4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用

第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用必備知識基礎練1.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1=3,前3項和S3=21,則a3+a4+a5等于()A.33 B.72C.84 D.1892.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且公比q不為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則下列結論一定正確的為()A.S8B.2S8≠S4+S12C.S8D.(S2nSn)2=Sn(S3nS2n)(n∈N*)3.(2021江蘇南京師大附中高二期末)已知{an}是等比數(shù)列,{an}的前n項和,前2n項和,前3n項和分別是A,B,C,則()A.A+B=CB.3B3A=CC.B2=ACD.B(BA)=A(CA)4.已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an},所有項之和為所有偶數(shù)項之和的4倍,前3項之積為64,則a1=()A.11 B.12 C.13 D.145.我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈.”意思是:一座七層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層有燈()A.2盞 B.3盞 C.5盞 D.6盞6.(2021天津河西高二期末)已知等比數(shù)列的首項為1,前n項和為Sn,若S10S5=3132A.2 B.2 C.12 D.7.(多選題)(2021江蘇常州高二期中)記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,n∈N*,下列四個命題中不正確的有()A.對于?n∈N*,an+12=anan+2,則數(shù)列{anB.若Sn=Aqn+B(非零常數(shù)q,A,B滿足q≠1,A+B=0),則數(shù)列{an}為等比數(shù)列 C.若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則Sn,S2nSn,S3nS2n,…仍為等比數(shù)列 D.設數(shù)列{an}是等比數(shù)列,若a1<a2<a3,則{an}為遞增數(shù)列8.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1=2,a2,a4+2,a5成等差數(shù)列,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則S10S4=.

9.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),則S2020=.10.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,an+1=13Sn,n∈N*,求(1)a2,a3,a4的值及數(shù)列{an}的通項公式;(2)a2+a4+a6+…+a2n的值.關鍵能力提升練11.(2021河南駐馬店高二期末)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S2n=3(a1+a3+…+a2n1)(n∈N*),a1a2a3=27,則a5=()A.81 B.24 C.81 D.2412.(2021陜西商洛高三期末)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1+a3=5,S4=20,則S8-2SA.9 B.10 C.12 D.1713.某工廠購買一臺機器價格為a萬元,實行分期付款,每期付款b萬元,每期為一個月,共付12次,如果月利率為5‰,每月復利一次,則a,b滿足()A.b=aB.b=aC.b=aD.a12<b<14.等比數(shù)列{an}的首項為2,項數(shù)為奇數(shù),其奇數(shù)項之和為8532,偶數(shù)項之和為2116,這個等比數(shù)列前n項的積為Tn(n≥1),則Tn的最大值為(A.14 B.12 C.1 D15.(多選題)在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,若a1a4=32,a2+a3=12,則下列說法正確的是()A.q=2B.數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列C.S8=510D.數(shù)列{log2an}是公差為2的等差數(shù)列16.(多選題)在《算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事:“三百七十八里關,初行健步不為難,次日腳痛減一半,如此六日過其關.”則下列說法正確的是()A.此人第三天走了四十八里路B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C.此人第二天走的路程占全程的1D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍17.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=bn+12(b>0,b≠1),則a4=.

18.如圖,作邊長為3的正三角形的內切圓,在這個圓內作內接正三角形,然后作新三角形的內切圓……如此下去,前n個內切圓的面積和為.

19.已知正項等差數(shù)列{an}的公差不為0,a2,a5,a14恰好是等比數(shù)列{bn}的前三項,a2=3.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;(2)記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,若對任意的n∈N*,kTn+32≥3n6恒成立,學科素養(yǎng)創(chuàng)新練20.(2021江蘇南京師大附中高二期末)王先生今年初向銀行申請個人住房貸款150萬元購買住房,月利率為0.4%,按復利計算,并從貸款后的次月初開始還貸,分25年還清.銀行給王先生提供了兩種還貸方式:①等額本金:在還款期內把本金總額等分,每月償還同等數(shù)額的本金和剩余本金在該月所產生的利息;②等額本息:在還款期內,每月償還同等數(shù)額的貸款(包括本金和利息).(1)若王先生采取等額本金的還貸方式,已知第一個還貸月應還11000元,最后一個還貸月應還5020元,試計算王先生該筆貸款的總利息;(2)若王先生采取等額本息的還貸方式,銀行規(guī)定每月還貸額不得超過家庭月收入的一半,已知王先生家庭月收入為18000元,試判斷王先生該筆貸款能否獲批.(不考慮其他因素)參考數(shù)據(jù):1.004299≈3.30,1.004300≈3.31,1.004301≈3.32.

參考答案第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用1.C設公比為q,則S3=a1(1+q+q2)=21,且a1=3,得q+q26=0.因為q>0,所以q=2.故a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.2.D若q=1,且n為偶數(shù),則有Sn=0,∴S4=S8=S12=0,此時,A,B,C不成立;根據(jù)等比數(shù)列的性質也可以得到選項D正確.故選D.3.D若公比q≠1或雖q=1但n為奇數(shù)時,A,BA,CB成等比數(shù)列,故(BA)2=A(CB),整理得B2AB=ACA2,即B(BA)=A(CA),若公比q=1,且n為偶數(shù)時,A=B=C=0,滿足此式.故選D.4.B由題意可得所有項之和S奇+S偶是所有偶數(shù)項之和的4倍,可知S奇+S偶=4S偶.設等比數(shù)列{an}的公比為q,由等比數(shù)列的性質可得S偶=qS奇,∵S偶≠0,∴q=13又前3項之積a1a2a3=a23=64,解得a2∴a1=a2q=12.故選5.B設第七層有a盞燈,由題意知第七層至第一層的燈的盞數(shù)構成一個以a為首項,以2為公比的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的求和公式可得a(1-27)1-26.D(方法1)當公比q=1時,S10S5=2,不滿足題意,當q≠1時,S10=q10-11-q,S5=q5-11-(方法2)由S10S5=3132可知,設S10=31k,S5=32k(k≠0),則由S10=S5+q5S5可知,31k=S5(1+q5)=32k(1+q7.AC若an=0,滿足對于?n∈N*,an+12=anan+2,但數(shù)列{an}不是等比數(shù)列,故對于B,當n≥2時,an=SnSn1=Aqn+B(Aqn1+B)=Aqn1(q1)且q≠1,當n=1時,因為A+B=0,則a1=S1=Aq+B=A(q1)符合上式,故數(shù)列{an}是首項為A(q1),公比為q的等比數(shù)列,故B正確;若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,當公比q=1,且n為偶數(shù)時,此時Sn,S2nSn,S3nS2n,…均為0,不是等比數(shù)列,故C錯誤;設數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且公比為q,若a1<a2<a3,即a1<a1q<a1q2,若a1>0,可得1<q<q2,即q>1,則{an}為遞增數(shù)列;若a1<0,可得1>q>q2,即0<q<1,則{an}為遞增數(shù)列,故D正確.8.2016依題意有2(a4+2)=a2+a5,設公比為q,則有2(2q3+2)=2q+2q4,解得q=2.于是S10S4=2(1-2109.3·210103∵an+1·an=2n(n∈N*),a1=1,∴a2=2,a3=2.又an+2·an+1=2n+1,∴an+2∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等比數(shù)列,公比為2,首項分別為1,2.∴S2020=(a1+a3+…+a2019)+(a2+a4+…+a2020)=21010-12-1+10.解(1)由a1=1,an+1=13Sn,n=1,2,3,…,a2=13S1=13a1=a3=13S2=13(a1+a2)=a4=13S3=13(a1+a2+a3)=由an+1an=13(SnSn1)=13an(n≥2),得an+1=43an(∵a2=13,∴an=1343n∴數(shù)列{an}的通項公式為an=1(2)由(1)可知,a2,a4,…,a2n是首項為13,公比為432,項數(shù)為∴a2+a4+a6+…+a2n=13·111.D由等比數(shù)列的性質可得a1a2a3=a23=27,解得a2=設等比數(shù)列{an}的公比為q,則S2n=3(a1+a3+…+a2n1)=(q+1)(a1+a3+…+a2n1),所以q=2,所以a5=a2×q3=3×23=24.12.B設等比數(shù)列{an}的公比為q,因為S4=a1+a2+a3+a4=a1+a3+a2+a4=a1+a3+q(a1+a3)=(1+q)(a1+a3)=5(1+q)=20,所以q=3.則S8-2S4S613.D顯然12b>a,因為b(1+1.005+1.0052+…+1.00511)=a(1+0.005)12,所以12b<a(1+0.005)12,所以b<a(1+5‰)121214.D設數(shù)列{an}共有(2m+1)項,由題意得S奇=a1+a3+…+a2m+1=8532,S偶=a2+a4+…+a2m=2116,因為項數(shù)為奇數(shù)時,S奇=a1+S偶·q,即2+2116q=8532,所以Tn=a1·a2·…·an=a1nq1+2+…+n1=故當n=1或2時,Tn取最大值2.15.ABC因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列,又a1a4=32,所以a2a3=32.又a2+a3=12,所以a又公比q為整數(shù),則a2=4,a由上可知an=2n,Sn=2×(1-2Sn+2=2n+1,Sn+1則數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列,即選項B正確;S8=292=510,即選項C正確;log2an+1log2an=(n+1)n=1,即數(shù)列{log2an}是公差為1的等差數(shù)列,即選項D錯誤.故選ABC.16.ABD根據(jù)題意此人每天行走的路程成等比數(shù)列,設此人第n天走an里路,則{an}是首項為a1,公比為q=12的等比數(shù)列所以S6=a1(1-q6)1a3=a1q2=192×14=48,所以A正確由a1=192,則S6a1=378192=186,又192186=6,所以B正確.a2=a1q=192×12=96,而14S6=94.5<96,所以Ca1+a2+a3=a1(1+q+q2)=192×1+12+14=336,則后3天走的路程為378336而且42×8=336,所以D正確.故選ABD.17.16當n≥2時,an=SnSn1=(b1)·bn.因為a1=S1=b22,所以(b1)b=b22,解得b=2,因此Sn=2n+12,于是a4=S4S3=16.18.1-14nπ根據(jù)題意知第一個內切圓的半徑為36×3=32,面積為34π,第二個內切圓的半徑為34,面積為316π……這些內切圓的面積組成一個等比數(shù)列,首項為34π19.解(1)設公差為d,根據(jù)題意知d≠0,a2=a1+d,a5=a1+4d,a14=a1+13d.∵(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),a1+d=3,∴3d26d=0,∴d=2(d=0舍去).又a2=3,d=2,∴a1=1,an=2n1.∵b1=a2=3,b2=a5=9,b3=a14=27,∴bn=3n.(2)由(1)知b1=3,公比q=3.∴Tn=b1∴3n+1-32+32k≥3n∵Tn>0,∴k≥2n-43n對n令cn=2n-43n,cncn1=2n-43n-2n-63n-1=-2(2n∴(cn)max=c3=227,故k≥220.解(1)由題意可知等額本金還貸方式中,每月的還貸額構成一個