高考排列組合知識點歸納

第四講排列組合分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理：分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法；在第2類方案中有n種不同的方法，則完場這件事共有m+n種不同的方法。分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，在第1步有m種不同的方法；在第2步有n種不同的方法，則完場這件事共有種不同的方法。排列數(shù)：組合：中取個，記作階乘：排列：（1）全排列：將個數(shù)全排列，記（2）（3）中取個，并將個數(shù)全排列：三、二項式定理：1、二次項系數(shù)之和：2、展開式的第項：例題1：的展開式中的常數(shù)項是（）A、6B、4C、-4D、-6例題2：在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A、-20B、-3C、6D、20★隨堂訓(xùn)練：在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是（）-10B、10C、-5D、5的展開式中的常數(shù)項是（）A、5B、-5C、10D、-10在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A、45B、90C、135D、270已知關(guān)于的二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為32，常數(shù)項為80，則的值為（）A、1B、C、2D、的展開式中，的系數(shù)等于。的展開式中各項系數(shù)的和為243，則該展開式中常數(shù)項為。展開式中常數(shù)項是70，則。8、若展開式中常數(shù)項為-40，則。

四、排列組合題型匯總（一）解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:（1）認(rèn)真審題弄清要做什么事（2）怎樣才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或分步與分類同時進行,確定分多少步及多少類。（3）確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數(shù)是多少及取出多少個元素.（4）解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略（二）題型演練：1、特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置.先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步計數(shù)原理得位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件習(xí)題:7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？2、相鄰元素捆綁策略例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個復(fù)合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。由分步計數(shù)原理可得共有種要求某幾個元素必須排在一起的問題要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.練習(xí)題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為203、不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種不同的方法,由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有種元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端練習(xí)題：某班新聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，則不同插法的種數(shù)為304、定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：(空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個位置甲乙丙共有1種坐法，則共有種方法。思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理練習(xí)題:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？5、重排問題求冪策略例5.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí),共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實習(xí)生分配到車間有7種分法.把第二名實習(xí)生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計數(shù)原理共有種不同的排法允許重復(fù)的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地允許重復(fù)的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為種練習(xí)題：某班新聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，則不同插法的種數(shù)為422.某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法6、環(huán)排問題線排策略例6.8人圍桌而坐,共有多少種坐法解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即！一般地一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈1207、多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個特殊元素有種,再排后4個位置上的特殊元素丙有種,其余的5人在5個位置上任意排列有種,則共有種一般地,一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.練習(xí)題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，則不同排法的種數(shù)是3468、元素相同問題隔板策略例10.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應(yīng)地分給７個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有種分法。將將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為練習(xí)題：10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？2.求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)9、正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù),所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有,只含有1個偶數(shù)的取法有,和為偶數(shù)的取法共有。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有有些排列組合問題有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.練習(xí)題：我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種10、平均分組問題除法策略例12.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則中還有