5.1 三角函數的定義（精講）（教師版）

5.1三角函數的定義（精講）一．任意角1.定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形．2．分類：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉方向不同分為正角、負角、零角；,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))3.終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和．4.象限角與軸線角易錯點：終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同二．弧度制1．定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示．2．公式角α的弧度數公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧長)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2易錯點：利用上表中的扇形弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．三．任意角的三角函數三角函數正弦函數余弦函數正切函數定義設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x，y)．把r＝|OP|sinα＝eq\f(y,r)cosα＝eq\f(x,r)tanα＝eq\f(y,x)定義域RR函數值在各象限的符號一＋＋＋二＋－－三－－＋四－＋－一．判斷象限角的方法1.圖象法：在平面直角坐標系中，作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．2.轉化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．二．三角函數值在各象限的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦．三．三角函數的定義1，已知角α的終邊上一點P的坐標，求角α的三角函數值．方法：先求出點P到原點的距離，再利用三角函數的定義求解；2.已知角α的一個三角函數值和終邊上一點P的橫坐標或縱坐標，求角α的三角函數值．方法：先求出點P到原點的距離(帶參數)，根據已知三角函數值及三角函數的定義建立方程，求出未知數，從而求解問題；3.已知角α的終邊所在的直線方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函數值．方法：先設出終邊上一點P(a，ka)，a≠0，求出點P到原點的距離(注意應對a的符號分類討論)，再利用三角函數的定義求解．考法一任意角【例1-1】（2023春·青海）下列命題中正確的是（

）A．如果我們把相等的角視為同一個角，則弧度制建立了一個從任意角的集合到實數集的一一對應的關系B．弧度制表示角時，不同大小的弧度可以表示同一個角C．終邊相同的角的弧度制表示相差D．終邊相同的角的弧度都相同【答案】A【解析】如果我們把相等的角視為同一個角，則弧度制建立了一個從任意角的集合到實數集的一一對應的關系，故A正確，B錯誤，終邊相同的角的弧度制表示相差的整數倍，故C錯誤，D錯誤；故選：A【例1-2】（2023·山東德州）親愛的考生，本場考試需要2小時，則在本場考試中，鐘表的時針轉過的弧度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為時針旋轉一周為12小時，轉過的角度為，按順時針轉所形成的角為負角，所以經過2小時，時針所轉過的弧度數為.故選：B.【例1-3】（2023春·遼寧）下列與終邊相同角的集合中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為角度值和弧度制不能混用，故A、B錯誤；因為，故C正確；對于選項D：因為，則與終邊不相同，故D錯誤；故選：C.【一隅三反】1．（2023春·上海閔行）下列說法正確是（

）A．角60和角600是終邊相同的角B．第三象限角的集合為C．終邊在軸上角的集合為D．第二象限角大于第一象限角【答案】C【解析】，與終邊不相，故A錯誤；第三象限角的集合為，故B錯誤；終邊在軸上角的集合為，即，即，故C正確；是第二象限角，第一象限角，，故D錯誤；故選：C.2．（2023春·廣東清遠）（多選）下列說法正確的是（

）A． B．第一象限的角是銳角C．1弧度的角比1°的角大 D．銳角是第一象限的角【答案】ACD【解析】對于A：，A正確；對于B：第一象限的角不一定是銳角，比如，B錯誤；對于C：1°的角為弧度，比1弧度的角小，C正確；對于D：根據象限角的定義，可得D正確.故選：ACD.3．（2023·海南）設，且的終邊與角的終邊相同，則__________.【答案】【解析】由題意，，則，，所以，，故.故答案為：考法二扇形的弧長與面積【例2-1】（2023·安徽黃山市）若一扇形的圓心角為144°，半徑為cm，則扇形的面積為______cm2．【答案】．【解析】扇形的圓心角為144°，半徑為，所以扇形的面積為．故答案為：．【例2-2】（2023·天津河東·一模）在面積為4的扇形中，其周長最小時半徑的值為（

）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【解析】設扇形的半徑為，圓心角為，則，所以，則扇形的周長為，當且僅當，即時，取等號，此時，所以周長最小時半徑的值為.故選：C.【例2-3】（2022·廣東·一模）為解決皮尺長度不夠的問題，實驗小組利用自行車來測量A，B兩點之間的直線距離.如下圖，先將自行車前輪置于點A，前輪上與點A接觸的地方標記為點C，然后推著自行車沿AB直線前進（車身始終保持與地面垂直），直到前輪與點B接觸.經觀測，在前進過程中，前輪上的標記點C與地面接觸了10次，當前輪與點B接觸時，標記點C在前輪的左上方（以下圖為觀察視角），且到地面的垂直高度為0.45m.已知前輪的半徑為0.3m，則A，B兩點之間的距離約為（

）（參考數值：）A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m【答案】D【解析】由題意，前輪轉動了圈，所以A，B兩點之間的距離約為，故選：D.【一隅三反】1．（2023·新疆阿勒泰·統考三模）《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作．其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積（弦×矢+矢×矢）．弧田（如圖）由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現有圓心角為，半徑為的弧田，按照上述經驗公式計算所得弧田面積約是（

）（精確到）

A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，弦(m)，矢(m)，則弧田面積=()，所以弧田面積約是.故選：A2．（2023·吉林·吉林省實驗?？寄M預測）一個表面積為的圓錐，其側面展開圖是一個中心角為的扇形，設該扇形面積為，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設圓錐母線長，底面圓半徑，，所以，圓錐表面積，扇形面積，所以.故選：D3．（2023·全國·模擬預測）通用技術課上，張老師要求同學們從一個半徑為的圓形紙片上剪出一個扇形，制作成一個圓錐形無蓋漏斗，當它的容積最大時，扇形圓心角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設扇形的圓心角為，圓錐底面半徑為，則扇形的弧長為，圓錐底面周長，解得：，由勾股定理得圓錐的高：，容積，方法一：設，則，令，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，當，即時，容積最大；方法二：由三元均值不等式（當且僅當時取等號）得：（當且僅當，即時取等號），即當扇形圓心角的大小為時，容積最大.故選：C．考法三三角函數的定義【例3-1】（2023·上?！そy考模擬預測）已知為角α終邊上一點，則=______．【答案】【解析】為角α終邊上一點，，則，，.故答案為：【例3-2】．（2023·四川·校聯考模擬預測）已知角的頂點為原點，始邊為軸的非負半軸，若其終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，則原式.故選：B.【例3-3】（2023·全國·高三對口高考）如果點P在角的終邊上，且，則點P的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函數定義知：，，所以，，即P的坐標是.故選：B【例3-4】．（2023春·江西南昌·高一南昌市第十九中學?？茧A段練習）在直角坐標系中，若點從點出發(fā)，沿圓心在原點，半徑為3的圓按逆時針方向運動到達點，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據題意可知，作出圖示如下：根據題意可得，，作軸且垂足為；利用三角函數定義可得，；又點在第四象限，所以點的坐標為.故選：C【一隅三反】1．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知在平面直角坐標系xOy中，角的頂點為O，始邊為x軸的非負半軸，若的終邊與圓交于點，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知，故，所以，故選：A．2．（2023·河南開封·統考三模）設α是第二象限角，P（x，1）為其終邊上一點，且，則tanα=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函數定義可知：，又α是第二象限角，故，所以.故選：B3．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學?？寄M預測）如圖，的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】

設，則，，因，則，故，，故選：B4．（2023秋·山東菏澤）單位圓上一點從出發(fā)，順時針方向運動弧長到達點，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】點從出發(fā)，順時針方向運動弧長到達點，所以，所以點的橫坐標是，縱坐標是，即.故選：D考法四三角函數值的正負判斷【例4-1】（2023春·安徽）已知角的頂點與原點重合，始邊落在x軸的非負半軸上，是第幾象限角（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】因為，所以是第二象限角.故選：B.【例4-2】（2023·浙江杭州）若，且，則角是第（

）象限角．A．二 B．三 C．一或三 D．二或四【答案】D解析】由條件知與異號，則為第二或第三象限角；又與異號，則為第三或第四象限角所以為第三象限角，即，，為第二或第四象限角.故選：D.【例4-3】（2023·全國·高三專題練習）已知角第二象限角，且，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C解析】因為角第二象限角，所以，所以，當是偶數時，設，則，此時為第一象限角；當是奇數時，設，則，此時為第三象限角.；綜上所述：為第一象限角或第三象限角，因為，所以，所以為第三象限角．故選：C．【一隅三反】1．（2023春·遼寧）點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因為，則為第三象限角，可得，所以位于第四象限.故選：D.2．（2023·廣東）若滿足，則的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由可知的終邊在第三象限或第四象限，又，則的終邊在第三象限.故選：C.3．（2023春·云南昆明·高三?？茧A段練習）坐標平面內點的坐標為，則點位于第（

）象限.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解析】，，則點位于第二象限，故選：B4．（2023·四川成都）若是第三象限角，則下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為是第三象限角，，A正確；，B錯誤；，C錯誤；，D錯誤.故選：A.5．（2023·全國·高三對口高考）已知角的終邊落在直線上，則__________.【答案】【解析】由角的終邊落在直線上，可得角的終邊位于第二象限，可得，所以.故答案為：.考法五三角函數線的應用【例5-1】（2023·天津）設，使且同時成立的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，由正弦曲線得：時，由余弦曲線得：時，，因為，所以且同時成立的x的取值范圍是故選：D【例5-2】．（2023·全國·高三專題練習）如果，那么下列不等式成立的是A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示，在單位圓中分別作出的正弦線、余弦線、正切線，很容易地觀察出，即.故選C.【例5-3】．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則A． B． C． D．【答案】C【解析】因為在上單調遞增，,所以，而，，故選C.【一隅三反】1．（2023·上海）的大小關系為A． B． C． D．【答案】A【解析】單位圓中，，，故選A.2．（2023·湖北黃岡）關于，對于甲、乙、丙、丁四人有不同的判斷，甲:是第三象限角，乙：.丙:，?。翰恍∮?，若這人只有一人判斷錯誤，則此人是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】由，所以乙和丁的判斷只有一個正確，且，若丁的判斷正確，即，則，此時丙的判斷錯誤，不符合題意；若乙的判斷正確，即，此時滿足，且，此時甲、丙都正確，符合題意.故選：D.3．（2023·廣西·校聯考模擬預測）的值所在的范圍是（

）A