一元一次不等式與一元一次不等式組的應(yīng)用壓軸題五種模型全攻略（解析版） 七年級數(shù)學(xué)下冊

專題09一元一次不等式與一元一次不等式組的應(yīng)用壓軸題五種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一一元一次不等式解決實際問題】 1【考點二一元一次不等式組解決幾何問題】 3【考點三一元一次不等式組解決實際問題】 4【考點四一元一次不等式與二元一次方程組解決實際問題】 6【考點五一元一次不等式組與二元一次方程組解決實際問題】 9【過關(guān)檢測】 13【典型例題】【考點一一元一次不等式解決實際問題】例題：（22·23七年級下·遼寧大連·期末）大連某運輸公司計劃用大小兩種貨車將噸救災(zāi)物資運往災(zāi)區(qū)，大貨車每輛載重為噸，小貨車每輛載重為噸，要求安排的車輛不超過輛．問題：請通過你所學(xué)的知識說明大貨車至少安排多少輛？【答案】大貨車至少安排輛【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．設(shè)安排輛大貨車，則安排輛小貨車，根據(jù)安排的車輛不超過輛，可列出關(guān)于的一元一次不等式，解之可得出的取值范圍，再結(jié)合，均為正整數(shù)，即可得出的最小值，此題得解．【詳解】解：設(shè)安排輛大貨車，則安排輛小貨車，根據(jù)題意得：，解得：，又，均為正整數(shù)，的最小值為．答：大貨車至少安排輛．【變式訓(xùn)練】1．（22·23八年級下·陜西咸陽·階段練習(xí)）某小區(qū)為了綠化環(huán)境，計劃購買甲，乙兩種花卉共100株，甲種花卉每株15元，乙種花卉每株9元，若購買甲、乙兩種花卉的總費用不超過1200元，最多能購買甲種花卉多少株？【答案】50株【分析】本題考查一元一次不等式的實際應(yīng)用，設(shè)購買甲種花卉x株，則購買乙種花卉株，根據(jù)總費用不超過1200元列一元一次不等式，求出不等式的最大整數(shù)解即可．【詳解】解：設(shè)購買甲種花卉x株，由題意得，，解得，故最多能購買甲種花卉50株．2．（23·24八年級上·廣西貴港·期末）學(xué)校為舉行社團活動，準備向某商家購買甲，乙兩種文化衫，已知甲種文化衫每件定價40元，乙種文化衫每件定價30元，學(xué)校決定向該商家購買甲，乙兩種文化衫共100件（其中甲種文化衫不超過50件），恰逢商家搞促銷，現(xiàn)有兩種優(yōu)惠方案，方案一：甲種文化衫按標價八折出售，乙種文化衫按標價四折出售；方案二：購買一件甲種文化衫送一件乙種文化衫．根據(jù)以上信息，請通過計算說明，學(xué)校按照哪種方案購買更劃算．【答案】當時，選擇方案一購買更劃算：當時，選擇兩種方案購買所需費用一樣；當時，選擇方案二購買更劃算【分析】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)購買甲種文化衫x件，則購買乙種文化衫件，表示出兩種方案需要的費用，然后列不等式，解不等式即可．【詳解】解：設(shè)購買甲種文化衫x件，則購買乙種文化衫件，依題意得：方案一所需費用為：元，方案二所需費用為：元，當時，解得：，當時，解得：，當時，解得：，答：綜上所述，當時，選擇方案一購買更劃算：當時，選擇兩種方案購買所需費用一樣；當時，選擇方案二購買更劃算．【考點二一元一次不等式組解決幾何問題】例題：（22·23八年級上·廣東清遠·期中）數(shù)軸上有M，N兩點，點M表示的數(shù)為，點N表示的數(shù)為．(1)若點M與點N關(guān)于原點對稱，求點M表示的數(shù)．(2)若點N在點M的左側(cè)，求x的正整數(shù)值．【答案】(1)點M表示的數(shù)為3(2)x的正整數(shù)值為1和2【分析】（1）點M與點N關(guān)于原點對稱，表示的數(shù)為相反數(shù)，列式即可解得．（2）點N在點M的左側(cè)，根據(jù)左側(cè)的數(shù)小于右側(cè)的數(shù)列出不等式即可求出．【詳解】（1）解：∵點M與點N關(guān)于原點對稱，∴，解得，∴，∴點M表示的數(shù)為3；（2）解∶若點N在點M的左側(cè)，∴，解得，∴x的正整數(shù)值為1和2．【點睛】本題考查數(shù)軸上點表示數(shù)，一元一次方程，一元一次不等式，掌握數(shù)軸上點表示數(shù)的大小與位置關(guān)系，一元一次方程解法，一元一次不等式解法是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（22·23七年級下·陜西渭南·期末）如圖，數(shù)軸上點O為原點，點A，B，C表示的數(shù)分別是．(1)______（用含m的代數(shù)式表示）；(2)求當與的差不小時，m的最小整數(shù)值．【答案】(1)(2)7【分析】（1）用右邊的點所表示的數(shù)減去左邊的點所表示的數(shù)即可求解．（2）利用，建立方程求得，求解即可．【詳解】（1）．（2）∵與的差不小于，∴，∵，，∴，∴，m的最小整數(shù)值為7．【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點間的距離，解一元一次不等式等知識，準確計算是解決問題的關(guān)鍵．【考點三一元一次不等式組解決實際問題】例題：（2024九年級下·山東·專題練習(xí)）某校組織學(xué)生到外地進行社會實踐活動，共有680名學(xué)生參加，并攜帶300件行李．學(xué)校計劃租用甲、乙兩種型號的汽車共20輛．經(jīng)了解，甲種汽車每輛最多能載40人和10件行李，乙種汽車每輛最多能載30人和20件行李．如何安排甲、乙兩種汽車可一次性地將學(xué)生和行李全部運走？有哪幾種方案？【答案】共有三種方案：①租用甲型汽車8輛、乙型汽車12輛；②租用甲型汽車9輛、乙型汽車11輛；③租用甲型汽車10輛、乙型汽車10輛．【分析】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用．首先根據(jù)題意列出不等式組，解出的取值范圍，最后確定的取值，進而確定出具體方案．【詳解】解：設(shè)安排輛甲型汽車，安排輛乙型汽車，由題意得，解得，整數(shù)可取8、9、10．共有三種方案：①租用甲型汽車8輛、乙型汽車12輛；②租用甲型汽車9輛、乙型汽車11輛；③租用甲型汽車10輛、乙型汽車10輛．【變式訓(xùn)練】1．（22·23八年級下·陜西榆林·期末）學(xué)校為打造書香校園，計劃購進甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購進的圖書，甲種書柜每個的價格是元，乙種書柜每個的價格是元．若我校計劃購進這兩種規(guī)格的書柜共個，其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，學(xué)校至多能夠提供資金元，最少購買幾個甲種書柜？【答案】個【分析】設(shè)計劃購進甲種書柜個，則購進乙種書柜個，根據(jù)“購進乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，學(xué)校至多能夠提供資金元”，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，結(jié)合為正整數(shù)，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)計劃購進甲種書柜個，則購進乙種書柜個，依題意得：，解得：，即最少購買個甲種書柜．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．2．（23·24八年級上·浙江杭州·期末）如圖，有一高度為的容器，在容器中倒入的水，此時刻度顯示為，現(xiàn)將大小規(guī)格不同的兩種玻璃球放入容器內(nèi)，觀察容器的體積變化測量玻璃球的體積．若每放入一個大玻璃球水面就上升．(1)求一個大玻璃球的體積；(2)放入27個大玻璃球后，開始放入小玻璃球，若放入5顆，水面沒有溢出，再放入一顆，水面會溢出容器，求一個小玻璃球體積的范圍．【答案】(1)一個大玻璃球的體積為；(2)一個小玻璃球體積的大于且不大于．【分析】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運算，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．（1）利用容器的底面積倒入水的體積水面的高度，可求出容器的底面積，再利用一個大玻璃球的體積容器的底面積放入一個大玻璃球水面上升的高度，即可求出一個大玻璃球的體積；（2）設(shè)一個小玻璃球的體積是，根據(jù)“放入27個大玻璃球后，放入5顆小玻璃球，水面沒有溢出，再放入一顆小玻璃球，水面會溢出容器”，可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：容器的底面積為，一個大玻璃球的體積為．答：一個大玻璃球的體積為；（2）解：設(shè)一個小玻璃球的體積是，根據(jù)題意得：，解得：．答：一個小玻璃球體積的大于且不大于．【考點四一元一次不等式與二元一次方程組解決實際問題】例題：（23·24九年級下·福建福州·開學(xué)考試）端午節(jié)到來之際，小明家的經(jīng)銷店準備銷售粽子和咸鴨蛋．據(jù)了解，購進500個粽子和200個咸鴨蛋共需1700元，已知一個粽子的進價比一個咸鴨蛋的進價多2元．(1)求每個粽子和每個咸鴨蛋的進價分別為多少元?(2)若每個粽子的售價為5元，每個咸鴨蛋的售價為2元．小明父親打算購進粽子和咸鴨蛋共1000個，全部售完后利潤不低于1600元，求至少購進多少個粽子?【答案】(1)每個粽子的進價為3元，每個咸鴨蛋的進價為1元(2)至少購進600個粽子【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，找到所求的量的等量關(guān)系．（1）設(shè)每個粽子的進價為元，每個咸鴨蛋的進價為元，根據(jù)“購進500個粽子和200個咸鴨蛋共需1700元，已知一個粽子的進價比一個咸鴨蛋的進價多2元”列出方程組并解答；（2）設(shè)購進個粽子，根據(jù)“全部售完后利潤不低于1600元”列出不等式并解答．【詳解】（1）設(shè)每個粽子的進價為元，每個咸鴨蛋的進價為元，則：．解得．答：每個粽子的進價為3元，每個咸鴨蛋的進價為1元；（2）設(shè)購進個粽子，根據(jù)題意，得．解得．因為是正整數(shù)，所以最小值取600．答：至少購進600個粽子．【變式訓(xùn)練】1．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）我們度過了寒冬，迎來了充滿希望的春天，同學(xué)們將走出教室進行適當?shù)捏w育鍛煉，7.1班想集體購買跳繩和毽子、第一次買20條跳繩和30個毽子共花了590元，第二次又買了10條跳繩和10個毽子共花了260元．請回答下面的兩個問題：(1)求跳繩和毽子的單價是多少元？(2)若7.9班也打算購買同樣的跳繩和毽子共50個，且總花費不超過600元，問7.9班的跳繩最多買多少條？【答案】(1)跳繩的單價是19元，毽子的單價是7元；(2)7.9班的跳繩最多買20條．【分析】（1）設(shè)跳繩的單價是x元，毽子的單價是y元，然后找出兩個等量關(guān)系：20根跳繩的錢數(shù)+30個毽子的錢數(shù)=590元；10根跳繩的錢數(shù)+10個毽子的錢數(shù)=260元．根據(jù)這兩個等量關(guān)系可列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)7.9班購買m條跳繩，則購買個毽子，根據(jù)總花費不超過600元列不等式，求出m的值，最后取m的最大整數(shù)值即可．本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系和不等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）設(shè)跳繩的單價是x元，毽子的單價是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：跳繩的單價是19元，毽子的單價是7元；（2）設(shè)7.9班購買m條跳繩，則購買個毽子，根據(jù)題意得：，解得：，又∵m為正整數(shù)，∴m的最大值為20．答：7.9班的跳繩最多買20條．2．（23·24八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）期中考試后，某班班主任對在期中考試中取得優(yōu)異成績的同學(xué)進行表彰．她到商場購買了甲、乙兩種筆記本作為獎品，購買甲種筆記本本，乙種筆記本本，共花費元，已知購買一本甲種筆記本比購買一本乙種筆記本多花費元．(1)求購買一本甲種、一本乙種筆記本各需多少元？(2)兩種筆記本均受到了獲獎同學(xué)的喜愛，班主任決定在期末考試后再次購買兩種筆記本共本，正好趕上商場對商品價格進行調(diào)整，甲種筆記本售價比上一次購買時降價元，乙種筆記本按上一次購買時售價的折出售．如果班主任此次購買甲、乙兩種筆記本的總費用不超過元，求至多需要購買多少本甲種筆記本？【答案】(1)一本甲種筆記本元，一本乙種筆記本元；(2)至多需要購買本甲種筆記本．【分析】（）設(shè)購買一本甲種筆記本元，一本乙種筆記本元，根據(jù)題意，列出方程組，解方程組即可求解；（）設(shè)需要購買本甲種筆記本，根據(jù)題意，列出不等式，解不等式即可求解；本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意，列出二元一次方程組和一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)購買一本甲種筆記本元，一本乙種筆記本元，根據(jù)題意得，解得，答：購買一本甲種筆記本元，一本乙種筆記本元；（2）解：設(shè)需要購買本甲種筆記本，根據(jù)題意得：，解得，∴取最大整數(shù)為，答：至多需要購買本甲種筆記本．【考點五一元一次不等式組與二元一次方程組解決實際問題】例題：（22·23七年級下·內(nèi)蒙古通遼·期末）在疫情期間，重慶某醫(yī)藥公司往武漢運送醫(yī)藥物資，若用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸；用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)通過列方程組求出：輛型車輛和輛型車輛都裝滿物資一次分別運多少噸？(2)該醫(yī)藥公司準備將一批醫(yī)藥物資一次性運輸至武漢，于是從租車公司租用了和兩種型號車輛共輛，其中型車輛每輛要付費元，型車輛每輛要付費元，若付費總金額不超過元，且物資不少于噸，請問怎么安排車輛總費用最少？【答案】(1)輛型車輛裝滿物資一次運噸，輛型車輛裝滿物資一次運噸(2)當安排輛型車，輛型車時，總費用最少【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系和不等關(guān)系，正確列出二元一次方程組和一元一次不等式組．（1）設(shè)輛型車輛裝滿物資一次運噸，輛型車輛裝滿物資一次運噸，根據(jù)“用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸；用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)安排輛型車，則安排輛型車，根據(jù)“付費總金額不超過元，且物資不少于噸”，可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，結(jié)合為正整數(shù)，可得出各租車方案，再求出各租車方案所需總費用，比較后即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)輛型車輛裝滿物資一次運噸，輛型車輛裝滿物資一次運噸，根據(jù)題意得：，解得：．答：輛型車輛裝滿物資一次運噸，輛型車輛裝滿物資一次運噸；（2）解：設(shè)安排輛型車，則安排輛型車，根據(jù)題意得：，解得：，又為正整數(shù)，可以為，，共有種租車方案，方案：安排輛型車，輛型車，所需總費用為；（元）；方案：安排輛型車，輛型車，所需總費用為（元）．∵，當安排輛型車，輛型車時，總費用最少．【變式訓(xùn)練】1．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）疫情防控期間，政府為人民提供了充足的物資保障．根據(jù)物資品類不同，可分為A類物資和B類物資．已知1箱A類物資和2箱B類物資價值280元，2箱A類物資和1箱B類物資價值260元．(1)求1箱A類物資和1箱B類物資各價值多少元？(2)某小區(qū)共需準備200箱物資，其中B類物資的數(shù)量不少于118箱，且不多于A類物資數(shù)量的1.5倍，請問有哪幾種準備物資的方案？哪種方案的總價值最少？【答案】(1)1箱A類物資價值80元，1箱B類物資價值100元(2)該小區(qū)共有3種準備物資的方案，方案1：準備80箱A類物資，120箱B類物質(zhì)；方案2：準備81箱A類物資，119箱B類物質(zhì)；方案3：準備82箱A類物資，118箱B類物質(zhì)，方案3的總價值最少【分析】本題主要考查了二元一次方程組和不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系和不等關(guān)系列出方程組或不等式組，準確計算．（1）設(shè)1箱A類物資價值x元，1箱B類物資價值y元，根據(jù)1箱A類物資和2箱B類物資價值280元，2箱A類物資和1箱B類物資價值260元，列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)該小區(qū)需準備m箱A類物資，則需準備箱B類物質(zhì)，根據(jù)B類物資的數(shù)量不少于118箱，且不多于A類物資數(shù)量的1.5倍，列出不等式組，解不等式組即可．【詳解】（1）解：設(shè)1箱A類物資價值x元，1箱B類物資價值y元，根據(jù)題意得：，解得：，答：1箱A類物資價值80元，1箱B類物資價值100元；（2）解：設(shè)該小區(qū)需準備m箱A類物資，則需準備箱B類物質(zhì)，根據(jù)題意得：，解得：，又∵m為正整數(shù)，∴m可以為80，81，82，∴該小區(qū)共有3種準備物資的方案，方案1：準備80箱A類物資，120箱B類物質(zhì)；方案2：準備81箱A類物資，119箱B類物質(zhì)；方案3：準備82箱A類物資，118箱B類物質(zhì)．方案1的總價值為（元），方案2的總價值為（元），方案3的總價值為（元）．∵，∴方案3的總價值最少．2．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）在北京進行的2022年冬季奧運會和冬季殘奧會備受世界人士關(guān)注．吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”玩具隨之大賣，購買8個“冰墩墩”和4個“雪容融”玩具共需960元，購買6個“冰墩墩”和8個“雪容融”玩具共需1020元．(1)分別求出“冰墩墩”和“雪容融”玩具的銷售單價．(2)若每個“冰墩墩”玩具制作成本為60元，每個“雪容融”玩具成本為40元，準備制作兩種吉祥物玩具共100個，總成本不超過5000元，且銷售完該批次吉祥物玩具，利潤不低于2480元，請問有哪幾種制作方案？【答案】(1)“冰墩墩”的銷售單價為90元，“雪容融”的銷售單價為60元(2)有3種制作方案：①制作48個“冰墩墩”，52個“雪容融”；②制作49個“冰墩墩”，51個“雪容融”；③制作50個“冰墩墩”，50個“雪容融”【分析】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用：（1）設(shè)“冰墩墩”的銷售單價為元，“雪容融”的銷售單價為元，根據(jù)購買8個“冰墩墩”和4個“雪容融”玩具共需960元，購買6個“冰墩墩”和8個“雪容融”玩具共需1020元，列出方程組求解即可；（2）設(shè)購買個“冰墩墩”，則購買個“雪容融”，根據(jù)總成本不超過5000元，利潤不低于2480元，列不等式組求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)“冰墩墩”的銷售單價為x元，“雪容融”的銷售單價為y元，依題意得：，解得：，答：“冰墩墩”的銷售單價為90元，“雪容融”的銷售單價為60元．（2）解：設(shè)制作m個“冰墩墩”，則制作個“雪容融”，依題意得：，解得：，∵m為正整數(shù)，∴m的值為48、49、50，∴有3種制作方案：①制作48個“冰墩墩”，52個“雪容融”；②制作49個“冰墩墩”，51個“雪容融”；③制作50個“冰墩墩”，50個“雪容融”．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（23·24八年級上·浙江衢州·期末）我區(qū)某初中舉行“針圣故里，康養(yǎng)衢江”知識搶答賽，總共道搶答題，對于每一道題，答對得分，答錯或不答扣分，選手小華想使得分不低于分，則他至少答對多少道題（

）A．15 B．18 C．20 D．22【答案】D【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，設(shè)他答對道題，則答錯或不答有道題，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式并解不等式即可求解，理清題意，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)他答對道題，則答錯或不答有道題，依題意得：，解得：，答：他至少答對22道題，故選D．2．（23·24八年級上·浙江寧波·期中）一位老師說，他班上學(xué)生的一半在學(xué)數(shù)學(xué)，四分之一的學(xué)生在學(xué)外語，六分之一的學(xué)生在學(xué)音樂，還有不足名同學(xué)在操場上踢足球，則這個班的學(xué)生最多有（

）人．A．人 B．人 C．人 D．人【答案】A【分析】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，設(shè)這個班的學(xué)生有人，則學(xué)數(shù)學(xué)的人數(shù)為，學(xué)外語的人數(shù)為，學(xué)音樂人數(shù)為，由“還不足名同學(xué)在操場上踢足球”可得：，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，依題意列出不等式進行求解．【詳解】設(shè)這個班的學(xué)生有人，則學(xué)數(shù)學(xué)的人數(shù)為，學(xué)外語的人數(shù)為，學(xué)音樂人數(shù)為，由“還不足名同學(xué)在操場上踢足球”可得：，∴，∵能被、、整除且為正數(shù)，∴最大為，則這個班的學(xué)生最多有人，故選：．3．（22·23八年級上·湖南益陽·期末）用長為40m的鐵絲圍成如圖所示的圖形，一邊靠墻，墻的長度m，要使靠墻的一邊長不小于25m，那么與墻垂直的一邊長x（m）的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意和圖形列出不等式即可解得．【詳解】根據(jù)題意和圖形可得，解得：，故選：D【點睛】此題考查了不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出不等式．二、填空題4．（23·24七年級下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）已知某文教店每本筆記本2元，每支鋼筆5元．若小紅用100元錢去購買筆記本和鋼筆共30件，則小紅最多能買的鋼筆支數(shù)是．【答案】13【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用．設(shè)小聰買了支鋼筆，則買了本筆記本，根據(jù)總價單價購買數(shù)量結(jié)合總價不超過100元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其內(nèi)的最大整數(shù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小聰買了支鋼筆，則買了本筆記本，根據(jù)題意得：，解得：．為整數(shù)，．故答案為：13．5．（22·23八年級上·浙江杭州·期末）圓圓去商店購買A，B兩種書簽，共用了10元錢，A種書簽每枚1元，B種書簽每枚2元．若每種書簽至少買一枚，且A種書簽的數(shù)量比B種書簽的數(shù)量多，則A種書簽至少購買枚．【答案】4【分析】本題主要考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，正確表示出購買B種玩具的數(shù)量和正確列出不等式組是解決本題的關(guān)鍵．設(shè)小明購買了A種玩具x件，則購買的B種玩具為件，根據(jù)題意列出不等式組進行解答便可．【詳解】解：設(shè)圓圓購買了A種玩具x件，則購買的B種玩具為件，根據(jù)題意得，解得，，∵x為整數(shù)，也為整數(shù)，∴或6或8，∴A種書簽至少購買4枚．故答案為：4．6．（2024七年級·全國·競賽）為了鼓勵在本次夏令營活動中表現(xiàn)良好的同學(xué)，組委會給每個年級組下發(fā)了“優(yōu)秀營員獎”的名額，還準備了若干日記本獎勵獲得“優(yōu)秀營員獎”的同學(xué)．對七年級組的優(yōu)秀營員，若每人獎勵3本，則還多出8本；若每人獎勵5本，則將有一名優(yōu)秀營員不足3本．那么組委會下發(fā)給七年級組的“優(yōu)秀營員獎”的名額有個．【答案】6【分析】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用，理解題意，找準數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．設(shè)組委會下發(fā)給七年級組的“優(yōu)秀營員獎”的名額有個，根據(jù)“若每人獎勵3本，則還多出8本；若每人獎勵5本，則將有一名優(yōu)秀營員不足3本”列不等式組計算求解．【詳解】設(shè)組委會下發(fā)給七年級組的“優(yōu)秀營員獎”的名額有個，由題意可得，解得，又∵為整數(shù)，∴，故答案為：6.三、解答題7．（22·23七年級下·山東煙臺·階段練習(xí)）礦山爆破時，為了確保安全，點燃引火線后，人要在爆破前轉(zhuǎn)移到以外的安全地區(qū)．引火線燃燒的速度是，人離開的速度是，問：引火線的長度至少應(yīng)為多少？【答案】【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，設(shè)引火線的長度為，根據(jù)導(dǎo)火線燃燒的時間大于操作人員跑到安全區(qū)域的時間，即可作答．【詳解】解：設(shè)引火線的長度為，依題意得解得∴引火線的長度至少應(yīng)為．8．（2024年山西省呂梁市部分學(xué)校中考一模數(shù)學(xué)試題）2023年10月23日，以“果蔬運城，走向世界”為主題的第七屆山西（運城）國際果品交易博覽會在運城會展中心開幕，果博會已發(fā)展成為山西省的品牌展會，架起了山西農(nóng)業(yè)走出國門、走向世界的橋梁．為培育大量的優(yōu)質(zhì)果木品種，果樹科研人員嘗試培育甲、乙兩種新品果苗．已知培育2株甲種果苗和3株乙種果苗，共需成本2200元；培育3株甲種果苗和1株乙種果苗，共需成本1900元．(1)問甲、乙兩種果苗每株的成本分別為多少元？(2)據(jù)市場調(diào)研，1株甲種果苗的售價為600元，1株乙種果苗的售價為550元．該基地決定培育乙種果苗的株數(shù)是甲種果苗株數(shù)的2倍還多10株，且總利潤不少于10000元，則該基地應(yīng)至少培育甲種果苗多少株？【答案】(1)培育甲、乙兩種花木每株成本分別為500元、400元；(2)該基地至少培育甲種花木株．【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進而找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系．（1）設(shè)甲種花木的成本價是x元，乙種花木的成本價為y元．此問中的等量關(guān)系：①甲種花木2株，乙種花木3株，共需成本2200元；②培育甲種花木3株，乙種花木1株，共需成本1900元；（2）結(jié)合（1）中求得的結(jié)果，根據(jù)題目中的不等關(guān)系：總利潤不少于10000元，列不等式進行分析．【詳解】（1）解：設(shè)甲、乙兩種花木的成本價分別為元和元，由題意得，解得；答：培育甲、乙兩種花木每株成本分別為500元、400元；（2）解：設(shè)培育甲種花木株，則培育乙種花木株，由題意得，解得，由于為整數(shù)，所以最小值為；所以該基地至少培育甲種花木株．9．（22·23七年級下·遼寧大連·期末）西崗區(qū)某中學(xué)為落實教育部辦公廳關(guān)于進一步加強中小學(xué)生體質(zhì)管理的通知文件要求，決定增設(shè)籃球、足球兩門選修課程，為此需要購進一批籃球和足球已知購買個籃球和個足球需要元；購買個籃球和個足球需要元．(1)根據(jù)以上信息解答若需要購買個籃球和個足球需要多少錢；(2)學(xué)校計劃采購籃球、足球共個，并要求籃球不少于個，且總費用不超過元，則有哪幾種購買方案？【答案】(1)購買個籃球和個足球需要元；(2)有種購買方案，方案：購買個籃球，個足球；方案：購買個籃球，個足球；方案：購買個籃球，個足球；方案：購買個籃球，個足球【分析】（1）設(shè)籃球的單價是元，足球的單價是元，根據(jù)“購買個籃球和個足球需要元；購買個籃球和個足球需要元”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之可求出，的值，再將其代入中，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)購買個籃球，則購買個足球，根據(jù)“購進籃球不少于個，且總費用不超過元”，可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，再結(jié)合為正整數(shù)，即可得出各購買方案．本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．【詳解】（1）設(shè)籃球的單價是元，足球的單價是元，根據(jù)題意得：，解得：，．答：購買個籃球和個足球需要元；（2）設(shè)購買個籃球，則購買個足球，根據(jù)題意得：，解得：，又為正整數(shù)，可以為，，，，共有種購買方案，方案：購買個籃球，個足球；方案：購買個籃球，個足球；方案：購買個籃球，個足球；方案：購買個籃球，個足球．10．（23·24七年級下·黑龍江綏化·開學(xué)考試）為更好地保護環(huán)境，某垃圾處理廠決定購買、兩種型號垃圾處理設(shè)備共20臺，每臺型設(shè)備10萬元，每臺型設(shè)備8萬元，已知1臺型設(shè)備和3臺型設(shè)備每天可以處理垃圾64噸，3臺型設(shè)備和4臺型設(shè)備每天可以處理垃圾152噸．(1)求、兩種型號設(shè)備每天每臺分別可以處理垃圾多少噸？(2)經(jīng)預(yù)算，垃圾廠購買設(shè)備的資金不超過200萬元，每天處理垃圾的量不低于720噸，則有哪幾種購買方案？(3)在（2）的條件下，哪種方案所需資金最少，最少資金是多少？【答案】(1)、兩種型號設(shè)備每天每臺分別可以處理垃圾噸和噸(2)方案一：購買臺型設(shè)備，2臺型設(shè)備；方案二：購買臺型設(shè)備，1臺型設(shè)備；方案三：購買臺型設(shè)備(3)當購買臺型設(shè)備，2臺型設(shè)備時，花費最少，為萬元【分析】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，一元一次不等式組的實際應(yīng)用．找準等量關(guān)系，正確的列出方程組和不等式組，是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)、兩種型號設(shè)備每天每臺分別可以處理垃圾噸和噸，根據(jù)1臺型設(shè)備和3臺型設(shè)備每天可以處理垃圾64噸，3臺型設(shè)備和4臺型設(shè)備每天可以處理垃圾152噸，列出方程組進行求解即可；（2）設(shè)購買型設(shè)備臺，根據(jù)垃圾廠購買設(shè)備的資金不超過200萬元，每天處理垃圾的量不低于720噸，列出不等式組進行求解即可；（3）分別求出幾種方案所需費用，比較即可．【詳解】（1）解：設(shè)、兩種型號設(shè)備每天每臺分別可以處理垃圾噸和噸，由題意，得：，解得：，答：、兩種型號設(shè)備每天每臺分別可以處理垃圾噸和噸；（2）設(shè)購買型設(shè)備臺，則購買型設(shè)備臺，由題意，得：，解得：，∵為正整數(shù)，∴可以取，此時，∴共有2種購買方案：方案一：購買臺型設(shè)備，2臺型設(shè)備；方案二：購買臺型設(shè)備，1臺型設(shè)備；方案三：購買臺型設(shè)備；（3）方案一需花費：（萬元）；方案二需花費：（萬元）；方案三需花費：（萬元）；故當購買臺型設(shè)備，2臺型設(shè)備時，花費最少，為萬元．11．（23·24八年級上·浙江紹興·階段練習(xí)）某網(wǎng)上商城“雙11”促銷政策如下：購物標價優(yōu)惠不滿500打八折滿500打六折小周已經(jīng)挑選了標價400元的商品，需要付錢320元，若小周再挑選價格為100元的商品為自己湊單到500元，最后只要付錢300元．(1)媽媽也挑選了價格為a元為整數(shù)）的商品，小周發(fā)現(xiàn)，自己挑選的400元商品和媽媽的商品一起購買支付，付的價格不足500元，求a的最大值