4.4 數(shù)學(xué)歸納法（精練）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修二

資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】4.4數(shù)學(xué)歸納法（精練）1等式證明1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：，其中.【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，所以左邊=右邊，等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，.等式成立綜上，對(duì)任何，等式都成立.2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（,）．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：①當(dāng)時(shí)，，，等式成立；②假設(shè)時(shí)，，則時(shí)，，即時(shí)，等式成立，綜合①②可知，（，）．3．（2022廣東）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，等式成立，（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即＋…＋＝，當(dāng)時(shí)，＋…＋+，即當(dāng)時(shí)等式也成立.，由（1）（2）可知：等式對(duì)任何都成立，故.4．（2022云南）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）；（2）；（3）．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，等式左邊，右邊，所以等式成立；假設(shè)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，故時(shí)等式成立，綜上可知，等式成立.(2)當(dāng)時(shí)，等式左邊，右邊，所以等式成立；假設(shè)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，故時(shí)等式成立，綜上可知，等式成立.(3)當(dāng)時(shí)，等式左邊，右邊，所以等式成立；假設(shè)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，故時(shí)等式成立，綜上可知，等式成立.2不等式證明1．（2022山東）求證：.【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】(1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊=，右邊=，顯然左邊>右邊，即原不等式成立，(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2，k∈N*)時(shí)，原不等式成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊==右邊，因此，當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式成立，綜合(1)和(2)知，對(duì)一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立.2（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求證：對(duì)任意的，不等式都成立．【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】由，得，所以,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立，證明如下：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?，所以不等式成立．②假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即成立，則當(dāng)時(shí)，左邊,,右邊．所以當(dāng)時(shí)，不等式也成立．由①②可得不等式對(duì)任意的都成立，即原不等式成立．3．（2022河北）用數(shù)學(xué)歸納法證明：.【答案】證明見(jiàn)解析；【解析】（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)，時(shí)，不等式成立，即有，則當(dāng)時(shí)，左邊，又即，即當(dāng)時(shí)，不等式也成立.綜上可得，對(duì)于任意，成立.4．（2022云南）用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)；(2)；【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，1，成立；當(dāng)時(shí)，假設(shè)成立；當(dāng)時(shí)，左邊（），命題正確．（2）當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，假設(shè)成立；當(dāng)時(shí)，左邊命題正確．5．（2022湖南）數(shù)學(xué)歸納法證明：．【答案】詳見(jiàn)解析【解析】（?。┊?dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，左邊<右邊，即不等式成立；（ⅱ）假設(shè)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，左邊=，問(wèn)題可通過(guò)證明來(lái)實(shí)現(xiàn).要證，只需證，只需證只需證，只需證，只需證，∵顯然成立，∴，即當(dāng)是不等式也成立.由（?。áⅲ┛傻茫瑢?duì)于一切的，不等式恒成立.3數(shù)列的證明1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列中，，其中，且．從條件①與條件②，且中選擇一個(gè)，結(jié)合上面的已知條件，完成下面的問(wèn)題．(1)求，，，并猜想的通項(xiàng)公式；(2)證明（1）中的猜想．【答案】(1)，，，；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】（1）選條件①，由題意可得，同理可得，，猜想()．選條件②，由題意可得，∵，，∴，，∴，同理可得，猜想（）．（2）顯然當(dāng)時(shí)，猜想成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即（），當(dāng)時(shí)，由，可得=（），即當(dāng)時(shí)，猜想成立，綜上所述，（）．12．（2022·廣西百色·高二期末（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中且.(1)試求：，的值，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【答案】(1)，，；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)因?yàn)榍?所以，解得，因?yàn)?，所以，解?由，猜想：.(2)①當(dāng)時(shí)，等式成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即那么，當(dāng)時(shí)，由題設(shè)，得，，所以，，則.因此，，所以.這就證明了當(dāng)時(shí)命題成立.由①②可知：命題對(duì)任何都成立.3（2022·河南南陽(yáng)·高二期末）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)為4，滿足．(1)求，，并根據(jù)前3項(xiàng)的規(guī)律猜想該數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．【答案】(1)，；(2)見(jiàn)解析【解析】(1)由可得，又，則，，則，猜想；(2)由（1）得，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即；當(dāng)時(shí)，，猜想成立，由①②知猜想恒成立，即.4．（2022·江西省信豐中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足，，試猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．【答案】，證明見(jiàn)解析【解析】由，可得．由，可得．同理可得，，．歸納上述結(jié)果，猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想．（1）當(dāng)時(shí)，③式左邊，右邊，猜想成立．（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，③式成立，即，那么，即當(dāng)時(shí)，猜想也成立．由（1）（2）可知，猜想對(duì)任何都成立．5．（2022·江西省信豐中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.【答案】(1)，，，；(2)，證明見(jiàn)解析【解析】(1)由得，，解得；由，解得；由，解得；由，解得；所以計(jì)算得，，，；(2)猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，猜想顯然成立.②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即.那么，當(dāng)時(shí)，，即.又，所以，從而.即時(shí)，猜想也成立.故由①和②可知，猜想成立.4整除問(wèn)題1．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）先猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想：能被哪些自然數(shù)整除？【答案】能被自然數(shù)6，1，2，3整除;證明見(jiàn)解析【解析】時(shí)，原式，時(shí)，原式，時(shí)，原式，時(shí)，原式，這些數(shù)都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除；證明：（1）當(dāng)時(shí)，，命題顯然成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被6整除．當(dāng)時(shí)，，其中兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積是偶數(shù)，它的3倍能被6整除，由假設(shè)知能被6整除,故，，6分別能被6整除，所以當(dāng)時(shí)，命題也成立．據(jù)（1）（2），可知可以被6整除．故能被自然數(shù)6,，1，2，3整除.2．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）證明：能夠被6整除．【答案】見(jiàn)解析【解析】⑴當(dāng)時(shí)，，顯然能夠被6整除，命題成立；⑵假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即能夠被6整除，當(dāng)時(shí)，，由假設(shè)知：能夠被6整除，而為偶數(shù)，故能夠被6整除，故能夠被6整除，即當(dāng)時(shí)，命題成立，由⑴⑵可知，命題對(duì)一切正整數(shù)成立，即能夠被6整除．5增項(xiàng)1．（2022·四川成都·高二期中（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，由的假設(shè)證明時(shí)，不等式左邊需增加的項(xiàng)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】從到成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)為，因此增加的項(xiàng)數(shù)是，故選：C2．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“1n（n∈N*）”時(shí)，由假設(shè)n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推證n＝k+1不等式成立時(shí)，不等式左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（

）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1【答案】C【解析】在用數(shù)學(xué)歸納法證明“（n∈N*）”時(shí)假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，左邊=則當(dāng)時(shí)，左邊=則由遞推到時(shí)不等式左邊增加了：共，故選：C3．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(n≥2)的過(guò)程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時(shí)，不等式的左邊（

）A．增加了一項(xiàng)B．增加了兩項(xiàng)，C．增加了兩項(xiàng)，，又減少了一項(xiàng)D．增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)【答案】C【解析】n＝k時(shí)，左邊為＋＋…＋，①n＝k＋1時(shí)，左邊為＋＋…＋＋＋，②比較①②可知C正確.故選：C4．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）（多選）設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.則下列命題總成立的是（

）A．若成立，則成立B．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立C．若成立，則成立D．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立【答案】AD【解析】對(duì)于A：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.則逆否命題：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.若成立，則成立，故A正確；對(duì)于B：若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.則逆否命題：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.故若成立，則成立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D：根據(jù)題意，若成立，則成立，即成立，結(jié)合，所以當(dāng)時(shí)，均有成立，故D正確.故選：AD5．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）（多選）已知一個(gè)命題p(k)，k＝2n(n∈N*)，若當(dāng)n＝1，2，…，1000時(shí)，p(k)成立，且當(dāng)n＝1001時(shí)也成立，則下列判斷中正確的是（

）A．p(k)對(duì)k＝528成立B．p(k)對(duì)每一個(gè)自然數(shù)k都成立C．p(k)對(duì)每一個(gè)正偶數(shù)k都成立D．p(k)對(duì)某些偶數(shù)可能不成立【答案】AD【解析】由題意知p(k)對(duì)k＝2，4，6，…，2002成立，當(dāng)k取其他值時(shí)不能確定p(k)是否成立，故選AD.故選：AD6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從到，不等式左邊需添加的項(xiàng)是______________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，所假設(shè)的不等式為，當(dāng)時(shí)，要證明的不等式為，故需添加的項(xiàng)為：，故答案為：．7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，時(shí)，由到時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是_______________．【答案】【解析】因?yàn)橐C明等式的左邊是連續(xù)正整數(shù)，所以當(dāng)由到時(shí)，等式左邊增加了，故答案為：．8．（2022·遼寧·沈陽(yáng)二中高二期中）證明不等式，假設(shè)時(shí)成立，當(dāng)時(shí)，不等式左邊增加的項(xiàng)數(shù)是_______．【答案】