一元一次不等式與一元一次不等式組的應(yīng)用壓軸題五種模型全攻略（解析版） 七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

專(zhuān)題09一元一次不等式與一元一次不等式組的應(yīng)用壓軸題五種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題】 1【考點(diǎn)二一元一次不等式組解決幾何問(wèn)題】 3【考點(diǎn)三一元一次不等式組解決實(shí)際問(wèn)題】 4【考點(diǎn)四一元一次不等式與二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題】 6【考點(diǎn)五一元一次不等式組與二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題】 9【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 13【典型例題】【考點(diǎn)一一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題】例題：（22·23七年級(jí)下·遼寧大連·期末）大連某運(yùn)輸公司計(jì)劃用大小兩種貨車(chē)將噸救災(zāi)物資運(yùn)往災(zāi)區(qū)，大貨車(chē)每輛載重為噸，小貨車(chē)每輛載重為噸，要求安排的車(chē)輛不超過(guò)輛．問(wèn)題：請(qǐng)通過(guò)你所學(xué)的知識(shí)說(shuō)明大貨車(chē)至少安排多少輛？【答案】大貨車(chē)至少安排輛【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．設(shè)安排輛大貨車(chē)，則安排輛小貨車(chē)，根據(jù)安排的車(chē)輛不超過(guò)輛，可列出關(guān)于的一元一次不等式，解之可得出的取值范圍，再結(jié)合，均為正整數(shù)，即可得出的最小值，此題得解．【詳解】解：設(shè)安排輛大貨車(chē)，則安排輛小貨車(chē)，根據(jù)題意得：，解得：，又，均為正整數(shù)，的最小值為．答：大貨車(chē)至少安排輛．【變式訓(xùn)練】1．（22·23八年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）某小區(qū)為了綠化環(huán)境，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲，乙兩種花卉共100株，甲種花卉每株15元，乙種花卉每株9元，若購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種花卉的總費(fèi)用不超過(guò)1200元，最多能購(gòu)買(mǎi)甲種花卉多少株？【答案】50株【分析】本題考查一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種花卉x株，則購(gòu)買(mǎi)乙種花卉株，根據(jù)總費(fèi)用不超過(guò)1200元列一元一次不等式，求出不等式的最大整數(shù)解即可．【詳解】解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種花卉x株，由題意得，，解得，故最多能購(gòu)買(mǎi)甲種花卉50株．2．（23·24八年級(jí)上·廣西貴港·期末）學(xué)校為舉行社團(tuán)活動(dòng)，準(zhǔn)備向某商家購(gòu)買(mǎi)甲，乙兩種文化衫，已知甲種文化衫每件定價(jià)40元，乙種文化衫每件定價(jià)30元，學(xué)校決定向該商家購(gòu)買(mǎi)甲，乙兩種文化衫共100件（其中甲種文化衫不超過(guò)50件），恰逢商家搞促銷(xiāo)，現(xiàn)有兩種優(yōu)惠方案，方案一：甲種文化衫按標(biāo)價(jià)八折出售，乙種文化衫按標(biāo)價(jià)四折出售；方案二：購(gòu)買(mǎi)一件甲種文化衫送一件乙種文化衫．根據(jù)以上信息，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，學(xué)校按照哪種方案購(gòu)買(mǎi)更劃算．【答案】當(dāng)時(shí)，選擇方案一購(gòu)買(mǎi)更劃算：當(dāng)時(shí)，選擇兩種方案購(gòu)買(mǎi)所需費(fèi)用一樣；當(dāng)時(shí)，選擇方案二購(gòu)買(mǎi)更劃算【分析】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種文化衫x件，則購(gòu)買(mǎi)乙種文化衫件，表示出兩種方案需要的費(fèi)用，然后列不等式，解不等式即可．【詳解】解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種文化衫x件，則購(gòu)買(mǎi)乙種文化衫件，依題意得：方案一所需費(fèi)用為：元，方案二所需費(fèi)用為：元，當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，解得：，答：綜上所述，當(dāng)時(shí)，選擇方案一購(gòu)買(mǎi)更劃算：當(dāng)時(shí)，選擇兩種方案購(gòu)買(mǎi)所需費(fèi)用一樣；當(dāng)時(shí)，選擇方案二購(gòu)買(mǎi)更劃算．【考點(diǎn)二一元一次不等式組解決幾何問(wèn)題】例題：（22·23八年級(jí)上·廣東清遠(yuǎn)·期中）數(shù)軸上有M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M表示的數(shù)為，點(diǎn)N表示的數(shù)為．(1)若點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求點(diǎn)M表示的數(shù)．(2)若點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，求x的正整數(shù)值．【答案】(1)點(diǎn)M表示的數(shù)為3(2)x的正整數(shù)值為1和2【分析】（1）點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，表示的數(shù)為相反數(shù)，列式即可解得．（2）點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，根據(jù)左側(cè)的數(shù)小于右側(cè)的數(shù)列出不等式即可求出．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴，解得，∴，∴點(diǎn)M表示的數(shù)為3；（2）解∶若點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，∴，解得，∴x的正整數(shù)值為1和2．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)，一元一次方程，一元一次不等式，掌握數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)的大小與位置關(guān)系，一元一次方程解法，一元一次不等式解法是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（22·23七年級(jí)下·陜西渭南·期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C表示的數(shù)分別是．(1)______（用含m的代數(shù)式表示）；(2)求當(dāng)與的差不小時(shí)，m的最小整數(shù)值．【答案】(1)(2)7【分析】（1）用右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)減去左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)即可求解．（2）利用，建立方程求得，求解即可．【詳解】（1）．（2）∵與的差不小于，∴，∵，，∴，∴，m的最小整數(shù)值為7．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，解一元一次不等式等知識(shí)，準(zhǔn)確計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三一元一次不等式組解決實(shí)際問(wèn)題】例題：（2024九年級(jí)下·山東·專(zhuān)題練習(xí)）某校組織學(xué)生到外地進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，共有680名學(xué)生參加，并攜帶300件行李．學(xué)校計(jì)劃租用甲、乙兩種型號(hào)的汽車(chē)共20輛．經(jīng)了解，甲種汽車(chē)每輛最多能載40人和10件行李，乙種汽車(chē)每輛最多能載30人和20件行李．如何安排甲、乙兩種汽車(chē)可一次性地將學(xué)生和行李全部運(yùn)走？有哪幾種方案？【答案】共有三種方案：①租用甲型汽車(chē)8輛、乙型汽車(chē)12輛；②租用甲型汽車(chē)9輛、乙型汽車(chē)11輛；③租用甲型汽車(chē)10輛、乙型汽車(chē)10輛．【分析】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用．首先根據(jù)題意列出不等式組，解出的取值范圍，最后確定的取值，進(jìn)而確定出具體方案．【詳解】解：設(shè)安排輛甲型汽車(chē)，安排輛乙型汽車(chē)，由題意得，解得，整數(shù)可取8、9、10．共有三種方案：①租用甲型汽車(chē)8輛、乙型汽車(chē)12輛；②租用甲型汽車(chē)9輛、乙型汽車(chē)11輛；③租用甲型汽車(chē)10輛、乙型汽車(chē)10輛．【變式訓(xùn)練】1．（22·23八年級(jí)下·陜西榆林·期末）學(xué)校為打造書(shū)香校園，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格的書(shū)柜放置新購(gòu)進(jìn)的圖書(shū)，甲種書(shū)柜每個(gè)的價(jià)格是元，乙種書(shū)柜每個(gè)的價(jià)格是元．若我校計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這兩種規(guī)格的書(shū)柜共個(gè)，其中乙種書(shū)柜的數(shù)量不少于甲種書(shū)柜的數(shù)量，學(xué)校至多能夠提供資金元，最少購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)甲種書(shū)柜？【答案】個(gè)【分析】設(shè)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲種書(shū)柜個(gè)，則購(gòu)進(jìn)乙種書(shū)柜個(gè)，根據(jù)“購(gòu)進(jìn)乙種書(shū)柜的數(shù)量不少于甲種書(shū)柜的數(shù)量，學(xué)校至多能夠提供資金元”，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，結(jié)合為正整數(shù)，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲種書(shū)柜個(gè)，則購(gòu)進(jìn)乙種書(shū)柜個(gè)，依題意得：，解得：，即最少購(gòu)買(mǎi)個(gè)甲種書(shū)柜．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．2．（23·24八年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，有一高度為的容器，在容器中倒入的水，此時(shí)刻度顯示為，現(xiàn)將大小規(guī)格不同的兩種玻璃球放入容器內(nèi)，觀察容器的體積變化測(cè)量玻璃球的體積．若每放入一個(gè)大玻璃球水面就上升．(1)求一個(gè)大玻璃球的體積；(2)放入27個(gè)大玻璃球后，開(kāi)始放入小玻璃球，若放入5顆，水面沒(méi)有溢出，再放入一顆，水面會(huì)溢出容器，求一個(gè)小玻璃球體積的范圍．【答案】(1)一個(gè)大玻璃球的體積為；(2)一個(gè)小玻璃球體積的大于且不大于．【分析】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．（1）利用容器的底面積倒入水的體積水面的高度，可求出容器的底面積，再利用一個(gè)大玻璃球的體積容器的底面積放入一個(gè)大玻璃球水面上升的高度，即可求出一個(gè)大玻璃球的體積；（2）設(shè)一個(gè)小玻璃球的體積是，根據(jù)“放入27個(gè)大玻璃球后，放入5顆小玻璃球，水面沒(méi)有溢出，再放入一顆小玻璃球，水面會(huì)溢出容器”，可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：容器的底面積為，一個(gè)大玻璃球的體積為．答：一個(gè)大玻璃球的體積為；（2）解：設(shè)一個(gè)小玻璃球的體積是，根據(jù)題意得：，解得：．答：一個(gè)小玻璃球體積的大于且不大于．【考點(diǎn)四一元一次不等式與二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題】例題：（23·24九年級(jí)下·福建福州·開(kāi)學(xué)考試）端午節(jié)到來(lái)之際，小明家的經(jīng)銷(xiāo)店準(zhǔn)備銷(xiāo)售粽子和咸鴨蛋．據(jù)了解，購(gòu)進(jìn)500個(gè)粽子和200個(gè)咸鴨蛋共需1700元，已知一個(gè)粽子的進(jìn)價(jià)比一個(gè)咸鴨蛋的進(jìn)價(jià)多2元．(1)求每個(gè)粽子和每個(gè)咸鴨蛋的進(jìn)價(jià)分別為多少元?(2)若每個(gè)粽子的售價(jià)為5元，每個(gè)咸鴨蛋的售價(jià)為2元．小明父親打算購(gòu)進(jìn)粽子和咸鴨蛋共1000個(gè)，全部售完后利潤(rùn)不低于1600元，求至少購(gòu)進(jìn)多少個(gè)粽子?【答案】(1)每個(gè)粽子的進(jìn)價(jià)為3元，每個(gè)咸鴨蛋的進(jìn)價(jià)為1元(2)至少購(gòu)進(jìn)600個(gè)粽子【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到所求的量的等量關(guān)系．（1）設(shè)每個(gè)粽子的進(jìn)價(jià)為元，每個(gè)咸鴨蛋的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)“購(gòu)進(jìn)500個(gè)粽子和200個(gè)咸鴨蛋共需1700元，已知一個(gè)粽子的進(jìn)價(jià)比一個(gè)咸鴨蛋的進(jìn)價(jià)多2元”列出方程組并解答；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)個(gè)粽子，根據(jù)“全部售完后利潤(rùn)不低于1600元”列出不等式并解答．【詳解】（1）設(shè)每個(gè)粽子的進(jìn)價(jià)為元，每個(gè)咸鴨蛋的進(jìn)價(jià)為元，則：．解得．答：每個(gè)粽子的進(jìn)價(jià)為3元，每個(gè)咸鴨蛋的進(jìn)價(jià)為1元；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)個(gè)粽子，根據(jù)題意，得．解得．因?yàn)槭钦麛?shù)，所以最小值取600．答：至少購(gòu)進(jìn)600個(gè)粽子．【變式訓(xùn)練】1．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）我們度過(guò)了寒冬，迎來(lái)了充滿(mǎn)希望的春天，同學(xué)們將走出教室進(jìn)行適當(dāng)?shù)捏w育鍛煉，7.1班想集體購(gòu)買(mǎi)跳繩和毽子、第一次買(mǎi)20條跳繩和30個(gè)毽子共花了590元，第二次又買(mǎi)了10條跳繩和10個(gè)毽子共花了260元．請(qǐng)回答下面的兩個(gè)問(wèn)題：(1)求跳繩和毽子的單價(jià)是多少元？(2)若7.9班也打算購(gòu)買(mǎi)同樣的跳繩和毽子共50個(gè)，且總花費(fèi)不超過(guò)600元，問(wèn)7.9班的跳繩最多買(mǎi)多少條？【答案】(1)跳繩的單價(jià)是19元，毽子的單價(jià)是7元；(2)7.9班的跳繩最多買(mǎi)20條．【分析】（1）設(shè)跳繩的單價(jià)是x元，毽子的單價(jià)是y元，然后找出兩個(gè)等量關(guān)系：20根跳繩的錢(qián)數(shù)+30個(gè)毽子的錢(qián)數(shù)=590元；10根跳繩的錢(qián)數(shù)+10個(gè)毽子的錢(qián)數(shù)=260元．根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系可列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)7.9班購(gòu)買(mǎi)m條跳繩，則購(gòu)買(mǎi)個(gè)毽子，根據(jù)總花費(fèi)不超過(guò)600元列不等式，求出m的值，最后取m的最大整數(shù)值即可．本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系和不等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）設(shè)跳繩的單價(jià)是x元，毽子的單價(jià)是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：跳繩的單價(jià)是19元，毽子的單價(jià)是7元；（2）設(shè)7.9班購(gòu)買(mǎi)m條跳繩，則購(gòu)買(mǎi)個(gè)毽子，根據(jù)題意得：，解得：，又∵m為正整數(shù)，∴m的最大值為20．答：7.9班的跳繩最多買(mǎi)20條．2．（23·24八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）期中考試后，某班班主任對(duì)在期中考試中取得優(yōu)異成績(jī)的同學(xué)進(jìn)行表彰．她到商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)了甲、乙兩種筆記本作為獎(jiǎng)品，購(gòu)買(mǎi)甲種筆記本本，乙種筆記本本，共花費(fèi)元，已知購(gòu)買(mǎi)一本甲種筆記本比購(gòu)買(mǎi)一本乙種筆記本多花費(fèi)元．(1)求購(gòu)買(mǎi)一本甲種、一本乙種筆記本各需多少元？(2)兩種筆記本均受到了獲獎(jiǎng)同學(xué)的喜愛(ài)，班主任決定在期末考試后再次購(gòu)買(mǎi)兩種筆記本共本，正好趕上商場(chǎng)對(duì)商品價(jià)格進(jìn)行調(diào)整，甲種筆記本售價(jià)比上一次購(gòu)買(mǎi)時(shí)降價(jià)元，乙種筆記本按上一次購(gòu)買(mǎi)時(shí)售價(jià)的折出售．如果班主任此次購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種筆記本的總費(fèi)用不超過(guò)元，求至多需要購(gòu)買(mǎi)多少本甲種筆記本？【答案】(1)一本甲種筆記本元，一本乙種筆記本元；(2)至多需要購(gòu)買(mǎi)本甲種筆記本．【分析】（）設(shè)購(gòu)買(mǎi)一本甲種筆記本元，一本乙種筆記本元，根據(jù)題意，列出方程組，解方程組即可求解；（）設(shè)需要購(gòu)買(mǎi)本甲種筆記本，根據(jù)題意，列出不等式，解不等式即可求解；本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意，列出二元一次方程組和一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)一本甲種筆記本元，一本乙種筆記本元，根據(jù)題意得，解得，答：購(gòu)買(mǎi)一本甲種筆記本元，一本乙種筆記本元；（2）解：設(shè)需要購(gòu)買(mǎi)本甲種筆記本，根據(jù)題意得：，解得，∴取最大整數(shù)為，答：至多需要購(gòu)買(mǎi)本甲種筆記本．【考點(diǎn)五一元一次不等式組與二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題】例題：（22·23七年級(jí)下·內(nèi)蒙古通遼·期末）在疫情期間，重慶某醫(yī)藥公司往武漢運(yùn)送醫(yī)藥物資，若用輛型車(chē)輛和輛型車(chē)輛裝滿(mǎn)物資一次可以運(yùn)送噸；用輛型車(chē)輛和輛型車(chē)輛裝滿(mǎn)物資一次可以運(yùn)送噸根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)通過(guò)列方程組求出：輛型車(chē)輛和輛型車(chē)輛都裝滿(mǎn)物資一次分別運(yùn)多少?lài)崳?2)該醫(yī)藥公司準(zhǔn)備將一批醫(yī)藥物資一次性運(yùn)輸至武漢，于是從租車(chē)公司租用了和兩種型號(hào)車(chē)輛共輛，其中型車(chē)輛每輛要付費(fèi)元，型車(chē)輛每輛要付費(fèi)元，若付費(fèi)總金額不超過(guò)元，且物資不少于噸，請(qǐng)問(wèn)怎么安排車(chē)輛總費(fèi)用最少？【答案】(1)輛型車(chē)輛裝滿(mǎn)物資一次運(yùn)噸，輛型車(chē)輛裝滿(mǎn)物資一次運(yùn)噸(2)當(dāng)安排輛型車(chē)，輛型車(chē)時(shí)，總費(fèi)用最少【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系和不等關(guān)系，正確列出二元一次方程組和一元一次不等式組．（1）設(shè)輛型車(chē)輛裝滿(mǎn)物資一次運(yùn)噸，輛型車(chē)輛裝滿(mǎn)物資一次運(yùn)噸，根據(jù)“用輛型車(chē)輛和輛型車(chē)輛裝滿(mǎn)物資一次可以運(yùn)送噸；用輛型車(chē)輛和輛型車(chē)輛裝滿(mǎn)物資一次可以運(yùn)送噸”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)安排輛型車(chē)，則安排輛型車(chē)，根據(jù)“付費(fèi)總金額不超過(guò)元，且物資不少于噸”，可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，結(jié)合為正整數(shù)，可得出各租車(chē)方案，再求出各租車(chē)方案所需總費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)輛型車(chē)輛裝滿(mǎn)物資一次運(yùn)噸，輛型車(chē)輛裝滿(mǎn)物資一次運(yùn)噸，根據(jù)題意得：，解得：．答：輛型車(chē)輛裝滿(mǎn)物資一次運(yùn)噸，輛型車(chē)輛裝滿(mǎn)物資一次運(yùn)噸；（2）解：設(shè)安排輛型車(chē)，則安排輛型車(chē)，根據(jù)題意得：，解得：，又為正整數(shù)，可以為，，共有種租車(chē)方案，方案：安排輛型車(chē)，輛型車(chē)，所需總費(fèi)用為；（元）；方案：安排輛型車(chē)，輛型車(chē)，所需總費(fèi)用為（元）．∵，當(dāng)安排輛型車(chē)，輛型車(chē)時(shí)，總費(fèi)用最少．【變式訓(xùn)練】1．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）疫情防控期間，政府為人民提供了充足的物資保障．根據(jù)物資品類(lèi)不同，可分為A類(lèi)物資和B類(lèi)物資．已知1箱A類(lèi)物資和2箱B類(lèi)物資價(jià)值280元，2箱A類(lèi)物資和1箱B類(lèi)物資價(jià)值260元．(1)求1箱A類(lèi)物資和1箱B類(lèi)物資各價(jià)值多少元？(2)某小區(qū)共需準(zhǔn)備200箱物資，其中B類(lèi)物資的數(shù)量不少于118箱，且不多于A類(lèi)物資數(shù)量的1.5倍，請(qǐng)問(wèn)有哪幾種準(zhǔn)備物資的方案？哪種方案的總價(jià)值最少？【答案】(1)1箱A類(lèi)物資價(jià)值80元，1箱B類(lèi)物資價(jià)值100元(2)該小區(qū)共有3種準(zhǔn)備物資的方案，方案1：準(zhǔn)備80箱A類(lèi)物資，120箱B類(lèi)物質(zhì)；方案2：準(zhǔn)備81箱A類(lèi)物資，119箱B類(lèi)物質(zhì)；方案3：準(zhǔn)備82箱A類(lèi)物資，118箱B類(lèi)物質(zhì)，方案3的總價(jià)值最少【分析】本題主要考查了二元一次方程組和不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系和不等關(guān)系列出方程組或不等式組，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）設(shè)1箱A類(lèi)物資價(jià)值x元，1箱B類(lèi)物資價(jià)值y元，根據(jù)1箱A類(lèi)物資和2箱B類(lèi)物資價(jià)值280元，2箱A類(lèi)物資和1箱B類(lèi)物資價(jià)值260元，列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)該小區(qū)需準(zhǔn)備m箱A類(lèi)物資，則需準(zhǔn)備箱B類(lèi)物質(zhì)，根據(jù)B類(lèi)物資的數(shù)量不少于118箱，且不多于A類(lèi)物資數(shù)量的1.5倍，列出不等式組，解不等式組即可．【詳解】（1）解：設(shè)1箱A類(lèi)物資價(jià)值x元，1箱B類(lèi)物資價(jià)值y元，根據(jù)題意得：，解得：，答：1箱A類(lèi)物資價(jià)值80元，1箱B類(lèi)物資價(jià)值100元；（2）解：設(shè)該小區(qū)需準(zhǔn)備m箱A類(lèi)物資，則需準(zhǔn)備箱B類(lèi)物質(zhì)，根據(jù)題意得：，解得：，又∵m為正整數(shù)，∴m可以為80，81，82，∴該小區(qū)共有3種準(zhǔn)備物資的方案，方案1：準(zhǔn)備80箱A類(lèi)物資，120箱B類(lèi)物質(zhì)；方案2：準(zhǔn)備81箱A類(lèi)物資，119箱B類(lèi)物質(zhì)；方案3：準(zhǔn)備82箱A類(lèi)物資，118箱B類(lèi)物質(zhì)．方案1的總價(jià)值為（元），方案2的總價(jià)值為（元），方案3的總價(jià)值為（元）．∵，∴方案3的總價(jià)值最少．2．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在北京進(jìn)行的2022年冬季奧運(yùn)會(huì)和冬季殘奧會(huì)備受世界人士關(guān)注．吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”玩具隨之大賣(mài)，購(gòu)買(mǎi)8個(gè)“冰墩墩”和4個(gè)“雪容融”玩具共需960元，購(gòu)買(mǎi)6個(gè)“冰墩墩”和8個(gè)“雪容融”玩具共需1020元．(1)分別求出“冰墩墩”和“雪容融”玩具的銷(xiāo)售單價(jià)．(2)若每個(gè)“冰墩墩”玩具制作成本為60元，每個(gè)“雪容融”玩具成本為40元，準(zhǔn)備制作兩種吉祥物玩具共100個(gè)，總成本不超過(guò)5000元，且銷(xiāo)售完該批次吉祥物玩具，利潤(rùn)不低于2480元，請(qǐng)問(wèn)有哪幾種制作方案？【答案】(1)“冰墩墩”的銷(xiāo)售單價(jià)為90元，“雪容融”的銷(xiāo)售單價(jià)為60元(2)有3種制作方案：①制作48個(gè)“冰墩墩”，52個(gè)“雪容融”；②制作49個(gè)“冰墩墩”，51個(gè)“雪容融”；③制作50個(gè)“冰墩墩”，50個(gè)“雪容融”【分析】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用：（1）設(shè)“冰墩墩”的銷(xiāo)售單價(jià)為元，“雪容融”的銷(xiāo)售單價(jià)為元，根據(jù)購(gòu)買(mǎi)8個(gè)“冰墩墩”和4個(gè)“雪容融”玩具共需960元，購(gòu)買(mǎi)6個(gè)“冰墩墩”和8個(gè)“雪容融”玩具共需1020元，列出方程組求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)個(gè)“冰墩墩”，則購(gòu)買(mǎi)個(gè)“雪容融”，根據(jù)總成本不超過(guò)5000元，利潤(rùn)不低于2480元，列不等式組求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)“冰墩墩”的銷(xiāo)售單價(jià)為x元，“雪容融”的銷(xiāo)售單價(jià)為y元，依題意得：，解得：，答：“冰墩墩”的銷(xiāo)售單價(jià)為90元，“雪容融”的銷(xiāo)售單價(jià)為60元．（2）解：設(shè)制作m個(gè)“冰墩墩”，則制作個(gè)“雪容融”，依題意得：，解得：，∵m為正整數(shù)，∴m的值為48、49、50，∴有3種制作方案：①制作48個(gè)“冰墩墩”，52個(gè)“雪容融”；②制作49個(gè)“冰墩墩”，51個(gè)“雪容融”；③制作50個(gè)“冰墩墩”，50個(gè)“雪容融”．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（23·24八年級(jí)上·浙江衢州·期末）我區(qū)某初中舉行“針圣故里，康養(yǎng)衢江”知識(shí)搶答賽，總共道搶答題，對(duì)于每一道題，答對(duì)得分，答錯(cuò)或不答扣分，選手小華想使得分不低于分，則他至少答對(duì)多少道題（

）A．15 B．18 C．20 D．22【答案】D【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，設(shè)他答對(duì)道題，則答錯(cuò)或不答有道題，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式并解不等式即可求解，理清題意，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)他答對(duì)道題，則答錯(cuò)或不答有道題，依題意得：，解得：，答：他至少答對(duì)22道題，故選D．2．（23·24八年級(jí)上·浙江寧波·期中）一位老師說(shuō)，他班上學(xué)生的一半在學(xué)數(shù)學(xué)，四分之一的學(xué)生在學(xué)外語(yǔ)，六分之一的學(xué)生在學(xué)音樂(lè)，還有不足名同學(xué)在操場(chǎng)上踢足球，則這個(gè)班的學(xué)生最多有（

）人．A．人 B．人 C．人 D．人【答案】A【分析】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，設(shè)這個(gè)班的學(xué)生有人，則學(xué)數(shù)學(xué)的人數(shù)為，學(xué)外語(yǔ)的人數(shù)為，學(xué)音樂(lè)人數(shù)為，由“還不足名同學(xué)在操場(chǎng)上踢足球”可得：，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，依題意列出不等式進(jìn)行求解．【詳解】設(shè)這個(gè)班的學(xué)生有人，則學(xué)數(shù)學(xué)的人數(shù)為，學(xué)外語(yǔ)的人數(shù)為，學(xué)音樂(lè)人數(shù)為，由“還不足名同學(xué)在操場(chǎng)上踢足球”可得：，∴，∵能被、、整除且為正數(shù)，∴最大為，則這個(gè)班的學(xué)生最多有人，故選：．3．（22·23八年級(jí)上·湖南益陽(yáng)·期末）用長(zhǎng)為40m的鐵絲圍成如圖所示的圖形，一邊靠墻，墻的長(zhǎng)度m，要使靠墻的一邊長(zhǎng)不小于25m，那么與墻垂直的一邊長(zhǎng)x（m）的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意和圖形列出不等式即可解得．【詳解】根據(jù)題意和圖形可得，解得：，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出不等式．二、填空題4．（23·24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）已知某文教店每本筆記本2元，每支鋼筆5元．若小紅用100元錢(qián)去購(gòu)買(mǎi)筆記本和鋼筆共30件，則小紅最多能買(mǎi)的鋼筆支數(shù)是．【答案】13【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用．設(shè)小聰買(mǎi)了支鋼筆，則買(mǎi)了本筆記本，根據(jù)總價(jià)單價(jià)購(gòu)買(mǎi)數(shù)量結(jié)合總價(jià)不超過(guò)100元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其內(nèi)的最大整數(shù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小聰買(mǎi)了支鋼筆，則買(mǎi)了本筆記本，根據(jù)題意得：，解得：．為整數(shù)，．故答案為：13．5．（22·23八年級(jí)上·浙江杭州·期末）圓圓去商店購(gòu)買(mǎi)A，B兩種書(shū)簽，共用了10元錢(qián)，A種書(shū)簽每枚1元，B種書(shū)簽每枚2元．若每種書(shū)簽至少買(mǎi)一枚，且A種書(shū)簽的數(shù)量比B種書(shū)簽的數(shù)量多，則A種書(shū)簽至少購(gòu)買(mǎi)枚．【答案】4【分析】本題主要考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，正確表示出購(gòu)買(mǎi)B種玩具的數(shù)量和正確列出不等式組是解決本題的關(guān)鍵．設(shè)小明購(gòu)買(mǎi)了A種玩具x件，則購(gòu)買(mǎi)的B種玩具為件，根據(jù)題意列出不等式組進(jìn)行解答便可．【詳解】解：設(shè)圓圓購(gòu)買(mǎi)了A種玩具x件，則購(gòu)買(mǎi)的B種玩具為件，根據(jù)題意得，解得，，∵x為整數(shù)，也為整數(shù)，∴或6或8，∴A種書(shū)簽至少購(gòu)買(mǎi)4枚．故答案為：4．6．（2024七年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）為了鼓勵(lì)在本次夏令營(yíng)活動(dòng)中表現(xiàn)良好的同學(xué)，組委會(huì)給每個(gè)年級(jí)組下發(fā)了“優(yōu)秀營(yíng)員獎(jiǎng)”的名額，還準(zhǔn)備了若干日記本獎(jiǎng)勵(lì)獲得“優(yōu)秀營(yíng)員獎(jiǎng)”的同學(xué)．對(duì)七年級(jí)組的優(yōu)秀營(yíng)員，若每人獎(jiǎng)勵(lì)3本，則還多出8本；若每人獎(jiǎng)勵(lì)5本，則將有一名優(yōu)秀營(yíng)員不足3本．那么組委會(huì)下發(fā)給七年級(jí)組的“優(yōu)秀營(yíng)員獎(jiǎng)”的名額有個(gè)．【答案】6【分析】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．設(shè)組委會(huì)下發(fā)給七年級(jí)組的“優(yōu)秀營(yíng)員獎(jiǎng)”的名額有個(gè)，根據(jù)“若每人獎(jiǎng)勵(lì)3本，則還多出8本；若每人獎(jiǎng)勵(lì)5本，則將有一名優(yōu)秀營(yíng)員不足3本”列不等式組計(jì)算求解．【詳解】設(shè)組委會(huì)下發(fā)給七年級(jí)組的“優(yōu)秀營(yíng)員獎(jiǎng)”的名額有個(gè)，由題意可得，解得，又∵為整數(shù)，∴，故答案為：6.三、解答題7．（22·23七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）礦山爆破時(shí)，為了確保安全，點(diǎn)燃引火線(xiàn)后，人要在爆破前轉(zhuǎn)移到以外的安全地區(qū)．引火線(xiàn)燃燒的速度是，人離開(kāi)的速度是，問(wèn)：引火線(xiàn)的長(zhǎng)度至少應(yīng)為多少？【答案】【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，設(shè)引火線(xiàn)的長(zhǎng)度為，根據(jù)導(dǎo)火線(xiàn)燃燒的時(shí)間大于操作人員跑到安全區(qū)域的時(shí)間，即可作答．【詳解】解：設(shè)引火線(xiàn)的長(zhǎng)度為，依題意得解得∴引火線(xiàn)的長(zhǎng)度至少應(yīng)為．8．（2024年山西省呂梁市部分學(xué)校中考一模數(shù)學(xué)試題）2023年10月23日，以“果蔬運(yùn)城，走向世界”為主題的第七屆山西（運(yùn)城）國(guó)際果品交易博覽會(huì)在運(yùn)城會(huì)展中心開(kāi)幕，果博會(huì)已發(fā)展成為山西省的品牌展會(huì)，架起了山西農(nóng)業(yè)走出國(guó)門(mén)、走向世界的橋梁．為培育大量的優(yōu)質(zhì)果木品種，果樹(shù)科研人員嘗試培育甲、乙兩種新品果苗．已知培育2株甲種果苗和3株乙種果苗，共需成本2200元；培育3株甲種果苗和1株乙種果苗，共需成本1900元．(1)問(wèn)甲、乙兩種果苗每株的成本分別為多少元？(2)據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，1株甲種果苗的售價(jià)為600元，1株乙種果苗的售價(jià)為550元．該基地決定培育乙種果苗的株數(shù)是甲種果苗株數(shù)的2倍還多10株，且總利潤(rùn)不少于10000元，則該基地應(yīng)至少培育甲種果苗多少株？【答案】(1)培育甲、乙兩種花木每株成本分別為500元、400元；(2)該基地至少培育甲種花木株．【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系．（1）設(shè)甲種花木的成本價(jià)是x元，乙種花木的成本價(jià)為y元．此問(wèn)中的等量關(guān)系：①甲種花木2株，乙種花木3株，共需成本2200元；②培育甲種花木3株，乙種花木1株，共需成本1900元；（2）結(jié)合（1）中求得的結(jié)果，根據(jù)題目中的不等關(guān)系：總利潤(rùn)不少于10000元，列不等式進(jìn)行分析．【詳解】（1）解：設(shè)甲、乙兩種花木的成本價(jià)分別為元和元，由題意得，解得；答：培育甲、乙兩種花木每株成本分別為500元、400元；（2）解：設(shè)培育甲種花木株，則培育乙種花木株，由題意得，解得，由于為整數(shù)，所以最小值為；所以該基地至少培育甲種花木株．9．（22·23七年級(jí)下·遼寧大連·期末）西崗區(qū)某中學(xué)為落實(shí)教育部辦公廳關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生體質(zhì)管理的通知文件要求，決定增設(shè)籃球、足球兩門(mén)選修課程，為此需要購(gòu)進(jìn)一批籃球和足球已知購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球和個(gè)足球需要元；購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球和個(gè)足球需要元．(1)根據(jù)以上信息解答若需要購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球和個(gè)足球需要多少錢(qián)；(2)學(xué)校計(jì)劃采購(gòu)籃球、足球共個(gè)，并要求籃球不少于個(gè)，且總費(fèi)用不超過(guò)元，則有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案？【答案】(1)購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球和個(gè)足球需要元；(2)有種購(gòu)買(mǎi)方案，方案：購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球，個(gè)足球；方案：購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球，個(gè)足球；方案：購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球，個(gè)足球；方案：購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球，個(gè)足球【分析】（1）設(shè)籃球的單價(jià)是元，足球的單價(jià)是元，根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球和個(gè)足球需要元；購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球和個(gè)足球需要元”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之可求出，的值，再將其代入中，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球，則購(gòu)買(mǎi)個(gè)足球，根據(jù)“購(gòu)進(jìn)籃球不少于個(gè)，且總費(fèi)用不超過(guò)元”，可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，再結(jié)合為正整數(shù)，即可得出各購(gòu)買(mǎi)方案．本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．【詳解】（1）設(shè)籃球的單價(jià)是元，足球的單價(jià)是元，根據(jù)題意得：，解得：，．答：購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球和個(gè)足球需要元；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球，則購(gòu)買(mǎi)個(gè)足球，根據(jù)題意得：，解得：，又為正整數(shù)，可以為，，，，共有種購(gòu)買(mǎi)方案，方案：購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球，個(gè)足球；方案：購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球，個(gè)足球；方案：購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球，個(gè)足球；方案：購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球，個(gè)足球．10．（23·24七年級(jí)下·黑龍江綏化·開(kāi)學(xué)考試）為更好地保護(hù)環(huán)境，某垃圾處理廠決定購(gòu)買(mǎi)、兩種型號(hào)垃圾處理設(shè)備共20臺(tái)，每臺(tái)型設(shè)備10萬(wàn)元，每臺(tái)型設(shè)備8萬(wàn)元，已知1臺(tái)型設(shè)備和3臺(tái)型設(shè)備每天可以處理垃圾64噸，3臺(tái)型設(shè)備和4臺(tái)型設(shè)備每天可以處理垃圾152噸．(1)求、兩種型號(hào)設(shè)備每天每臺(tái)分別可以處理垃圾多少?lài)崳?2)經(jīng)預(yù)算，垃圾廠購(gòu)買(mǎi)設(shè)備的資金不超過(guò)200萬(wàn)元，每天處理垃圾的量不低于720噸，則有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案？(3)在（2）的條件下，哪種方案所需資金最少，最少資金是多少？【答案】(1)、兩種型號(hào)設(shè)備每天每臺(tái)分別可以處理垃圾噸和噸(2)方案一：購(gòu)買(mǎi)臺(tái)型設(shè)備，2臺(tái)型設(shè)備；方案二：購(gòu)買(mǎi)臺(tái)型設(shè)備，1臺(tái)型設(shè)備；方案三：購(gòu)買(mǎi)臺(tái)型設(shè)備(3)當(dāng)購(gòu)買(mǎi)臺(tái)型設(shè)備，2臺(tái)型設(shè)備時(shí)，花費(fèi)最少，為萬(wàn)元【分析】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程組和不等式組，是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)、兩種型號(hào)設(shè)備每天每臺(tái)分別可以處理垃圾噸和噸，根據(jù)1臺(tái)型設(shè)備和3臺(tái)型設(shè)備每天可以處理垃圾64噸，3臺(tái)型設(shè)備和4臺(tái)型設(shè)備每天可以處理垃圾152噸，列出方程組進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)型設(shè)備臺(tái)，根據(jù)垃圾廠購(gòu)買(mǎi)設(shè)備的資金不超過(guò)200萬(wàn)元，每天處理垃圾的量不低于720噸，列出不等式組進(jìn)行求解即可；（3）分別求出幾種方案所需費(fèi)用，比較即可．【詳解】（1）解：設(shè)、兩種型號(hào)設(shè)備每天每臺(tái)分別可以處理垃圾噸和噸，由題意，得：，解得：，答：、兩種型號(hào)設(shè)備每天每臺(tái)分別可以處理垃圾噸和噸；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)型設(shè)備臺(tái)，則購(gòu)買(mǎi)型設(shè)備臺(tái)，由題意，得：，解得：，∵為正整數(shù)，∴可以取，此時(shí)，∴共有2種購(gòu)買(mǎi)方案：方案一：購(gòu)買(mǎi)臺(tái)型設(shè)備，2臺(tái)型設(shè)備；方案二：購(gòu)買(mǎi)臺(tái)型設(shè)備，1臺(tái)型設(shè)備；方案三：購(gòu)買(mǎi)臺(tái)型設(shè)備；（3）方案一需花費(fèi)：（萬(wàn)元）；方案二需花費(fèi)：（萬(wàn)元）；方案三需花費(fèi)：（萬(wàn)元）；故當(dāng)購(gòu)買(mǎi)臺(tái)型設(shè)備，2臺(tái)型設(shè)備時(shí)，花費(fèi)最少，為萬(wàn)元．11．（23·24八年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）某網(wǎng)上商城“雙11”促銷(xiāo)政策如下：購(gòu)物標(biāo)價(jià)優(yōu)惠不滿(mǎn)500打八折滿(mǎn)500打六折小周已經(jīng)挑選了標(biāo)價(jià)400元的商品，需要付錢(qián)320元，若小周再挑選價(jià)格為100元的商品為自己湊單到500元，最后只要付錢(qián)300元．(1)媽媽也挑選了價(jià)格為a元為整數(shù)）的商品，小周發(fā)現(xiàn)，自己挑選的400元商品和媽媽的商品一起購(gòu)買(mǎi)支付，付的價(jià)格不足500元，求a的最大值