6.2.1 平面向量的運算（解析版） （人教A版2019必修第二冊）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二

6.2.1平面向量的運算考法一平面向量的加法運算【例1-1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量、，用向量加法的三角形法則作出向量．(1)

(2)

(3)

【答案】答案見解析【解析】（1）解：作，，，則即為所求作的向量.

（2）解：作，，，則即為所求作的向量.

（3）解：作，，，則即為所求作的向量.

【例1-2】（2023下·新疆·高一校考期末）化簡下列各式:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【一隅三反】1．（2023山西）如圖所示，求：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.2．（2023云南）如圖，為邊長為1的正六邊形，O為其幾何中心.(1)化簡；(2)化簡；(3)化簡；(4)求向量的模.【答案】(1)(2)(3)(4)2【解析】（1）解：根據(jù)向量的平行四邊形法則得；（2）解：根據(jù)題意，，所以；（3）解：因為，所以；（4）解：因為，所以，所以3．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

【答案】詳見解析【解析】解法一：（三角形法則），如下圖所示，作，，則，再作，則，即.

解法二：（平行四邊形法則）因為向量，，不共線，如下圖所示，在平面內(nèi)任取一點O，作，，以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線，再作，以，為鄰邊作平行四邊形，則.

考法二平面向量的減法運算【例2-1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量、，求作．(1)

(2)

(3)

(4)

【答案】答案見解析【解析】（1）解：作，，則，即即為所求作的向量.

（2）解：作，，則，即即為所求作的向量.

（3）解：作，，則，即即為所求作的向量.

（4）解：作，，則，即即為所求作的向量.

【例2-2】（2023·河南周口）化簡下列各式：(1)；(2)；(3)．(4)；(5)；(6)．【答案】(1)；(2)；(3).(4)；(5)；(6).【解析】(1).(2).(3).(4).(5).(6).【一隅三反】1．（2023下·江蘇淮安·高一校考階段練習(xí)）如圖，已知向量(1)用表示；(2)用表示；(3)用表示；(4)用表示；(5)用表示【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】（1）.（2）.（3）（4）.（5）2（2023·高一課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，設(shè)，，，試用，，分別表示，．【答案】，.【解析】由題圖知：，又，所以.考法三平面向量的數(shù)乘【例3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）判斷下列各小題中的向量，是否共線：(1)，；(2)，（其中兩個非零向量和不共線）；(3)，.【答案】(1)共線；(2)共線；(3)共線.【解析】（1），，所以，所以，共線.（2），,所以，所以，共線.（3）因為，，所以，所以.所以，共線.【一隅三反】．（2023下·高一課時練習(xí)）計算：(1)；(2)．(3)；(4)(5)；(6)；(7)；(8).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)；(6)；(7)；(8).【解析】（1）原式．（2）原式（3）原式=.（4）原式=.（5）（6）（7）（8）考法四平面向量共線定理【例4】（2023新疆）設(shè)，是兩個不共線的向量，如果，，.(1)求證：A，B，D三點共線；(2)試確定的值，使和共線；(3)若與不共線，試求的取值范圍.【答案】(1)證明過程見解析(2)(3)【解析】（1）證明：因為，所以與共線.因為與有公共點B，所以A，B，D三點共線.（2）因為與共線，所以存在實數(shù)，使.因為，不共線，所以所以.（3）假設(shè)與共線，則存在實數(shù)m，使.因為，不共線，所以所以.因為與不共線，所以.【一隅三反】1．（2024上·遼寧·高一校聯(lián)考期末）已知與為非零向量，，若三點共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由題意知，三點共線，故,且共線，故不妨設(shè)，則，所以，解得，故選：D2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)兩個非零向量與不共線．(1)若，，，求證：，，三點共線；(2)試確定實數(shù)，使和同向．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）證明：因為，，，所以．所以，共線．又因為，有公共點，所以，，三點共線．（2）解：因為與同向，所以存在實數(shù)，使，即．所以．因為，是不共線的兩個非零向量，所以，解得，或，又因為，所以．3.（2024·上海）設(shè)是不共線的兩個非零向量.（1）若，求證：三點共線；（2）若與共線，求實數(shù)的值；（3）若，且三點共線，求實數(shù)的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.（3）.【解析】證明：（1），所以.又因為為公共點，所以三點共線.（2）設(shè)，則解得或所以實數(shù)的值為.（3），因為三點共線，所以與共線.從而存在實數(shù)使，即，得解得所以.考法五向量判斷三角形的四心【例5】（2023·山西太原）已知點在所在平面內(nèi)，滿，，則點依次是的（

）A．重心，外心 B．內(nèi)心，外心 C．重心，內(nèi)心 D．垂心，外心【答案】A【解析】設(shè)中點為，因為，所以，即，因為有公共點，所以，三點共線，即在的中線，同理可得在的三條中線上，即為的重心；因為，所以，點為的外接圓圓心，即為的外心綜上，點依次是的重心，外心.故選：A【一隅三反】1．（2023·重慶江北）（多選）設(shè)點M是所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（

）A．若，則點M是BC的中點B．若，則點M是的重心C．若，則點M，B，C三點共線D．若，則【答案】ACD【解析】對于A中，如圖所示，根據(jù)向量的平行四邊形法則，可得，若，可得M為BC的中點，所以A正確；

對于B中，若M為的重心，則滿足，即，所以B不正確；對于C中，由，可得，即，所以M，B，C三點共線，所以C正確；對于D中，如圖所示，由，

可得，所以D正確．故選：ACD2．（2023·山東棗莊·）（多選）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點O、G、H分別是△ABC的外心、重心、垂心，且M為BC的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】A.為重心，所以,所以,所以,所以，所以該選項正確.B.，由于G是重心，所以，所以，同理,所以，所以該選項正確.C.,所以該選項錯誤.D.,所以,所以該選項正確.故選：ABD

3．（2023·重慶萬州）（多選）已知分別為的外心和重心，為平面內(nèi)一點，且滿足，則下列說法正確的是（

）A．B．為內(nèi)心C．D．對于平面內(nèi)任意一點，總有【答案】ACD【解析】A：由為的重心，則，，，所以，即，正確；B：，由為外心，所以，即，同理，故為垂心，錯誤.C：，所以，因為，故，而，所以，即，正確.D：，所以，因為，故，正確.故選：ACD考法六平面向量在幾何中應(yīng)用【例6】（2024北京）如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，.(1)用表示；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線．【答案】(1)，，，，(2)證明見解析【解析】（1）解：在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，則，故，，，；（2）證明：因為，，所以，所以，又因有公共點，所以B，E，F(xiàn)三點共線．【一隅三反】1．（2023·河北）如圖，已知四邊形為平行四邊形，與相交于，，，設(shè)，，試用基底表示向量，，.【答案】，，【解析】是平行四邊形，，，，，，.2．（2023下·河南南陽·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形中，，分別為邊和的中點，為與的交點．(1)若，則四邊形是什么特殊的平行四邊形？說明理由．(2)化簡，并在圖中作出表示該化簡結(jié)果的向量．【答案】(1)菱形，理由見解析(2)答案見解析【解析】（1）由條件知，即，又四邊形是平行四邊形，故四邊形是菱形．（2）由平行四邊形及三角形中位線的性質(zhì)可知．所以．作出向量如圖所示．單選題1．（2023吉林）向量化簡后等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】故選：C.2（2023·安徽）如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則下列等式中錯誤的是（）A．＋＋＝0 B．＋＋＝0C．＋＋＝ D．＋＋＝【答案】D【解析】＋＋＝＋＝0，A正確；＋＋＝＋＋＝0，B正確；＋＋＝＋＝＋＝，C正確；＋＋＝＋0＝＝≠，D錯誤，故選：D．3．（2023廣西）作用在同一物體上的兩個力，當(dāng)它們的夾角為時，則這兩個力的合力大小為（）N.A．30 B．60 C．90 D．120【答案】B【解析】如圖，，，，作平行四邊形，則，因為，所以四邊形是菱形，又，是等邊三角形，．故選：B．4．（2013北京）若是內(nèi)一點，，則是的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心【答案】D【解析】取線段的中點，連接，則，而，

因此，即三點共線，線段是的中線，且是靠近中點的三等分點，所以是的重心.故選：D5．（2023湖北）設(shè)是兩個不共線的向量,若向量與共線,則()A．λ=0 B．λ=-1C．λ=-2 D．λ=-【答案】D【解析】由已知得存在實數(shù)k使,即,于是1=2k且λ=-k,解得λ=-.6．（2024·山東）已知△ABC，點G、M滿足，，則(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】滿足，∴為的重心，∴＝＝，又∵，∴．故選：A．7．（2023·全國·專題練習(xí)）設(shè)為的外心，若，則點是的（

）A．重心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．外心【答案】C【解析】取BC的中點D，如圖所示，連接OD，AM，BM，CM．因為，所以，又，則，所以，又由于為的外心，所以，因此有．同理可得，，所以點是的垂心．故選：C．8．（2023甘肅?。┮阎堑倪叺闹悬c，點在上，且滿足，則與的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，由得，即，即，故，故與以為底，其高的比為，故．故選：C．多選題9．（2023下·陜西西安·高一期中）下列命題正確的的有（

）A．B．C．若，則共線D．，則共線【答案】ABC【解析】對于A，，故正確；對于B，，故正確；對于C，因為，所以，所以共線，故正確；對于D，因為恒成立，所以不一定共線，故錯誤.故選：ABC.10．（2023下·陜西西安·高一階段練習(xí)）下列說法不正確的是（

）A．已知均為非零向量，則存在唯一的實數(shù)，使得B．若向量共線，則點必在同一直線上C．若且，則D．若點為的重心，則【答案】BC【解析】由平行向量的基本定理可知，選項A是正確的；向量共線的意思是向量所在的基線平行或共線，只有當(dāng)向量，所在的直線線共線時，點，，，才在同一直線上，故B不正確；由平面向量的數(shù)量積可知，若，則，所以，無法得到，故C不正確；設(shè)線段的中點為，若點為的重心，則，而，所以，即D正確.故選：BC．11．（2023上·遼寧·高一沈陽二中校聯(lián)考期末）《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生二儀，二儀生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會現(xiàn)象．如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形如圖2中的正八邊形，其中O為正八邊形的中心，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．和不能構(gòu)成一組基底【答案】BCD【解析】因為正八邊形中，，所以，但方向不同，所以不正確，故A錯誤；由，所以正確，故B正確；由正八邊形知，，且,根據(jù)向量加法法則可知：為以為鄰邊的正方形中以為始點的一條對角線所對應(yīng)的向量，所以，又，與以為始點的一條對角線所對應(yīng)的向量共線，所以，故C正確；在正八邊形中，，和平行，所以和共線，故和不能構(gòu)成一組基底，故D正確.故選：BCD12．（2023下·廣東·高一校聯(lián)考期中）設(shè)點是所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（

）A．若，則的形狀為等邊三角形B．若，則點三點共線C．若點是的重心，則D．若所在平面內(nèi)一動點滿足：，則的軌跡一定通過的內(nèi)心【答案】ACD【解析】對于A，，為等邊三角形，故A正確；對于B，，，、、三點不共線，故B錯誤；對于C，設(shè)，，分別為，，的中點，則，，，，即，故C正確；對于D，，，，，在的角平分線上，的軌跡一定通過的內(nèi)心，故D正確．故選：ACD．填空題13．（2024·全國·高一課時練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由向量的運算法則，可得．故選：A.14．（2024上·遼寧大連·高一期末）設(shè)，是兩個不共線的向量，向量，共線，則.【答案】【解析】與共線，，，又，是兩個不共線的向量，，解得.故答案為：.15．（2023上·湖南邵陽）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點的三等分點，點F為BE的中點，若，則．【答案】【解析】，所以，，.故答案為：.16．（2022·高一課時練習(xí)）若向量，，則.【答案】【解析】；；；.故答案為：.解答題17．（2023·高一課前預(yù)習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.18．（2024湖南）如圖，按下列要求作答．(1)以A為始點，作出；(2)以B為始點，作出；(3)若為單位向量，求、和．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析(3)，，【解析】（1）將的起點同時平移到A點，利用平行四邊形法則作出，如下圖所示：（2）先將共線向量的起點同時平移到B點,計算出,再將向量與之首尾相接，利用三角形法則即可作出，如下圖所示：（3）由是單位向量可知，根據(jù)作出的向量利用勾股定理可知，；由共線向量的加法運算可知；19．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，中，A