蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典專題3.2勾股定理的逆定理特訓(xùn)(原卷版+解析)

【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題3.2勾股定理的逆定理【名師點(diǎn)睛】1.勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足么a2+b2=說明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．2.勾股數(shù)：滿足么a2+b2=說明：①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足么a2+b2=②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…【典例剖析】【考點(diǎn)1】用勾股定理的逆定理判定直角三角形【例1】（2020秋?福田區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，在四邊形中，，，，，．（1）連接，求的長(zhǎng)；（2）判斷的形狀，并說明理由．【變式1】（2021春?當(dāng)涂縣期末）如圖，在中．是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，（1）試說明：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)2】用勾股定理的逆定理求面積【例2】（2021秋?南京期中）如圖，在四邊形中，，，，，．求四邊形的面積．【變式2】（2021秋?玄武區(qū)期中）如圖，四邊形中，，，，，．求四邊形的面積．【考點(diǎn)3】勾股數(shù)問題【例3】（2022春?清江浦區(qū)校級(jí)期中）勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，早在我國(guó)西漢時(shí)期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫做“整數(shù)直角三角形”；這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”．在一次“構(gòu)造勾股數(shù)”的探究性學(xué)習(xí)中，老師給出了下表：23341123461224其中、為正整數(shù)，且．（1）觀察表格，當(dāng)，時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的、、的值能否為直角三角形三邊的長(zhǎng)？說明你的理由．（2）探究，，與、之間的關(guān)系并用含、的代數(shù)式表示：，，．（3）以，，為邊長(zhǎng)的三角形是否一定為直角三角形？如果是，請(qǐng)說明理由；如果不是，請(qǐng)舉出反例．【變式3】．（2019秋?新北區(qū)期中）法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬早在17世紀(jì)就研究過形如的方程，顯然，這個(gè)方程有無數(shù)組解．我們把滿足該方程的正整數(shù)的解，，叫做勾股數(shù)，如，4，就是一組勾股數(shù)．（1）在研究勾股數(shù)時(shí)，古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出：如果表示大于1的整數(shù)，，，，那么，以，，為三邊的三角形為直角三角形（即，，為勾股數(shù)），請(qǐng)你加以證明；（2）探索規(guī)律：觀察下列各組數(shù)，4，，，12，，，24，，，40，，直接寫出第6個(gè)數(shù)組．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?灌南縣期中）在下列條件下不是直角三角形的是A． B． C． D．2．（2021秋?江陰市期中）下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是A．、、 B．、、 C．、、 D．、、3．（2021秋?江陰市期中）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成直角三角形的是A．4，6，8 B．6，8，10 C．6，9，10 D．5，11，134．（2021秋?高郵市期中）下列條件中，不能判定為直角三角形的是A． B． C． D．，，5．（2018秋?丹陽市期中）如果正整數(shù)、、滿足等式，那么正整數(shù)、、叫做勾股數(shù)，某同學(xué)將自己探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知的值為A．47 B．62 C．79 D．986．（2021秋?徐州期中）在下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、67．（2020秋?上海期末）在中，、、的對(duì)應(yīng)邊分別是、、，下列條件中不能說明是直角三角形的是A． B． C． D．8．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）的三邊為，，且，則該三角形是A．銳角三角形 B．以為斜邊的直角三角形 C．以為斜邊的直角三角形 D．以為斜邊的直角三角形9．（2021春?商河縣校級(jí)期末）已知，，分別為的三邊長(zhǎng)，則符合下列條件的中，直角三角形有（1），，；（2）；（3）；（4），，；（5），，．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)10．（2021秋?溧陽市期中）以下四組代數(shù)式作為的三邊，能使為直角三角形的有①，，為正整數(shù)）；②，，為正整數(shù)）；③，，，為正整數(shù)）；④，，，，為正整數(shù)）．A．1組 B．2組 C．3組 D．4組二．填空題（共8小題）11．（2017秋?東?？h校級(jí)期中）已知三角形三邊長(zhǎng)分別是6，8，10，則此三角形的面積為．12．（2022春?清江浦區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)、、分別是正方體展開圖的小正方形的頂點(diǎn)，則的大小為．13．（2021秋?靖江市期中）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：；14．（2021秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在中，若，，，則邊上的高的長(zhǎng)為．15．（2021秋?阜寧縣期中）三角形的三邊長(zhǎng)分別為13，12，5，那么最長(zhǎng)邊上的中線長(zhǎng)等于．16．（2021秋?梁溪區(qū)校級(jí)期中）已知直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別為3，4，5，在所在平面內(nèi)畫一條直線，將分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫條．17．（2021秋?邳州市期中）觀察下列各組勾股數(shù)：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41；照此規(guī)律，將第組勾股數(shù)按從小到大的順序排列，排在中間的數(shù)，用含的代數(shù)式可表示為．18．（2021春?婁星區(qū)校級(jí)期中）中，，，所對(duì)的邊分別為，，，下列條件中能判斷出是直角三角形的有．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．三．解答題（共5小題）19．（2019秋?江陰市校級(jí)期中）如圖，已知在中，，是上一點(diǎn)，且，．（1）求證：是直角三角形；（2）求的長(zhǎng)20．（2021秋?東?？h期中）如圖，在四邊形中，，，，．（1）求的度數(shù)．（2）求四邊形的面積．21．（2022春?天河區(qū)校級(jí)期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．（1）求的周長(zhǎng)；（2）求的度數(shù)．22．（2022春?柘城縣期末）如圖，在中，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．23．（2020秋?內(nèi)江期末）如圖，中，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，且．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題3.2勾股定理的逆定理【名師點(diǎn)睛】1.勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足么a2+b2=說明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．2.勾股數(shù)：滿足么a2+b2=說明：①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足么a2+b2=②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…【典例剖析】【考點(diǎn)1】用勾股定理的逆定理判定直角三角形【例1】（2020秋?福田區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，在四邊形中，，，，，．（1）連接，求的長(zhǎng)；（2）判斷的形狀，并說明理由．【分析】（1）直接利用勾股定理得出的長(zhǎng)；（2）直接利用勾股定理逆定理進(jìn)而分析得出答案．【解析】（1），；（2）是直角三角形，理由：，，，，是直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，正確運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．【變式1】（2021春?當(dāng)涂縣期末）如圖，在中．是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，（1）試說明：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）連接，依據(jù)垂直平分，即可得到，再根據(jù)，可得，進(jìn)而得到是直角三角形；（2）依據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)為10，再根據(jù)勾股定理即可得到方程，解方程即可得出的長(zhǎng)．【解析】（1）如圖所示，連接，是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，垂直平分，，又，，是直角三角形，且；（2）中，，，設(shè)，則，而，中，，中，，，解得，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，以及線段垂直平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，關(guān)鍵是掌握：如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．【考點(diǎn)2】用勾股定理的逆定理求面積【例2】（2021秋?南京期中）如圖，在四邊形中，，，，，．求四邊形的面積．【分析】連接，根據(jù)勾股定理求出，求出，根據(jù)勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【解析】連接，在中，，由勾股定理得：，，，，（負(fù)數(shù)舍去），，，，，，，是直角三角形，即，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊、的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．【變式2】（2021秋?玄武區(qū)期中）如圖，四邊形中，，，，，．求四邊形的面積．【分析】連接，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)勾股定理的逆定理求出是直角三角形，分別求出和的面積，即可得出答案．【解析】連接，在中，，，，，，在中，，，，，是直角三角形，．四邊形的面積．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能求出和的面積，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．【考點(diǎn)3】勾股數(shù)問題【例3】（2022春?清江浦區(qū)校級(jí)期中）勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，早在我國(guó)西漢時(shí)期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫做“整數(shù)直角三角形”；這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”．在一次“構(gòu)造勾股數(shù)”的探究性學(xué)習(xí)中，老師給出了下表：23341123461224其中、為正整數(shù)，且．（1）觀察表格，當(dāng)，時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的、、的值能否為直角三角形三邊的長(zhǎng)？說明你的理由．（2）探究，，與、之間的關(guān)系并用含、的代數(shù)式表示：，，．（3）以，，為邊長(zhǎng)的三角形是否一定為直角三角形？如果是，請(qǐng)說明理由；如果不是，請(qǐng)舉出反例．【分析】（1）計(jì)算出、、的值，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；（2）根據(jù)給出的數(shù)據(jù)總結(jié)即可；（3）分別計(jì)算出、、，根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷．【解析】（1）當(dāng)，時(shí)，、、，，、、的值能為直角三角形三邊的長(zhǎng)；（2）觀察得，，，；故答案為：，，；（3）以，，為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形，，，，以，，為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2019秋?新北區(qū)期中）法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬早在17世紀(jì)就研究過形如的方程，顯然，這個(gè)方程有無數(shù)組解．我們把滿足該方程的正整數(shù)的解，，叫做勾股數(shù)，如，4，就是一組勾股數(shù)．（1）在研究勾股數(shù)時(shí)，古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出：如果表示大于1的整數(shù)，，，，那么，以，，為三邊的三角形為直角三角形（即，，為勾股數(shù)），請(qǐng)你加以證明；（2）探索規(guī)律：觀察下列各組數(shù)，4，，，12，，，24，，，40，，直接寫出第6個(gè)數(shù)組．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，可得答案．（2）先找出每組勾股數(shù)與其組數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，再根據(jù)此規(guī)律進(jìn)行解答．【解答】（1）證明：，即，，為勾股數(shù)．（2）①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，，則⑥，，，第6組勾股數(shù)是：，84，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股數(shù)，利用了勾股數(shù)擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍仍然是勾股數(shù)．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?灌南縣期中）在下列條件下不是直角三角形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷選項(xiàng)，選項(xiàng)；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出最大角的度數(shù)，即可判斷選項(xiàng)和選項(xiàng)．【解析】．，，即是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；．，，即是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；．，，最大角，不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；．，，又，，，是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊、的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．2．（2021秋?江陰市期中）下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的三條線段能夠構(gòu)成直角三角形，從而可以判斷哪個(gè)選項(xiàng)是符合題意的．【解析】，故選項(xiàng)不符合題意；，故選項(xiàng)中的三條線段不能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng)不符合題意；，故選項(xiàng)不符合題意；，故選項(xiàng)符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確勾股定理的逆定理的內(nèi)容，由勾股定理的逆定理可以判斷三角形的形狀．3．（2021秋?江陰市期中）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成直角三角形的是A．4，6，8 B．6，8，10 C．6，9，10 D．5，11，13【分析】只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可判斷是直角三角形．【解析】、，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；、，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；、，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；、，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，判斷三角形是否為直角三角形只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．4．（2021秋?高郵市期中）下列條件中，不能判定為直角三角形的是A． B． C． D．，，【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷和即可；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理判斷和即可．【解析】．，，是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；．，，，是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；．，，最大角，是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；．，，以，，為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容和三角形的內(nèi)角和定理等于是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個(gè)三角形的兩條邊、的平方和等于第三邊的平方，即，那么這個(gè)三角形是直角三角形．5．（2018秋?丹陽市期中）如果正整數(shù)、、滿足等式，那么正整數(shù)、、叫做勾股數(shù)，某同學(xué)將自己探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知的值為A．47 B．62 C．79 D．98【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到，，，進(jìn)而得出的值．【解析】由題可得，，，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股數(shù)，滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．6．（2021秋?徐州期中）在下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6【分析】判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．【解析】、，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．、，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．、，是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意．、，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股數(shù)的知識(shí)，解答此題要用到勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知的三邊滿足，則是直角三角形．7．（2020秋?上海期末）在中，、、的對(duì)應(yīng)邊分別是、、，下列條件中不能說明是直角三角形的是A． B． C． D．【分析】利用直角三角形的定義和勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可．【解析】、，即，符合勾股定理的逆定理，能夠判定為直角三角形，不符合題意；、，此時(shí)是直角，能夠判定是直角三角形，不符合題意；、，那么、、，不是直角三角形，符合題意；、，符合勾股定理的逆定理，能夠判定為直角三角形，不符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三邊長(zhǎng)符合勾股定理的逆定理或三內(nèi)角中有一個(gè)是直角的情況下，才能判定三角形是直角三角形．8．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）的三邊為，，且，則該三角形是A．銳角三角形 B．以為斜邊的直角三角形 C．以為斜邊的直角三角形 D．以為斜邊的直角三角形【分析】由題意可知：，此三角形三邊關(guān)系符合勾股定理的逆定理．【解析】由題意，，，此三角形三邊關(guān)系符合勾股定理的逆定理，所以此三角形是以為斜邊的直角三角形．故選：．【點(diǎn)評(píng)】考查了勾股定理的逆定理，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三邊滿足，則三角形是直角三角形．9．（2021春?商河縣校級(jí)期末）已知，，分別為的三邊長(zhǎng)，則符合下列條件的中，直角三角形有（1），，；（2）；（3）；（4），，；（5），，．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理以及三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行逐項(xiàng)分析解答即可．【解析】（1）由，，可得，，故不是直角三角形；（2）由可得，，故是直角三角形；（3）由可得，，故不是直角三角形；（4）由，，可得，，故為直角三角形；（5）由，，可得，，故不能構(gòu)成三角形．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用勾股定理的逆定理逐個(gè)進(jìn)行分析．10．（2021秋?溧陽市期中）以下四組代數(shù)式作為的三邊，能使為直角三角形的有①，，為正整數(shù)）；②，，為正整數(shù)）；③，，，為正整數(shù)）；④，，，，為正整數(shù)）．A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長(zhǎng)邊的平方，最后看看是否相等即可．【解析】①，，為正整數(shù)），，能構(gòu)成直角三角形；②，，為正整數(shù)），，不能構(gòu)成直角三角形；③，，，為正整數(shù)），，能構(gòu)成直角三角形；④，，，，為正整數(shù)），，能構(gòu)成直角三角形．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊、的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．二．填空題（共8小題）11．（2017秋?東?？h校級(jí)期中）已知三角形三邊長(zhǎng)分別是6，8，10，則此三角形的面積為24．【分析】根據(jù)三角形三邊長(zhǎng)，利用勾股定理逆定理求證此三角形是直角三角形，然后即可求得面積．【解析】，此三角形為直角三角形，此三角形的面積為：．故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是利用勾股定理逆定理求證此三角形是直角三角形．12．（2022春?清江浦區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)、、分別是正方體展開圖的小正方形的頂點(diǎn)，則的大小為．【分析】分別在格點(diǎn)三角形中，根據(jù)勾股定理即可得到，，的長(zhǎng)度，繼而可得出的度數(shù)．【解析】連接，根據(jù)勾股定理可以得到：，，，即，是等腰直角三角形．．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體的展開圖與勾股定理，判斷是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵，注意在格點(diǎn)三角形中利用勾股定理．13．（2021秋?靖江市期中）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11、60、61；【分析】分析所給四組的勾股數(shù)：第一個(gè)數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)，第二個(gè)數(shù)為，第三個(gè)數(shù)比第二個(gè)數(shù)大1，由此可得答案．【解析】第一組：3，，；第二組：5，，；，最后一組為：11，，61．故答案為：11，60，61．【點(diǎn)評(píng)】本題屬規(guī)律性題目，考查的是勾股數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)及關(guān)系式進(jìn)行猜想、計(jì)算即可．14．（2021秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在中，若，，，則邊上的高的長(zhǎng)為7.2．【分析】設(shè)，則，根據(jù)高的定義得出，根據(jù)勾股定理得出，求出，再求出高即可．【解析】設(shè)，則，是高，，由勾股定理得：，，，，，，解得：，即，，故答案為：7.2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，能熟記勾股定理是解此題的關(guān)鍵．15．（2021秋?阜寧縣期中）三角形的三邊長(zhǎng)分別為13，12，5，那么最長(zhǎng)邊上的中線長(zhǎng)等于6.5．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理先判斷三角形的形狀為直角三角形，再根最長(zhǎng)邊為斜邊，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到最長(zhǎng)邊上的中線長(zhǎng)．【解析】三角形的三邊長(zhǎng)分別為13，12，5，，該三角形是直角三角形，最長(zhǎng)邊上的中線長(zhǎng)等于6.5，故答案為：6.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理、直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀．16．（2021秋?梁溪區(qū)校級(jí)期中）已知直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別為3，4，5，在所在平面內(nèi)畫一條直線，將分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫6條．【分析】首先根據(jù)勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用、為腰以及，、為底得出符合題意的圖形即可．【解析】如圖所示：，，，，是直角三角形，．當(dāng)，，，，，都能得到符合題意的等腰三角形．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定以及應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖等知識(shí)，正確利用圖形分類討論是解題關(guān)鍵．17．（2021秋?邳州市期中）觀察下列各組勾股數(shù)：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41；照此規(guī)律，將第組勾股數(shù)按從小到大的順序排列，排在中間的數(shù)，用含的代數(shù)式可表示為．【分析】依據(jù)各組勾股數(shù)中數(shù)字的變換規(guī)律，即可得到第組勾股數(shù)中，當(dāng)最小的數(shù)為時(shí)，排在中間的數(shù)為，再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【解析】（1）3，4，5中，；（2）5，12，13中，；（3）7，24，25中，；（4）9，40，41中，；以此類推，第組勾股數(shù)中，當(dāng)最小的數(shù)為時(shí)，排在中間的數(shù)為，即，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股數(shù)，滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)．18．（2021春?婁星區(qū)校級(jí)期中）中，，，所對(duì)的邊分別為，，，下列條件中能判斷出是直角三角形的有（2）（3）（4）（5）．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷（2）（3），根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可判斷（1）（4）（5）．【解析】（1），，最大角，不是直角三角形；（2），，，是直角三角形；（3），，是直角三角形；（4），，，是直角三角形；（5），，，，是直角三角形，所以能判斷出是直角三角形的有（2）（3）（4）（5），故答案為：（2）（3）（4）（5）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和定理，能熟記知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．三．解答題（共11小題）19．（2019秋?江陰市校級(jí)期中）如圖，已知在中，，是上一點(diǎn)，且，．（1）求證：是直角三角形；（2）求的長(zhǎng)【分析】（1