2023年內(nèi)蒙古通遼市中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

2023年內(nèi)蒙通遼初中學(xué)業(yè)水平考試

一、選擇題（本題包括12道小題，每小題3分，共36分，每小題只有一個正確答案，請在答

題卡上將代表正確答案的字母用2B鉛筆涂黑）

1.2023的相反數(shù)是（）

11

A.-------B.-2023C.2023D.----------

20232023

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得.

【詳解1解：2023的相反數(shù)是一2023,

故選：B.

【點箱】本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.在英語單詞，。僅iH（多項式）中任意選出一個字母，選出的字母為的概率是（）

11I

-C-

A.98D.

10

【答案】A

【解析】

【分析】直接由概率公式求解即可.

【詳解】解：單詞中共有10個字母，

其中〃出現(xiàn)了1次，

故任意詵擇一個字母恰好是字母“〃”的概率為：3.

故選：A.

【點睛】本題主要考查運用概率公式求概率，根據(jù)已知條件找出總的情況數(shù)和符合條件的情況數(shù)是解題關(guān)

鍵.

3.如圖，用平移方法說明平行四邊形的面積公式S=a力時，若-ABE平移到?Ob,a=4,h=3,則

的平移距離為（）

h

BEC

A.3B.4C.5D.12

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)平移的方向可得，AABE平移到ADCF,則點A與點。重合，故々ABE的平移距離為AD的

長.

【詳解】解：用平移方法說明平行四邊形的面積公式S=a/2時，將-ABE平移到2。。尸，

故平移后點A與點。重合，則AABE的平移距離為">=4=4,

故選：B.

【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x-3的圖象是（）

【答案】D

【解析】

【分析】依據(jù)一次函數(shù)y=2x-3的圖象經(jīng)過點（0,—3）和即可得到一次函數(shù)丁=2工-3的圖象

經(jīng)過一、三、四象限.

3

【詳解】解：一次函數(shù)y=2x-3中，令x=o,則>=-3；令y=0,則工二孑，

2

???一次函數(shù)y=2x-3的圖象經(jīng)過點（0,-3）和總'°），

???一次函數(shù)y=2x-3的圖象經(jīng)過一、三、四象限，

故選：D.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象是與坐標(biāo)軸不平行的一條直線.

5.二次根式Ji二，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）

AJ——1_1AB-1——1——1IA

-1012-1012

1

c??」---—?D11■<!>——1-?

-1012-1012

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列不等式計算即可得到X的取值范圍，然后在數(shù)軸上表示即可得解.

【詳解】解：根據(jù)題意得，1一

解得人《1，

在數(shù)軸上表示如下：

1II-----1_>

-1012

故選：C.

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，不等式的解法，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，理解二次

根式有意義的條件是解題關(guān)鍵.

2

6.已知點A（不，X）,8（X2，%）在反比例函數(shù)>'二一一的圖像上，且則下列結(jié)論一定正確的是

（）

A.y+y2VoB.乂+%>0c.y-%<°D.yi-y2>0

【答案】D

【解析】

【分析】把點A和點B的坐標(biāo)代入解析式，根據(jù)條件可判斷出耳、乃的大小關(guān)系.

2

【詳解】解：???點A（X，y）,8（々，必））是反比例函數(shù)丁二一一的圖像上的兩點，

x

???%%=x2y2=-2,

*/xl<0<x2,

Ay2<0<y,,即乂一%>。，故D正確.

故選：D.

【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，掌握圖像上點的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)

鍵.

7.如圖，將UWC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到VAOE，旋轉(zhuǎn)角為。（00<a<18（）c）,點8的對應(yīng)點。恰好落在

8C邊上，若￡>E_LAC,ZCAD=24°,則旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù)為（）

BDC

【答案】A

【解析】

【分析】運用同底數(shù)轅相乘法則可判定①；根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值越大，自身越小可判定②；根據(jù)圓周角定理可

判定③；根據(jù)隨機(jī)事件和方差的意義可判定④⑤.

【詳解】解：①故①是真命題；

②一7TV—3.14,故②是假命題；

③在同圓或等圓值，一條瓠所對的圓周角等于它所對圓心角的一半，故③是假命題；

④將i枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲一次時，正面朝上是隨機(jī)事件，故④是假命題；

⑤在一組數(shù)據(jù)中，如果每個數(shù)據(jù)都增加4,那么方差不變，故⑤是假命題.

綜上，正確的只有①.

故選A.

【點睛】本題主要考查了同底數(shù)塞相乘、無理數(shù)大小比較、圓周角定理、隨機(jī)事件、方差等知識點，靈活

運用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵.

9.如圖，在扇形A08中，NAQ3=60。，。。平分NAQ8交AB于點。，點C是半徑08上一動點，若

OA=],則陰影部分周長的最小值為（)

A.YB.KC.2向生D.2y

6

【答案】A

【解析】

【分析】由于%是定值，只需求解AC+CD的最小值即可，作點。關(guān)于08對稱點小，連接47、CD\

0D'，則AC+CO最小值為的長度，即陰影部分周長的最小最小值為AO'+匕.利用角平分線的定

義可求得NA8'=90。，進(jìn)而利用勾股定理和弧長公式求得和即可.

【詳解】解：如圖，作點。關(guān)于0B對稱點連接A。'、CD'、0D',

A

F

\n/B

D,

則CO=CQ‘，OD=OD\ZDOB=ZBOI7,

：.ACCD=ACCDr>AD',當(dāng)A、C、皿共線時取等號，此時，AC+8最小，即陰影部分周長的

最小，最小值為+

AD

???。。平分/408,ZA03=60。，

??.ZAOD=4D0B=-ZAOB=30°，

2

???4。。'=9（尸，

在Rt&OAO'中，04=。。'=1,

???AJJ=qoM+oiy2=0，

e,30nxlit

又I.=-----------=-,

AD1806

???陰影部分周長的最小值為AO'+/?=五+與，

AD6

故選：A.

【點睛】本題考查弧長公式、勾股定理、角平分線的定義、軸對稱性質(zhì)，能利用軸對稱性質(zhì)求解最短路徑

問題是解答的關(guān)鍵.

10.下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過程：

己知：如圖1,在RtZkABC中，ZC=90°.

求作：RtAABC的外接圓.

作法：如圖2.

（1）分別以點4和點8為圓心，大于《48的長為半徑作弧，兩弧相交于P,Q兩點；

2

（2）作直線PQ,交AB于點、0：

（3）以0為圓心，Q4為半徑作00,0O即為所求作的圓.

下列不屬于該尺規(guī)作圖依據(jù)的是（）

A.兩點確定一條直線

B.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

C.與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上

D.線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等

【答案】D

【解析】

【分析】利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證明：OC=Q4=Q8即可.

【詳解】解：作直線尸Q（兩點確定一條直線）,

???尸A8且AO=8O（與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上）.

,:ZACB=90°,

AOC=^-AB（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半），

2

：,OA=OB=OC,

???A,B,C三點在以。為圓心，為直徑的圓上.

???。。為“8C的外接圓.

故選：D.

【點睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的定義，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的

關(guān)鍵熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點尸(0,1),點4(4,1),以點P為中心，把點4按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。

四個點中，直線號經(jīng)過的點

得到點E,在M(-1,-73),M3(1,73-1),^4(2,26)

2c.M3D.%

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得3(2,1+2后)，利用待定系數(shù)法可得直線P8的解析式,

依次將MpM2,四個點的一個坐標(biāo)代入y=Gx+l中可解答.

【詳解】解：??,點4(4,1),點尸(0,1),

??.PA_Ly軸，孫=4,

由旋轉(zhuǎn)得：ZAPB=60°,AP=PB=4.

如圖，過點8作BCJ_y軸于G

??.ZBPC=30°,

ABC=2,PC=2日

???貝2,1+26）），

設(shè)直線P8解析式為：y=kx+b,

2k+b=i+2y/3

則nlI,

b=i

k=>/3

b=\

；?直線P8的解析式為：y=Gr+l,

當(dāng)x=-1時，y=-G+l,

???點M（-1,-x/3）不在直線PB上,

當(dāng)工=一當(dāng)時,y=V5x卜曰）+1=0,

fA

/.M2--j,0直線尸8上，

當(dāng)X=1時y=G+l,

???M3。，、回一1）不在直線依上，

當(dāng)x=2時，y=2百+1,

???R,2石）不在直線依上.

故選；B.

【點睛】本題考查的是圖形旋轉(zhuǎn)變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，確定點5的坐標(biāo)是解本題的關(guān)

鍵.

12.如圖，拋物線丁二?之+加+4。。。）與x軸交于點（與0）,（2,0）,其中下列四個結(jié)論：①

abc<0\②a+Z?+c>0；③2Z?+3c<0；④不等式公？+"+。<一'x+c的解集為0<x<2.其中正

2

確結(jié)論的個數(shù)是（）

C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得出小Ac的符號即可判斷①，當(dāng)x=l時，y<0即可判斷②；根據(jù)對稱軸為

。-jc

x=--->1,。>0可判斷③；=ax+bx+c,y2=一一x+c數(shù)形結(jié)合即可判斷④.

2a2

t詳解】解：???拋物線開口向上，對稱軸在），軸右邊，與y軸交于正半軸,

，a>0,Z?<0,c>0?

???"（:<0,故①正確.

???當(dāng)x=l時，y<0,

.,.Q+b+cvO,故②錯誤.

??,拋物線1=仙2+版+。與％軸交于兩點（玉,0）,（2,0）,其中0<%<1,

生<-2〈出

22a2

h3

一<—,

2a2

La

當(dāng)----<一時，b>Ta,

2a2

當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c=0,

,c1

/.b=-2a—c,

2

c1r

/.-2a——c>-3a,

2

：?2a-c>0,

c

設(shè)必=0^+版+。，=__X+Cf如圖:

由圖得，時，0<x<2,故④正確.

綜上，正確的有①?④，共3個，

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)巧妙借助數(shù)學(xué)結(jié)合思想解決問題

是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本題包括5道小題，每小題3分，共15分，將答案直接填在答題卡對應(yīng)題的橫

線上）

13.已知一組數(shù)據(jù)：3,4,5,5,6,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是.

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義（一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就叫這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)）求解即可.

【詳解】解：由這組數(shù)據(jù)可知，數(shù)字5出現(xiàn)2次，出現(xiàn)次數(shù)最多，

???這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5,

故答窠為：5.

【點睛】本題考杳眾數(shù)的定義，熟練掌握眾數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

14.將一副三角尺如圖所示放置，其中則度.

【答案】105

【解析】

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N8=NBQE=30。，根據(jù)平角的定義即可求得.

【詳解】解：???A3〃OE，

AZB=ZBDE=30°,

又???NEDF=45。，

???ZCDF=180°-30°-45°=105°,

故答案為：105.

【點睛】本題考查了三角板中角度計算，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.點。的橫坐標(biāo)為一元一次方程3x+7=32—2x的解，縱坐標(biāo)為a+8的值，其中小。滿足二元一次方

2a-b=4

程組〈?C，則點。關(guān)于y軸對稱點。的坐標(biāo)為?

【答案】（-5,T）

【解析】

2a-b=4

【分析】先分別解一元一次方程3x+7=32-2x和二元一次方程組（?0,求得點。的坐標(biāo)，再

-a+2Z?=-8

根據(jù)直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的規(guī)律即可求解.

【詳解】解：3x+7=32-2x,

移項合并同類項得，5%=25,

系數(shù)化為1得，x=5,

???點。的橫坐標(biāo)為5,

，2a-b=4?

*[-a+2b=-S@f

由①+2x②得，3b=—12,解得：b=-4,

把=T代入①得，勿+4=4,解得：a=0,

?'?。+/?=0—4=-4,

；?點。的縱坐標(biāo)為-4，

*,?點Q的坐標(biāo)為（5,-4）,

???點。關(guān)于y軸對稱點Q的坐標(biāo)為（-5,-4）,

故答案為：（-5,T）.

【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化一一軸對稱，解一元一次方程和解二元一次方程組、代數(shù)值求值、直

角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的規(guī)律，熟練掌握解一元一次方程和解二元一次方程組的方法求得點。的坐標(biāo)是解題

的關(guān)鍵.

16.如圖，等邊三角形A5C的邊長為6cm,動點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點B勻速運動，過

點P作PQJ.AB,交邊AC于點Q,以PQ為邊作等邊三角形尸Q。，使點兒。在尸。異側(cè)，當(dāng)點。落在

BC邊上時，點P需移動!

【解析】

【分析】當(dāng)點。落在8C上時，如圖，BP=AB-AP=6-2x,根據(jù)等邊三角形,/BC是等

邊三角形，證明進(jìn)而可得x的值.

【詳解】解：設(shè)點P的運動時間為工⑸，由題意得AP=2x,

BP=AB-AP=6-2x,

???PQ±ABt

：.ZQPA=90°f

???△PQO和ulBC是等邊三角形，

??.Z4=NB=NOPQ=60。，PQ=PD,

???ZBPD=30°，

???ZPDB=90°，

:.PD1BC,

???AAP七二BDP(AAS),

:.BD=AP=2x，

?:BP=2BD，

6-2x=4x,

解得x=\.

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈

活運用等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.某款“不倒翁”（如圖1）的主視圖是圖2，PAP3分別與AM8所在圓相切于點4B,若該圓半徑是

10cm,ZP=60°,則主視圖的面積為cm2.

【答案】11006+竽）

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先找到圓心。，然后根據(jù)P4,尸8分別與AM8所在圓相切于點A，B.N尸=60。可

以得到ZAOB的度數(shù)，然后即可得到優(yōu)弧AMB對應(yīng)的圓心角，再根據(jù)主視圖的面積為

S^PAQ+S4PB0+S朗形AMS計算即可.

【詳解】解：設(shè)圓心為O,過O作AO_LP4,BO上AB,AO和30相交千點。，連接0尸，如圖，

???R4,PB分別與所在圓相切于點A，B.

?,./OAP=NOBP=90°,

VZP=60°,

???404=120。，NAOP=NBQP=60°,

???優(yōu)弧AMB對應(yīng)的圓心角為360°-120°=240°,ZAPO=/BPO=30°,

???該圓半徑是10cm,

.?.PB=PA=6OA=10百，

，主視圖的面積為PAO+pB()+S扇形AW8

=2x1x10x1073-F240；rX10

2360

=(100肉^^卜mz,

故答窠為：(ioo6+‘詈).

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求扇形面積，牢記扇形面積公式是解

題的關(guān)鍵.

三、解答題(本題包括9道小題，共69分，每小題分值均在各題號后面標(biāo)出，請在答題卡上

寫出各題解答的文字說明、證明過程或計算步驟)

18.計算：(g)+tan450-VFioj7-

【答案】0

【解析】

【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)次幕、特殊角的三角函數(shù)值、算術(shù)平方根化簡，然后在計算即可.

2

【詳解】解：(^\+tan450-A/(-I0),

=9+1-10,

=0.

【點睛】本題主要考查了負(fù)整數(shù)次幕、特殊角的三角函數(shù)值、算術(shù)平方根等知識點，掌握基本的運算法則

是解答本題的關(guān)鍵.

19.以下是某同學(xué)化簡分式匕+a-的部分運算過程:

。)

An后/秫4

解：原式=-a---b-------a---b-+.2.a..b.-.l.r..第一步

aaa

1a-ba

........第二步

aalab-b2

_a-b__a-b

.......第三步

lab-b1

（1）上面的運算過程中第步開始出現(xiàn)了錯誤;

（2）請你寫出完整的解答過程.

【答案】（1）一（2）見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)解答過程逐步分析即可解答；

（2）根據(jù)分式混合運算法則進(jìn)行計算即可.

【小問1詳解】

a-b2ab-b2

解：----+a-

a

a-ba22ab-b2>

a

_a-b（cT-2ab+b2>

=~A―%-J

故第一步錯誤.

故答窠為：一.

【小問2詳解】

.a-b2ab-b2y

解n：-----ci—

aa

2-2ab+b2

a

a-ba

=------x-----------

a{a-by

1

a-b

【點睛】本題主要考查了分式的混合運算，靈活運用分式的混合運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

20.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東72。方向，距離燈塔lOOnmile的A處，它沿正南方向航行一段時

間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東40。方向上的B處.這時，B處距離燈塔尸有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？（參考

數(shù)據(jù)：sin720工0.95,cos72。=0.31,tan72°?3.08,sin40°?0.64,cos40°*0.77,tan40°?0.84.）

【答案】B處距離燈塔尸大約有148nmile.

【解析】

【分析】在RtA4PC中，求出PC的長，再在RLPBC中，求出即可.

【詳解】解：設(shè)A8與燈塔P的正東方向相交于點C,

根據(jù)題意，得NA=72。，ZB=40°,/P=lOOnmile；

在RtzXAPC中，

PC

VsinA=—

AP

???PC=AP-sin72°=100x0.95=95；

中，ZB=40°,

pc

VsinB=—

PB

PC

???PB=?148（nmile）

sin40°0.64'7

答：3處距離燈塔P大約有148nmile.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一方向角問題，結(jié)合航海中的實際問題，將解直角三角形的相關(guān)

知識有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際生活的思想.

21.黨的十八大以來，習(xí)近平總書記對推動全民閱讀、建設(shè)書香中國高度重視，多次作出重要指示.xxx中

學(xué)在第28個“世界讀書日”到來之際，對全校2000名學(xué)生閱讀課外書的情況進(jìn)行了解，隨機(jī)抽取部分學(xué)

生進(jìn)行問卷調(diào)查，形成了如下調(diào)查報告（不完整）：

調(diào)查方式抽樣調(diào)杳調(diào)查對象XXX中學(xué)部分學(xué)生

J每周閱讀課外書的時間調(diào)查統(tǒng)計圖

平均每周閱讀課外書的時間大約是（只能單選，每徵

140

項含最小值，不含最大值）120L?

100

A.8小時以上80

60

B.6-8小時一

40F

C.4~6小時7

D.0~4小時[ABUCD項目

81圖2

請解答下列問題：

（1）求參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)：

（2）求圖2中扇形A所占百分比；

（3）估計該校2000名學(xué)生中，平均每周閱讀課外書的時間在“6~8小時”人數(shù)；

（4）在學(xué)生眾多閱讀書籍中，學(xué)校推薦閱讀書目為四大名著：《三國演義》《紅樓夢》《西游記》《水滸

傳》（分別記為甲、乙、丙、?。F(xiàn)從這4部名著中選擇2部為課外必讀書籍，請用列表法或畫樹狀圖法

中任意一種方法，求《西游記》被選中的概率.

【答窠】（1）300（2）32%

（3）320（4）g

【解析】

【分析】（1）結(jié)合條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，根據(jù)平均每周閱讀課外書的時間在“0~4小時”中人數(shù)及其

所占百分比可得總?cè)藬?shù)；

（2）用扇形A的圓心角115.2。除以360c即可求得扇形A所占百分比；

（3）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖求得平均每周閱讀課外書的時間在“6?8小時”所占的百分比，用總?cè)藬?shù)乘以百分

比即可求得；

（4）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和《西游記》被選中的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案.

【小問1詳解】

在這次調(diào)查中一共抽查學(xué)生33?11%=300（人），

即參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為300人.

【小問2詳解】

1152°

扇形A所占百分比為4100%-32%,

360°

即扇形A所占百分比為32%.

【小問3詳解】

平均每周閱讀課外書的時間在“6~8小時”所占的百分比為1一32%-11%-41%=16%,

.*.2000x16%=320（人），

即該校2000名學(xué)生中，平均每周閱讀課外書的時間在“6~8小時”人數(shù)為320人.

小問4詳解】

畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中《西游記》被選中的結(jié)果有6種，

???《西游記》被選中的概率為二二'.

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的信息關(guān)聯(lián)，求扇形統(tǒng)計圖的相關(guān)數(shù)據(jù)，樣本估計總體，列表

法或畫樹狀圖法求概率等，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計總體是解題的關(guān)鍵.

22.綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動，有一位同學(xué)操作過程如下:

操作一：對折正方形紙片ABC。，使AZ）與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；

操作二：在AO上選一點P,沿成折疊，使點A落在正方形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM、BM，

延長PM交C力于點連接8Q.

圖1

（1）如圖1,當(dāng)點M在石尸上時，ZEMB=?度;

(2)改變點尸在AO上的位置(點P不與點A,D重合)如圖2,判斷NMBQ與NCBQ的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由.

【答案】(1)30(2)/MBQ=NCBQ,理由見解析

【解析】

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可得出8M=AB=28E，NBEF=90。,進(jìn)而可求出

sinZEMB=-,即得出NEM5=30。；

2

(2)由正方形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可證RQBC。二RtcBMQ(HL),即得出NM8Q=NC3Q.

【小問1詳解】

解：■:對折正方形紙片ABC。，使4。與8c重合，得到折痕EF，

:?AB=BC=CD=AD=2BE,/BEF=90。.

?.?在從。上選一點P,沿3尸折疊，使點A落在正方形內(nèi)部點M處，

；?BM=AB=2BE.

RFBF1

在RL8EM中，sinZEMB=—=——=一,

BM2BE2

/.Z￡M5=30°.

故答案為：30.

【小問2詳解】

解：結(jié)論：4MBQ=4CBQ,理由如下：

???四邊形ABCO是正方形，

；.AB二BC,ZBAD=ZC=90°.

由折疊可得：AB=BM>NBAD=NBMP=90°,

..BM=BC,NBMQ=NC=90。.

又BQ=BQ,

Rt.BC隼RtjBMQ(HL),

???NMBQ=/CBQ.

【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形、三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理等

知識點.熟練掌握上述知識并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

23.如圖，A8為CO的直徑，D,七是。。上的兩點，延長A8至點G連接CO,ZBDC=ZA.

(2)求證：CO是OO的切線；

(3)若tanE=|,AC=10,求。。的半徑.

【答案】(1)見解析(2)見解析

(3)OO的半徑為3.2.

【解析】

【分析】(1)利用兩角對應(yīng)相等兩個三角形相似，得出結(jié)論；

(2)連接0。，由圓周角定理得出NAQ3=90。，證出。DJ_CD,由切線的判定可得出結(jié)論；

CDBCBD3

(3)由相似三角形的性質(zhì)得出一=——=—=-,由比例線段求出CD和的長，可求出A笈的

ACCDDA5

長，則可得出答案.

【小問1詳解】

證明：???NACZ)=N￡)C8,ZB￡)C=Z4,

:?.ACD^aDCB；

【小問2詳解】

AZADB=90°,

AZ4+ZABr）=90°,

?：OB=OD,

:.ZABD=NODB,

■:ZBDC=ZA,

，ZBDC+/ODB=90°,

???NODC=90。，

AOD1CD,

???。。是oo的半徑，

???co是OO的切線；

【小問3詳解】

3

解：VZAZ）B=90°,tanE=-,ZA=NE，

.BD_3

?.瓦一丁

?：AAC*ADCB，

.CDBCBD_3

??就一而一詼一S’

VAC=10，

1Q

/.CD=6,BC=—=3.6,

5

???AB=AC-BC=\0-3.6=6.4.

???。。的半徑為3.2.

【點睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，圓周角定理，根據(jù)題

目的己知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

24.某搬運公司計劃購買A,B兩種型號的機(jī)器搬運貨物，每臺A型機(jī)器比每臺B型機(jī)器每天少搬運10噸

貨物，且每臺A型機(jī)器搬運450噸貨物與每臺B型機(jī)器搬運500噸貨物所需天數(shù)相同.

（1）求每臺A型機(jī)器，8型機(jī)器每天分別搬運貨物多少噸？

（2）每臺4型機(jī)器售價1.5萬元，每臺3型機(jī)器售價2萬元，該公司計劃采購兩種型號機(jī)器共30臺，滿

足每天搬運貨物不低于2880噸，購買金額不超過55萬元，請幫助公司求出最省錢的采購方案.

【答案】（1）每臺A型機(jī)器，8型機(jī)器每天分別搬運貨物90噸和100噸

（2）當(dāng)購買A型機(jī)器人12臺，B型機(jī)器人18臺時，購買總金額最低是54萬元.

【解析】

【分析】（1）設(shè)每臺B型機(jī)器每天搬運x噸，則每臺A型機(jī)器每天搬運10）噸，根據(jù)題意列出分式方

程，解方程、檢驗后即可解答；

（2設(shè)公司計劃采購A型機(jī)器m臺，則采購8型機(jī)器（30一〃。臺，再題意列出一元一次不等式組，解不等

式組求出機(jī)的取值范圍，再列出公司計劃采購A型機(jī)器機(jī)臺與采購支出金額卬的函數(shù)關(guān)系式，最后利用

一次函數(shù)的增減性求最值即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)每臺8型機(jī)器每天搬運x噸，則每臺A型機(jī)器每天搬運（X-10）噸,

450500

由題意可得:

解得：x=100

經(jīng)檢驗，x=100是分式方程受?=迎的解

x-10x

每臺A型機(jī)器每天搬運工-10=100-10=90噸

答：每臺A型機(jī)器，8型機(jī)器每天分別搬運貨物90噸和100噸

【小問2詳解】

解：設(shè)公司計劃采購A型機(jī)器機(jī)臺，則采購8型機(jī)器（30一機(jī)）臺

90/H+100（30-w）>2880

由題意可得:

1.5m+2（30-/n）<55

解得：10W機(jī)412,

公司采購金額：w=1.5/?7+2（30-AW）=-0.5/7?+60

???-0.5<0

，卬隨機(jī)的增大而減小

??.當(dāng)〃2=12時，公司采購金額W有最小值，即皿=-0.5x12+60=54,

???當(dāng)購買4型機(jī)器人12臺，B型機(jī)器人18臺時，購買總金額最低是54萬元.

【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用、不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)月等知識點，理解題意正確列

出分式方程、不等式組和一次函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵.

25.閱讀材料:

材料I：關(guān)于x的一元二次方程出：?+樂+c=0（〃w0）的兩個實數(shù)根為，々和系數(shù)。，b,c有如下關(guān)系：

bc

大+4=——，王占二一。

aa

材料2:已知一元二次方程f一冗一1二0的兩個實數(shù)根分別為用，求機(jī)2〃+2的值.

解：?，"，〃是一元二次方程f一工一1=（）的兩個實數(shù)根，

:.m-^n=}ymn=-l.

則=—1x1=—1.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：

（1）應(yīng)用：一元二次方程2f+3尤一1=0的兩個實數(shù)根為外，當(dāng)，則為+%=，%為;

（2）類比：已知一元二次方程2/+31-1=0的兩個實數(shù)根為機(jī)，外求帆?+*的值；

（3）提升：已知實數(shù)s,，滿足2s2+3s-l=O,2產(chǎn)+3，一1=0且SH，，求」一』的值.

st

【答案】（1）一1

22

⑵更

4

（3）工一！的值為J萬或—J萬.

st

【解析】

【分析】（1）直接利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；

31

（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求出機(jī)+〃二一二，nm=--,再根據(jù)

22

nr+rz2=（AW+w）2-2tnn,最后代入求值即可；

31

（3）由題意可將s、f可以看作方程2/+3%一1=0的兩個根，即得出$+/=-1，st=一一,從而由

22

（―s）2=（f+s）2—4sf,求得/一$=乎或/—=一半，最后分類討論分別代入求值即可.

【小問1詳解】

解：?；一元二次方程2爐+3X一1=0的兩個根為』，X”

b3c1

??%+毛=-a=-2->%飛=一a=一彳2?

31

故答案為：——>——；

22

【小問2詳解】

解：?：一元二次方程2/+3x—1=0的兩根分別為機(jī)、小

b3c1

../??+/?=——=——,mn=—=——，

a2a2

；?6？+〃2=(加+-2mn

2

r-2x

2>

4

_13

-?

41

【小問3詳解】

解：T實數(shù)s、f滿足2s2+3s-l=0,2*+3f-l=0,

???s、/可以看作方程2F+3x-l=0的兩個根,

a2a2

2

V(/-5)=(/+S)2-4S￡

\2

3f

—4x

2)「5

17

T

姮

22

當(dāng)…二十時'

叵

stst_2_

~2

當(dāng)-―當(dāng)時,

stst

~2

綜上分析可知，的值為J/或-J萬.

st

【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形計算，分式的混合運算.理解題

bc

意，掌握一元二次方程"2+加+右=0(。=0)根與系數(shù)的關(guān)系：%+w=一-和是解題關(guān)鍵.

aa

Q

26.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=or2+§x+c(aw0)與x軸交于點4(1,0)和點8,與y軸交于點

C(0T).

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；

(2)P是拋物線上一動點(不與點A,B.C重合)，作軸，垂足為D,連接PC.

①如圖，若點P在第三象限，且tanNC尸。=2,求點尸的坐標(biāo)；

②直線尸。交直線BC于點￡當(dāng)點E關(guān)于直線尸C的對稱點E'落在y軸上時，請更接寫出四邊形PECE

的周長.

AQ

【答案】(1)y=-x2+-x-4

33

【解析】

【分析】(1)將4,。兩點坐標(biāo)代入拋物線的解析式，從而求得a,c,進(jìn)而求得結(jié)果；

/A8、E,

(2)①設(shè)Px,-x2+-x-4,過點C作CE上PD于點、E，求出尸瓦CE,根據(jù)lanNCPO=——=2

I33J