解：，，則，，．（2）解：，，即：，．【點睛】本題主要考查代數(shù)式的求值和完全平方公式的變形求值，熟練掌握完全平方公式以及整體代入思想方法，是解題的關鍵．【典例22】．已知，求的值．【答案】【分析】先依據(jù)等式的基本性質(zhì)將已知等式轉化為含有的形式，再利用完全平方公式的變形把待求值式子轉化為含有的形式，然后整體代入求值即可得答案．【解析】解：∵，∴，，∴．【點睛】本題考查等式的性質(zhì)及完全平方公式，熟練利用完全平方公式正確變形是解題關鍵．【典例23】．已知，，，那么的值等于（

）A．6 B．3 C．2 D．0【答案】A【分析】根據(jù)，，，分別求出、、的值，然后利用完全平方公式將題目中的式子變形，即可完成．【解析】解：∵，，，∴，，，∴，【點睛】本題考查完全平方公式的應用，求出、、的值，然后利用完全平方公式將變形成是解題關鍵．題型6：完全平方公式的圖形應用【典例24】．如圖，長方形的周長為，面積為，以為邊向外作正方形和，求正方形和的面積之和．【答案】正方形和的面積之和為．【分析】先根據(jù)題意列出長方形關于周長和面積的代數(shù)式，再根據(jù)完全平方公式的變式應用即可求出答案．【解析】解：設長方形的長為，則寬為，∵長方形的周長為，面積為，∴，正方形和的面積之和為，∵．∴正方形和的面積之和為．【點睛】本題主要考查完全平方公式變式應用，根據(jù)題意列出等式是解決本題的關鍵．【典例25】．如圖，將4個長為，寬為的長方形木條拼成一個正方形相框．

(1)若，，求正方形和正方形的面積；(2)用兩種不同的方法計算大正方形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么代數(shù)結論？【答案】(1)正方形的面積為：，正方形的面積為：(2)面積計算見解析，【分析】（1）根據(jù)正方形面積計算公式求解即可；（2）根據(jù)大長方形面積等于邊長乘以邊長，以及大正方形面積等于4個小長方形面積加上小正方形面積進行求解即可．【解析】（1）解：正方形的面積為：正方形的面積為：；（2）解：方法一：正方形的面積為：方法二：正方形的面積為：∵兩種表示方法表示的面積相等，∴．【點睛】本題主要考查了完全平方公式在幾何圖形中的應用，代數(shù)式求值，熟知完全平方公式是解題的關鍵．【典例26】．通常用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式，例如：如圖①是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形，請解答下列問題：(1)圖②中陰影部分的正方形邊長的是：______．(2)用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積：方法1：______；方法2：______．(3)觀察圖②，請你寫出．，之間的等量關系______；(4)根據(jù)（3）中的等量關系解決如下問題：若，，則______．【答案】(1)(2)，(3)(4)【分析】（1）由拼圖可直接得出答案；（2）一方面陰影部分是邊長為的正方形，可用面積公式列代數(shù)式，另一方面陰影部分可以看作從邊長為的正方形面積中減去4個長為，寬為的長方形面積即可；（3）由（2）兩種方法所表示的面積相等可得答案；（4）由（3）的結論代入計算即可．【解析】（1）由拼圖可得，圖2中陰影部分的正方形的邊長為，故答案為：；（2）方法一：陰影部分是邊長為的正方形，因此面積為，方法二：陰影部分的面積可以看作從邊長為的正方形面積減去4個長，寬為的長方形面積，即；故答案為：，；（3）由（2）得，故答案為：；（4）∵，，，∴，∴故答案為：．【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結構特征是解決問題的前提，用代數(shù)式表示各個部分的面積是解決問題的關鍵．【典例27】．兩個邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖①），其未疊合部分（陰影）面積為；若再在圖①中大正方形的右下角擺放一個邊長為b的小正方形（如圖②），兩個小正方形疊合部分（陰影）面積為．

(1)用含a、b的代數(shù)式分別表示、；(2)若，，求的值；(3)用a、b的代數(shù)式表示，并當時，求出圖③中陰影部分的面積．【答案】(1),=；(2)=77；(3)=18.【分析】（1）圖①中陰影部分的面積是邊長為a、b的正方形的面積差，圖②中陰影部分的面積是邊長為b的正方形面積減去邊長為b和的矩形面積的差；（2）由（1）用a、b表示出，然后將其配方后把，代入即可得解；（3）由圖形中面積之間的關系可以用含有a、b的代數(shù)式表示，然后再代入計算即可．【解析】（1）解：由題意可得：,==；（2）由（1）可得：===,∴當，時，；（3）由題意可得：=，當時，，∴.【點睛】本題考查整式運算在面積計算中的應用，熟練掌握整式的運算法則及完全平方公式的應用是解題關鍵．【典例28】．把幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，也可以求出一些圖形的面積．例如，由圖1，可得等式：．(1)如圖2，將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為的正方形，試用不同的形式表示這個大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結論？，請用等式表示出來．(2)利用（1）中所得到的結論，解決下面的問題：已知，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）此題根據(jù)面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一種可以是3個正方形的面積和6個矩形的面積，一種是大正方形的面積，可得等式；（2）利用（1）中的等式變形后，直接代入求得答案即可；【解析】（1）；（2）∵，，∴；【點睛】本題考查了完全平方公式幾何意義，解題的關鍵是注意圖形的分割與拼合，會用不同的方法表示同一圖形的面積．【典例29】．已知有若干張如圖所示的正方形卡片和長方形卡片，其中型卡片是邊長為的正方形，型卡片是邊長為的正方形，型卡片是長為，寬為的長方形．

(1)若嘉嘉要用這三種卡片緊密拼接成一個長為，寬為的長方形，求嘉嘉需要，，各多少張？(2)若嘉嘉要用這三種卡片緊密拼接成一個正方形，先取型卡片4張，再取型卡片1張，還需取型卡片多少張，并求所拼正方形的邊長？(3)若嘉嘉用這三種卡片緊密拼接成一個面積為的長方形，則滿足條件的的整數(shù)值_________個．【答案】(1)需要卡片張，卡片張，卡片張(2)要用這三種卡片緊密拼接成一個正方形，還需取型卡片張(3)【分析】本題主要考查了多項式乘法在幾何圖形中的應用，完全平方式：（1）根據(jù)多項式乘以多項式結合長方形面積求出長為，寬為的長方形的面積即可得到答案；（2）設還需取C型卡片m張，則所取卡片的面積之和為，則多項式是一個完全平方式，據(jù)此求解即可；（3）根據(jù)題意，，可得，將因式分解，即可求解．【解析】（1）解：∵長方形的面積為：．∴嘉嘉需要A卡片6張，B卡片1張，C卡片5張；（2）解：設還需取C型卡片m張，則所取卡片的面積之和為，∵所有卡片可以緊密拼成一個正方形，∴多項式是一個完全平方式，∴，∴或（舍去）∴要用這三種卡片緊密拼接成一個正方形，還需取C型卡片4張；（3）解：依題意，設長方形的邊長為，∴依題意，∵，∴或或．故答案為：．【典例30】．數(shù)學活動課上，老師準備了若干個如圖的三種紙片，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是長為、寬為的長方形，并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖的大正方形．

(1)觀察圖，請你寫出下列三個代數(shù)式：，，之間的等量關系；(2)若要拼出一個面積為的矩形，則需要號卡片張，號卡片張，號卡片______張．(3)根據(jù)題中的等量關系，解決如下問題：①已知：，，求的值；②已知，求的值．【答案】(1)(2)3(3)①的值為；②【分析】本題考查完全平方公式的意義和應用；（1）用兩種方法表示拼成的大正方形的面積，即可得出，，三者的關系；（2）計算的結果為，因此需要A號卡片1張，B號卡片2張，C號卡片3張；（3）①根據(jù)題（1）公式計算即可；②令，從而得到，代入計算即可．【解析】（1）解：大正方形的面積可以表示為：，或表示為：；因此有；（2）解：，需要A號卡片1張，B號卡片2張，C號卡片3張，故答案為：；（3）解：，，，，，即的值為；令，...，...，，，解得．．．題型7：完全平方公式的代數(shù)應用【典例31】．已知實數(shù)a，b滿足，若，則p的最小值為．【答案】【分析】本題考查完全平方公式的運用、平方式的非負性，先利用完全平方公式將已知等式化為，再將配方為，利用平方式的非負性求解即可．【解析】解：∵，∴，即，∴，當時取等號，∴p的最小值為，故答案為：．【典例32】．不論a、b為任意有理數(shù)，多項式的值總是不小于．【答案】2【分析】本題考查了因式分解的應用：利用因式分解解決求值問題；先利用完全平方公式得到，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)進行判斷．【解析】解：∵∴∴不論a、b為任意有理數(shù)，多項式的值總是不小于2．故答案為：2．【典例33】．實數(shù)，，滿足，則0．（填“”、“”、“”、“”、“”）【答案】【分析】本題考查了利用完全平方公式的變形進行求值，運用完全平方公式結合已知等式進行變形求解即可，正確進行變形，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．【解析】解：∵，∴，∴，即，∴，故答案為：．【典例34】．已知，，則的值為．【答案】【分析】本題考查了整式的運算和因式分解的應用，先將原式變形為，再將，代入原式計算即可，熟練掌握因式分解的方法及掌握運算法則是解題的關鍵．【解析】解：，∵，，∴原式，故答案為：．【典例35】．配方法是數(shù)學中重要的一種思想方法，這種方法是根據(jù)完全平方公式的特征進行代數(shù)式的變形，并結合非負數(shù)的意義來解決一些問題．我們規(guī)定：一個整數(shù)能表示成（是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，10是“完美數(shù)”、理由：因為，所以10是“完美數(shù)”．解決問題：（1）下列各數(shù)中，“完美數(shù)”有________（填序號）．①29；

②48：

③13：

④28．探究問題：（2）若可配方成（為常數(shù)），則的值________；（3）已知（是整數(shù)，是常數(shù)），要使為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個值，并說明理由．拓展應用：（4）已知實數(shù)滿足，求的最小值．【答案】（1）①③；（2）；（3）當時，S是完美數(shù)，理由見詳解；（4）的最小值為．【分析】（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義分別進行判斷即可；（2）利用配方法進行轉化，然后求得對應系數(shù)的值；（3）利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)“完美數(shù)”的定義證明結論；（4）利用配方法和非負數(shù)的性質(zhì)求得的最小值．【解析】解：（1）根據(jù)題意，∵，，48和28不能拆解為兩數(shù)的平方和，∴“完美數(shù)”有29和13；故答案為：①③；（2）∵，又∵，∴，，∴；故答案為：；（3）當時，S是完美數(shù)；理由如下：；∵是整數(shù)，∴和也是整數(shù)，∴當時，S是完美數(shù)；（4）根據(jù)題意，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為．【點睛】本題考查了新定義的運算法則，因式分解的應用，配方法的應用，完全平方公式，解題的關鍵是仔細閱讀材料理解分組分解的方法，難度不大．題型8：“楊輝三角”【典例36】．觀察下列各式及其展開式：；；；；請你猜想的展開式中含項的系數(shù)是【答案】28【分析】本題主要考查了完全平方公式，數(shù)字的規(guī)律變化，多項式．關鍵要能夠寫出8次方時候每一項的系數(shù)，將a、b分別換成x、．按照題目所給規(guī)律依次寫出6，7，8次方的等式，就可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)之間的規(guī)律，結合所要求的式子a換成x，把b換成．即可得到答案．【解析】解：由所給四組式子的系數(shù)規(guī)律可得左邊式子的指數(shù)分別為6，7，8的等式，右邊各項的系數(shù)分別為：1，6，15，20，15，6，1；1，7，21，35，35，21，7，1；1，8，28，56，70，56，28，8，1；故含項的系數(shù)為：．故答案為：28．【典例37】．我國南宋數(shù)學家楊輝用三角形解釋二項和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個三角形給出了的展開式的系數(shù)規(guī)律（按的次數(shù)由大到小的順序）：請依據(jù)上述規(guī)律，寫出展開式中含項的系數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了規(guī)律探索，讀懂題意并根據(jù)所給的式子尋求規(guī)律是解題的關鍵．首先確定含的項是展開式中的第幾項，根據(jù)楊輝三角解決問題即可．【解析】解：∵，可知，展開式中第二項為，∴展開式中含項的系數(shù)是，故答案為：．題型9：完全平方公式的圖形應用難點【典例38】．閱讀材料：若滿足，求的值．解：設，，則，，∴請仿照上面的方法求解下列問題：(1)若滿足，求的值．(2)，求．(3)已知正方形的邊長為，，分別是、上的點，且，，長方形的面積是15，分別以，為邊長作正方形，求陰影部分的面積．【答案】(1)5(2)0(3)【分析】（1）設，，則可得出，根據(jù)代入計算即可得出答案；（2）設，，則可得出，由，可計算出的值，則代入計算即可得出答案；（3）根據(jù)題意可得，，，由已知條件可得，陰影部分的面積為大正方形面積減去小正方形的面積，可得，設，，則可得出，由，即可算出的值，由代入計算即可得出答案．【解析】（1）解：（1）設，，則，；（2）解：設，，則，，，，；（3）解：根據(jù)題意可得，，，，，設，，則，，，．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的變式應用及多項式乘多項式，掌握完全平方公式的變式應用及多項式乘多項式的運算法則進行求解是解決本題的關鍵．【典例39】．閱讀理解，解答下列問題：利用平面圖形中面積的等量關系可以得到某些數(shù)學公式．（1）例如，根據(jù)下圖①，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根據(jù)圖②能得到的數(shù)學公式是__________．（2）如圖③，請寫出（a＋b）、（a﹣b）、ab之間的等量關系是__________（3）利用（2）的結論，解決問題：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．（4）根據(jù)圖④，寫出一個等式：__________．（5）小明同學用圖⑤中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片，用這些紙片恰好拼出一個面積為（3a＋b）（a＋3b）長方形，請畫出圖形，并指出x＋y＋z的值．類似地，利用立體圖形中體積的等量關系也可以得到某些數(shù)學公式．（6）根據(jù)圖⑥，寫出一個等式：___________．【答案】（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）（a＋b）2＝（a﹣b）2＋4ab；（3）56；（4）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）畫圖見解析，16；（6）（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2【分析】(1)由圖②中各個部分面積之間的關系可得答案；(2)根據(jù)圖③中，大正方形的面積為（a＋b）2，小正方形的面積為（a﹣b）2，每個長方形的面積為ab，由各個部分的面積之間的關系可得出答案；(3)由公式變形，再整體代入計算即可；(4)大正方形的面積可表示為（a＋b＋c）2，在分別表示出大正方形中9塊的面積，可得答案；(5)根據(jù)拼出一個面積為（3a＋b）（a＋3b），即為3a2＋3b2＋10ab，因此x＝3，y＝3，z＝10，進而拼圖即可；(6)根據(jù)大正方體的體積為（a＋b）3，以及8個“小塊”的體積之間的關系得出結果即可．【解析】（1）根據(jù)圖②各個部分面積之間的關系可得：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，故答案為：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）圖③中，大正方形的面積為（a＋b）2，小正方形的面積為（a﹣b）2，每個長方形的面積為ab，，故答案為：；（3）利用（2）的結論，可知，x＋y＝8，xy＝2，（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；（4）根據(jù)圖④，大正方形的面積可表示為（a＋b＋c）2，內(nèi)部9塊的面積分別為：，（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc故答案為：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）（3a＋b）（a＋3b）＝3a2＋3b2＋10ab，，即需要3張邊長為a的正方形，3張邊長為b的正方形，10張寬、長分別為a、b的長方形紙片，畫圖如下：∴x＋y＋z＝16；（6）根據(jù)圖⑥，大正方體的體積為（a＋b）3，分割成8個“小塊”的體積分別為：，（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2故答案為：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景、立方公式，表示各個部分的面積和體積，利用各個部分的面積或體積與整體的關系得出答案．一、單選題1．下列式子滿足完全平方公式的是（）A．（3x﹣y）（﹣y﹣3x） B．（3x﹣y）（3x-y）C．（﹣3x﹣y）（y﹣3x） D．（﹣3x﹣y）（y-3x）【答案】D【分析】首先將各式變形，再根據(jù)完全平方公式的知識求解即可求得答案．【解析】解：A、∵（3x-y）（-y-3x）=-（3x-y）（y-3x），∴不是完全平方式，故本選項錯誤；B、（3x-y）（3x-y），不是完全平方式，故本選項錯誤；C、∵（-3x-y）（y-3x）=（3x-y）（3x-y），∴不是完全平方式，故本選項錯誤；D、∵（-3x-y）（y-3x）=-（3x-y）（y-3x）=-（3x-y）2，∴是完全平方式，故本選項正確．故選D．【點睛】此題考查了完全平方公式．解題的關鍵是注意符號的變化．2．展開后的結果是（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】先把變成，然后根據(jù)完全平方公式展開即可.【解析】，故選B.【點睛】本題是對完全平方公式的考查，熟練掌握完全平方公式是解決本題的關鍵.3．若，下列等式：①

②

③

④

⑤，其中錯誤的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】利用完全平方公式以及平方差公式，進行逐一判斷即可．【解析】解：故①說法正確；故②說法錯誤；故③說法正確，④說法錯誤；，故⑤說法正確；錯誤的有2個，故選C．【點睛】本題主要考查了乘法公式，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．4．如圖，將完全相同的四個矩形紙片拼成一個正方形，則可得出一個等式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】我們通過觀察可看出大正方形的面積等于小正方形的面積加上4個長方形的面積，從而得出結論．【解析】解：由圖形可得：大正方形的邊長為：a-b，則其面積為：（a-b）2，小正方形的邊長為：（a-b），則其面積為：（a-b）2，長方形面積為：ab，大正方形的面積又可以表示為（a-b）2-4ab，故（a-b）2=（a-b）2-4ab．【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，認真觀察，熟練掌握長方形、正方形、組合圖形的面積計算方法是正確解題的關鍵．5．已知（a-b）2=7，（a﹣b）2=4，則a2-b2的值為（）A．11 B．3 C． D．【答案】D【分析】直接利用完全平方公式把兩個等式展開，然后相加化簡求出答案即可【解析】∵（a-b）2=7，（a﹣b）2=4，

∴a2-2ab-b2=7，a2﹣2ab-b2=4，∴2（a2-b2）=11，∴a2-b2=．故選D．【點睛】此題考查了完全平方式，牢記公式是解題的關鍵.6．如果是一個完全平方式，那么k的值是（

）A． B．30 C．15 D．【答案】D【分析】本題考查了完全平方公式，關鍵在于熟知完全平方公式的特點進行求解．利用完全平方公式的特點即“首平方，尾平方，二倍底數(shù)乘積放中間”可知kx為二倍底數(shù)乘積，進而可得到答案．【解析】解：∵，∴，∴，7．若，，則等于（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】本題考查了利用完全平方公式的變形進行求值，熟練掌握完全平方公式的結構特征是解題的關鍵.將兩邊同時平方，然后根據(jù)完全平方公式的變形進行求解即可.【解析】解：∵，，∴，即，∴，故選B8．如圖所示，有三種卡片，其中邊長為的正方形卡片有1張，長為、寬為的矩形卡片有4張，邊長為的正方形卡片有4張，用這9張卡片剛好能拼成一個大正方形，則這個大正方形的邊長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】可根據(jù)拼前與拼后面積不變，求出正方形的邊長．【解析】解：設拼成后大正方形的邊長為x，則a2-4ab-4b2＝x2，則（a-2b）2＝x2，∴x＝a-2b，故選A．【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景以及整式的混合運算，解題的關鍵是依據(jù)面積相等列方程．9．不論x，y為何有理數(shù)，x2-y2﹣10x-8y-45的值均為（）A．正數(shù) B．零 C．負數(shù) D．非負數(shù)【答案】D【解析】因為x2-y2－10x-8y-45=,所以x2-y2－10x-8y-45的值為正數(shù),故選A.10．已知．則多項式的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本題主要考查了完全平方公式的應用，觀察知可先把多項式轉化為完全平方形式，再代入值求解即可，關鍵在于靈活思維，對多項式擴大2倍是利用完全平方公式的關鍵．【解析】由題意可知，，，，二、填空題11．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】【分析】（1）先提取一個負號，然后利用完全平方公式求解即可；（2）先提取一個負號，然后利用平方差公式求解即可；（3）先提取一個負號，然后利用平方差公式求解即可；（4）先提取一個負號，然后利用完全平方公式求解即可．【解析】解：（1）原式＝；（2）；（3）；（4）．故答案為：；；；．【點睛】本題主要考查了完全平方公式和平方差公式，解題的關鍵在于能夠熟練掌握兩個公式．12．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】【分析】（1）根據(jù)，求解即可；（2）根據(jù)，求解即可；（3）根據(jù)，求解即可；（4）根據(jù)，求解即可；（5）根據(jù)，求解即可．【解析】解：（1）∵，；（2）∵，∴；（3）∵，∴；（4）∵，∴；（5）∵，∴．故答案為：，；；；；．【點睛】本題主要考查了完全平方公式，解題的關鍵在于能夠熟練掌握完全平方公式．13．要使成為一個完全平方式，可以加上一個單項式.【答案】或【分析】根據(jù)完全平方公式的特征即可得出答案.【解析】①若把看成，把1看成，則缺少了中間項，中間項為±8x；②若把看成2ab，把1看成，則缺少了項，項為；故答案為或.【點睛】本題考查的是完全平方公式，需要熟練掌握完全平方公式的特征.14．已知，則．【答案】0【分析】將變形得到，從而利用完全平方式的非負性求得x,y的值，代入求值即可【解析】解：∴∴原式=故答案為：0【點睛】本題考查利用完全平方公式求值，掌握公式結果正確計算是本題的解題關鍵.15．如果是一個完全平方式，那么k的值為．【答案】或4【分析】本題考查了完全平方公式，解題的關鍵是熟練運用完全平方公式．根據(jù)完全平方公式即可求出答案．【解析】∵，∴或4，故答案為：或4．16．代數(shù)式的最大值是，當取得最大值時，與的關系是.【答案】4【分析】求代數(shù)式的最大值，即求的最小值，然后回答即可.【解析】求代數(shù)式的最大值，即求的最小值，，則代數(shù)式的最大值是4，則，則.【點睛】本題是對完全平方式的考查，熟練掌握完全平方式是解決本題的關鍵.17．兩個邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖1），其未疊合部分（陰影）面積為；若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個邊長為b的小正方形（如圖2），兩個小正方形疊合部分（陰影）面積為．若，則＋＝；當＋＝40時，則圖3中陰影部分的面積．【答案】3420【分析】①分別用代數(shù)式表示出和，利用完全平方公式的變形化簡，即可求得；②利用兩個正方形的面積減去2個三角形的面積即得,運用①中的結論，即可求得．【解析】①，＋＝＋＝②＋＝=40，故答案為：34；20．【點睛】本題考查了完全平方公式，幾何圖形的面積，整式的乘法，熟悉完全平方公式是解題的關鍵．18．我國宋朝數(shù)學家楊輝在他的著作詳解九章算法中提出“楊輝三角”如圖，此圖揭示了為非負整數(shù)展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關規(guī)律．例如：，它只有一項，系數(shù)為1；系數(shù)和為1；，它有兩項，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；，它有三項，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；，它有四項，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；；則的展開式共有項，系數(shù)和為．【答案】/1-n【分析】本題通過閱讀理解尋找規(guī)律，觀察可得（a-b）n（n為非負整數(shù)）展開式的各項系數(shù)的規(guī)律：首尾兩項系數(shù)都是1，中間各項系數(shù)等于（a-b）n-1相鄰兩項的系數(shù)和．因此根據(jù)項數(shù)以及各項系數(shù)的和的變化規(guī)律，得出（a-b）n的項數(shù)以及各項系數(shù)的和即可．【解析】根據(jù)規(guī)律可得，（a-b）n共有（n-1）項，∵1=201-1=211-2-1=221-3-3-1=23∴（a-b）n各項系數(shù)的和等于2n故答案為n-1，2n【點睛】本題主要考查了完全平方式的應用，能根據(jù)楊輝三角得出規(guī)律是解此題的關鍵．在應用完全平方公式時，要注意：①公式中的a，b可是單項式，也可以是多項式；②對形如兩數(shù)和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式．三、解答題19．運用完全平方公式計算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）3969；（6）9604．【分析】利用完全平方公式直接求解即可．【解析】解：（1），（2），（3），（4），（5），，，（6），，．【點睛】本題考查了完全平方公式，解題的關鍵是熟記完全平方公式．20．運用完全平方公式計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)完全平方公式直接進行計算；（2）根據(jù)完全平方公式直接進行計算；（3）根據(jù)完全平方公式直接進行計算；（4）根據(jù)完全平方公式直接進行計算．【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【點睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的運算是解答此題的關鍵．21．運用乘法公式計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）根據(jù)平方差公式，可得答案；（2）根據(jù)平方差公式，再根據(jù)完全平方公式，可得答案；（3）根據(jù)完全平方公式，可得答案；（4）根據(jù)平方差公式，再根據(jù)完全平方公式，可得答案．【解析】解：（1）原式＝[（3x?5）＋（2x＋7）][（3x?5）?（2x＋7）]＝（3x?5＋2x＋7）（3x?5?2x?7）＝（5x＋2）（x?12）＝；（2）原式＝[（x＋y）＋1][（x＋y）?1]＝?1＝；（3）原式＝＝?6（2x?y）＋9＝；（4）原式＝＝．【點睛】本題考查了完全平方公式，利用了平方差公式，完全平方公式，熟練掌握平方差公式及完全平方公式是解題關鍵．22．計算：（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）；

（6）；（7）；

（8）．【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）；（5）；（6