專題9.6 直線與圓錐曲線（原卷版）

專題9.6直線與圓錐曲線題型一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題型二弦長(zhǎng)問(wèn)題題型三三角形（四邊形）問(wèn)題題型四中點(diǎn)弦問(wèn)題題型五求參數(shù)范圍及最值問(wèn)題題型六定點(diǎn)問(wèn)題題型七定值問(wèn)題題型八定直線問(wèn)題題型九圓錐曲線的切線問(wèn)題題型一 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考期末）已知直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．（2023春·上海浦東新·高三統(tǒng)考期中）已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定練習(xí)1．（2022秋·黑龍江綏化·高三海倫市第一中學(xué)?？计谥校┲本€：與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相切或相交練習(xí)2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，拋物線，l與有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條D．1條、2條或3條練習(xí)3．（2021秋·高三單元測(cè)試）討論直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．練習(xí)4．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)左焦點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（在第一象限），是的中點(diǎn)，若是等邊三角形，則直線的斜率為_(kāi)_____．練習(xí)5．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．5題型二 弦長(zhǎng)問(wèn)題例3．（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4例4．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線和橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且，則這樣直線的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3練習(xí)6．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為_(kāi)________．練習(xí)7．（2023·北京·人大附中?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，，AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，則_____________．練習(xí)8．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．練習(xí)9．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作直線，與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條練習(xí)10．（2023春·上海奉賢·高三?？茧A段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，過(guò)點(diǎn)，離心率直線l:被橢圓C所截得的弦長(zhǎng)為，(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求實(shí)數(shù)的值.題型三 三角形（四邊形）問(wèn)題例5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）正方形ABCD的邊AB在直線上，C、D兩點(diǎn)在拋物線上，則正方形ABCD的面積為_(kāi)_________．例6．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．練習(xí)11．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，求的周長(zhǎng)和面積．練習(xí)12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓與雙曲線的兩條漸近線分別交于，，，四點(diǎn).若，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．練習(xí)13．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn)，且的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)，且，的內(nèi)切圓半徑為4，的面積為9，則（

）

A．18 B．32 C．50 D．14練習(xí)14．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，，且直線，分別與拋物線C交于A，B和D，E，則四邊形ADBE面積的最小值是______________.練習(xí)15．（2023秋·高二單元測(cè)試）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積等于__________．題型四 中點(diǎn)弦問(wèn)題例7．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）直線截橢圓所得弦的中點(diǎn)M與橢圓中心連線的斜率為_(kāi)________．例8．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．練習(xí)16．（2023秋·陜西西安·高三長(zhǎng)安一中校考期末）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．練習(xí)17．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)的直線的斜率為，則等于（）A． B． C． D．練習(xí)18．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的取值范圍為_(kāi)_____．練習(xí)19．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考二模）不與軸重合的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，雙曲線：上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，若，則的值為_(kāi)________.練習(xí)20．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓的方程為_(kāi)________．題型五 求參數(shù)范圍及最值問(wèn)題例9．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀┮阎p曲線的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，為左準(zhǔn)線上動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．例10．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知拋物線上三點(diǎn)A，B，C，且當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習(xí)21．（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€C的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在拋物線上，過(guò)線段AB的中點(diǎn)M作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)F，則的最大值為_(kāi)_______．練習(xí)22．（2023·湖北咸寧·校考模擬預(yù)測(cè)）已知是平面向量，，若非零向量滿足，向量滿足，則的軌跡方程為_(kāi)_________；的最小值為_(kāi)_________.練習(xí)23．（2023秋·重慶·高三校聯(lián)考期末）若點(diǎn)依次為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，，.若雙曲線C上存在點(diǎn)P，使得，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為_(kāi)_________.練習(xí)24．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．練習(xí)25．（2023春·四川德陽(yáng)·高三德陽(yáng)五中?？茧A段練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，曲線按照伸縮變換后得到曲線方程(1)求曲線的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于相異的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍題型六 定點(diǎn)問(wèn)題例11．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，和交點(diǎn)為.(1)求點(diǎn)的軌跡；(2)直線和曲線交與兩點(diǎn)，試判斷是否存在定點(diǎn)使？如果存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.例12．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若所在直線l的方程為．(1)求拋物線S的方程；(2)若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P，Q是拋物線S上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足．試說(shuō)明動(dòng)直線是否過(guò)定點(diǎn)．練習(xí)26．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在平面直角坐標(biāo)中，設(shè)，，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線l與軌跡W交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試判斷直線是否恒過(guò)定點(diǎn)．練習(xí)27．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線l：的距離小，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)F的直線交E于，兩點(diǎn)，則在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使得PA，PB分別交E于另外兩點(diǎn)C，D，且？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.練習(xí)28．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）雙曲線的離心率為，分別是的左，右頂點(diǎn)，是上異于的一動(dòng)點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出所有滿足條件的定點(diǎn)的坐標(biāo)______________.練習(xí)29．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角的正切值為.若直線（且）與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，直線，的斜率的倒數(shù)和為，則直線恒經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為_(kāi)____________.練習(xí)30．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)直線和分別與直線交于點(diǎn)M，N,問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．題型七 定值問(wèn)題例13．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）橢圓的焦距為為橢圓右焦點(diǎn)，.

(1)求橢圓的方程與離心率；(2)設(shè)為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，的中點(diǎn)為.直線與直線交于點(diǎn)，過(guò)且平行于的直線與直線交于點(diǎn).求證：.例14．（安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期春季聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中點(diǎn)為右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的垂線，在第一象限與雙曲線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線漸近線的垂線，垂足為，若，.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作的平行線，在直線上任取一點(diǎn)，連接與雙曲線相交于點(diǎn)，求證點(diǎn)到直線的距離是定值.練習(xí)31．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓：上，從原點(diǎn)向圓作兩條切線分別與橢圓交于點(diǎn)，，若直線，的斜率分別為，，且．(1)求圓的半徑；(2)探究是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．練習(xí)32．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)P是橢圓C上異于的一點(diǎn)，且直線PA、PB分別與y軸和x軸交于點(diǎn)，求證：為定值．練習(xí)33．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，且，，成等差數(shù)列.(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)（P在Q的上方），PQ的中點(diǎn)為M，M在直線l：上的射影為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為S，直線PN，QN的斜率分別為，，證明：是定值.練習(xí)34．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn).我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后（在同一直線上），滿足.

(1)當(dāng)時(shí)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試探究是否為定值，若不是定值，說(shuō)明理由，若是定值，求出定值.練習(xí)35．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知是拋物線上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)E），直線分別交直線于點(diǎn)M，N．(1)求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知O為原點(diǎn)，求證：為定值．題型八 定直線問(wèn)題例15．（2023·廣西·統(tǒng)考一模）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過(guò)的焦點(diǎn)且與相切．(1)求p的值：(2)點(diǎn)M在的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)A在上，在A點(diǎn)處的切線l2交y軸于點(diǎn)B，設(shè)，求證：點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程．例16．（2023春·安徽滁州·高三安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線C：的離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且，試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由練習(xí)36．（2022·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，AM，AN，BC，BD分別垂直于坐標(biāo)軸，垂足依次為M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面積分別為，，求的值；(2)求證：直線MN與直線CD交點(diǎn)在定直線上．練習(xí)37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線E：（p>0），過(guò)點(diǎn)的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)．當(dāng)l1的斜率為時(shí)，(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G必在定直線上．練習(xí)38．（2023春·黑龍江·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線Γ：，，為Γ的左、右頂點(diǎn)，為Γ上一點(diǎn)，的斜率與的斜率之積為．過(guò)點(diǎn)且不垂直于x軸的直線l與Γ交于M，N兩點(diǎn)．(1)求Γ的方程；(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)為直線上關(guān)于x軸對(duì)稱的不重合兩點(diǎn)，證明：直線ME，NF的交點(diǎn)在定直線上．練習(xí)39．（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓E上．(1)求橢圓E的方程．(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），記直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，試問(wèn)點(diǎn)M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．練習(xí)40．（2023·北京海淀·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線．(1)若曲線C是橢圓，求m的取值范圍．(2)設(shè)，曲線C與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N．設(shè)直線AN與直線BM相交于點(diǎn)G．試問(wèn)點(diǎn)G是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說(shuō)明理由．題型九 圓錐曲線的切線問(wèn)題例17．（2023秋·四川涼山·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為且.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)直線上的點(diǎn)作拋物線的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，