第56講 空間點點距、點線距、點面距的求法-高中數(shù)學常見題型解法歸納反饋訓練及詳細解析

【知識要點】一、空間的三種距離1、點點距：兩點之間的線段的長度.常見求法：①幾何法：把該線段放到三角形中解三角形.②向量法：利用公式求.2、點線距：點到直線的距離為點到直線的垂線段的長.常見求法：（1）幾何法：是找或作直線的垂線，再求垂線段的長度，一般要把垂線段放到三角形中去解三角形.（2）向量法：利用點到直線的距離公式求解，其中，是直線的方向向量3、點到平面的距離：已知點是平面外的任意一點，過點作，垂足為，則是點到平面的距離.即一點到它在一個平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點到這個平面的距離常用求法：①幾何法：作出點到平面的垂線后求出垂線段的長，常要把垂線段放到三角形中去解三角形；②等體積法：根據(jù)體積相等求出點到面的距離；如求點到平面的距離，如果已知點到平面的距離，則可以根據(jù)求出點到平面的距離；③向量法：如下圖所示，已知是平面的一條斜線，為平面的法向量，則到平面的距離為；ABCαABCα二、以上所說的距離（點點距，點線距，點面距）都是對應圖形上兩點間的最短距離.所以均可以用求函數(shù)的最小值法求各距離..三、以上距離是可以相互轉(zhuǎn)化的，最終都可以轉(zhuǎn)化成點點距來求解，體現(xiàn)了數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想，把空間的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題，把復雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題解答.四、在三種距離的解法中，最常用的是幾何的方法和向量的方法.五、在這三個距離中，求點到平面的距離是重點和難點.【方法講評】空間點點距方法一幾何法使用情景把該線段放到三角形中比較方便解三角形解題步驟把該線段放到三角形中解答.方法二向量法使用情景解三角形比較困難，根據(jù)已知條件比較容易建立坐標系，寫出點的坐標.解題步驟建立空間直角坐標系分別求出兩個點的坐標代入空間兩點間的距離公式已知矩形ABCD的邊長,一塊直角三角板PBD的邊，且，如圖．（1）要使直角三角板PBD能與平面ABCD垂直放置，求的長；（2）在（1）的條件下，求二面角的平面角的余弦值．PPDCBA∴，，∴，同理，.oozyxPDCBA【點評】本題求的長，就是把放到三角形中，再利用解三角形的知識解答，多利用直角三角函數(shù)和正弦余弦定理等.學科.網(wǎng)【反饋檢測1】如圖，平面，矩形的邊長，為的中點.（1）證明：；（2）如果異面直線與所成的角的大小為，求的長及點到平面的距離.【例2】如圖，在三棱柱中，H是正方形的中心，，⊥平面，且＝.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值；（3）設為棱的中點，點在平面內(nèi)，且⊥平面，求線段的長．【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系，點為坐標原點．（2）易知＝（0,2，0），＝（－，－，）．設平面AA1C1的法向量（x，y，z），則，即不妨令x＝，可得（，0，）．同樣的，設平面A1B1C1的法向量（x，y，z），則，即不妨令y＝，可得（0，，）．于是,從而.所以二面角A－A1C1－B1的正弦值為.【點評】本題中求的長度就是利用了向量的方法，先分別求點的坐標，再代入空間兩點間的距離公式.【反饋檢測2】如圖，已知平面,為等邊三角形，（1）若平面平面，求長度；（2）空間點線距方法一幾何法使用情景比較容易找到點在直線上的射影，解三角形比較方便.解題步驟找到或作點在直線上的射影把該垂線段放到三角形中解答.方法二向量法使用情景找點在直線上的射影比較麻煩，解三角形比較困難，根據(jù)已知條件比較容易建立坐標系，寫出點的坐標.解題步驟建立空間直角坐標系分別求出直線的方向向量，兩個點的坐標，其中，代入點到直線的距離公式，其中，是直線的方向向量【例3】如圖，已知二面角的大小為，于C，于，且.（1）求異面直線與所成角的大??；（2）求點到直線的距離.【點評】（1）本題中求點到直線的距離就是利用幾何的方法，就是把點到直線的距離放到三角形中，再利用解三角形的知識解答，多利用直角三角函數(shù)和正弦余弦定理等.（2）求點到直線的距離，幾何的方法用的要多一點.學科.網(wǎng)【反饋檢測3】如圖，在直三棱柱（側(cè)棱和底面垂直的棱柱）中，平面?zhèn)让妫?，且滿足.（1）求證：；（2）求點到直線的距離；（3）求二面角的平面角的余弦值.點到平面的距離方法一幾何法使用情景點在平面的射影位置比較容易確定.解題步驟找作證（定義）求（解三角形）方法二等體積法使用情景點和平面內(nèi)的點構(gòu)成一個三棱錐，而三棱錐的一個高已知.解題步驟利用方法三向量法使用情景點在平面內(nèi)的射影位置不好確定，根據(jù)已知條件比較容易建立坐標系，寫出點的坐標.解題步驟建立空間直角坐標系求平面的法向量求平面的斜向量的坐標代入公式，即得點到平面的距離.【例4】如圖，垂直圓所在的平面，是圓上的點，是的中點，為的重心，是圓的直徑，且．（1）求證：平面；（2）求到平面的距離．【解析】（1）如圖，連結(jié)并延長交于，連結(jié)．（2）∵是圓的直徑，∴，由（1），知，∴．∵平面平面，∴．又平面平面，，∴平面，∴就是到平面的距離．【點評】（1）本題利用幾何法求點到面的距離.（2）到平面的距離是空間的距離，可以轉(zhuǎn)化為點到它在平面的射影的距離，再利用平面幾何三角形的知識求的長度.本題就是利用轉(zhuǎn)化的思想把空間的問題轉(zhuǎn)化成平面的問題解答.【反饋檢測4】如圖所示，四邊形是菱形，是與的交點，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，，，求的長及點到平面的距離．【例5】如圖，是圓的直徑，點在圓上,矩形所在的平面垂直于圓所在的平面，，．（1）證明：平面平面；（2）若，求點到平面的距離．【解析】（1）【點評】本題利用等體積法求點到面的距離就顯得比較簡單.【反饋檢測5】如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，,為與的交點，為棱上一點．（1）證明：平面⊥平面；（2）若是線段中點,求點到平面的距離．【例6】如圖，在直三棱柱中，；.（1）求證：；（2）求點到平面的距離；（3）求二面角的大小.（2）=，設點B到平面的距離為所以所以，解得所以點到平面的距離為.〖解法二〗（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，則∴⊥【點評】本題既可以用等體積法，也可以利用向量的方法求點到平面的距離.到底哪一種方法簡單，要看具體題目，所以大家要提高選擇能力.學科.網(wǎng)【反饋檢測6】如圖，正三棱柱的所有棱長都為2，為中點.（1）求證：面；（2）求二面角的余弦值；（3）求點到平面的距離.

高中數(shù)學常見題型解法歸納及反饋檢測第56講：空間點點距、點線距、點面距的求法參考答案【反饋檢測1答案】（1）證明見解析；（2），.（2）取的中點的中點，連,的大小等于異面直線與所成的角或其補角的大小，即或(或者由觀察可知，，不需分類討論)設，則，若，由，得..在中，，點到平面的距離為.若，由，顯然不適合題意．綜上所述，點到平面的距離為.【反饋檢測2答案】（1）；（2）．學科.網(wǎng)（2）由（1）可知：平面的一個法向量，設直線與面所成角為，則，∴．【反饋檢測3答案】（1）證明見解析，（2），（3）.【反饋檢測3詳細解析】（1）證明：如右圖，過作，垂足為，因平面?zhèn)让?，且平面?zhèn)让妫芍?，有，又，，則,又平面，所以.因為三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，則底面，所以.又,從而側(cè)面，又側(cè)面，故.（2）由（1）知，以點為坐標原點，以所在的直線分別為軸、軸、軸，可建立如圖所示的空間直角坐標系，，又由線段上分別有一點，滿足，所以，，所以,所以點到直線的距離.【反饋檢測4答案】Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）,到的距離為.【反饋檢測4詳細解析】（Ⅰ）證明：因為，，所以.又因為，又，所以，.設到的距離為，由，得，，得，即到的距離為.法二：在菱形中，，所以，，因為.連