山東省齊魯名師聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次診斷考試考前演練 數(shù)學(xué)試題（含解析）

山東省齊魯名師聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次診斷考試考前演練數(shù)學(xué)試題（自編供學(xué)生使用）（考試時(shí)間：120分鐘試卷總分：150分）一、單選題（本題共8小題，共48分）1．已知，設(shè)集合，，則（）A．? B．?C．

? D．?2．已知?jiǎng)t的最大值為（

）A． B． C． D．3．設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且，則的充要條件是（

）A． B．C． D．4．已知直線與及的圖像分別交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（

）．A．1 B． C． D．5．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績(jī)，回答者對(duì)甲說：“很遺憾，你和乙都沒有獲得冠軍.”對(duì)乙說：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”若在此對(duì)話的基礎(chǔ)上5人名次的情況是等可能的，則最終丙和丁獲得前兩名的概率為（

）A． B． C． D．6．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前n項(xiàng)和為，則使的最小n是（

）A． B． C． D．7．若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知關(guān)于x的不等式對(duì)任意恒成立，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．二、多選題（本題共3小題，共18分）9．下列敘述中正確的是（

）A．“”是“是反比例函數(shù)”的既不充分也不必要條件B．“”是“”的充分不必要條件C．“”是“有實(shí)數(shù)解”的充要條件D．“”是“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件10．已知事件，，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．如果，那么，B．如果與互斥，那么，C．如果與相互獨(dú)立，那么，D．如果與相互獨(dú)立，那么，11．如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中，，，是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的4個(gè)交匯處.今在道路網(wǎng)M，N處的甲?乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N，M處為止，則下列說法正確的有（

）A．甲從M到達(dá)N處的走法種數(shù)為120B．甲從M必須經(jīng)過到達(dá)N處的走法種數(shù)為9C．甲，兩人能在處相遇的走法種數(shù)為36D．甲，乙兩人能相遇的走法種數(shù)為164三、填空題（本題共3小題，共18分）12．集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍13．的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，則的最小值為.14．某機(jī)器有四種核心部件A，B，C，D，四個(gè)部件至少有三個(gè)正常工作時(shí)，機(jī)器才能正常運(yùn)行，四個(gè)核心部件能夠正常工作的概率滿足為，，且各部件是否正常工作相互獨(dú)立，已知，設(shè)為在次實(shí)驗(yàn)中成功運(yùn)行的次數(shù)，若，則至少需要進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)為．四、解答題（本題共5小題，共66分）15．已知，命題p：對(duì)，不等式恒成立；命題q：對(duì)，不等式恒成立．若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；若為假，為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．16．已知函數(shù)f（x）=mx--lnx，mR，函數(shù)在上為增函數(shù)，且．(1)當(dāng)m=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)求θ的值;(3)若在[1，e]上至少存在一個(gè)x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求m的取值范圍．17．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給予證明．18．已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)的最小值；(2)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的值；(3)在（2）的條件下，證明：（其中）19．已知函數(shù)，.(1)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若恰有三個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極值點(diǎn).（?。┳C明：；（ⅱ）若，且，證明：.參考答案：1．D【分析】先求出全集，從而判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤，可得答案.【詳解】由題意，,得,故，A錯(cuò)誤；,故B錯(cuò)誤，，故屬于集合間符號(hào)使用不正確，C錯(cuò)誤，,D正確，故選：D2．D【分析】利用“1”的代換法，再根據(jù)基本不等式即可求出．【詳解】，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值為.故選：D.3．B【分析】由特例可判斷ACD的正誤，設(shè)設(shè)的概率分別為a，b，c，則可得，計(jì)算可得，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)的概率分別為a，b，c，則題意即．令，則對(duì)A，，故A錯(cuò)誤.對(duì)C，，故C錯(cuò)誤.對(duì)D，，故D錯(cuò)誤.對(duì)B，，，即，故B成立.故選：B.4．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出其最小值，即為的最小值【詳解】令，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即最小值為．故選：D5．A【分析】先考慮滿足回答者的所有情況，分甲同學(xué)為第5名和甲同學(xué)不是第5名兩種情況，結(jié)合分類加法原理求解，再求解滿足回答者的情況且最終丙和丁獲得前兩名的可能情況，最后根據(jù)古典概型求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，當(dāng)甲同學(xué)為第5名時(shí)，乙同學(xué)可能是第2，3，4名，故有種，當(dāng)甲同學(xué)不是第5名時(shí)，甲、乙同學(xué)可能是第2，3，4名，故有種，故滿足回答者的所有情況共種.其中，最終丙和丁獲得前兩名的情況有兩類，當(dāng)甲同學(xué)為第5名，丙和丁獲得前兩名時(shí)有種；當(dāng)甲同學(xué)不是第5名，丙和丁獲得前兩名時(shí)，有種，所以，最終丙和丁獲得前兩名的情況有種，所以，最終丙和丁獲得前兩名的概率為故選：A6．C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理得，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可得到答案.【詳解】由二項(xiàng)式定理，，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知?jiǎng)t單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，故的最小值為7.故選：C.7．C【分析】移項(xiàng)整理得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到其單調(diào)性，分和討論即可.【詳解】，，設(shè)，則，設(shè)，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，即，當(dāng)時(shí)，則，不妨取，即，當(dāng)x∈0,x0時(shí)，，x∈x在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，即，而有在上恒成立，，即，綜上可得.故選：C.8．C【分析】討論a的取值范圍，利用函數(shù)圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，進(jìn)而得解.【詳解】設(shè)，，若，對(duì)任意恒成立，則，對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，顯然，由圖可知，對(duì)任意不恒成立；當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，由圖可知，臨界條件是直線與曲線的圖象相切時(shí)，由，求導(dǎo)，設(shè)，解得，且，∴當(dāng)?shù)那芯€斜率為1時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，故，所以即兩邊同除以，，令求導(dǎo)令，得，即當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取到最大值，且故的最大值為故選：C.9．ABD【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，不是反比例函數(shù)，當(dāng)是反比例函數(shù)時(shí)，，所以“”是“是反比例函數(shù)”的既不充分也不必要條件，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，“”時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，所以不能得出，故“”是“”的充分不必要條件，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，“有實(shí)數(shù)解，等價(jià)于，故“”是“有實(shí)數(shù)解”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”等價(jià)于，解得，所以，“”是“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.10．BD【分析】A選項(xiàng)在前提下，計(jì)算出，，即可判斷；B選項(xiàng)在與互斥前提下，計(jì)算出，，即可判斷；C、D選項(xiàng)在與相互獨(dú)立前提下，計(jì)算出，，，，即可判斷.【詳解】解：A選項(xiàng)：如果，那么，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：如果與互斥，那么，，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：如果與相互獨(dú)立，那么，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：如果與相互獨(dú)立，那么，，故D選項(xiàng)正確.故選：BD.11．BD【分析】根據(jù)題意分析出甲從到達(dá)處，需要走6格，其中向上3格，向右3格，從而可得到從到達(dá)處的走法種數(shù)為，從而可得出A錯(cuò)誤；若甲從M必須經(jīng)過到達(dá)N處，可分兩步，甲從到達(dá)，從到達(dá)，從而可判斷選項(xiàng)B正確；若甲，乙兩人能在處相遇，先計(jì)算甲經(jīng)過的走法種數(shù)，再計(jì)算乙經(jīng)過的走法種數(shù)，從而可求出甲，乙兩人能在處相遇的走法種數(shù)；根據(jù)題意可得出只能在，，，處相遇，然后分別計(jì)算走法種數(shù)即可.【詳解】對(duì)于A，需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以從到達(dá)處的走法種數(shù)為，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，甲從到達(dá)，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有種走法，從到達(dá)，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有種走法，所以甲從必須經(jīng)過到達(dá)處的走法種數(shù)為，故B正確.對(duì)于，甲經(jīng)過的走法種數(shù)為，乙經(jīng)過的走法種數(shù)為，所以甲，乙兩人能在處相遇的走法種數(shù)為，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，甲，乙兩人沿著最短路徑行走，只能在，，，處相遇，若甲，乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，必須向上走3格，乙經(jīng)過處，必須向左走3格，兩人在處相遇的走法有1種；若甲，乙兩人在或處相遇，各有81種走法；若甲，乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，必須向右走3格，乙經(jīng)過處，必須向下走3格，則兩人在處相遇的走法有1種.所以甲，乙兩人能相遇的走法種數(shù)為，故D正確.故選：BD.12．【分析】由補(bǔ)集和子集的定義即可求解，注意端點(diǎn)值是否可取.【詳解】，故答案為：13．【分析】由已知函數(shù)求導(dǎo)，令則可得，代入極值點(diǎn)后兩式作商，可得到的關(guān)系，作商得到的結(jié)果指對(duì)互換，便可解出，根據(jù)題目所求，代入后便可構(gòu)造新的函數(shù)，通過求導(dǎo)可求得最小值.【詳解】由函數(shù)，，則，因?yàn)楹瘮?shù)兩個(gè)極值點(diǎn)，則①，②，得③，設(shè)，則且，代入③得，設(shè)，則，設(shè)，則，在單調(diào)遞減，，從而，在單調(diào)遞減，，故的最小值為.故答案為：14．【分析】設(shè)，則，借助相互獨(dú)立事件的乘法公式可表示出一次實(shí)驗(yàn)中成功運(yùn)行的概率，則當(dāng)該概率取的最大值時(shí)，需要最少的試驗(yàn)次數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可得該概率的最大值，結(jié)合二項(xiàng)分布期望公式即可得解.【詳解】設(shè)，則，設(shè)一次實(shí)驗(yàn)中成功運(yùn)行的概率為，則，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故，由服從二項(xiàng)分布，故有，則.故答案為：.15．（1）（2）【分析】（1）利用單調(diào)性求得的最小值，利用小于或等于這個(gè)最小值求得的取值范圍.（2）利用分離常數(shù)法，將命題所給不等式分離常數(shù)后，求得的取值范圍.根據(jù)題目所給已知條件“為假，為真，”可知一真一假，分成真假，和假真兩類，列不等式組求得的取值范圍.【詳解】（1）令，則在上為減函數(shù)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，不等式恒成立，等價(jià)于，解得，故命題為真，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）若命題為真，則，對(duì)上恒成立，令，因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)增函數(shù)，則，故，即命題為真，若為假，為真，則命題，中一真一假；①若為真，為假，那么，則無解；②若為假，為真，那么，則.綜上的取值范圍為.16．(1)增區(qū)間是，減區(qū)間為，函數(shù)有極大值;(2)(3)【分析】（1）由，得到，利用導(dǎo)數(shù)法求解；（2）根據(jù)題意得到在上恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立求解；（3）令分，，討論求解.【詳解】（1）解：∵，∴，，∴．令，則．∴，和的變化情況如下表：+0遞增極大值遞減

即函數(shù)增區(qū)間是，減區(qū)間為，函數(shù)有極大值是;（2）由已知在上恒成立，即，在上恒成立，∵，∴，故在上恒成立，只需，即，∴只有cosθ=1，由，知；（3）令當(dāng)時(shí)，由，則，，此時(shí)不存在，使得成立當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，令，則，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.17．（1）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明見解析．【分析】（1）由題意得，即在區(qū)間上恒成立，求取最大值即可；（2）對(duì)參數(shù)分類討論，通過對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分析單調(diào)性再結(jié)合零點(diǎn)定理即可得出結(jié)果．【詳解】（1）由題意得，即在區(qū)間上恒成立．當(dāng)時(shí)，，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由已知得，則．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，又，，故函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，令，得，函數(shù)單調(diào)遞減，令，得，函數(shù)單調(diào)遞增，而，，（在(0,+∞)上恒成立）由于，所以，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)．又，且，設(shè)，則在(0,+∞)上恒成立，故在(0,+∞)上單調(diào)遞增．而，所以在(0,+∞)上恒成立，所以，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．18．(1)(2)1(3)證明見解析【分析】（1）直接求導(dǎo)，確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到函數(shù)單調(diào)性，即可求出最值；（2）結(jié)合（1）令最小值大于等于0，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)最大值為0，即可求解；（3）由（2）得，令，即可求解.【詳解】（1）由題意，由得，當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即在處取得極小值，且為最小值，其最小值為（2）對(duì)任意的恒成立，即在上，，由（1），設(shè)，所以，由得，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴在處取得最大值，而，因此的解為，∴.（3）由（2）知，對(duì)任意實(shí)數(shù)均有，即，令，，則，∴.∴19．(1)當(dāng)時(shí),無極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),所以有兩個(gè)極值點(diǎn)；(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析.【分析】（1）先求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行討論，研究單調(diào)性可得函數(shù)的極值；（2）(i)由(1)知:,且,,又得出，即可得證；(ii)易得，令,可得，要證明:，只需證:，只需證:(顯然,易證)，即證明:，又因?yàn)?所以，令,,利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】（1）由題知:，設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),開口向上,,所以,在上單調(diào)遞減,無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí),在上有兩