5.4 正余弦定理（精講）（解析版）

5.4正余弦定理（精講）一．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C變形邊化角：a＝2RsinAb＝2RsinBc＝2RsinC角化邊：sinA＝eq\f(a,2R)sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCeq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)二．三角形常用面積公式1.S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)．2.S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsin_B＝eq\f(1,2)bcsin_A．3.S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．三．三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解四．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．五．盤點(diǎn)易錯(cuò)易混1．利用正弦定理進(jìn)行邊角互換時(shí)，齊次才能約去2R2.三角形中的大角對(duì)大邊：在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sin B．3．判斷三角形形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．一．正、余弦定理的選用1.正弦定理：一是已知兩角和一角的對(duì)邊，求其他邊或角；二是已知兩邊和一邊的對(duì)角，求其他邊或角；2.余弦定理：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊或角；二是已知三邊求角．由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的．二．求解三角形面積問(wèn)題1.若三角形中已知一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個(gè)角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．2.若已知三角形的三邊，可先求其中一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積．總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．三．選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：1.若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；2.若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；3.若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；4.代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；5.含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；6.同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.考法一常見(jiàn)的邊角互換模型【例1-1】（2023春·湖南）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足，若，則外接圓的半徑長(zhǎng)為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】由可得，再由余弦定理可得：，故，因?yàn)?，所以則.故選：B.【例1-2】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.【例1-3】（2022·安徽馬鞍山·一模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，由及正弦定理得：，即，由余弦定理得：，而，解得，由得，顯然，則，，所以.故選：C【例1-4】（2022·重慶）在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，記外接圓半徑為，且，則角的大小為________．【答案】【解析】由正弦定理：故即故，又故故答案為：【一隅三反】1．（2023春·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，，則A＝（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由正弦定理得，因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼?，因?yàn)?，所?故選：B2．（2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（

）A．4 B．6 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，根?jù)正弦定理得，移項(xiàng)得，即，即，則根據(jù)正弦定理有．故選：D.3．（2023春·福建南平）（多選）在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】，由正弦定理可得，整理可得，所以，為三角形內(nèi)角，，∴，∵，，故A正確，B錯(cuò)誤；∵，，，解得，由余弦定理，得，解得或（舍去），故D正確，C錯(cuò)誤.故選：AD.4．（2023·四川）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則A=（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，，，，，由正弦定理，得，又，所以，即，由，得.故選：D考法二三角形的周長(zhǎng)與面積【例2-1】（2023·廣東）在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，，則的面積為______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理可得所以，因?yàn)樗砸驗(yàn)?，則，則，所以為等邊三角形，故的面積故答案為：【例2-2】（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B；(2)若c＝3a，D為AC中點(diǎn)，，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）∵，所以，，則，整理得，又，∴，而，∴；（2），由余弦定理得，，是中點(diǎn)，則，在中由余弦定理得，，在中由余弦定理得，，，，∴，解得，所以的周長(zhǎng)為．【一隅三反】1．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，面積為S，則“三斜求積”公式為，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由得，由得，故，A2．（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中，C為鈍角，且.(1)求角B的大??；(2)若的面積為6，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【解析】（1）依題意，有，由正弦定理，得，則.，，C為鈍角，（舍去），，即，因?yàn)镃為鈍角，所以B為銳角，所以（舍去），即.（2），，；，，.由正弦定理，得，，的面積，解得，，由正弦定理，得，，的周長(zhǎng)為.3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)2【解析】（1）在中有.即.因?yàn)?，由正弦定理可得，?同理，由正弦定理可得，即.在中有.解得，，.由，得：.（2）面積，代入，，整理得：.由（1）知，，即，.中，由正弦定理可得，即.所以.考法三三角形的中線與角平分線【例3-1】（2023·湖北）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.(1)求B.(2)若，，___________，求.在①D為AC的中點(diǎn)，②BD為∠ABC的角平分線這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【解析】（1）由正弦定理得，.因?yàn)?，所以，所以，?又，則，所以.（2）選擇條件①：因?yàn)?，所以，?選擇條件②：因?yàn)锽D為∠ABC的角平分線，所以，則，解得.【例3-2】（2023·河南洛陽(yáng)·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知為的內(nèi)角所對(duì)的邊，向量,，且．(1)求；(2)若，的面積為，且，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)椋裕烧叶ɡ?，得，即，由余弦定理，得，因?yàn)?，所?（2），解得，因?yàn)椋瑒t，所以，.【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，，，D為BC上一點(diǎn)，AD為的平分線，則_________．【答案】【解析】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因?yàn)?，所以，，又，所以，即．故答案為：?．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且.(1)求角C的大小；(2)若的平分線交AB于點(diǎn)D，且，，求的面積.【答案】(1)(2)【解析】（1）由已知可得，,整理得，，因?yàn)椋裕?，即，因?yàn)?，所?（2）由題意得，,即，所以.法一：在中，，所以.在中，，所以，即，將代入整理得，解得或.若，則，，,，所以在中，得,同理可得,即和都為鈍角，不符合題意，排除.所以，，.法二：因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所?3.（2023春·河南洛陽(yáng)·高三新安縣第一高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．(1)求角A的大??；(2)若，邊上的中線，求的面積．【答案】(1)(2)6【解析】（1）由題意利用正弦定理可得．．，，即．（2）．由中線，得，．考法四三角形中的取值范圍【例4-1】（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，所以由正弦定理得，即，因?yàn)?，，所以，所以，即，因?yàn)?，即，解?故選：A.【例4-2】（2023·江西上饒·統(tǒng)考二模）在中，，則的最小值（

）A．-4 B． C．2 D．【答案】A【解析】在中，，所以，，所以，因?yàn)椋?，所以，，則的最小值為.故選：A【例4-3】（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在中，若，則的最大值為______．【答案】【解析】首先證明：在△ABC中，有,在△ABC中，由余弦定理得，由正弦定理得，令，上述兩式相加得所以=,當(dāng)即時(shí)取等.故答案為：.【例4-4】（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考一模）已知在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，面積為，且_____．在①，②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，并根據(jù)這個(gè)條件解決下面的問(wèn)題．(1)求；(2)若，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）若選，因?yàn)?，所以，可得，又因?yàn)?，所以．若選，因?yàn)椋?，整理可得，解得或，又因?yàn)?，可得，所?所以．若選，因?yàn)?，所以由正弦定理可得，又因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，，所以，可得，又因?yàn)?，，所以，可得．?）因?yàn)椋?，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，平方得，所以因?yàn)?，所以時(shí)，，可得，所以，可得，故線段長(zhǎng)的取值范田為【一隅三反】1．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槭卿J角三角形，所以，，所以，，由正弦定理得，所以．故選：C．2．（2023·上?！ど虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，，的平分線交于，若，則的最小值為____.【答案】/【解析】因?yàn)椋钠椒志€交于，且，由，即，整理可得，所以，，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為：.3．（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求A的大??；(2)設(shè)AD是BC邊上的高，且，求面積的最小值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）在中，由及二倍角公式，得，即，整理得，因此，即，而，所以.（2）由（1）及已知，得，即有，由余弦定理得，即，因此，即，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，所以面積的最小值為.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2ccosC=bcosA+acosB.(1)求角C的大??；(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）由正弦定理得：，代入，∴，又，∴，而0<C<，則，∴，故.（2）由正弦定理得：，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，由內(nèi)角和為，則，所以，則，周長(zhǎng)為，故的取值范圍為.5．（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求的外接圓半徑R；(2)求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)?，由正弦邊角關(guān)系得，即，由余弦定理，得，又，所以，由，則.（2）由正弦定理得，所以，，由余弦定理，得，所以，利用等面積法可得，則，∵，∴，故，則，所以，故.考法五三角形解的個(gè)數(shù)【例5】（2023春·江蘇連云港）由下列條件解，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】對(duì)于A，,由正弦定理可得,由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解；對(duì)于B，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜芍挥形ㄒ唤?，所以三角形的三個(gè)邊唯一確定，即只有唯一解；對(duì)于C，因?yàn)?，由正弦定理得，即，所以，所以角有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解；對(duì)于D，因?yàn)?，，，由正弦定理得，所以，又c>a，所以，所以角只有一個(gè)解，即只有唯一解.故選：C【一隅三反】1．（2023春·重慶）中，是角的對(duì)邊，，則此三角形有（

）A．一個(gè)解 B．2個(gè)解 C．無(wú)解 D．解的個(gè)數(shù)不確定【答案】B【解析】】∵中，，∴根據(jù)正弦定理，得，∵B為三角形的內(nèi)角，，則有或，∴三角形的解有兩個(gè)．故選：B．2．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中，角的對(duì)邊分別是，，.若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由正弦定理可得，.要使有兩解，即有兩解，則應(yīng)有，且，所以，所以.故選：B．3．（2023·北京朝陽(yáng)·高三專題練習(xí)）在下列關(guān)于的四個(gè)條件中選擇一個(gè)，能夠使角被唯一確定的是：（

）①②；③；④.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④【答案】B【解析】對(duì)于①，因?yàn)椋曰?，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以角被唯一確定，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，又，由正弦定理有，所以，所以角被唯一確定，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)?，所以，所以如圖，不唯一，故④錯(cuò)誤.故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.考法六正余弦定理在幾何中應(yīng)用【例6-1】（2023·河南開封·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，．(1)求的長(zhǎng)；(2)若的面積為，求的長(zhǎng)．【答案】(1)6(2)6【解析】（1），，且，根據(jù)正弦定理，可得；（2），，，得，又，由余弦定理得，．【