2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)檢測二含解析新人教B版選擇性必修第二冊

PAGE單元素養(yǎng)檢測(二)(第四章)(120分鐘150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的)1.一盒中裝有5張彩票，其中2張有獎，3張無獎，現(xiàn)從今盒中不放回地抽取2次，每次抽取一張彩票.設(shè)第1次抽出的彩票有獎的事務(wù)為A，第2次抽出的彩票有獎的事務(wù)為B，則P(B|A)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由題意，第1次抽出的彩票有獎，剩下4張彩票，其中1張有獎，3張無獎，所以P(B|A)=QUOTE.2.設(shè)隨機(jī)變量X～BQUOTE，則P(X=3)等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由二項分布概率公式可得：P(X=3)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=20×QUOTE=QUOTE.3.在某項測試中，測量結(jié)果ξ聽從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)，若P(0<ξ<1)=0.4，則P(0<ξ<2)= ()A.0.4 B.0.8 C.0.6 D.0.2【解析】選B.由正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)得P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=2×0.4=0.8.4.通過隨機(jī)詢問110名不同的高校生是否愛好某項運(yùn)動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由χ2=QUOTE算得，χ2=QUOTE≈7.8附表：P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是 ()A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動與性別有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動與性別無關(guān)”C.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動與性別有關(guān)”D.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動與性別無關(guān)”【解析】選A.由χ2≈7.8>6.635，而P(χ2≥6.635)=0.010，故由獨立性檢驗的意義可知選A.5.袋中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5，6且大小相同的6個小球，從袋子中一次性摸出兩個球，登記號碼并放回，假如兩個號碼的和是3的倍數(shù)，則獲獎，若有5人參與摸球，則恰好2人獲獎的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.從6個球中摸出2個，共有QUOTE=15種結(jié)果，兩個球的號碼之和是3的倍數(shù)，共有(1，2)，(1，5)，(2，4)，(3，6)，(4，5)，所以摸一次中獎的概率是QUOTE=QUOTE，5個人摸獎，相當(dāng)于發(fā)生5次試驗，且每一次發(fā)生的概率是QUOTE，所以有5人參與摸獎，恰好有2人獲獎的概率是QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE.6.某市環(huán)保局舉辦“六·五”世界環(huán)境日宣揚(yáng)活動，進(jìn)行現(xiàn)場抽獎.抽獎規(guī)則是：盒中裝有10張大小相同的精致卡片，卡片上分別印有“環(huán)保會徽”或“綠色環(huán)保標(biāo)記”圖案.參與者每次從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“綠色環(huán)保標(biāo)記”卡即可獲獎.已知從盒中抽兩張都不是“綠色環(huán)保標(biāo)記”卡的概率是QUOTE.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人依次抽獎，抽后放回，另一人再抽，用ξ表示獲獎的人數(shù)，那么E(ξ)+D(ξ)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.設(shè)盒中裝有10張大小相同的精致卡片，其中印有“環(huán)保會徽”的有n張，“綠色環(huán)保標(biāo)記”圖案的有10-n張，由題意得QUOTE=QUOTE，解得n=6，所以參與者每次從盒中抽取卡片兩張，獲獎概率P=QUOTE=QUOTE，所以現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人依次抽獎，抽后放回，另一人再抽，用ξ表示獲獎的人數(shù)，則ξ～BQUOTE，所以E(ξ)+D(ξ)=4×QUOTE+4×QUOTE×QUOTE=QUOTE.7.盒中有6個小球，其中4個白球，2個黑球，從中任取i(i=1，2)個球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后放回，此時盒中黑球的個數(shù)Xi(i=1，2)，則 ()A.PQUOTE>PQUOTE，E(X1)>E(X2)B.PQUOTE<PQUOTE，E(X1)>E(X2)C.PQUOTE>PQUOTE，E(X1)<E(X2)D.PQUOTE<PQUOTE，E(X1)<E(X2)【解析】選C.X1=3表示取出的為一個白球，所以PQUOTE=QUOTE=QUOTE.X1=2表示取出一個黑球，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，所以E(X1)=3×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE.X2=3表示取出兩個球，其中一黑一白，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，X2=2表示取出兩個球為黑球，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，X2=4表示取出兩個球為白球，P(X2=4)=QUOTE=QUOTE，所以E(X2)=3×QUOTE+2×QUOTE+4×QUOTE=QUOTE.所以P(X1=3)>P(X2=3)，E(X1)<E(X2).8.已知變量x，y的關(guān)系可以用模型y=cekx擬合，設(shè)z=lny，其變換后得到一組數(shù)據(jù)如表：x16171819z50344131由表可得回來直線方程=-5x+，則c= ()A.-5 B.e-5 C.126.5 D.e126.5【解析】選D.QUOTE=QUOTE=17.5，QUOTE=QUOTE=39，代入=-5x+得39=-5×17.5+，解得=126.5.所以=-5x+126.5.由y=cekx，得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=lnc+kx，令z=lny，則z=lnc+kx，所以lnc=126.5，則c=e126.5.二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9.某高校為了解學(xué)生對學(xué)校食堂服務(wù)的滿足度，隨機(jī)調(diào)查了50名男生和50名女生，每位學(xué)生對食堂的服務(wù)給出滿足或不滿足的評價，得到如表所示的列聯(lián)表.經(jīng)計算χ2≈4.762，則可以推斷出 ()A.該學(xué)校男生對食堂服務(wù)滿足的概率的估計值為QUOTEB.調(diào)研結(jié)果顯示，該學(xué)校男生比女生對食堂服務(wù)更滿足C.有95%的把握認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評價有差異D.有99%的把握認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評價有差異【解析】選AC.對于選項A，該學(xué)校男生對食堂服務(wù)滿足的概率的估計值為QUOTE=QUOTE，故A正確；對于選項B，該學(xué)校女生對食堂服務(wù)滿足的概率的估計值為QUOTE=QUOTE>QUOTE，故B錯誤；因為χ2≈4.762>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評價有差異，故C正確，D錯誤.10.如圖所示的電路中，5只盒子表示保險匣，設(shè)5個盒子分別被斷開為事務(wù)A，B，C，D，E.盒中所示數(shù)值表示通電時保險絲被切斷的概率，下列結(jié)論正確的是 ()A.A，B兩個盒子串聯(lián)后暢通的概率為QUOTEB.D，E兩個盒子并聯(lián)后暢通的概率為QUOTEC.A，B，C三個盒子混聯(lián)后暢通的概率為QUOTED.當(dāng)開關(guān)合上時，整個電路暢通的概率為QUOTE【解析】選ACD.由題意知，P(A)=QUOTE，P(B)=QUOTE，P(C)=QUOTE，P(D)=QUOTE，P(E)=QUOTE，所以A，B兩個盒子暢通的概率為QUOTE×QUOTE=QUOTE，因此A正確；D，E兩個盒子并聯(lián)后暢通的概率為1-QUOTE×QUOTE=1-QUOTE=QUOTE，因此B錯誤；A，B，C三個盒子混聯(lián)后暢通的概率為1-QUOTE×QUOTE=1-QUOTE=QUOTE，C正確；依據(jù)上述分析可知，當(dāng)開關(guān)合上時，電路暢通的概率為QUOTE×QUOTE=QUOTE，D正確.11.下列命題中，正確的命題的是 ()A.已知隨機(jī)變量聽從二項分布B(n，p)，若E(X)=30，D(X)=20，則p=QUOTEB.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差恒不變C.設(shè)隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(0，1)，若P(ξ>1)=p，則P(-1<ξ≤0)=QUOTE-pD.某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，X～B(10，0.8)，則當(dāng)X=8時概率最大【解析】選BCD.對于選項A：隨機(jī)變量聽從二項分布B(n，p)，E(X)=30，D(X)=20，可得np=30，np(1-p)=20，則p=QUOTE，故選項A錯誤；對于選項B：依據(jù)公式易知，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差恒不變，一般地，E(aξ+b)=aE(ξ)+b，D(aξ+b)=a2D(ξ)(a，b為常數(shù))，故選項B正確；對于選項C：隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(0，1)，則圖像關(guān)于y軸對稱，若P(ξ>1)=p，則P(0<ξ<1)=QUOTE-p，即P(-1<ξ<0)=QUOTE-p，故選項C正確；對于選項D：因為在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，X～B(10，0.8)，當(dāng)X=k時，對應(yīng)的概率P(X=k)=QUOTE×0.8k×0.210-k，所以當(dāng)k≥1時，QUOTE=QUOTE=QUOTE，由QUOTE=QUOTE≥1得，44-4k≥k，即1≤k≤QUOTE，因為k∈N*，所以1≤k≤8且k∈N*，即k=8時，概率P(X=8)最大，故選項D正確.12.下列說法中，正確的命題是 ()A.已知隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(2，σ2)，PQUOTE=0.84，則PQUOTE=0.16.B.以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回來方程，設(shè)z=lny，將其變換后得到回來直線方程=0.3x+4，則c，k的值分別是e4和0.3.C.已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回來直線方程為=+x，若=2，QUOTE=1，QUOTE=3，則=1.D.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為2，則數(shù)據(jù)2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差為16【解析】選BC.因為隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布NQUOTE，PQUOTE=0.84，所以PQUOTE=PQUOTE-0.5=0.84-0.5=0.34≠0.16，即A錯；因為y=cekx，所以lny=ln(cekx)，所以lny=kx+lnc，因為=0.3x+4，所以lny=0.3x+4，從而k=0.3，lnc=4，所以k=0.3，c=e4，即B正確；因為=+x過(QUOTE，QUOTE)，所以3=+，因為=2，所以=1，即C正確；因為樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為2，所以數(shù)據(jù)2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差為2×22=8，即D錯誤.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)13.已知x，y取值如表：x01356y1m3m5.67.4畫散點圖分析可知：y與x線性相關(guān)，且求得回來直線方程為=x+1，則m=________.

【解析】計算QUOTE=QUOTE×(0+1+3+5+6)=3，QUOTE=QUOTE×(1+m+3m+5.6+7.4)=QUOTE，所以這組數(shù)據(jù)的樣本中心點是QUOTE，又y與x的回來直線方程=x+1過樣本中心點，所以QUOTE=1×3+1，解得m=QUOTE.答案：QUOTE14.在西非，“埃博拉病毒”的傳播速度很快，這已經(jīng)成為全球性的威逼，為了考察某種埃博拉病毒疫苗的效果，現(xiàn)隨機(jī)抽取100只小動物進(jìn)行試驗，得到列聯(lián)表如表：感染未感染總計服用54550未服用153550總計2080100附：χ2=QUOTEP(χ2≥k)0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.635依據(jù)題表，有________的把握認(rèn)為“小動物是否感染與服用疫苗有關(guān)”.

【解析】由題中數(shù)據(jù)可得χ2=QUOTE=QUOTE=6.25>5.024，依據(jù)臨界值表可得：犯錯誤的概率不超過0.025.即有97.5%的把握認(rèn)為“小動物是否感染與服用疫苗有關(guān)”.答案：97.5%15.設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為1，2，3，4.P(X=k)=ak+b(k=1，2，3，4).又X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3，則a+b=________.

【解析】依題意得E(X)=1·(a+b)+2·(2a+b)+3·(3a+b)+4·(4a+b)=3，且概率和(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1，解得a=QUOTE，b=0，a+b=QUOTE.答案：QUOTE16.在一次數(shù)學(xué)考試中，第22題和第23題為選做題，規(guī)定每位考生必需且只需在其中選做一題.設(shè)4名考生選做這兩題的可能性均為QUOTE.則其中甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的概率為________；甲、乙2名學(xué)生都選做第22題的概率為________.

【解析】設(shè)事務(wù)A表示“甲選做第22題”，事務(wù)B表示“乙選做第22題”，則甲，乙2名學(xué)生選做同一道題的事務(wù)為“AB∪QUOTE”，且事務(wù)A，B相互獨立，所以P(AB∪QUOTE)=P(A)P(B)+P(QUOTE)P(QUOTE)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率為QUOTE；因為P(A)P(B)=QUOTE×QUOTE=QUOTE，所以甲、乙兩名學(xué)生都選做第22題的概率為QUOTE.答案：QUOTEQUOTE四、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)通過市場調(diào)查，得到某種產(chǎn)品的資金投入x(單位：萬元)與獲得的利潤y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)，如表所示：資金投入x23456利潤y23569(1)畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖；(2)依據(jù)上表供應(yīng)的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求線性回來直線方程=x+；(3)現(xiàn)投入資金10萬元，求獲得利潤的估計值為多少萬元？參考公式：【解析】(1)(2)QUOTE=QUOTE=4，QUOTE=QUOTE=5，=QUOTE=QUOTE=1.7，所以=QUOTE-QUOTE=-1.8，所以=1.7x-1.8；(3)當(dāng)x=10(萬元)，=15.2(萬元).18.(12分)在某公司的一次聘請初試筆試中，隨機(jī)抽取了50名應(yīng)聘者的成果(單位：分)，并把所得數(shù)據(jù)列成了如表所示的頻數(shù)分布表：組別[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)39141383(1)求抽取的樣本平均數(shù)QUOTE(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)已知樣本中成果在[80，90)中的8名考生中，有5名男生，3名女生，現(xiàn)從中選4人進(jìn)行談話，記選出的男生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列與期望E(ξ).【解析】(1)由頻數(shù)分布表，得樣本平均數(shù)為QUOTE=45×0.06+55×0.18+65×0.28+75×0.26+85×0.16+95×0.06=69.6；(2)由已知得ξ的可能取值為1，2，3，4，P(ξ=1)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=2)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=3)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=4)=QUOTE=QUOTE，所以ξ的分布列為ξ1234PE(ξ)=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE+4×QUOTE=2.5.19.(12分)為迎接“五一”節(jié)的到來，某單位實行“慶五一，展風(fēng)采”的活動.現(xiàn)有6人參與其中的一個節(jié)目，該節(jié)目有A，B兩個環(huán)節(jié)可供參與者選擇，為增加趣味性，該單位用電腦制作了一個選擇方案：按下電腦鍵盤“Enter”鍵則會出現(xiàn)模擬拋兩枚質(zhì)地勻稱骰子的畫面，若干秒后在屏幕上出現(xiàn)兩個點數(shù)n和m，并在屏幕的下方計算出d=QUOTE的值.現(xiàn)規(guī)定：每個人去按“Enter”鍵，當(dāng)顯示出來的d小于2QUOTE時則參與A環(huán)節(jié)，否則參與B環(huán)節(jié).(1)求這6人中恰有2人參與該節(jié)目A環(huán)節(jié)的概率；(2)用X，Y分別表示這6個人中去參與該節(jié)目A，B兩個環(huán)節(jié)的人數(shù)，記ξ=|X-Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)依題意得，由屏幕出現(xiàn)的點數(shù)n和m形成的有序數(shù)對(n，m)，一共有6×6=36種等可能的基本領(lǐng)件，符合d<2QUOTE的有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(6，1)共24種，所以選擇參與A環(huán)節(jié)的概率為P1=QUOTE=QUOTE，選擇參與B環(huán)節(jié)的概率為P2=QUOTE，所以這6人中恰有2人參與該節(jié)目A環(huán)節(jié)的概率P=QUOTE=QUOTE=QUOTE；(2)依題意得ξ的可能取值為0，2，4，6，P(ξ=0)=P(X=3)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=2)=P(X=2)+P(X=4)=QUOTE+QUOTE=QUOTE，P(ξ=4)=P(X=1)+P(X=5)=QUOTE+QUOTE=QUOTE，P(ξ=6)=P(X=0)+P(X=6)=QUOTE+QUOTE=QUOTE，所以ξ的分布列為ξ0246P數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0×QUOTE+2×QUOTE+4×QUOTE+6×QUOTE=QUOTE.20.(12分)某商場實行促銷活動，有兩個摸獎箱，A箱內(nèi)有一個“1”號球，兩個“2”號球，三個“3”號球、四個無號球，B箱內(nèi)有五個“1”號球，五個“2”號球，每次摸獎后放回，每位顧客消費(fèi)額滿100元有一次A箱內(nèi)摸獎機(jī)會，消費(fèi)額滿300元有一次B箱內(nèi)摸獎機(jī)會，摸得有數(shù)字的球則中獎，“1”號球獎50元，“2”號球獎20元，“3”號球獎5元，摸得無號球則沒有獎金.(1)經(jīng)統(tǒng)計，顧客消費(fèi)額X聽從正態(tài)分布NQUOTE，某天有1000位顧客，請估計消費(fèi)額X(單位：元)在區(qū)間[100，150]內(nèi)并中獎的人數(shù).(結(jié)果四舍五入取整數(shù))附：若X～N(μ，σ2)，則PQUOTE≈68.3%，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%.(2)某三位顧客各有一次A箱內(nèi)摸獎機(jī)會，求其中中獎人數(shù)ξ的分布列.(3)某顧客消費(fèi)額為308元，有兩種摸獎方法，方法一：三次A箱內(nèi)摸獎機(jī)會；方法二：一次B箱內(nèi)摸獎機(jī)會.請問：這位顧客選哪一種方法所得獎金的期望值較大.【解析】(1)依題意得μ=150，σ2=625，得σ=25，消費(fèi)額X在區(qū)間[100，150]內(nèi)的顧客有一次A箱內(nèi)摸獎機(jī)會，中獎率為0.6，人數(shù)約1000×P(μ-2σ≤X≤μ)≈1000×QUOTE=477(人)，其中中獎的人數(shù)約為477×0.6≈286(人)，(2)三位顧客每人一次A箱內(nèi)摸獎中獎率都為0.6，三人中中獎人數(shù)ξ聽從二項分布BQUOTE，PQUOTE=QUOTE0.6k0.43-kQUOTE，故ξ的分布列為ξ0123P0.0640.2880.4320.216(3)A箱摸一次所得獎金的期望為50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.5，B箱摸一次所得獎金的期望為50×0.5+20×0.5=35，方法一所得獎金的期望值為3×10.5=31.5，方法二所得獎金的期望值為35，所以這位顧客選方法二所得獎金的期望值較大.21.(12分)某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎促銷，規(guī)定凡在該超市購物滿400元的顧客，均可獲得一次摸獎機(jī)會.摸獎規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個球(紅、黃、黑、白).顧客不放回地每次摸出1個球，若摸到黑球則摸獎停止，否則就接著摸球.按規(guī)定摸到紅球嘉獎20元，摸到白球或黃球嘉獎10元，摸到黑球不嘉獎.(1)求1名顧客摸球2次摸獎停止的概率；(2)記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)1名顧客摸球2次摸獎停止，說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球，其次次摸的是黑球，所以1名顧客摸球2次摸獎停止的概率P=QUOTE=QUOTE.(2)X的可能取值為：0，10，20，30，40.P(X=0)=QUOTE=QUOTE，P(X=10)=QUOTE=QUOTE，P(X=20)=QUOTE+QUOTE=