7.4 二項分布與超幾何分布（原卷版） 人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三

【公眾號：該學(xué)習(xí)了】7.4二項分布與超幾何分布考法一二項分布【例1】（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考期末）甲、乙兩人進行射擊比賽，每次比賽中，甲?乙各射擊一次，甲?乙每次至少射中8環(huán).根據(jù)統(tǒng)計資料可知，甲擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，乙擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，且甲?乙兩人射擊相互獨立.(1)在一場比賽中，求乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)的概率；(2)若獨立進行三場比賽，其中X場比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【一隅三反】1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰）已知某單位招聘程序分兩步：第一步是筆試，筆試合格才能進入第二步面試；面試合格才算通過該單位的招聘.現(xiàn)有，，三位畢業(yè)生應(yīng)聘該單位，假設(shè)，，三位畢業(yè)生筆試合格的概率分別是，，；面試合格的概率分別是，，.(1)求，兩位畢業(yè)生中有且只有一位通過招聘的概率；(2)記隨機變量為，，三位畢業(yè)生中通過招聘的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.2．（2024上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯）為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機抽取了部分產(chǎn)品進行檢測，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示.（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；(1)求的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率；(2)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機抽出件，記這件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.考法二超幾何分布【例2】（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾）已知盒子內(nèi)有大小相同的10個球，其中紅球有個，已知從盒子中任取2個球都是紅球的概率為.(1)求的值；(2)現(xiàn)從盒子中任取3個球，記取出的球中紅球的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到2022年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從武漢市的中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息技術(shù)學(xué)科夏令營活動．若化學(xué)組的12名學(xué)員中恰有5人來自同一中學(xué)，從這12名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來自該中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.2．（2023上·江蘇南通·高三海門中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某班為了慶祝我國傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設(shè)計了一個小游戲：在一個不透明箱中裝有4個黑球，3個紅球，1個黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學(xué)生從中一次隨機摸出3個球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有個紅球，則分得個月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個節(jié)目.(1)求一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；(2)求每位學(xué)生分得月餅數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望.3．（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學(xué)?？寄M預(yù)測）某乒乓球隊訓(xùn)練教官為了檢驗學(xué)員某項技能的水平，隨機抽取100名學(xué)員進行測試，并根據(jù)該項技能的評價指標(biāo)，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計該項技能的評價指標(biāo)的中位數(shù)（精確到0.1）；(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標(biāo)在和內(nèi)的學(xué)員中隨機抽取12名，再從這12名學(xué)員中隨機抽取5名學(xué)員，記抽取到學(xué)員的該項技能的評價指標(biāo)在內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．考法三二項分布與超幾何分布的辨析【例3-1】（2023湖南）下列隨機事件中的隨機變量服從超幾何分布的是（）A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為B．從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為C．某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為D．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數(shù)為【例3-2】（2023上海）下列例子中隨機變量服從二項分布的個數(shù)為（）①某同學(xué)投籃的命中率為0.6，他10次投籃中命中的次數(shù)；②某射手擊中目標(biāo)的概率為0.9，從開始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)；③從裝有5個紅球，5個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球為止，摸到白球時的摸球次數(shù)；④有一批產(chǎn)品共有件，其中件為次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)A．0 B．1 C．2 D．3【例3-3】（2024·天津）已知條件①采用無放回抽?。孩诓捎糜蟹呕爻槿。堅谏鲜鰞蓚€條件中任選一個，補充在下面問題中橫線上并作答，選兩個條件作答的以條件①評分.問題：在一個口袋中裝有3個紅球和4個白球，這些球除顏色外完全相同，若___________，從這7個球中隨機抽取3個球，記取出的3個球中紅球的個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和期望.【一隅三反】1．（2024北京）(多選)下列隨機變量中，服從超幾何分布的有（）A．在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為XB．從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數(shù)C．一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈的數(shù)為隨機變量XD．從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動，其中男生人數(shù)記為X2．（2023安徽）(多選)下列事件不是n重伯努利試驗的是（）A．運動員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒射中目標(biāo)”D．在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo)3（2023上·陜西西安）某中學(xué)進行校慶知識競賽，參賽的同學(xué)需要從10道題中隨機抽取4道來回答．競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得10分，回答不正確得分．(1)已知甲同學(xué)每題回答正確的概率均為0.5，且各題回答正確與否之間沒有影響，記甲的總得分為，求的期望和方差；(2)已知乙同學(xué)能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為，求的分布列．4（2023云南）某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；（2）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．考法四二項分布與超幾何分布隨機變量概率最值【例4-1】（2024上·北京豐臺）2023年冬，甲型流感病毒來勢洶洶．某科研小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異．在某地的兩類人群中各隨機抽取20人的該項醫(yī)學(xué)指標(biāo)作為樣本，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)小于的人判定為陽性，大于或等于的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，用頻率估計概率．(1)當(dāng)臨界值時，求漏診率和誤診率；(2)從指標(biāo)在區(qū)間樣本中隨機抽取2人，記隨機變量為未患病者的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)在該地患病者占全部人口的5%的情況下，記為該地診斷結(jié)果不符合真實情況的概率．當(dāng)時，直接寫出使得取最小值時的的值．【例4-2】（2024上·河南漯河）為了引導(dǎo)居民合理用電，國家決定實行合理的階梯電價，居民用電原則上以住宅為單位（一套住宅為一戶）.階梯級別第一階梯第二階梯第三階梯月用電范圍（度）某市隨機抽取10戶同一個月的用電情況，得到統(tǒng)計表如下：居民用電戶編號12345678910用電量（度）538690124214215220225420430(1)若規(guī)定第一階梯電價每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元，試計算某居民用電戶用電450度時應(yīng)交電費多少元？(2)現(xiàn)要從這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望；(3)以表中抽到的10戶作為樣本估計全市居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，記取到第一階梯電量的戶數(shù)為，當(dāng)時對應(yīng)的概率為，求取得最大值時的值.【一隅三反】1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）．(1)當(dāng)時，若發(fā)送0，則要得到正確信號，試比較單次傳輸和三次傳輸方案的概率大??；(2)若采用三次傳輸方案發(fā)送1，記收到的信號中出現(xiàn)2次信號1的概率為，出現(xiàn)3次信號1的概率為，求的最大值．2．（2024上·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？计谀┠撤N植戶對一塊地的個坑進行播種，每個坑播粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立，對每一個坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進行補播種，否則要補播種.(1)從個坑中選兩個坑進行觀察，兩坑不能相鄰，有多少種方案？(2)對于單獨一個坑，需要補播種的概率是多少？(3)當(dāng)取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？3．（2024上·北京昌平）某汽車生產(chǎn)企業(yè)對一款新上市的新能源汽車進行了市場調(diào)研，統(tǒng)計該款車車主對所購汽車性能的評分，將數(shù)據(jù)分成5組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)求的值；(2)該汽車生產(chǎn)企業(yè)在購買這款車的車主中任選3人，對評分低于110分的車主送價值3000元的售后服務(wù)項目，對評分不低于110分的車主送價值2000元的售后服務(wù)項目．若為這3人提供的售后服務(wù)項目總價值為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用隨機抽樣的方法從購買這款車的車主中抽取10人，設(shè)這10人中評分不低于110分的人數(shù)為，問為何值時，的值最大？（結(jié)論不要求證明考法五二項分布與超幾何分布與其他知識的綜合【例5】（2024上·山東日照·高二統(tǒng)考期末）普法宣傳教育是依法治國、建設(shè)法治社會的重要內(nèi)容，也是構(gòu)建社會主義和諧社會的應(yīng)有之意．為加強對學(xué)生的普法教育，某校將舉辦一次普法知識競賽，共進行5輪比賽，每輪比賽結(jié)果互不影響．比賽規(guī)則如下：題庫中有法律文書題和案例分析題兩類問題，每道題滿分10分．每一輪比賽中，參賽者在30分鐘內(nèi)完成法律文書題和案例分析題各2道，若有不少于3道題得分超過8分，將獲得“優(yōu)勝獎”，5輪比賽中，至少獲得4次“優(yōu)勝獎”的同學(xué)將進入決賽．甲同學(xué)經(jīng)歷多次限時模擬訓(xùn)練，指導(dǎo)老師從訓(xùn)練題庫中隨機抽取法律文書題和案例分析題各5道，其中有4道法律文書題和3道案例分析題得分超過8分．(1)從這10道題目中，隨機抽取法律文書題和案例分析題各2道，求該同學(xué)在一輪比賽中獲“優(yōu)勝獎”的概率；(2)將上述兩類題目得分超過8分的頻率作為概率．為提高甲同學(xué)的參賽成績，指導(dǎo)老師對該同學(xué)進行賽前強化訓(xùn)練，使得法律文書題和案例分析題得分超過8分的概率共增加了，以獲得“優(yōu)勝獎”的次數(shù)期望為參考，試預(yù)測該同學(xué)能否進入決賽．【一隅三反】1．（2023下·江西贛州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）在等差數(shù)列中，．現(xiàn)從數(shù)列的前10項中隨機抽取3個不同的數(shù)，記取出的數(shù)為正數(shù)的個數(shù)為．則下列結(jié)論正確的是（

）A．服從二項分布 B．服從超幾何分布C． D．2．（2024·江蘇）某學(xué)校有甲，乙兩個餐廳，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，前一天選擇餐廳甲就餐第二天仍選擇餐廳甲就餐的概率為，第二天選擇餐廳乙就餐的概率為；前一天選擇餐廳乙就餐第二天仍選擇餐廳乙就餐的概率為，第二天選擇餐廳甲就餐的概率為．若學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，選擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學(xué)第天選擇餐廳甲就餐的概率為．(1)記某班3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及期望；(2)學(xué)校為緩解就餐壓力，決定每天從各年級抽調(diào)21人到甲乙兩個餐廳參加志愿服務(wù)，請求出的通項公式，根據(jù)以上數(shù)據(jù)合理分配甲，乙兩個餐廳志愿者人數(shù)，并說明理由．3．（2024·山西呂梁）呂梁市舉辦中式廚師技能大賽，大賽分初賽和決賽，初賽共進行3輪比賽，每輪比賽結(jié)果互不影響．比賽規(guī)則如下：每一輪比賽，參賽選手要在規(guī)定的時間和范圍內(nèi)，制作中式面點和中式熱菜各2道，若有不少于3道得到評委認(rèn)可，將獲得一張通關(guān)卡，3輪比賽中，至少獲得2張通關(guān)卡的選手將進入決賽．為能進入決賽，小李賽前在師傅的指導(dǎo)下多次進行訓(xùn)練，師傅從小李訓(xùn)練中所做的菜品中隨機抽取了中式面點和中式熱菜各4道，其中有3道中式面點和2道中式熱菜得到認(rèn)可．(1)若從小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中，隨機抽取中式面點、中式熱菜各2道，由此來估計小李在一輪比賽中的通關(guān)情況，試預(yù)測小李在一輪比賽中通關(guān)的概率；(2)若以小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中兩類菜品各自被師傅認(rèn)可的頻率作為該類菜品被評委認(rèn)可的概率，經(jīng)師傅對小李進行強化訓(xùn)練后，每道中式面點被評委認(rèn)可的概率不變，每道中式熱菜被評委認(rèn)可的概率增加了，以獲得通關(guān)卡次數(shù)的期望作為判斷依據(jù)，試預(yù)測小李能否進入決賽？4．（2024·黑龍江哈爾濱）這個冬季，哈爾濱文旅持續(xù)火爆，喜迎大批游客，冬天里哈爾濱雪花紛飛，成為無數(shù)南方人向往的旅游勝地，這里的美景，美食，文化和人情都讓人流連忘返，嚴(yán)寒冰雪與熱情服務(wù)碰撞出火花，吸引海內(nèi)外游客紛至沓來．據(jù)統(tǒng)計，2024年元旦假期，哈爾濱市累計接待游客304.79萬人次，實現(xiàn)旅游總收入59.14億元，游客接待量與旅游總收入達(dá)到歷史峰值．現(xiàn)對某一時間段冰雪大世界的部分游客做問卷調(diào)查，其中的游客計劃只游覽冰雪大世界，另外的游客計劃既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人．每位游客若只游覽冰雪大世界，則得到1份文旅紀(jì)念品；若既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人，則獲得2份文旅紀(jì)念品．假設(shè)每位來冰雪大世界景區(qū)游覽的游客與是否參觀群力音樂公園大雪人是相互獨立的，用頻率估計概率．(1)從冰雪大世界的游客中隨機抽取3人，記這3人獲得文旅紀(jì)念品的總個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)記n個游客得到文旅紀(jì)念品的總個數(shù)恰為個的概率為，求的前n項和；(3)從冰雪大世界的游客中隨機抽取100人，這些游客得到紀(jì)念品的總個數(shù)恰為n個的概率為，當(dāng)取最大值時，求n的值．單選題1．（2024下·山東東營）隨機變量服從二項分布：，則它的期望（

）A．0.5 B．2.5 C．5 D．102．（2023上·廣東深圳·高二?？计谀┤?00件產(chǎn)品中包含10件次品，有放回地隨機抽取6件，下列說法正確的是（

）A．其中的次品數(shù)服從超幾何分布B．其中的正品數(shù)服從二項分布C．其中的次品數(shù)的期望是1D．其中的正品數(shù)的期望是53．（2024上·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）已知在件產(chǎn)品中有件次品，現(xiàn)從這件產(chǎn)品中任取件，用表示取得次品的件數(shù)，則（

）A． B． C． D．4．（2023下·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)?？计谀┰?0件工藝品中，有3件二等品，7件一等品，現(xiàn)從中抽取5件，則抽得二等品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為（

）．A．2 B．4 C． D．5．（2024上·廣東深圳）一袋中裝有大小?質(zhì)地均相同的5個白球，3個黃球和2個黑球，從中任取3個球，則至少含有一個黑球的概率是（

）A． B． C． D．6．（2021上·高二課時練習(xí)）一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號為7，8，9，10.現(xiàn)從中任取4個球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號碼；②X表示取出的最小號碼；③X表示取出的白球個數(shù)；④取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的4個球的總得分減去4的差.這四種變量中服從超幾何分布的是（）A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④7．（2023下·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)?？计谀┙?jīng)檢測一批產(chǎn)品中每件產(chǎn)品的合格率為，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取5件，設(shè)取得合格產(chǎn)品的件數(shù)為，則以下選項正確的是（

）A．的可能取值為1，2，3，4，5 B．C．的概率最大 D．服從超幾何分布8．（2024上·河南·高二校聯(lián)考期末）一個不透明的袋子有10個除顏色不同外，大小?質(zhì)地完全相同的球，其中有6個黑球，4個白球.現(xiàn)進行如下兩個試驗，試驗一：逐個不放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數(shù)為，期望和方差分別為；試驗二：逐個有放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數(shù)為，期望和方差分別為.則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．多選題9．（2024上·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）若隨機變量，下列說法中正確的有（

）A． B．期望C．期望 D．方差10．（2023上·高二課時練習(xí)）在一個袋中裝有質(zhì)地、大小均一樣的6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個小球，設(shè)取出的4個小球中白球的個數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．隨機變量X服從二項分布C．隨機變量X服從超幾何分布D．11．（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）已知，且，則（

）A． B．C． D．11．（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學(xué)校校聯(lián)考期末）在一個袋中裝有除顏色外其余完全一樣的3個黑球，3個白球，現(xiàn)從中任取4個球，設(shè)這4個球中黑球的個數(shù)為，則（

）A．服從二項分布 B．的值最小為1C． D．127．（2023上·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字“”和“”組成的序列．現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號次，每次發(fā)射信號“”的概率均為．記發(fā)射信號“1”的次數(shù)為，記為奇數(shù)的概率為，為偶數(shù)的概率為，則下列說法中正確的有（

）A．當(dāng)，時，B．時，有C．當(dāng)，時，當(dāng)且僅當(dāng)時概率最大D．時，隨著的增大而增大填空題13．（2024上·江西南昌·高二江西師大附中校考期末）在一個布袋中裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球，從中隨機摸取1個球，有放回地摸取3次，記摸取白球的個數(shù)為X．若，則．14．（2023·陜西西安·西安市長安區(qū)第二中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若隨機變量，且，則.15．（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）某班要從3名男同學(xué)和5名女同學(xué)中隨機選出4人去參加某項比賽，設(shè)抽取的4人中女同學(xué)的人數(shù)為，則.16．（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為，，，，，則小球落入號格子的概率最大.圖片僅供參考解答題17．（2024下·北京海淀·高三101中學(xué)校考開學(xué)考試）“雙減”政策執(zhí)行以來，中學(xué)生有更多的時間參加志愿服務(wù)和體育鍛煉等課后活動．某校為了解學(xué)生課后活動的情況，從全校學(xué)生中隨機選取100人，統(tǒng)計了他們一周參加課后活動的時間（單位：小時），分別位于區(qū)間，用頻率分布直方圖表示如下：假設(shè)用頻率估計概率，且每個學(xué)生參加課后活動的時間相互獨立．(1)估計全校學(xué)生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間的概率；(2)從全校學(xué)生中隨機選取3人，記表示這3人一周參加課后活動的時間在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)設(shè)全校學(xué)生一周參加課后活動的時間的中位數(shù)估計值為?平均數(shù)的估計值為（計算平均數(shù)時，同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替），請直接寫出的大小關(guān)系．18．（2024·全國·模擬預(yù)測）為增強體質(zhì)，錘煉意志，讓學(xué)生享受運動樂趣，享受校園生活，某學(xué)校舉辦全員運動會．該校高三某班的同學(xué)報名參加游泳比賽、田徑比賽、球類比賽這三類比賽（每人必須報名參加比賽且只能報一類），其中報名參加游泳比賽、田徑比賽、球類比賽的人數(shù)占本班人數(shù)的比例依次為（其中）．現(xiàn)從該班學(xué)生中任選3人，以頻率估計概率．(1)若被選取的3人參加比賽的類別互不相同的概率為，求a的值；(2)記X為選取的3人中報名參加田徑比賽和報名參加球類比賽的總?cè)藬?shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（2023·全國·模擬預(yù)測）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立周年，某市開展了黨史知識競賽活動，競賽結(jié)束后，為了解本次競賽的成績情況，從所有參賽學(xué)生中隨機抽取了名學(xué)生的競賽成績作為樣本，數(shù)據(jù)整