遼寧省部分高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)9月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析）

2024—2025學(xué)年度上學(xué)期高二年級開學(xué)階段測試數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1.若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)分別為，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義先求出，再由共軛復(fù)數(shù)的定義求出，然后利用復(fù)數(shù)的乘法化簡即可得出答案．【詳解】由題意可得出：，所以，所以，故選：D．2.已知，是兩個平面，m，n是兩條直線，則下列命題正確的是（）A.若，，，則B若，，，則C.若，，，則D.若，，則【答案】B【解析】【分析】對于A，若，，，不一定；對于B，先由和得，再由結(jié)合面面垂直的判定定理即可得解；對于C，若，，，則與相交或或；對于D，若，，由面面垂直的性質(zhì)得或.【詳解】對于A，若，，，則與相交或，故A錯誤；對于B，若，，則，又，則，故B正確；對于C，若，，，則與相交或或，故C錯誤；對于D，若，，則或，故D錯誤.故選：B.3.已知，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)與的夾角為，由數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，，因為，因為，，所以，解得：，因為，所以.故選：A.4.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得，結(jié)合，即可得出答案.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，所以，所以，因為，所以.故選：C.5.人臉識別就是利用計算機檢測樣本之間的相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個點，，為坐標(biāo)原點，定義余弦相似度為，余弦距離為.已知點，，若，的余弦距離為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出，根據(jù)所給定義可得，再由二倍角公式計算可得.【詳解】因為，，所以，，所以，，，所以，則，的余弦距離為，所以，所以.故選：D6.在三棱錐中，，，，，二面角的大小為，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別取中點，連接，根據(jù)已知條件求證平面，為二面角的平面角，由余弦定理求出，進而可求，從而結(jié)合等體積法得，進而由即可得解.【詳解】由題得，分別取中點，連接，則，，，所以，又平面平面，所以平面，為二面角的平面角，故，所以，所以，所以，所以，所以.故選：B.7.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組為了測量某古塔高度，在地面上共線的三點C，D，E處測得點A的仰角分別為，且，則古塔高度約為（）（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：）A.69m B.70m C.73m D.75m【答案】C【解析】【分析】先設(shè)，由題意求出，再由結(jié)合余弦定理即可計算求解.【詳解】由題可設(shè)，則，又，，所以由余弦定理得，所以，整理得，所以古塔高度約為.故選：C.8.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的面積為（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先由題意結(jié)合正弦定理得，再由得，接著結(jié)合基本定理得，故，進而可求得和，再由即可求解.【詳解】由題以及正弦定理得，所以由余弦定理得，所以由正弦定理得，所以，因為，所以，所以，故，則，因為，所以，所以即，此時即，解得，所以.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵由題意得后利用基本不等式推出，從而得，進而解出角A和c邊.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知向量，，，則（）A. B.當(dāng)時，C.當(dāng)時， D.在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】BD【解析】【分析】對于A，根據(jù)向量坐標(biāo)形式的模長公式計算即可得解；對于B，由向量平行的坐標(biāo)公式計算即可得解；對于C，由向量垂直的坐標(biāo)表示直接計算即可得解；對于D，直接由已知結(jié)合投影向量的定義和公式計算即可.【詳解】對于A，由題，故A錯；對于B，因為，所以有，整理得，故B正確；對于C，因為，所以，故C錯誤；對于D，在上的投影向量為，故D正確.故選：BD.10.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，，則（）A.B.當(dāng)有兩解時，的取值范圍是C.面積的最大值為D.當(dāng)BC邊上的中線的長為時，【答案】BCD【解析】【分析】利用余弦定理判斷A，利用正弦定理判斷B，利用基本不等式求出的最大值，即可求出面積的最大值，從而判斷C，設(shè)的中點為，則，將兩邊平方，再由數(shù)量積的運算律判斷D.【詳解】對于A：因為，，所以，所以，又，所以，故A錯誤；對于B：當(dāng)有兩解時，則，即，所以，故B正確；對于C：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故面積的最大值為，故C正確；對于D：設(shè)的中點為，則，所以，即，又，所以，故D正確.故選：BCD11.已知正三棱柱的棱長均為4，點在棱上，且，N為的中點，為側(cè)面內(nèi)一動點（包括邊界），則下列選項正確的是（）A.B.若平面，則動點的軌跡長度為4C.點到平面的距離為D.以為球心，4為半徑的球面與該棱柱的棱的公共點的個數(shù)為8【答案】ACD【解析】【分析】對于A，依據(jù)已知條件求證；對于B，取中點，在上取點使得，連接，求證平面平面即可由平面得動點的軌跡為，求出即可判斷；對于C，依據(jù)已知條件先求出和，進而求出和，接著求證平面和設(shè)點到平面的距離為d，再由結(jié)合錐體體積公式即可得解；對于D，由已知可得球的球面與側(cè)面的棱各有一個交點，同理得與側(cè)面的棱也各有一個交點，接著設(shè)點M在平面上的射影為，由已知得點M到平面的距離為，進而得到棱和的距離分別為和3以及得球與平面的截面圓半徑為2，從而得該截面圓與AB有兩個交點，與沒有交點，于是得解.【詳解】對于A，由題意得，所以即，故A正確；對于B，取中點，在上取點使得，連接，則由分別為中點得，由正三棱柱性質(zhì)可知且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，又平面，顯然平面，故由題意動點的軌跡為，所以動點的軌跡長度為，故B錯誤；對于C，連接，由題意，，，由選項B得所以，，所以，，由正三棱柱性質(zhì)平面，平面，所以，又由正三角形性質(zhì)得，，平面，所以平面，設(shè)點到平面的距離為d，則由得，即，所以點到平面的距離為，故C正確；對于D，如圖，，M到棱的距離等于4，故球的球面與側(cè)面的棱各有一個交點，分別為，同理可得與側(cè)面棱各有一個交點，分別為，如圖，點M在平面上的射影為，由正三棱柱結(jié)構(gòu)特征結(jié)合得點M到平面的距離為，到棱和的距離分別為和3，因為以點M為球心，4為半徑作球，所以在平面上，球與平面的截面圓半徑為，則該截面圓與AB有兩個交點分別為，與沒有交點.綜上，以為球心，4為半徑的球面與該棱柱的棱的公共點的個數(shù)為8，故D正確.故選：ACD.【點睛】思路點睛：以為球心，4為半徑的球面與該棱柱的棱的公共點的個數(shù)可以根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)特征依次分析該球在側(cè)面、側(cè)面和平面上的三個截面圓與這三個面的棱的交點即可得解.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若，則__________.【答案】##【解析】【分析】利用平方和公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡即可得出答案.【詳解】.故答案為：.13.已知函數(shù)滿足下列條件：①的圖象是由的圖象經(jīng)過變換得到的；②對于，均滿足；③的值域為.請寫出符合上述條件的一個函數(shù)解析式：__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由①可設(shè)，根據(jù)③，設(shè)，求得，再根據(jù)②求出，和的一個值即可求解.【詳解】解：由①可設(shè)，又由③可知，不妨設(shè)，可得，所以由②可知，且，所以，所以，又因為，則所以的一個值為，因此函數(shù)的一個解析式為.故答案為：（答案不唯一）.14.如圖，正三棱錐的側(cè)面和底面所成的角為，正三棱錐的側(cè)面和底面所成的角為，，P和位于平面的異側(cè)，且這兩個正三棱錐的所有頂點都在同一個球面上，則__________，的最大值為__________.【答案】①.##②.【解析】【分析】空1，利用圖形的對稱性，可得為外接球的直徑，而為直徑所對圓周角為；空二，利用空間幾何題的性質(zhì)，設(shè)未知數(shù)，然后表示出，再利用與其關(guān)系，計算，最后利用基本不等式計算即可.【詳解】由這兩個正三棱錐的所有頂點都在同一個球面上，以及圖形的對稱性可知，為外接球的直徑，故；設(shè)三角形中心為,的中點為,，由正弦定理可知，，由三角形性質(zhì)可知，因為三角形為直角三角形，顯然所以有即，由題可知，所以由基本不等式可知，當(dāng)時等號成立，所以故填：；【點睛】關(guān)鍵點點睛：對稱圖形比較好作出二面角，然后二面角的正切值需要對邊和鄰邊，明顯鄰邊已知，所以分別設(shè)對邊未知數(shù)即可，然后利用直角三角形得到未知數(shù)之間的關(guān)系，最后利用正切的和角公式計算即可.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.如圖，正四棱臺是一塊鐵料，上、下底面的邊長分別為40cm和80cm，，O分別是上、下底面的中心，棱臺高為60cm.（1）求正四棱臺的表面積；（2）若將這塊鐵料最大限度地打磨為一個圓臺，求圓臺的體積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出棱臺的側(cè)面的高，結(jié)合棱臺的結(jié)構(gòu)特征以及表面積公式即可求得答案；（2）由題意可知圓臺的上下底面圓與與正四棱臺的上下底面正方形相切，高為正四棱臺的高，由此可求出圓臺的體積.【小問1詳解】如圖，正四棱臺每個側(cè)面皆為全等的等腰梯形，分別取的中點為，連接，過點M作于H，則，故，所以正四棱臺的表面積為；【小問2詳解】若要這塊鐵料最大限度打磨為一個圓臺，則圓臺的上下底面圓與正四棱臺的上下底面正方形相切，高為正四棱臺的高，則圓臺的上底面半徑為20cm，下底面半徑為40cm，高為60cm，則圓臺的體積為.16.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，.（1）求周長的取值范圍；（2）求內(nèi)切圓半徑的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和三角恒等變換求得，根據(jù)角的范圍得，由余弦定理得，根據(jù)基本不等式得，即可求出周長的取值范圍；（2）令內(nèi)切圓的半徑為R，由三角形的面積公式求得，將代入化簡，由此求得內(nèi)切圓半徑的最大值；【小問1詳解】由正弦定理可得：，又因為，所以，則，因為，所以，則，即，所以或，所以或（舍去），故.由余弦定理得，可得，由，當(dāng)且僅當(dāng)“”時取等，得，解得：，所以有，所以，故周長的取值范圍為：.【小問2詳解】令內(nèi)切圓的半徑為R，故，得，代入，得，故，故內(nèi)切圓半徑的最大值為.17.如圖①，在平面四邊形中，，點在邊上，，，為的中點，將四邊形沿折起，使得二面角的大小為，得到如圖②所示的幾何體.（1）證明：平面；（2）若點F在上，，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先由已知條件求證四邊形是平行四邊形得，接著求證平面且為二面角的平面角即可得，且結(jié)合和得，于是得和，再由線面垂直判定定理即可得證.（2）過點G作，連接，結(jié)合（1）求證平面得且是二面角的平面角，再由已知求出和即可由得解.【小問1詳解】如圖，取的中點O，連接，又因為G為的中點，所以，且，因為，所以且，所以四邊形是平行四邊形，則，由題設(shè)易知平面，所以平面，且為二面角的平面角，因為平面，所以，則，因為二面角的大小為，所以，因為，所以為等邊三角形，因為O是得中點，所以，所以，因為平面，所以平面.【小問2詳解】如圖，在平面內(nèi)，過點G作，連接，由（1）知，平面，由線面垂直的性質(zhì)定理知，因為平面，所以平面，因為平面，所以，所以是二面角的平面角，在中，，所以，因為，所以，所以即，所以，在中，，所以，在中，，所以，即二面角的余弦值為.【點睛】思路點睛：垂面法是求立體幾何中求二面角常用的幾何方法，在求二面角時，先過點G作，連接，從而做出二面角棱的垂面，于是得是二面角的平面角，再結(jié)合已知求出和即可由得解.18.離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo).設(shè)為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點的面.如圖，在三棱錐中.（1）求三棱錐在各個頂點處的離散曲率的和；（2）若平面，，，三棱錐在頂點處的離散曲率為.①求點到平面的距離；②點在棱上，直線與平面所成角的余弦值為，求的長度.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)所給定義表示出、、、，再相加即可；（2）①首先證明平面，則，再由，求出，過點作于點，即可證明平面，則點到平面的距離為線段的長，再由銳角三角函數(shù)計算可得；②過點作交于點，連接，即可證明平面，則為直線與平面所成的角，設(shè)，則,，利用余弦定理求出，再由銳角三角函數(shù)計算可得.【小問1詳